2019-2021北京高一(上)期末數(shù)學(xué)匯編：利用基本不等式求最值

1/12019-2021北京高一（上）期末數(shù)學(xué)匯編利用基本不等式求最值一、單選題1．（2020·北京東城·高一期末）“，為正數(shù)”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2019·北京東城·高一期末）若實數(shù)x，y滿足，則的最大值為A．1 B． C． D．二、填空題3．（2021·北京朝陽·高一期末）已知，，且，則的最大值為______.4．（2020·北京石景山·高一期末）已知，且，則的最大值為_____．5．（2020·北京密云·高一期末）函數(shù)的最小值為__________．三、雙空題6．（2021·北京昌平·高一期末）已知，則的最小值為_____，當(dāng)取得最小值時的值為______.7．（2021·北京東城·高一期末）某地原有一座外形近似為長方體且底面面積為150平方米的蓄水池，受地形所限，底面長和寬都不超過18米．現(xiàn)將該蓄水池在原有占地面積和高度不變的條件下，重建為兩個相連的小蓄水池，其底面由兩個長方形組成（如圖所示）.若池壁的重建價格為每平方米300元，池底重建價格每平方米80元，那么要使重建價最低，蓄水池的長和寬分別為____，____．8．（2019·北京西城·高一期末）函數(shù)的最小值是_____，此時_____.9．（2020·北京平谷·高一期末）已知函數(shù)，那么當(dāng)=________時，_函數(shù)的最小值為________.10．（2019·北京海淀·高一期末）函數(shù)的最大值為______,此時的值為______.

參考答案1．D【解析】通過舉反例可得答案.【詳解】當(dāng)時，，故“，為正數(shù)”是“”的不充分條件當(dāng)時，滿足，但不滿足，為正數(shù)，故“，為正數(shù)”是“”的不必要條件綜上：“，為正數(shù)”是“”的既不充分也不必要條件故選：D【點睛】本題考查的是充分條件和必要條件的判斷，較簡單.2．C【分析】根據(jù)，即可求出最大值．【詳解】解：實數(shù)x，y滿足，，，當(dāng)，時取等號，故選C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了運算和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．3．【解析】利用基本不等式直接求解即可.【詳解】解：因為，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，所以的最大值為，故答案為：【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.4．【解析】由，為定值，運用均值不等式求的最大值即可.【詳解】,,,當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即，而，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最大值為2，故答案為：2【點睛】本題主要考查了基本不等值求積的最大值，對數(shù)的運算，屬于中檔題.5．【分析】利用基本不等式即可求解.

【詳解】解:，函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)，即時，上式取等號.故答案為:.【點睛】本題主要考查基本不等式，利用基本不等式的條件是“一正、二定、三相等”，屬于基礎(chǔ)題.6．

【解析】利用基本不等式求出最小值以及取得最小值時的值．【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號故答案為：7．

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10【解析】設(shè)原蓄水池的長、寬、高分別為a，b，h，重建價格為y，根據(jù)題意有，且，，利用基本不等式即可得解.【詳解】設(shè)原蓄水池的長、寬、高分別為a，b，h，重建價格為y，根據(jù)題意有，且，則重建的池壁造價為，重建的池底造價為，，當(dāng)，即，時取得最小值，此時，.故答案為：15，10.8．

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2【解析】由題知，又由，結(jié)合基本不等式即可求解．【詳解】∵，∴，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)即時，函數(shù)取得最小值．故答案為：①3；②2．【點睛】關(guān)鍵點點睛：該題主要考查了利用基本不等式求解最值，在求解的過程中，時刻關(guān)注利用基本不等式求最值的三個條件：一正、二定、三相等，考查學(xué)生的運算求解能力．9．

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4【解析】利用基本不等式可以直接求解即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即時，函數(shù)的最小值為4.故答案為：2；4【點睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.10．

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