《直線的方程-直線的兩點(diǎn)式方程、截距式方程直線的一般式方程》教學(xué)設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2《直線的方程直線的兩點(diǎn)式方程、截距式方程，直線的一般式方程》教學(xué)設(shè)計(jì)一、單元內(nèi)容及其解析1.內(nèi)容直線的點(diǎn)斜式方程，直線的斜截式方程；直線的兩點(diǎn)式方程，直線的截距式方程；直線的一般式方程.本單元知識(shí)結(jié)：本單元教學(xué)建議用3課時(shí)：第1課時(shí)，直線的點(diǎn)斜式方程；第2課時(shí)，直線兩點(diǎn)式方程、一般式方程；第3課時(shí)可安排直線的方程的應(yīng)用，本教學(xué)設(shè)計(jì)中略去此課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì).2.內(nèi)容解析直線的方程是直角坐標(biāo)系中直線的代數(shù)表示，是確定直線位置幾何要素的完全代數(shù)刻畫(huà).雖然傾斜角是刻畫(huà)直線傾斜程度的幾何要素，但它無(wú)法直接用直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)定量刻畫(huà)，而傾斜角的正切值可以用直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)定量刻畫(huà)，這種刻畫(huà)為我們研究直線帶來(lái)方便.直線的點(diǎn)斜式方程是經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式的一種“變式”表達(dá)，表達(dá)的是直線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)與直線的斜率以及所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)之間所滿足的代數(shù)關(guān)系式.直線的方程一方面表示直線上點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足這個(gè)方程，另一方面表示滿足這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在這條直線上.直線的點(diǎn)斜式方程是直線其他形式方程的基礎(chǔ).直線方程的不同形式，是在直角坐標(biāo)系中，特殊條件下的特殊形式，是點(diǎn)斜式的“變式”.兩點(diǎn)式方程是點(diǎn)斜式方程的“變式”表達(dá)，橋梁是直線的斜率.斜截式、截距式方程分別是點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式方程的特例.直線的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式方程以斜率公式為紐帶，將直線上任意一點(diǎn)與確定直線位置的幾何要素聯(lián)系起來(lái)，表達(dá)了直線上的點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的代數(shù)關(guān)系.一般式方程揭示了直線方程的代數(shù)本質(zhì)：任意一個(gè)二元一次方程表示一條直線，任意一條直線都可以用一個(gè)二元一次方程表示.點(diǎn)斜式方程、兩點(diǎn)式方程都可以化為一般式方程.直線方程的建立過(guò)程本質(zhì)上是將確定直線的幾何要素（點(diǎn)與方向）代數(shù)化的過(guò)程，這是學(xué)生第一次系統(tǒng)地用坐標(biāo)法刻畫(huà)一個(gè)幾何對(duì)象.坐標(biāo)法是本單元教學(xué)的核心，本單元同時(shí)還蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合、特殊與一般、分類(lèi)與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.基于以上分析，確定本單元的教學(xué)重點(diǎn)：探究并掌握直線方程的幾種形式，體會(huì)坐標(biāo)法.二、單元目標(biāo)及其解析1.目標(biāo)根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的三種形式：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式，體會(huì)坐標(biāo)法.2.目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）能說(shuō)出平面直角坐標(biāo)系中直線的幾何特征及其代數(shù)表示，知道直線方程是對(duì)直角坐標(biāo)系中直線幾何特征的代數(shù)刻畫(huà).直線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足這個(gè)方程，以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在這條直線上.（2）學(xué)生經(jīng)歷由確定直線的幾何要素（一點(diǎn)和方向）建立直線點(diǎn)斜式方程的過(guò)程，知道點(diǎn)斜式方程是經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式的一種“變式”表達(dá)；知道斜截式方程是點(diǎn)斜式方程的特例；會(huì)根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)以及直線的斜率寫(xiě)出直線的點(diǎn)斜式方程.（3）學(xué)生經(jīng)歷由直線點(diǎn)斜式方程自主探究建立直線的兩點(diǎn)式方程、截距式方程的過(guò)程，知道兩點(diǎn)式方程是直線點(diǎn)斜式方程的一種“變式”表達(dá)；知道截距式方程是兩點(diǎn)式方程的特例；會(huì)根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)寫(xiě)出直線的兩點(diǎn)式方程.（4）學(xué)生通過(guò)對(duì)一般式方程的分析，把一般式方程轉(zhuǎn)化為點(diǎn)斜式方程后，認(rèn)識(shí)到任意一個(gè)二元一次方程都表示一條直線，任意一條直線都可以用一個(gè)二元一次方程表示.（5）學(xué)生會(huì)根據(jù)確定直線的幾何要素寫(xiě)出直線方程，能說(shuō)出直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式方程中相關(guān)要素的幾何意義，能進(jìn)行不同形式方程的轉(zhuǎn)化.知道點(diǎn)斜式方程是其他所有形式方程的基礎(chǔ)，它是經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式的一種“變式”表達(dá)，表達(dá)的是直線上任意一點(diǎn)滿足的代數(shù)關(guān)系式.這個(gè)關(guān)系式一方面表示直線上的點(diǎn)滿足這個(gè)關(guān)系式，另一方面表示滿足這個(gè)關(guān)系式的點(diǎn)都在這條直線上.三、單元教學(xué)問(wèn)題診斷分析學(xué)生在本單元學(xué)習(xí)之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了傾斜角和斜率的概念以及過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式，經(jīng)歷了在平面直角坐標(biāo)系中用代數(shù)方法刻畫(huà)直線的幾何特征的過(guò)程.在本單元中，學(xué)生要通過(guò)直線方程的建立，系統(tǒng)地學(xué)習(xí)在平面直角坐標(biāo)系中用代數(shù)形式表示一個(gè)幾何對(duì)象，體會(huì)坐標(biāo)法.在這一過(guò)程中，學(xué)生對(duì)“什么是直線的方程”“什么是方程的直線”“如何建立直線方程”等問(wèn)題缺乏認(rèn)知，這是本單元教學(xué)的難點(diǎn).為克服以上難點(diǎn)，教學(xué)中首先要學(xué)生在章引言和前面學(xué)習(xí)中初步了解坐標(biāo)法的基礎(chǔ)上，思考在直角坐標(biāo)系中確定直線位置的幾何要素，直線上任意一點(diǎn)與這些要素之間的關(guān)系，得出坐標(biāo)滿足的代數(shù)關(guān)系式，其次要重視點(diǎn)斜式方程的教學(xué)，要幫助學(xué)生從分析確定直線位置的幾何要素入手，分析如何用代數(shù)方法刻畫(huà)這些幾何要素及要素間的關(guān)系，認(rèn)識(shí)直線的方程就是直線上所有點(diǎn)的幾何特征的代數(shù)表示，進(jìn)而尋找如何用點(diǎn)的坐標(biāo)刻畫(huà)直線的幾何特征，通過(guò)過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式的“變式”表達(dá)，建立直線的點(diǎn)斜式方程.另外，結(jié)合點(diǎn)斜式方程和一般式方程，讓學(xué)生體會(huì)“直線的方程”和“方程的直線”，認(rèn)識(shí)直線與直線的方程之間的關(guān)系，以及從數(shù)與形兩個(gè)角度對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行研究的思維方法.四、課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)第2課時(shí)（一）教學(xué)內(nèi)容直線的兩點(diǎn)式方程、截距式方程，直線的一般式方程.（二）教學(xué)目標(biāo)1.能根據(jù)兩定點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式方程推導(dǎo)建立直線的兩點(diǎn)式方程；能由一般到特殊，由兩點(diǎn)式方程推導(dǎo)出截距式方程.2.能從代數(shù)方程的角度認(rèn)識(shí)直線方程四種不同形式本質(zhì)上的共性，并能根據(jù)所學(xué)方程的結(jié)構(gòu)特征抽象得出直線的一般式方程，能進(jìn)行直線不同形式方程的互化.（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：直線的兩點(diǎn)式方程與一般式方程.難點(diǎn)：對(duì)直線的一般式方程表示直線的認(rèn)識(shí).（四）教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)引導(dǎo)語(yǔ)：上節(jié)課我們根據(jù)直角坐標(biāo)系中確定直線位置的幾何要素，把它們代數(shù)化得到了直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程，體會(huì)了利用坐標(biāo)法建立直線方程的過(guò)程，本節(jié)課我們繼續(xù)探索直線其他形式的方程.1.開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，自主探究?jī)牲c(diǎn)式方程問(wèn)題1：我們知道“兩點(diǎn)確定一條直線”，這條直線的方程可以由這兩點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)表示.如果已知直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，你能根據(jù)上節(jié)課所學(xué)的知識(shí)與方法，求出由這兩點(diǎn)坐標(biāo)所確定的直線方程嗎？師生活動(dòng)：采用自主探究的方式，推導(dǎo)并建立直線方程.教師巡視，一方面，對(duì)探究存在疑難的同學(xué)作適當(dāng)引導(dǎo)：通過(guò)“斜率”這個(gè)“中介”，把建立過(guò)這兩點(diǎn)的直線的方程轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)斜式方程；另一方面，對(duì)特殊情況作恰當(dāng)?shù)闹笇?dǎo).學(xué)生探究完成后匯報(bào)結(jié)果，預(yù)計(jì)學(xué)生可以得到的結(jié)果是，通過(guò)師生討論將各種情況完善：①時(shí)，直線平行于y軸，直線方程為；②時(shí)，直線平行于x軸，直線方程為；③時(shí)，方程可化為，并引導(dǎo)學(xué)生給這種形式的方程取名為直線的兩點(diǎn)式方程.設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)自主探究與相互研討，一方面復(fù)習(xí)了直線的點(diǎn)斜式方程，提升對(duì)點(diǎn)斜式方程的認(rèn)知與理解；另一方面體驗(yàn)利用坐標(biāo)法建立曲線方程的基本過(guò)程與思維方法，體會(huì)并積累解析幾何研究一個(gè)幾何的基本路徑.此外，經(jīng)由自己探究得到的兩點(diǎn)式方程，學(xué)生印象更為深刻，對(duì)一般與特殊情況的分析討論還可以提升思維的發(fā)散性與嚴(yán)謹(jǐn)性.2.類(lèi)比探究，得到截距式方程問(wèn)題2：在點(diǎn)斜式方程的探究中，我們從一般到特殊，對(duì)條件的特殊情形作了研究，得到了直線的斜截式方程.類(lèi)似地，對(duì)于直線的兩點(diǎn)式方程，我們也可以用特殊的兩點(diǎn)建立兩點(diǎn)式方程，你覺(jué)得應(yīng)該選用哪兩個(gè)特殊點(diǎn)？為什么？師生活動(dòng)：有上一節(jié)課研究經(jīng)驗(yàn)作鋪墊，學(xué)生容易想到坐標(biāo)軸上的兩個(gè)點(diǎn)比較特殊，考慮過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程問(wèn)題.引導(dǎo)學(xué)生取直線與兩條坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)式方程推導(dǎo)出特殊形式的兩點(diǎn)式直線方程.教師可結(jié)合圖1對(duì)兩個(gè)截距作適當(dāng)?shù)恼f(shuō)明，并和學(xué)生一起將方程作適當(dāng)變形，得到直線的截距式方程.設(shè)計(jì)意圖：教師作恰當(dāng)?shù)乃季S方向點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生自主提出問(wèn)題，并探究解決問(wèn)題，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的意識(shí)與能力.同時(shí)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)研究問(wèn)題基本思想與方法（類(lèi)比思想、特殊化思想）的認(rèn)識(shí).例1、如圖2，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，求邊BC所在直線的方程，以及這條邊上的中線所在直線的方程.師生活動(dòng)：該例題的解決學(xué)生不會(huì)存在困難，主要由學(xué)生自主完成，教師側(cè)重對(duì)中點(diǎn)坐標(biāo)的求法作點(diǎn)撥.對(duì)于此問(wèn)題，學(xué)生也可能運(yùn)用點(diǎn)斜式求解.設(shè)計(jì)意圖：主要是為學(xué)生提供運(yùn)用兩點(diǎn)式方程求直線方程的實(shí)踐機(jī)會(huì)，了解中點(diǎn)坐標(biāo)公式.3.概括共性，歸納一般式方程問(wèn)題3：請(qǐng)同學(xué)們寫(xiě)出直線方程的四種形式，從方程的角度審視，它們有什么共性？你能將直線方程的共性進(jìn)行概括，給出直線方程的一般形式嗎？師生活動(dòng)：首先由學(xué)生自己寫(xiě)出四種形式的直線方程，引導(dǎo)學(xué)生觀察分析其共同特征，明確這些直線方程都是二元一次方程.在此基礎(chǔ)上提出給出直線方程的一般形式的想法，并由學(xué)生分組進(jìn)行探究與分析討論，以形成統(tǒng)一的看法與結(jié)果，進(jìn)而得到直線方程的一般形式.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、發(fā)現(xiàn)、從特殊到一般的抽象過(guò)程，明確四種形式的直線方程形式不同但本質(zhì)一致，都是對(duì)直線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系的定量刻畫(huà)，進(jìn)而抽象出直線方程的一般形式.問(wèn)題4：任意一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程表示嗎？反之，任意一個(gè)關(guān)于x，y師生活動(dòng)：對(duì)一般式方程的分析與證明的過(guò)程就是對(duì)直線方程內(nèi)涵與本質(zhì)的理解過(guò)程.對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生一方面會(huì)對(duì)這種問(wèn)題的抽象性感覺(jué)難以理解，既然前面已經(jīng)推導(dǎo)得到了直線的方程就是二元一次方程，為什么還要證明，教師要通過(guò)分析特殊與一般的關(guān)系作出說(shuō)明；另一方面學(xué)生可能不知道怎么入手與書(shū)寫(xiě)證明，教師要作適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)與提示.追問(wèn)：在方程中，當(dāng)A，B，①平行于x軸？②平行于y軸？③與x軸重合？④與y軸重合？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題4的分析與解決，讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)幾何圖形與代數(shù)方程間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，理解直線的一般式方程的本質(zhì)特征：一般式方程揭示的是任意一個(gè)二元一次方程表示一條直線，任意一條直線都可以用一個(gè)二元一次方程表示.例2、已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為，求直線的點(diǎn)斜式和一般式方程.例3、把直線l的一般式方程化為斜截式，求出直線l的斜率以及它在x軸與y軸上的截距，并畫(huà)出圖形.師生活動(dòng)：兩個(gè)例題由學(xué)生獨(dú)立完成，可以請(qǐng)兩位同學(xué)上講臺(tái)作板演，學(xué)生點(diǎn)評(píng).例3中橫截距教師可作介紹：求直線l在x軸上的截距，即求直線l與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).設(shè)計(jì)意圖：例2是根據(jù)確定直線位置的幾何要素，在學(xué)習(xí)一般式方程后，讓學(xué)生嘗試求一般式方程.通過(guò)例3的解答，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)截距在畫(huà)直線時(shí)帶來(lái)的方便，以及運(yùn)算的簡(jiǎn)單，兩個(gè)例題本質(zhì)上都是讓學(xué)生更好地體驗(yàn)一般式方程與點(diǎn)斜式（斜截式）方程刻畫(huà)直線時(shí)各自的優(yōu)勢(shì)，并能熟練進(jìn)行點(diǎn)斜式方程與其他形式方程的互化.4.單元小結(jié)、布置作業(yè)教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本單元學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)過(guò)程，并回答下列問(wèn)題：（1）直線方程有哪些不同形式？產(chǎn)生不同形式的原因是什么？（2）在直角坐標(biāo)系中直線（幾何圖形）如何用代數(shù)（方程）表示？代數(shù)表示的意義是什么？（3）運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式方程（斜截式方程）、兩點(diǎn)式方程（截距式方程）時(shí)要注意什么適用條件？設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生梳理直線方程學(xué)習(xí)的基本過(guò)程與思路：根據(jù)確定直線位置的幾何要素，從給定一點(diǎn)與方向到兩個(gè)點(diǎn)，分別建立直線的點(diǎn)斜式方程與兩點(diǎn)式方程，并給出了它們的特殊形式.從認(rèn)識(shí)方程的一般特點(diǎn)入手得到直線的一般式方程.進(jìn)一步幫助學(xué)生理解直線方程的本質(zhì)就是直線上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y所滿足的關(guān)系式.明確直線的點(diǎn)斜式方程、斜截式方程、兩點(diǎn)式方程以及截距式方程的不同特點(diǎn)，使學(xué)生在問(wèn)題解決中能靈活應(yīng)用.布置作業(yè)教科書(shū)習(xí)題2.2第4，5，6，7，8，11，12，13題.（五）目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1.（1）在x軸、y