中考數(shù)學(xué)壓軸題專題突破41一次函數(shù)綜合問(wèn)題1

第10頁(yè)（共17頁(yè)）【中考?jí)狠S題專題突破41】一次函數(shù)綜合問(wèn)題（1）1．在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與直線OC：y1＝x交于點(diǎn)C．（1）當(dāng)直線AB解析式為y2＝﹣x+10時(shí)，如圖1．①求點(diǎn)C的坐標(biāo)；②根據(jù)圖象求出當(dāng)x滿足什么條件時(shí)﹣x+10＜x．（2）如圖2，作∠AOC的平分線ON，若AB⊥ON，垂足為E，△OAC的面積為9，且OA＝6．P，Q分別為線段OA、OE上的動(dòng)點(diǎn)，連接AQ與PQ，試探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值：若不存在，說(shuō)明理由．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝2x+6與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B的直線交x軸于點(diǎn)C，且AB＝BC．（1）求直線BC的解析式；（2）點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AP＝CQ，設(shè)點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為m，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含m的式子表示，不要求寫(xiě)出自變量m的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M在y軸負(fù)半軸上，且MP＝MQ，若∠BQM＝45°，求直線PQ的解析式．3．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，OB＝10，F(xiàn)是y軸正半軸上一點(diǎn)．（1）若OF＝2，求直線BF的解析式；（2）設(shè)OF＝t，△OBF的面積為s，求s與t的函數(shù)關(guān)系（直接寫(xiě)出自變量t的取值范圍）；（3）如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)B作BA⊥x軸，點(diǎn)C在x軸上，OF＝OC，連接AC，CD⊥直線BF于點(diǎn)D，∠ACB＝2∠CBD，AC＝13，OF＝OC，AC．BD交于點(diǎn)E，求此時(shí)t的值．4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1：y＝k1x+6與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且OB＝OA，直線l2：y＝k2x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（，1），與x軸、y軸、直線AB分別交于點(diǎn)E、F、D三點(diǎn)．（1）求直線l1的解析式；（2）如圖1，連接CB，當(dāng)CD⊥AB時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)和△BCD的面積；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)Q，使△QCD是以CD為底邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．對(duì)于兩個(gè)一次函數(shù)y1＝k1x+b1和y2＝k2x+b2（其中k1、k2、b1，b2均為常數(shù)且k1、k2均不為0），任取一個(gè)自變量x，當(dāng)x＜0時(shí)，y＝y(tǒng)12+y2；當(dāng)x≥0時(shí)，y＝y(tǒng)12﹣y2，我們稱這樣的函數(shù)為函數(shù)y1＝k1x+b1和y2＝k2x+b2的“組合函數(shù)”．例如：y1＝x﹣1和y2＝x+1的“組合函數(shù)“為y＝（1）已知一次函數(shù)y1＝x﹣1和y2＝4x﹣1．①求一次函數(shù)y1＝x﹣1和y2＝4x﹣1的“組合函數(shù)”所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．②一次函數(shù)y1＝x﹣1和y2＝4x﹣1的“組合函數(shù)”的函數(shù)值y隨x的增大而減小時(shí)，x的取值范圍是．③當(dāng)﹣4≤x≤4時(shí)，該“組合函數(shù)”的函數(shù)值y的取值范圍是．（2）記一次函數(shù)y1＝x﹣n（n＞0）和y2＝4nx+n2（其中n為常數(shù)）的“組合函數(shù)”的圖象為G．①當(dāng)n＝1時(shí)，若直線y＝a（a為常數(shù)）與圖象G有三個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，記三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1、x2、x3（x1＜x2＜x3），求x1+x2+x3的取值范圍．②在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的對(duì)稱中心與原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)B在第二象限．圖象G與正方形ABCD的邊恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出n的取值范圍．6．如圖，點(diǎn)O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，直線y＝kx+3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，OA＝OB．（1）求k的值；（2）點(diǎn)P為第一象限內(nèi)線段AB上方一點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，），連接PA，PB，設(shè)△PAB的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，在PB上方取一點(diǎn)C，連接BC，PC，使∠BCP＝90°，且BC＝PC．點(diǎn)D在線段AP上，且橫坐標(biāo)為，連接OC，CD，當(dāng)∠OCD＝45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【中考?jí)狠S題專題突破41】一次函數(shù)綜合問(wèn)題（1）參考答案與試題解析1．解：（1）①由題意，，解得：，所以C（4，4）．②觀察圖象可知x＞4時(shí)，直線AB位于直線OC的下方，即x＞4時(shí)，﹣x+10＜x．（2）由題意，在OC上截取OM＝OP，連結(jié)MQ，∵ON平分∠AOC，∴∠AOQ＝∠COQ，又OQ＝OQ．∴△POQ≌△MOQ（SAS），∴PQ＝MQ，∴AQ+PQ＝AQ+MQ，當(dāng)A、Q、M在同一直銭上，且AM⊥OC吋，AQ+MQ最小，即AQ+PQ存在最小値；∴AB⊥ON，∴∠AEO＝∠CEO，∴△AEO≌△CEO（ASA），∴OC＝OA＝6，∵△OAC的面積為9，∴OC?AM＝9，∴AM＝3，∴AQ+PQ存在最小值，最小值為3．2．解：（1）∵直線y＝2x+6與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，∴點(diǎn)B（0，6），點(diǎn)A（﹣3，0）∴AO＝3，BO＝6，∵AB＝BC，BO⊥AC，∴AO＝CO＝3，∴點(diǎn)C（3，0），設(shè)直線BC解析式為：y＝kx+b，則，解得：∴直線BC解析式為：y＝﹣2x+6；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)Q作HQ⊥AC于點(diǎn)H，∵點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為m，∴點(diǎn)Q（m，﹣2m+6），∵AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA＝∠CHQ，∠PGA＝∠QHC＝90°，AP＝CQ，∴△PGA≌△QHC（AAS），∴PG＝HQ＝2m﹣6，故點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：2m﹣6，直線AB的表達(dá)式為：y＝2x+6，即2m﹣6＝2x+6，解得：x＝m﹣6，故點(diǎn)P（m﹣6，2m﹣6）；（3）如圖2，連接AM，CM，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC，∵AB＝BC，BO⊥AC，∴BO是AC的垂直平分線，∴AM＝CM，且AP＝CQ，PM＝MQ，∴△APM≌△CQM（SSS）∴∠PAM＝∠MCQ，∠BQM＝∠APM＝45°，∵AM＝CM，AB＝BC，BM＝BM，∴△ABM≌△CBM（SSS）∴∠BAM＝∠BCM，∴∠BCM＝∠MCQ，且∠BCM+∠MCQ＝180°，∴∠BCM＝∠MCQ＝∠PAM＝90°，且∠APM＝45°，∴∠APM＝∠AMP＝45°，∴AP＝AM，∵∠PAO+∠MAO＝90°，∠MAO+∠AMO＝90°，∴∠PAO＝∠AMO，且∠PEA＝∠AOM＝90°，AM＝AP，∴△APE≌△MAO（AAS）∴AE＝OM，PE＝AO＝3，∴2m﹣6＝3，∴m＝，∴Q（，﹣3），P（﹣，3）設(shè)直線PQ的解析式為：y＝ax+c，∴，解得：∴直線PQ的解析式為：y＝﹣x+．3．解：（1）∵OB＝10，OF＝2，∴B（﹣10，0），F(xiàn)（0，2），設(shè)直線BF的解析式為y＝kx+b，∵直線y＝kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（﹣10，0），F(xiàn)（0，2），∴，解得：，∴直線BF的解析式為y＝x+2；（2）△OBF的面積為S＝＝5t（t＞0）；（3）如圖，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)R，使BR＝AB，連接CR，延長(zhǎng)CD交y軸于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)T，作TM∥x軸交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)T作TK⊥CR交RC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，連接RT，∵AB⊥BC，AB＝BR，∴BC垂直平分AR，∴AC＝CR＝13，∴∠ACB＝∠RCB，設(shè)∠CBD＝α，則∠ACB＝2α，∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD＝90°﹣α，∵∠ACB＝∠RCB＝2α，∴∠ACK＝180°﹣4α，∴∠KCT＝∠BCK﹣∠BCD＝∠BCA+∠ACK﹣∠BCD＝90°﹣α，∴∠KCT＝∠BCD，∵TK⊥KR，OT⊥OC，∴OT＝TK，∵TC＝TC，∴Rt△OTC≌Rt△KTC（HL），∴OC＝CK＝TK＝t，∵OF＝OC，∠BOF＝∠TOC，∠FBO＝∠OTC，∴△BOF≌△TOC（AAS），∴OB＝OT＝10，∴TK＝10，∵∠ABO+∠BOT＝90°+90°＝180°．∴MB∥OT，∵M(jìn)T∥OB，∴四邊形OBMT為平行四邊形，∵OB＝OT，∠BOT＝90°．∴四邊形OBMT為正方形，∴MB＝MT＝OT＝10，∴MT＝TK，∵RT＝RT，∴Rt△RMT≌Rt△RTK（HL），∴RK＝RM＝CR+CK＝13+t，∴BR＝RM﹣MB＝3+t，∵BC＝OB+OC＝10+t，在Rt△BRC中，BR2+BC2＝RC2，∴（3+t）2+（10+t）2＝132，解得：t＝2（t＝﹣15舍去）．∴t的值為2．4．解：（1）y＝k1x+6，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝6，∴OB＝6，∵OB＝OA，∴OA＝2，∴A（﹣2，0），把A（﹣2，0）代入：y＝k1x+6中得：﹣2k1+6＝0，k1＝，∴直線l1的解析式為：y＝x+6；（2）如圖1，過(guò)C作CH⊥x軸于H，∵C（，1），∴OH＝，CH＝1，Rt△ABO中，AB＝＝4，∴AB＝2OA，∴∠OBA＝30°，∠OAB＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝30°，∴EH＝，∴OE＝OH+EH＝2，∴E（2，0），把E（2，0）和C（，1）代入y＝k2x+b中得：，解得：，∴直線l2：y＝﹣x+2，∴F（0，2）即BF＝6﹣2＝4，則，解得，∴D（﹣，3），∴S△BCD＝BF（xC﹣xD）＝＝4；（3）分四種情況：①當(dāng)Q在y軸的正半軸上時(shí)，如圖2，過(guò)D作DM⊥y軸于M，過(guò)C作CN⊥y軸于N，∵△QCD是以CD為底邊的等腰直角三角形，∴∠CQD＝90°，CQ＝DQ，∴∠DMQ＝∠CNQ＝90°，∴∠MDQ＝∠CQN，∴△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，設(shè)D（m，m+6）（m＜0），則Q（0，﹣m+1），∴OQ＝QN+ON＝OM+QM，即﹣m+1＝m+6+，m＝＝1﹣2，∴Q（0，2）；②當(dāng)Q在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，如圖3，過(guò)D作DM⊥x軸于M，過(guò)C作CN⊥x軸于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，設(shè)D（m，m+6）（m＜0），則Q（m+1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM﹣QM，即m+6﹣＝﹣m﹣1，m＝5﹣4，∴Q（6﹣4，0）；③當(dāng)Q在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，如圖4，過(guò)D作DM⊥x軸于M，過(guò)C作CN⊥x軸于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，設(shè)D（m，m+6）（m＜0），則Q（m﹣1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6﹣＝﹣m+1，m＝﹣4﹣5，∴Q（﹣4﹣6，0）；④當(dāng)Q在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，如圖5，過(guò)D作DM⊥y軸于M，過(guò)C作CN⊥y軸于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，設(shè)D（m，m+6）（m＜0），則Q（0，m+1），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6+＝﹣m﹣1，m＝﹣2﹣1，∴Q（0，﹣2）；綜上，存在點(diǎn)Q，使△QCD是以CD為底邊的等腰直角三角形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（0，±2）或（6﹣4，0）或（﹣4﹣6，0）．5．解：（1）①當(dāng)x≥0時(shí)，y＝y(tǒng)12﹣y2，＝（x﹣1）2﹣（4x﹣1）＝x2﹣6x+2，當(dāng)x＜0時(shí)，y＝y(tǒng)12+y2＝，＝（x﹣1）2+（4x﹣1）＝x2+2x，∴y＝②∵當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)解析式為：y＝x2﹣6x+2，∴當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y隨x的增大而減?。?dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)解析式為：y＝x2+2x，∴x≤﹣1時(shí)，y隨x的增大而減?。蚀鸢笧椋簒≤﹣1或0≤x≤3；③∵當(dāng)﹣4≤x＜0時(shí)，函數(shù)解析式為：y＝x2+2x，∴﹣1≤y≤8，當(dāng)0≤x≤4時(shí)，函數(shù)解析式為：y＝x2﹣6x+2，∴﹣7≤y≤2，∴當(dāng)﹣4≤x≤4時(shí)，﹣7≤y≤8；故答案為：﹣7≤y≤8；（2）①當(dāng)n＝1時(shí)，y1＝x﹣1，y2＝4x+1，∴組合函數(shù)為：y＝∵直線y＝a（a為常數(shù)）與圖象G有三個(gè)不同的交點(diǎn)，∴1＜a＜2，∴當(dāng)x2﹣6x＝1時(shí)，x＝3+，x＝3﹣（舍去），當(dāng)x2﹣6x＝2時(shí)，x＝3+，x＝3﹣（舍去），∵x1+x2＝﹣2，∴1+＜x1+x2+x3＜1+；②∵一次函數(shù)y1＝x﹣n（n＞0）和y2＝4nx+n2，∴組合函數(shù)y＝若y＝x2﹣6nx（x＞0）的頂點(diǎn)在正方形ABCD內(nèi)時(shí)，∴﹣9n2＞﹣2，0＜3n＜2，∴n2＜，且0＜n＜，∴0＜n＜，此時(shí)y＝x2+2nx+2n2與正方形ABCD的邊也有1個(gè)交點(diǎn)，∴0＜n＜符合題意；若y＝x2﹣6nx（x＞0）的頂點(diǎn)不在正方形ABCD內(nèi)部時(shí)，且與正方形ABCD的邊有一個(gè)交點(diǎn)，∴22﹣6×n×2＜﹣2，∴n＞即y＝x2+2nx+2n2與正方形ABCD的邊有一個(gè)交點(diǎn)，∴2n2≤2∴n≤1，∴＜n≤1；若y＝x2+2nx+2n2的頂點(diǎn)在正方形ABCD的AB邊上時(shí)，圖象G與正方形ABCD的邊恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)，∴n2＝2，∴n＝，綜上所述：當(dāng)0＜n＜或＜n≤1或n＝時(shí)，圖象G與正方形ABCD的邊恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)．6．解：（1）∵直線y＝kx+3交y軸于點(diǎn)B，∴點(diǎn)B坐標(biāo)（0，3），∴OB＝3，∵OA＝OB＝3，∴點(diǎn)A（3，0），∴0＝3k+3，∴k＝﹣1；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥OA，交AB于點(diǎn)Q，由（1）知，AB的解析式為：y＝﹣x+3，∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，），∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，﹣t+3），∴PQ＝t+，∵，∴；（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OA于M，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥OA于N，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥OC，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接