2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時達標(biāo)訓(xùn)練七等差數(shù)列的概念及通項公式含解析新人教A版必修5

PAGEPAGE1課時達標(biāo)訓(xùn)練(七)等差數(shù)列的概念及通項公式[即時達標(biāo)對點練]題組1等差數(shù)列的推斷1．給出下列數(shù)列：(1)0，0，0，0，0，…；(2)1，11，111，1111，…；(3)2，22，23，24，…；(4)－5，－3，－1，1，3，…；(5)1，2，3，5，8，….其中等差數(shù)列有()A．1個B．2個C．3個D．4個解析：選B依據(jù)等差數(shù)列的定義可知(1)、(4)是等差數(shù)列，故選B.2．?dāng)?shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列{dan}是()A．公差為d的等差數(shù)列B．公差為2d的等差數(shù)列C．公差為d2的等差數(shù)列D．公差為4d的等差數(shù)列解析：選C由于dan－dan－1＝d(an－an－1)＝d2，故選C.3．已知數(shù)列{an}滿意a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否為等差數(shù)列？說明理由．解：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，理由如下：因為a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋2,2an)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,an)，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)為首項，eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列．題組2等差中項的應(yīng)用4．等差數(shù)列的前3項依次是x－1，x＋1，2x＋3，則其通項公式為()A．a(chǎn)n＝2n－5B．a(chǎn)n＝2n－3C．a(chǎn)n＝2n－1D．a(chǎn)n＝2n＋1解析：選B∵x－1，x＋1，2x＋3是等差數(shù)列的前3項，∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，∴d＝2，∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3.5．已知1，x，y，10構(gòu)成等差數(shù)列，則x，y的值分別為________．解析：由已知，x是1和y的等差中項，即2x＝1＋y，①y是x和10的等差中項，即2y＝x＋10，②由①②可解得x＝4，y＝7.答案：4，76．若eq\f(1,b＋c)，eq\f(1,c＋a)，eq\f(1,a＋b)是等差數(shù)列，求證：a2，b2，c2成等差數(shù)列．證明：∵eq\f(1,b＋c)，eq\f(1,c＋a)，eq\f(1,a＋b)是等差數(shù)列，∴eq\f(1,b＋c)＋eq\f(1,a＋b)＝eq\f(2,c＋a).整理得(a＋b)(c＋a)＋(b＋c)(c＋a)＝2(a＋b)(b＋c)，即(c＋a)(a＋c＋2b)＝2(a＋b)(b＋c)，即2ac＋2ab＋2bc＋a2＋c2＝2ab＋2ac＋2bc＋2b有a2＋c2＝2b2.∴a2，b2，c2成等差數(shù)列．題組3等差數(shù)列的通項公式7．在等差數(shù)列{an}中，a2＝2，a3＝4，則a10＝()A．12B．14C．16D．解析：選D由題意知，d＝a3－a2＝4－2＝2，a1＝a2－d＝2－2＝0.所以a10＝a1＋9d＝18.8．在等差數(shù)列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，則a1等于()A．－9B．－8C．－7D解析：選B由an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，得d＝eq\f(an－am,n－m).∴d＝eq\f(a6－a4,6－4)＝eq\f(6,6－4)＝3.∴a1＝a2－d＝－8.9．等差數(shù)列1，－1，－3，…，－89的項數(shù)是()A．45B．46C．47D．92解析：選B由題意知，等差數(shù)列的首項a1＝1，公差d＝－2，且an＝－89.由an＝a1＋(n－1)d，解得n＝46.故選B.10．已知等差數(shù)列{an}滿意a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求數(shù)列{a解：在等差數(shù)列{an}中，∵a2＋a3＋a4＝18，∴3a3＝18，a3＝6.故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋a4＝12，,a2·a4＝11，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝11，,a4＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,a4＝11.))當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝11，,a4＝1))時，a1＝16，d＝－5.an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)·(－5)＝－5n＋21.當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,a4＝11))時，a1＝－4，d＝5.an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)·5＝5n－9.[實力提升綜合練]1．在等差數(shù)列{an}中，首項a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a10，則k＝()A．45B．46C．47D．解析：選B因為ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a10，所以a1＋(k－1)d＝10a1＋45d.因為a1＝0，公差d≠0所以(k－1)d＝45d.解得k＝46.2．一個首項為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，若前6項均為正數(shù)，第7項起為負(fù)數(shù)，則它的公差是()A．－2B．－3C．－4D解析：選C設(shè)公差為d，則an＝23＋(n－1)d.由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a6>0，,a7<0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(23＋5d>0，,23＋6d<0，))解得－eq\f(23,5)<d<－eq\f(23,6).又因為d為整數(shù)，故d＝－4.3．已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，且a1＝1，a4＝4，則a10＝()A．－eq\f(4,5)B．－eq\f(5,4)C.eq\f(4,13)D.eq\f(13,4)解析：選A設(shè)等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的公差為d，則eq\f(1,a4)－eq\f(1,a1)＝3d＝－eq\f(3,4)，d＝－eq\f(1,4)，∴eq\f(1,a10)＝eq\f(1,a1)＋9d＝1－eq\f(9,4)＝－eq\f(5,4)，a10＝－eq\f(4,5).故選A.4．已知x≠y，且兩個數(shù)列x，a1，a2，…，am，y與x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差數(shù)列，則eq\f(a2－a1,b2－b1)等于()A.eq\f(m,n)B.eq\f(m＋1,n＋1)C.eq\f(n,m)D.eq\f(n＋1,m＋1)解析：選D設(shè)這兩個等差數(shù)列的公差分別是d1，d2，則a2－a1＝d1，b2－b1＝d2，第一個數(shù)列共(m＋2)項，∴d1＝eq\f(y－x,m＋1)；其次個數(shù)列共(n＋2)項，∴d2＝eq\f(y－x,n＋1).這樣可求出eq\f(a2－a1,b2－b1)＝eq\f(d1,d2)＝eq\f(n＋1,m＋1).5．在數(shù)列{an}中，a1＝3，且對于隨意大于1的正整數(shù)n，點(eq\r(an)，eq\r(an－1))都在直線x－y－eq\r(3)＝0上，則an＝________．解析：由題意得eq\r(an)－eq\r(an－1)＝eq\r(3)，所以數(shù)列{eq\r(an)}是首項為eq\r(3)，公差為eq\r(3)的等差數(shù)列，所以eq\r(an)＝eq\r(3)n，an＝3n2.答案：3n26．已知△ABC的一個內(nèi)角為120°，并且三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則△ABC的面積為________．解析：由于三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，故可設(shè)三邊長分別為x－4，x，x＋4.由一個內(nèi)角為120°，知其必是最長邊x＋4所對的角．由余弦定理得，(x＋4)2＝x2＋(x－4)2－2x(x－4)·cos120°，∴2x2－20x＝0，∴x＝0(舍去)或x＝10，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×(10－4)×10×sin120°＝15eq\r(3).答案：15eq\r(3)7．已知等差數(shù)列{an}：3，7，11，15，….(1)135，4m＋19(m∈N*)是數(shù)列{an}(2)若ap，aq(p，q∈N*)是數(shù)列{an}中的項，則2ap＋3aq是數(shù)列{an}中的項嗎？并說明你的理由．解：∵a1＝3，d＝4，∴an＝a1＋(n－1)d＝4n－1.(1)令an＝4n－1＝135，∴n＝34，∴135是數(shù)列{an}中的第34項．令an＝4n－1＝4m＋19則n＝m＋5∈N*.∴4m＋19是{an}中的第m(2)∵ap，aq是{an}中的項，∴ap＝4p－1，aq＝4q－1.∴2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1)＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1，∵2p＋3q－1∈N*，∴2ap＋3aq是{an}中的第2p＋3q－1項．8．?dāng)?shù)列{an}滿意a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，λ是常數(shù)．(1)當(dāng)a2＝－1時，求λ及a3的值；(2)是否存在實數(shù)λ使數(shù)列{an}為等差數(shù)列？若存在，求出λ及數(shù)列{an}的通項公式；若不存在，請說明理由．解：(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，且a1＝1.所以當(dāng)a2＝－1時，得－1＝2－λ，故λ＝3.從而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－