《曲線與方程》教學(xué)設(shè)計

高中數(shù)學(xué)精編資源3/3《曲線與方程》教學(xué)設(shè)計教學(xué)設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課播放一段和笛卡爾的傳說有關(guān)的廣告視頻—“百歲山礦泉水”的廣告.問題1：諸如圓錐曲線這類曲線能否像直線、圓一樣用代數(shù)的方法進(jìn)行研究呢？研究清楚曲線與方程之間的關(guān)系，將為我們用代數(shù)方法研究幾何圖形提供可能.師：不知大家有沒有看過下面這則廣告？師：其實(shí)，這則廣告的創(chuàng)意源自一位偉大數(shù)學(xué)家的愛情傳說，大家知道他是誰嗎？生（齊）：笛卡爾.師：是的，那你了解笛卡爾對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)嗎？生1：他發(fā)明了平面直角坐標(biāo)系，創(chuàng)立了解析幾何.師：解析幾何研究幾何圖形的方法有何特點(diǎn)呢？你能結(jié)合所學(xué)知識談一談嗎？生2：我們在前面學(xué)習(xí)了直線與圓的方程，在平面直角坐標(biāo)系中用方程表示了直線與圓，然后使用代數(shù)的方法對它們進(jìn)行了研究.師：直線，圓都只是我們生活中的種曲線（直線也可稱之為特殊的曲線），我們還會遇到很多其他的曲線，比如下面動畫中的圓錐曲線.（教師通過PPT展示圓錐曲線的生成動畫）師：在這個動畫中，你觀察到哪些曲線？生（齊）：橢圓，拋物線，雙曲線？師：是的，它們統(tǒng)稱為圓錐曲線公元前，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼在他的《圓錐曲線》一書中便記載了他對圓錐曲線的幾何性質(zhì)的研究，后來一千多年里人類對其的認(rèn)識止步于此當(dāng)時，這些研究都是用純幾何的方法（教師提出問題1讓學(xué)生思考并說出自己的想法）生（齊）：可以.師：怎樣展開對圓錐曲線的研究呢？生（齊）：在平面直角坐標(biāo)系中找到圓錐曲線的方程.師：那就讓我們先來研究曲線與方程之間的關(guān)系吧！優(yōu)美的畫面和音樂吸引學(xué)生的注意力，暗藏其中的故事情節(jié)激發(fā)學(xué)生的思考和好奇心，情境創(chuàng)設(shè)為引入新課鋪墊了良好的氛圍.通過“問題引導(dǎo)”將學(xué)生從視頻轉(zhuǎn)移到解析幾何研究問題的方法上來，再延伸到其他曲線（如圓錐曲線）的研究方法上來，形成認(rèn)知沖突，讓曲線與方程的學(xué)習(xí)滿足合理性和必要性.通過情境創(chuàng)設(shè)浸潤數(shù)學(xué)文化教育，同時回顧了學(xué)生已有相關(guān)知識和方法，形成了學(xué)生學(xué)習(xí)上的認(rèn)知沖突，自然引出本節(jié)課主題.作圖探究形成概念探究活動1：請作出以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)構(gòu)成的圖形.問題2：兩位同學(xué)作出的圖形之間的差異是什么原因引起的？師：請大家按照要求作圖.師：請你說說你的作圖過程.問題3：改變圖形，圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系會發(fā)生變化嗎？探究活動2：請分別作出以下列方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)構(gòu)成的圖形：（1）;（2）.問題4:為什么你作出來的圖形是一個半圓?引起作出圖形有差異的原因是什么?曲線的方程(方程的曲線)的概念:一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線與方程之間具有如下關(guān)系，（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解;（2）以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上.則稱曲線為方程的曲線,方程為曲線的方程.這就是說,如果曲線的方程是,且是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn),則.因此,方程可用來描述曲線的特征性質(zhì),曲線用集合的特征性質(zhì)描述法,可以描述為.問題5：結(jié)合前面所學(xué)知識，你是如何認(rèn)識直線的方程與圓的方程這兩個已學(xué)概念的？師：請大家按照要求作圖.師：請你說說你的作圖過程.生先化簡為,它表示直線,取出直線上兩點(diǎn),連線作出這條直線.師:有不同意見嗎?生應(yīng)該去掉直線上的點(diǎn)才對.師:為什么呢?生2:因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)不滿足方程.師:好！你關(guān)注到了點(diǎn)的坐標(biāo),那么點(diǎn)的坐標(biāo)和方程是什么關(guān)系?這個坐標(biāo)和方程是什么關(guān)系呢?生點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解,但不是方程的解.（教師提出問題2，學(xué)生回答）生（齊）：方程.師：方程的區(qū)別在哪里？生（齊）：方程的解師：那么如果我將這支曲線擦除部分，新得到的曲線上的點(diǎn)又滿足怎樣的關(guān)系式呢？（教師在黑板上將點(diǎn)左邊抹去并提出問題3）生（齊）：師：改變圖形，方程發(fā)生了怎樣的變化生（齊）：范圍改變師：請你根據(jù)剛才的探究進(jìn)行總結(jié)生：方程改變，曲線也在改變師：第（1）題大家做得非常好！接下來請完成第（2）題（學(xué)生獨(dú)立完成，時間2分鐘左右）師：請看這位同學(xué)作的圖形（圓），正確嗎？為什么？生：不正確，因?yàn)閳A的左半部分不符合要求（教師提出問題4，讓學(xué)生回答）生：x的取值范圍，方程的解師：方程的解的不同直接導(dǎo)致曲線的不同師：（指著黑板說）如果曲線與方程滿足類似的對應(yīng)關(guān)系，我們就稱曲線是方程的曲線，這個方程就是曲線的方程你能歸納出曲線的方程（方程的曲線）這概念的要點(diǎn)嗎？（教師適當(dāng)小結(jié)，請學(xué)生根據(jù)自己的感受書寫曲線與方程（方程與曲線）的概念）師：請說一說你對曲線的方程（方程的曲線）下的定義生：我認(rèn)為要滿足曲線的方程（方程的曲線），必須滿足以下兩條：（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；（2）以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上師：很準(zhǔn)確?。ń處煱鍟鴮W(xué)生所述內(nèi)容，并作適當(dāng)規(guī)范）師：你能舉例說明為什么要用兩個限制條件呢？可以缺某一個嗎？（學(xué)生思考回答）師：你能舉一個不滿足第二個限制條件的例子嗎？（學(xué)生思考回答）師：直線的方程、圓的方程這些概念用今天所學(xué)知識該如何理解？生：我認(rèn)為直線的方程、圓的方程的概念和曲線的方程這一概念是一致的，直線也算特殊的曲線，圓也算曲線的一種師：是的.你能舉例說明嗎？生：比如說“直線”表示方程表示的直線.探究活動的素材較好地起到了“先行組織者”的作用.通過教師的引導(dǎo)，讓學(xué)生感知方程的不同導(dǎo)致曲線的不同，教師再適時地改變曲線，導(dǎo)致方程的不同，讓學(xué)生多角度體驗(yàn)曲線與方程之間的關(guān)系.圓的方程的學(xué)習(xí)使得學(xué)生獨(dú)立完成作圖有了基礎(chǔ)但是對于方程的變化導(dǎo)致的曲線差異這一現(xiàn)象，學(xué)生還不太明白，需要教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)感知曲線與方程之間的關(guān)系.引導(dǎo)學(xué)生通過剛才對具體事例的觀察、分析，抽象概括共同的本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念.概念的明確與表示—下定義給出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述；對概念的辨析，通過學(xué)生舉反例來達(dá)成對概念的深入理解.概念的“結(jié)構(gòu)化”，對概念生成并做了適當(dāng)辨析和理解后，需要將概念與以前的學(xué)習(xí)進(jìn)行聯(lián)系.應(yīng)用舉例1例1已知平面直角坐標(biāo)系中,是端點(diǎn)為原點(diǎn)且其他所有點(diǎn)都在軸正半軸上的射線,判斷以及0)是否是的方程,如果都不是,寫出的方程.解可以看出,上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)必為0,即如果為上的點(diǎn),則必有;另一方面,縱坐標(biāo)為0的點(diǎn),當(dāng)橫坐標(biāo)小于0時,在軸的負(fù)半軸上,不在上.因此不是的方程.類似地,因?yàn)樯系狞c(diǎn)的橫坐標(biāo)大于等于0,所以上的點(diǎn)不滿足方程,因此這也不是的方程，由上述分析可知,的方程是.例2已知曲線的方程是,曲線的方程是,判斷與是否有交點(diǎn).如果有,求出交點(diǎn)坐標(biāo);如果沒有,說明理由.分析由曲線的方程的定義可知,一個點(diǎn)是兩條曲線的交點(diǎn)的充要條件是,該點(diǎn)的坐標(biāo)是這兩條曲線的方程的公共實(shí)數(shù)解,因此可以通過解方程組來判斷兩條曲線是否有交點(diǎn)等.解聯(lián)立兩個方程得方程組解方程組可得或或因此與有三個交點(diǎn),且交點(diǎn)坐標(biāo)為.教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀例1，并提出解決問題的方法學(xué)生嘗試求解，教師適時指導(dǎo)，評價，最后板書解答過程.教師引導(dǎo)學(xué)生完成對例2的分析過程，讓學(xué)生嘗試回答解題過程，教師點(diǎn)評，規(guī)范解答過程并板書.通過例題的解決，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用新知解決問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理核心素養(yǎng).再探新知探究活動:問題:得到曲線的方程之后,可以借助方程來研究曲線的性質(zhì)以及曲線之間的關(guān)系等.因此,如何得到曲線的方程呢?嘗試與發(fā)現(xiàn):已知是平面內(nèi)兩條互相垂直的直線,且曲線是到的距離的乘積等于1的點(diǎn)組成的集合.（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,寫出曲線的方程;（2）根據(jù)曲線的方程,說出曲線具有的性質(zhì),然后作出曲線.教師提出問題，學(xué)生思考后說出自己的想法，并討論交流.教師引導(dǎo)學(xué)生建系，尋找如何將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，并從充要條件的角度，根據(jù)曲線C的方程，說出它的性質(zhì)及作出曲線C.師：要解決第一個小問題，即求曲線C上的點(diǎn)所滿足的關(guān)系，第一步需要建系，而所要研究的問題中沒有確定的坐標(biāo)系，應(yīng)該怎么建系呢？生：分別以這兩條直線為x軸與y軸建立平面直角坐標(biāo)系.師：這是唯一的一種建系方式嗎？生：不是，但是是最適當(dāng)?shù)?師：建系之后的下一步是什么？生:不妨設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn),則接下來的關(guān)鍵是找出所滿足的條件.師:滿足什么條件?生:.師:也就是說上式即為曲線的方程.那么你能得到曲線有哪些性質(zhì)呢?生:且;生:若滿足曲線方程,則也滿足曲線的方程;生:由于乘積為定值,那么越來越大時,越來越小且接近于越來越小且接近于0時,越來越大.師：你能根據(jù)以上性質(zhì)，描述曲線C的特征嗎？生：根據(jù)性質(zhì)，可以得到曲線C滿足：與坐標(biāo)軸不相交，關(guān)于坐標(biāo)軸及原點(diǎn)對稱，坐標(biāo)軸是曲線C的漸近線.師：根據(jù)特征，只需要作出第一象限內(nèi)的部分即可，如何作圖呢？生：采用描點(diǎn)法作圖：列表、描點(diǎn)連線師：就像直線可以看成動點(diǎn)做直線運(yùn)動的軌跡、圓可以看成動點(diǎn)做圓周運(yùn)動的軌跡一樣，曲線一般都可以看成動點(diǎn)依某種條件運(yùn)動的軌跡，所以曲線的方程也常稱之為滿足某種條件的點(diǎn)的軌跡方程.培養(yǎng)學(xué)生的動腦思考能力.用代數(shù)、幾何的語言刻畫和表達(dá)種數(shù)學(xué)現(xiàn)象，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象與邏輯推理核心素養(yǎng).應(yīng)用舉例2例3已知動點(diǎn)到的距離與到的距離相等,求的軌跡方程,并指出軌跡曲線的形狀.解設(shè)的坐標(biāo)為,依照條件可知.由兩點(diǎn)之間的距離公式可知兩邊平方并化簡,得.可以檢驗(yàn),上式就是的軌跡方程,因此軌跡曲線是直線.例4已知動點(diǎn)到的距離與到的距離之比是,求的軌跡方程,并指出軌跡曲線的形狀.解設(shè)的坐標(biāo)為,依照條件可知.由兩點(diǎn)之間的距離公式可知,上式可用坐標(biāo)表示為，兩邊平方并化簡,得.可以檢驗(yàn),上式就是的軌跡方程.又因?yàn)閷④壽E方程左邊配方,可得,所以可知軌跡曲線是圓心為且半徑為2的圓.教師引導(dǎo)學(xué)生完成例3、例4,并總結(jié)出求動點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟.學(xué)生分析例3、例4,討論交流,發(fā)表自己的想法,完成解答過程,掌握求動點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟并學(xué)會靈活應(yīng)用.求動點(diǎn)軌跡方程的一般步驟:（1）設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為(如果沒有平面直角坐標(biāo)系,需先建立);（2）寫出要滿足的幾何條件,并將該幾何條件用的坐標(biāo)表示;（3）化簡并檢驗(yàn)所得方程是否為的軌跡方程.培養(yǎng)學(xué)生的知識運(yùn)用能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理核心素養(yǎng).歸納總結(jié)1.曲線的方程與方程的曲線2.求曲線的方程與根據(jù)方程研究曲線的性質(zhì).3.求動點(diǎn)M軌跡方程的一般步驟.教師引導(dǎo)學(xué)生分組回答，小組評價.鍛煉學(xué)生的歸納總結(jié)能力.布置作業(yè)教材第121頁習(xí)題2-4A第1~6題，習(xí)題2-4B第1~4題.學(xué)生課后完成，教師批閱.鞏固所學(xué)新知，提升能力.板書設(shè)計曲線與方程一、創(chuàng)設(shè)情境,導(dǎo)入新課二、作圖探究,形成概念曲線的方程(方程的曲線)的概念一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線與方程之間具有如下關(guān)系:（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解;（2）以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上.則稱曲線為方程的曲線,方程為曲線的方程這就是說,如果曲線的方程是,