目標突破課件：第一章 特殊平行四邊形

第一章特殊平行四邊形本章總結提升第一章特殊平行四邊形知識結構關系重點模塊總結綜合能力提升平行四邊形有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等且有一個角是直角有一個角是直角菱形正方形矩形有一個角是直角有一組鄰邊相等特殊平行四邊形知識結構關系模塊1菱形的性質與判定菱形的性質與判定有哪些？它與平行四邊形有何關系？你能用幾種方法計算菱形的面積？重點模塊總結例1如圖1－T－1所示，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點M，與BC相交于點N，與BD交于點O，連接BM，DN.(1)求證：四邊形BMDN是菱形；(2)若AB＝4，AD＝8，求MD的長．圖1－T－1[解析](1)根據矩形的性質得出AD∥BC，根據OB＝OD和AD∥BC推出DM＝BN，從而得出四邊形BMDN是平行四邊形，進而根據MN⊥BD推出四邊形BMDN是菱形．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠MDO＝∠NBO.∵MN是BD的垂直平分線，∴OB＝OD，BD⊥MN.在△DOM和△BON中，∵∠MDO＝∠NBO，OD＝OB，∠DOM＝∠BON，∴△DOM≌△BON，∴DM＝BN.又∵DM∥BN，∴四邊形BMDN是平行四邊形．又∵MN⊥BD，∴?BMDN是菱形．例1如圖1－T－1所示，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點M，與BC相交于點N，與BD交于點O，連接BM，DN.(2)若AB＝4，AD＝8，求MD的長．圖1－T－1[解析](2)根據菱形的性質求出MD＝MB，在Rt△AMB中，根據勾股定理列方程求解．解：(2)∵四邊形BMDN是菱形，∴MB＝MD.設MD＝x，則MB＝MD＝x，AM＝8－x.在Rt△AMB中，MB2＝AM2＋AB2，即x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5，即MD的長為5.模塊2矩形的性質與判定矩形的性質與判定有哪些？它與平行四邊形有何關系？矩形與菱形有何異同點？利用矩形對角線的性質可得到直角三角形的哪個性質？例2如圖1－T－2所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P為AD上一點，將△ABP沿BP翻折得到△EBP，PE與CD相交于點O，且OE＝OD，BE與CD相交于點G.(1)求證：AP＝DG；(2)求線段CG的長．圖1－T－2解：

(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8.根據題意，得△ABP≌△EBP，∴AP＝EP，∠A＝∠E＝90°，AB＝BE＝8.在△ODP和△OEG中，∵∠D＝∠E，OD＝OE，∠DOP＝∠EOG，∴△ODP≌△OEG(ASA)，∴OP＝OG，PD＝GE，∴OD＋OG＝OE＋OP，即DG＝EP，∴AP＝DG.例2如圖1－T－2所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P為AD上一點，將△ABP沿BP翻折得到△EBP，PE與CD相交于點O，且OE＝OD，BE與CD相交于點G.(2)求線段CG的長．圖1－T－2解：

(2)設AP＝EP＝x，則PD＝GE＝6－x，DG＝x，∴CG＝8－x，BG＝8－(6－x)＝2＋x.在Rt△BCG中，根據勾股定理，得BC2＋CG2＝BG2，即62＋(8－x)2＝(x＋2)2，解得x＝4.8，∴CG＝8－4.8＝3.2.【歸納總結】解決矩形中折疊問題的關鍵點：(1)抓住折疊的本質：①折起部分與重合部分是全等的；②利用軸對稱的性質(對稱軸垂直平分對應點所連線段)．(2)找出隱含的折疊前后的位置關系和數量關系．(3)結合三角形全等、勾股定理等知識，設出恰當的未知數，列出方程求解．例3如圖1－T－3，在?ABCD中，各內角的平分線相交于點E，F，G，H.(1)求證：四邊形EFGH是矩形；(2)若AB＝6，BC＝4，∠BAD＝60°，求四邊形EFGH的面積．圖1－T－3例3如圖1－T－3，在?ABCD中，各內角的平分線相交于點E，F，G，H.(2)若AB＝6，BC＝4，∠BAD＝60°，求四邊形EFGH的面積．圖1－T－3例4如圖1－T－4，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，E，F分別為DB，BC的中點，連接AE，EF，AF.(1)求證：AE＝EF；(2)當AF＝AE時，設∠ADB＝α，∠CDB＝β，求α，β之間的數量關系．圖1－T－3例4如圖1－T－4，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，E，F分別為DB，BC的中點，連接AE，EF，AF.(2)當AF＝AE時，設∠ADB＝α，∠CDB＝β，求α，β之間的數量關系．圖1－T－3解：(2)∵AE是Rt△ABD的斜邊BD上的中線，∴AE＝DE，∴∠ADB＝∠DAE，∴∠AEB＝2∠ADB＝2α.∵EF是△BCD的中位線，∴EF∥DC，∴∠FEB＝∠CDB＝β.由(1)知AE＝EF，又AF＝AE，∴AE＝EF＝AF，∴△AEF是等邊三角形，∴∠AEF＝60°，即∠AEF＝∠AEB＋∠FEB＝2α＋β＝60°，∴2α＋β＝60°.模塊3正方形的性質與判定正方形的性質與判定有哪些？四邊形、平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間有怎樣的關系？例5如圖1－T－5，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三個頂點E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，AD上，AH＝2，連接CF.(1)若DG＝2，求證：四邊形EFGH為正方形；(2)若DG＝6，求△FCG的面積．圖1－T－3[解析]

(1)通過證明Rt△DHG≌Rt△AEH，得到∠DHG＝∠AEH，從而得到∠GHE＝90°，然后根據有一個角為直角的菱形為正方形得到四邊形EFGH為正方形；解：(1)證明：∵四邊形EFGH為菱形，∴HG＝EH.∵AH＝2，DG＝2，∴DG＝AH.在Rt△DHG和Rt△AEH中，∵HG＝EH，DG＝AH，∴Rt△DHG≌Rt△AEH，∴∠DHG＝∠AEH.∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°.又∵四邊形EFGH為菱形，∴四邊形EFGH為正方形．例5如圖1－T－5，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三個頂點E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，AD上，AH＝2，連接CF.(2)若DG＝6，求△FCG的面積．圖1－T－3[解析](2)過點F作FQ⊥CD于點Q，連接GE，利用AB∥CD得到∠AEG＝∠QGE，再根據菱形的性質得HE＝FG，HE∥FG，則∠HEG＝∠FGE，所以∠AEH＝∠QGF，于是可證明△AEH≌△QGF，得到AH＝QF＝2，然后根據三角形面積公式求解．【歸納總結】正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形和菱形的所有性質，判定一個四邊形是正方形只需要保證它既是矩形又是菱形即可．例6如圖1－T－6①所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，點B，C，F在同一條直線上，M是線段AE的中點，連接DM，FM.(1)求證：DM⊥FM，DM＝FM；(2)如圖1－T－6②，若將“正方形ABCD和正方形CGEF”改為“菱形ABCD和菱形CGEF”，且∠BCD＝∠G＝120°，其他條件不變，則DM和FM又有怎樣的位置關系和數量關系？直接寫出結論．圖1－T－6綜合能力提升解：(1)證明：如圖，延長DM交GE于點N，連接DF，NF.∵四邊形ABCD和四邊形CGEF都是正方形，∴AD∥BC，BC∥GE，∴AD∥GE，∴∠DAM＝∠NEM.∵M是AE的中點，∴AM＝EM.又∵∠AMD＝∠EMN，∴△MAD≌△MEN，∴DM＝NM，AD＝EN.∵AD＝CD，∴CD＝EN.又∵CF＝EF，∠FCD＝∠FEN＝90°，∴△DCF≌△NEF，∴∠CFD＝∠EFN，DF＝NF.∵DM＝NM，∴FM平分∠DFN，且DM⊥FM.∵∠EFN＋∠CFN＝90°，∴∠CFD＋∠CFN＝90°，即∠DFN＝90°.∵DM＝NM，∴FM是Rt△DFN斜邊上的中線，