直線與圓專題復習第7講 直線的最值問題 訓練題集【學生版】

高中數(shù)學精編資源2/2第7講直線的最值問題一、單選題1．（2021·重慶市萬州第二高級中學高二月考）唐代詩人李的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在地為點，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A． B． C． D．2．（2021·重慶市育才中學高二月考）數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微．”事實上，很多代數(shù)問題可以轉化為幾何問題加以解決．例如，與相關的代數(shù)問題，可以轉化為點與點之間的距離的幾何問題．結合上述觀點，對于函數(shù)，的最小值為（）A． B． C． D．3．（2021·浙江溫州·高二期中）向量，滿足，則()的最小值為（）A． B． C． D．4．（2021·全國·高二課時練習）已知點，，動點P在直線上，則的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．65．（2021·江蘇·高二專題練習）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開關兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題—“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A． B． C． D．6．（2021·全國·高二課時練習）已知點和，在軸上求一點，使得最小，則點的坐標為（）A． B． C． D．7．（2021·四川省綿陽南山中學高二月考）已知兩點，，動點在直線上運動，則的最小值為（）A． B． C．4 D．58．（2021·山東省青島第一中學高二月考）已知兩定點、，動點在直線上，則的最小值為（）A． B． C． D．9．（2021·全國·高二專題練習）已知點，在直線和上分別找一點M和N，使的周長最短，則最短周長為（）A．4 B． C． D．二、多選題10．（2021·遼寧·興城市高級中學高二月考）某同學在研究函數(shù)的最值時，聯(lián)想到兩點間的距離公式，從而將函數(shù)變形為，則下列結論正確的是（）A．函數(shù)的最小值為 B．函數(shù)的最小值為C．函數(shù)沒有最大值 D．函數(shù)有最大值11．（2021·廣東·東莞市東華高級中學高二月考）已知點P是直線上的動點，定點，則下列說法正確的是（）A．線段PQ的長度的最小值為B．當PQ最短時，直線PQ的方程是C．當PQ最短時P的坐標為D．線段PQ的長度可能是12．（2021·四川·成都外國語學校高二月考（理））已知函數(shù)，則下列結論正確的是（）A．在區(qū)間上單調遞減，上單調遞增B．的最小值為，沒有最大值C．存在實數(shù)，使得函數(shù)的圖象關于直線對稱D．方程的實根個數(shù)為213．（2021·廣東·深圳市龍崗區(qū)平岡中學高三月考）在平面直角坐標系中，為坐標原點，為軸上的動點，則下列說法正確的是（）A．的最小值為2B．若，則的面積等于4C．若，則的最小值為5D．若，且與的夾角，則14．（2021·湖北·高二期中）已知，，記，則（）A．的最小值為 B．當最小時，C．的最小值為 D．當最小時，三、填空題15．（2021·山西·太原五中高二月考）著名數(shù)學家華羅庚曾說過“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微”，事實上，很多代數(shù)問題都可以轉化為幾何問題加以解決，如：可以轉化為平面上點與點的距離，結合上述觀點，可得的最小值為___________.16．（2021·江西師大附中高二月考）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登上望烽火，黃昏飲馬傍交河，”詩中隱含著一個有趣的“將軍飲馬”問題，這是一個數(shù)學問題即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使得總路程最短？在平面直角坐標系中，將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即為回到軍營.若軍營所在區(qū)域為，則“將軍飲馬”的最短總路程是___________.17．（2021·遼寧·沈陽市第一中學高二月考）2020年11月，我國用長征五號遙五運載火箭成功發(fā)射探月工程嫦娥五號探測器，探測器在進入近圓形的環(huán)月軌道后，將實施著陸器和上升器組合體與軌道器和返回器組合體分離.我們模擬以下情景：如圖，假設月心位于坐標原點，探測器在處以的速度勻速直線飛向距月心的圓形軌道上的某一點，在點處分離出著陸器和上升器組合體后，軌道器和返回器組合體立即以的速度勻速直線飛至，這一過程最少用時_______________s.18．（2021·江蘇·高二專題練習）如圖，平面上兩點，在直線上取兩點使，且使的值取最小，則的坐標為____________．四、解答題19．（2021·全國·高三專題練習）求函數(shù)的最小值.20．（2021·湖北·高二月考）已知直線.（1）若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；（2）若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，求面積的最小值；（3）已知，若點P到直線的距離為d，求d最大時直線的方程.21．（2021·河北邢臺·高二月考）如圖，是某景區(qū)的瀑布群，已知，點Q到直線，的距離均為2，現(xiàn)新修一條自A經(jīng)過Q的有軌觀光直路并延伸交道路于點B．（1）求；（2）當取得最小值時，求.22．（2021·江蘇省蘇州第十中學校高二月考）已知直線：．（1）求經(jīng)過的定點坐標；（2）若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點．①的面積為，求的最小值和此時直線的方程；②當取最小值時，求直線的方程．23．（2021·四川成都·高二月考（理））已知直線，若直線與軸的正半軸交點分別為和為坐標原點.（1）證明：直線過某定點，并求出該定點坐標；（2）設（1）中的定點為，求的最小值及此時直線的方程.24．（2021·全國·高三專題練習）已知，，，求的最大值.25．（2021·全國·高三專題練習）求函數(shù)的最大值.26．（2021·全國·高一課時練習）兩條互相平行的直線分別過點和，并且各自繞著A，B旋轉，但始終保持平行，如果這兩條平行直線間的距離為d，求：（1）d的變化范圍；（2）當d取最大值時，兩條直線的方程.27．（2021·江蘇·高二專題練習）在平面直角坐標系中，直線，，，，（）.（1）證明直線和過同一個定點，并求到直線的距離；（2）若與交于點，與交于點，記，，求的最大值．28．（2021·江蘇·高二專題練習）某城市街道路寬OD為米，現(xiàn)準備在道路的邊緣安裝高度為11米即的路燈，設計燈桿AB與燈柱OA成角，并要求當燈罩軸線BC與燈桿AB垂直時，燈罩軸線正好通過OD的中點．（1）求燈桿AB的長為多少米；（2）路燈采用可旋轉燈口方向的錐形燈罩，燈罩軸線BC與燈的邊緣光線如圖BM，都成角，設，是否存在，能使路燈的光線照亮整個路面？若存在，求的取值范圍；若不存在，在M，N都落在路面OD上的條件下，求MN的最大值和最小值參考數(shù)值29．（2021·江蘇·高二專題練習）如圖，將一塊直角三角形板ABO放置于平面直角坐標系中，已知，點是三角板內一點，現(xiàn)因三角板中陰影部分即△受到損壞，要把損壞部分鋸掉，可用經(jīng)過點P的任一直線MN將三角板鋸成△，設直線MN的斜率為k．

（1）試用k表示△的面積S，并指出k的取值范圍（2）試求S的最大值．30．（2021·江蘇·高二專題練習）在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的長為2，寬為1，AB，A