找準(zhǔn)“出發(fā)點(diǎn)”-占領(lǐng)制高點(diǎn)

找準(zhǔn)“出發(fā)點(diǎn)”占領(lǐng)“制高點(diǎn)”——對(duì)立體幾何專題復(fù)習(xí)的幾點(diǎn)思考

①認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)。②能畫出簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等簡(jiǎn)易組合）的三視圖，能識(shí)別上述的三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)法畫出它們的直觀圖。一、考綱要求(一)立體幾何初步1、空間幾何體（1）《全國(guó)考試大綱》《全國(guó)考試說(shuō)明》與《福建考試說(shuō)明》要求相同的內(nèi)容（2）存在的差異

立體幾何初步福建考試說(shuō)明要求全國(guó)考試大綱要求全國(guó)考試說(shuō)明要求③了解平行投影與中心投影,

了解空間圖形的不同表示形式。③會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式。③會(huì)用平行投影方法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式。④會(huì)畫某些建筑物的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求）。與福建考試說(shuō)明要求相同全國(guó)考試說(shuō)明未涉及⑤了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）。了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式。與全國(guó)考試大綱要求相同2、點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（要求相同）

①理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解可以作為推理依據(jù)的4個(gè)公理和1個(gè)定理。②以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理(判定定理和性質(zhì)定理各4個(gè)（略），其中性質(zhì)定理要求能夠證明).③能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題。(二)空間向量與立體幾何（理科要求）（1）空間向量及其運(yùn)算

①了解空間向量的概念和空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。②掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.③掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.

①理解直線的方向向量與平面的法向量。②能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系。③能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）。

④能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，了解向量方法在研究幾何問(wèn)題中的應(yīng)用.（2）空間向量的應(yīng)用二、考點(diǎn)分布2011年——2015年全國(guó)新課標(biāo)卷與福建卷考點(diǎn)分布統(tǒng)計(jì)表年份題型全國(guó)課標(biāo)Ⅰ卷（理科）福建卷（理科）全國(guó)課標(biāo)Ⅰ卷（文科）福建卷（文科）2011選擇題（6）三視圖、圓錐、三棱錐（8）三視圖、圓錐、三棱錐（同理6）填空題(15）球、四棱錐及體積（12）三棱錐及體積（16）圓錐、球、表面積及體積（15）以正方體為載體,考查直線與直線、直線與平面位置關(guān)系解答題（18）以四棱錐為載體，考查線線垂直的判定，求二面角（20）以四棱錐為載體，考查面面垂直的判定、線面角、距離（18）以四棱錐為載體，考查線線垂直的判定，求三棱錐的高（與理18成姊妹題）（18）以四棱錐為載體，考查線面垂直的判定，求四棱錐體積年份題型全國(guó)課標(biāo)Ⅰ卷（理科）福建卷（理科）全國(guó)課標(biāo)Ⅰ卷（文科）福建卷（文科）2012選擇題（7）三視圖、三棱錐及體積（11）球、三棱錐及體積（4）幾何體的三視圖、直觀圖（7）三視圖、三棱錐及體積（同理7）（8）球及體積（4）幾何體的三視圖、直觀圖（同理4）解答題（19）以直三棱柱為載體，考查線線垂直的判定，求二面角（18）以長(zhǎng)方體為載體，考查平行與垂直的關(guān)系及二面角等（19）以直三棱柱為載體，考查面面垂直的判定、體積（與理19成姊妹題）（19）以長(zhǎng)方體為載體，考查三棱錐體積、垂直關(guān)系的判定年份題型全國(guó)課標(biāo)Ⅰ卷（理科）福建卷（理科）全國(guó)課標(biāo)Ⅰ卷（文科）福建卷（文科）2013選擇題⑹正方體、球及體積⑻幾何體的三視圖、直觀圖、組合體體積⑾幾何體的三視圖、直觀圖、組合體體積（同理8）填空題⑿三視圖，正方體、球及表面積⒂球及表面積解答題⒅以斜棱柱為載體，考查線線垂直的判定，求線面角⒆以直四棱柱為載體，考查線面垂直的判定、線面角、柱體的概念及表面積等⒆以斜棱柱為載體,考查線線垂直的判定，求三棱柱體積（與理18成姊妹題）⒅以四棱錐為載體，考查三視圖、線面平行的判定，求三棱錐體積年份題型全國(guó)課標(biāo)Ⅰ卷（理科）福建卷（理科）全國(guó)課標(biāo)Ⅰ卷（文科）福建卷（文科）2014選擇題⑿三視圖、三棱錐及棱長(zhǎng)⑵幾何體的三視圖、直觀圖⑻幾何體的三視圖、直觀圖⑶圓柱及側(cè)面積解答題⒆以斜三棱柱為載體，考查垂直關(guān)系，求二面角⒄考查垂直關(guān)系的判定，求線面角⒆以斜三棱柱為載體，考查垂直關(guān)系的判定，求三棱柱的高（與理19成姊妹題）⒆以三棱錐為載體，考查垂直關(guān)系的判定，求三棱錐體積年份題型全國(guó)課標(biāo)Ⅰ卷（理科）福建卷（理科）全國(guó)課標(biāo)Ⅰ卷（文科）福建卷（文科）2015選擇題⑹圓錐及體積⑾三視圖、球的表面積、圓柱的側(cè)面積（7）空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的判定⑹圓錐及體積（同理6）⑾三視圖、球的表面積、圓柱的側(cè)面積（同理11）⑼三視圖、直四棱柱表面積解答題⒅考查面面垂直的判定，求異面直線所成角⒄考查線面平行的判定，求二面角⒅以四棱錐為載體，考查面面垂直的判定、三棱錐的體積及側(cè)面積⒇以圓錐為載體，考查線面垂直的判定及三棱錐體積1、突出三視圖問(wèn)題的考查

全國(guó)新課標(biāo)卷每年都考查三視圖問(wèn)題，從考查形式來(lái)看,以選擇題、填空題為主。對(duì)有關(guān)三視圖試題進(jìn)行分析，可以感受到全國(guó)新課標(biāo)卷對(duì)空間想象能力的考查比福建卷要求更高。

縱觀2011年——2015年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷高考試題，對(duì)立體幾何部分的考查主要集中在以下幾個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題：

說(shuō)明：由空間幾何體的三視圖可知，圓柱的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都不可能是三角形，所以易得該幾何體不可能是圓柱。

說(shuō)明：由正視圖、側(cè)視圖、俯視圖形狀，可判斷該幾何體為四面體，且四面體的長(zhǎng)、寬、高均為4個(gè)單位,因此可考慮把四面體置于棱長(zhǎng)為4個(gè)單位的正方體中（如圖1—2），求出最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，需要考生具備較強(qiáng)的空間想象能力。圖1—1圖1—2從全國(guó)新課標(biāo)卷來(lái)看，這部分內(nèi)容主要考查以下兩個(gè)方面的內(nèi)容：一是幾何體三視圖的識(shí)別與判斷；二是簡(jiǎn)單幾何體（包括簡(jiǎn)易組合體）的三視圖與幾何體的表面積、體積的求解問(wèn)題。常見(jiàn)考點(diǎn)一：空間幾何體三視圖的識(shí)別與判斷

說(shuō)明：由俯視圖和正視圖可知,該幾何體可看成是由一個(gè)半圓錐和一個(gè)三棱錐組合而成，且三棱錐的一個(gè)面恰為半圓錐的最大軸截面,故相應(yīng)的側(cè)視圖為選項(xiàng)D。圖2—1圖2—2常見(jiàn)考點(diǎn)二：簡(jiǎn)單幾何體（包括簡(jiǎn)易組合體）的三視圖與幾何體的表面積、體積的求解問(wèn)題說(shuō)明：本題主要考查空間幾何體的三視圖，幾何體的表面積的計(jì)算，考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力。要求考生能夠準(zhǔn)確地由三視圖判斷出該幾何體是底面為等腰直角三角形的三棱錐，進(jìn)而畫出直觀圖，求出它的全面積。圖3

2、突出球類問(wèn)題的考查球作為優(yōu)美幾何體的典型代表，在新課標(biāo)全國(guó)卷中屢屢出現(xiàn)。近5年來(lái)，全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷只有2014年沒(méi)有考查球的問(wèn)題，其他年份都考，而福建卷很少涉及。在以球?yàn)檩d體的問(wèn)題中：一是考查球的表面積、體積及距離等基本量的計(jì)算。二是考查球與多面體的相切接，較好地考查了學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力。說(shuō)明：本題考查球內(nèi)接圓錐問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是確定球心、圓錐底面圓心與兩圓錐頂點(diǎn)之間的關(guān)系。圖4

3、注重對(duì)平行、垂直特別是垂直關(guān)系的考查

全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷文理科解答題將垂直關(guān)系作為考查的重點(diǎn)。近5年來(lái)，全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷在解答題中都考查垂直關(guān)系，未涉及平行問(wèn)題，且5年中有3年都考查了直線與直線垂直的判定。全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷常考查平行問(wèn)題。說(shuō)明：本題考查直線、平面垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)，考查直線與平面所成角的求法。說(shuō)明：本題考查直線與平面平行的判定，考查二面角知識(shí)的應(yīng)用，幾何體體積的計(jì)算等。圖5—1圖5—2

分析：本題證明“線線垂直”必須通過(guò)“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化。取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OC，OA1，A1B，可得OC⊥AB，OA1⊥AB，所以AB⊥平面OA1C，故AB⊥A1C.圖5—1圖5—2

4、突出對(duì)空間角的考查新課標(biāo)卷對(duì)立體幾何解答題的考查，一般分成兩部分，前一部分主要考查空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，后一部分主要考查空間角的計(jì)算問(wèn)題。對(duì)空間角問(wèn)題，全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷特別青睞二面角的考查，2011——2015五年中有三年都考查了二面角問(wèn)題。圖6—1圖6—2

全國(guó)新課標(biāo)卷的立體幾何解答題基本上是設(shè)計(jì)“兩問(wèn)”，且設(shè)問(wèn)比較直接，而福建卷常設(shè)計(jì)成探究性試題，并且常有層次分明的“三問(wèn)”設(shè)計(jì)。

此外，全國(guó)卷和福建卷在立體幾何條件的表述上存在一定的差異：全國(guó)卷經(jīng)常出現(xiàn)“直棱柱、正棱柱、正棱錐”等概念，而福建卷從未涉及這些概念。圖7—2圖7—1全國(guó)新課標(biāo)卷將立體幾何學(xué)科知識(shí)和能力融為一體，堅(jiān)持守正出新，從不同角度詮釋了立體幾何教學(xué)的價(jià)值取向，形成了鮮明的立體幾何命題風(fēng)格和試題特點(diǎn)。對(duì)近5年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷和福建卷考點(diǎn)進(jìn)行比較分析，不難發(fā)現(xiàn)，全國(guó)新課標(biāo)卷對(duì)立體幾何內(nèi)容的考查具有如下特點(diǎn)：三、試題特點(diǎn)1、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，難度適中時(shí)間/分值全國(guó)課標(biāo)Ⅰ卷（理科）時(shí)間/分值福建卷（理科）題型選擇題填空題解答題題型選擇題填空題解答題2011年(22分)第6題第15題第18題2011年(18分)第12題第20題2012年(22分)第7、11題第19題2012年(18分)第4題第18題2013年(22分)第6、8題第18題2013年(17分)第12題第19題2014年(17分)第12題第19題2014年(18分)第2題第17題2015年(22分)第6、11題第18題2015年(18分)第7題第17題時(shí)間/分值全國(guó)課標(biāo)Ⅰ卷（文科）時(shí)間/分值福建卷（文科）題型選擇題填空題解答題題型選擇題填空題解答題2011年(22分)第8題第16題第17題2011年(16分)第15題第18題2012年(22分)第7、8題第18題2012年(17分)第4題第19題2013年(22分)第11題第15題第19題2013年(12分)第18題2014年(17分)第8題第19題2014年(17分)第3題第19題2015年(22分)第6、11題第18題2015年(17分)第9題第20題從上面列表可以看出，近5年來(lái)，全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷在題量上，除了2014年是“一小一大”，分值17分，其他年份的試題都是“兩小一大”，分值22分；在考查兩個(gè)小題的年份，文理科至少都有一個(gè)小題相同；解答題位置都在第18題或第19題，文理科試題大都成姊妹題，難度比較穩(wěn)定。福建卷題量一般是“一小一大”，分值在17分左右，但難度波動(dòng)較大，例如2011年理科卷立體幾何位置在第20題，2013年理科卷立體幾何位置在第19題，而2014年和2015年理科卷立體幾何位置都在第17題。全國(guó)新課標(biāo)卷堅(jiān)持“在幾何直觀下立意，在貼近教材中設(shè)計(jì)”的命題特點(diǎn)，出現(xiàn)了許多貼近教材，活于課本，推陳出新的立體幾何試題.

近幾年全國(guó)新課標(biāo)卷的一些立體幾何試題，其解題思路、思想方法都可以在教材中找到“影子”，是教材基礎(chǔ)知識(shí)、例題及習(xí)題的加工、綜合、類比、延伸和拓展的結(jié)果，這充分體現(xiàn)了教材良好的示范作用。2、貼近教材，推陳出新圖8—1

此四棱錐模型是立體幾何解答題的經(jīng)典模型，2010年、2011年、2014年高考全國(guó)新課標(biāo)卷立體幾何解答題就以此背景命制。圖8—2圖8—1圖8—3圖8—1圖8—4圖8—1

以教材作為“藍(lán)本”的高考試題，讓考生感到熟悉親切，很好地凸顯了以教材為核心的導(dǎo)向作用，激發(fā)學(xué)生對(duì)教材知識(shí)的學(xué)習(xí)熱情．3、能力立意，彰顯選拔全國(guó)新課標(biāo)卷立體幾何試題以知識(shí)為載體，以能力立意,《全國(guó)考試大綱》所規(guī)定的能力——空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)等在立體幾何中都得到了體現(xiàn)，其中側(cè)重考查了空間想象能力、推理論證能力與運(yùn)算求解能力。

說(shuō)明：本題考查線線、線面位置關(guān)系，考查異面直線所成的角以及空間圖形的體積計(jì)算等知識(shí)，對(duì)空間想象能力、推理論證能力的考查提出了較高的要求。圖94、關(guān)注數(shù)學(xué)文化，適度創(chuàng)新全國(guó)新課標(biāo)卷立體幾何試題體現(xiàn)了“大穩(wěn)定、小創(chuàng)新”的設(shè)計(jì)理念，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，關(guān)注對(duì)考生文化素養(yǎng)的考查。

說(shuō)明：本題通過(guò)《九章算術(shù)》中的經(jīng)典問(wèn)題，考查考生對(duì)圓錐的體積計(jì)算，考查考生的閱讀能力。在考查基礎(chǔ)的同時(shí)，適度創(chuàng)新，題目新穎而不困難，給考生發(fā)揮自己的真實(shí)數(shù)學(xué)水平提供了很好的平臺(tái)，并引導(dǎo)學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。例10（2015全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷·理6）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問(wèn):積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖3，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有

A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛圖10

立體幾何是考查空間想象能力的重要載體，涉及的問(wèn)題包括識(shí)圖與畫圖、證明與計(jì)算等。因此，在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，我們必須先找準(zhǔn)“出發(fā)點(diǎn)”——立足考綱，了解命題特點(diǎn)，再努力嘗試占領(lǐng)“制高點(diǎn)”——決勝高考。四、復(fù)習(xí)建議

（一）把握考試要求，了解命題特點(diǎn)，提高備考實(shí)效性《全國(guó)考試大綱》《全國(guó)考試說(shuō)明》是指導(dǎo)高考命題與復(fù)習(xí)教學(xué)的權(quán)威性文件，要認(rèn)真研讀、仔細(xì)推敲，準(zhǔn)確把握定位和要求，做到四個(gè)明確：（1）明確各部分考查的知識(shí)點(diǎn)；（2）明確各知識(shí)點(diǎn)的要求層次；（3）明確哪些知識(shí)是重點(diǎn)要求的；（4）明確其中隱含的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)能力及其考查要求。1、吃透考綱，明確復(fù)習(xí)方向2、了解命題特點(diǎn)，找準(zhǔn)復(fù)習(xí)“效”度有效的復(fù)習(xí)教學(xué)不僅要弄清高考考什么，還要明確怎么考，因此必須對(duì)近年來(lái)的全國(guó)新課標(biāo)卷進(jìn)行研究。通過(guò)研究，幫助教師了解立體幾何的命題特點(diǎn)，有效指導(dǎo)立體幾何教學(xué)中“度”的把握，提高復(fù)習(xí)教學(xué)的針對(duì)性和實(shí)效性。文理科通用的考點(diǎn)中，要重點(diǎn)復(fù)習(xí)的內(nèi)容有：簡(jiǎn)單幾何體的三視圖與直觀圖；簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積的計(jì)算；線線、線面、面面平行和垂直的判定與性質(zhì).理科選修內(nèi)容要重點(diǎn)復(fù)習(xí)用空間向量證明平行與垂直關(guān)系、計(jì)算各類角等問(wèn)題，還應(yīng)兼顧“一題兩法”，形成基本技能。（二）立足基礎(chǔ),熟練掌握通性通法通性通法是指具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的數(shù)學(xué)思想方法，是解決問(wèn)題的基本方法，是學(xué)生應(yīng)該重點(diǎn)掌握的方法。

我們要按《全國(guó)考試大綱》《全國(guó)高考考試說(shuō)明》對(duì)立體幾何內(nèi)容的要求，從知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生將立體幾何知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，促進(jìn)知識(shí)的系統(tǒng)化、條理化、綜合化,提高學(xué)生靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。1、空間幾何體的三視圖與直觀圖

（1）復(fù)習(xí)教學(xué)中，要從對(duì)空間幾何體的整體觀察入手，采用“直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算”等方法認(rèn)識(shí)和探索幾何圖形及其性質(zhì)，達(dá)到能識(shí)別三視圖所表示的立體模型，能畫簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等簡(jiǎn)易組合體）的三視圖，會(huì)用斜二測(cè)法畫出它們的直觀圖，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。1、空間幾何體的三視圖與直觀圖通過(guò)復(fù)習(xí)，讓學(xué)生熟悉常見(jiàn)幾何體的三視圖；牢記“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”；虛實(shí)線，要細(xì)看。

（2）重視簡(jiǎn)單幾何體（包括簡(jiǎn)易組合體）的三視圖與幾何體的表面積、體積的求解問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不規(guī)則的幾何體進(jìn)行“分割”、“補(bǔ)形”等方法轉(zhuǎn)化為可求的幾何體進(jìn)行求解，提高學(xué)生的運(yùn)算求解能力。說(shuō)明：首先根據(jù)題意在空間直角坐標(biāo)系中畫出四面體，為了便于研究這個(gè)四面體的三視圖，將四面體的圖形補(bǔ)充成如圖所示的正方體；以平面zOx為投影面，作出四面體的正視圖，故選A。圖12—1

說(shuō)明：本題是組合體的三視圖問(wèn)題，由幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖12—2所示知，原圖形下面為圓柱或直四棱柱，上面是圓柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，所以Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是該幾何體的俯視圖，Ｄ不可能是該幾何體的俯視圖.

通過(guò)變式，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，從而形成對(duì)幾何體的整體認(rèn)識(shí)。說(shuō)明：由三視圖可知，該幾何體是如圖12—4所示長(zhǎng)方體截去一個(gè)底面直角邊長(zhǎng)為4和3，高為4的三棱錐。圖12—3圖12—4

要使學(xué)生明確，解決由三視圖確定幾何體的形狀并求解其表面積或體積的問(wèn)題時(shí)，首先要確定幾何體的大致輪廓，然后通過(guò)“分割”、“補(bǔ)形”等手段，轉(zhuǎn)化為可求的幾何體進(jìn)行求解．2、球類問(wèn)題在以球?yàn)檩d體的問(wèn)題中：一是考查球的表面積、體積及距離等基本量的計(jì)算。二是考查球與特殊的幾何體的相切接問(wèn)題。在復(fù)習(xí)教學(xué)中，要充分利用教材中關(guān)于球與幾何體相切（相接）的幾個(gè)模型（如：球與正方體相切（相接）、球與正四面體相切（相接）），對(duì)球類題型進(jìn)行有針對(duì)性的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生做到面對(duì)球類問(wèn)題游刃有余。說(shuō)明：本題考查球的內(nèi)接幾何體問(wèn)題，考查球的表面積，解題關(guān)鍵是利用特殊幾何體和球的空間對(duì)稱性，在不畫出球的圖形的前提下，利用對(duì)稱性找出球心的準(zhǔn)確位置。圖13

涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素之間的關(guān)系，列方程(組)求解．3、直線與平面的位置關(guān)系的判定與證明空間直線與平面之間的位置關(guān)系，其主要內(nèi)容包括“平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線的位置關(guān)系、直線與平面的位置關(guān)系、平面與平面的位置關(guān)系”等，是立體幾何的核心內(nèi)容，因而是高考必考的重點(diǎn)內(nèi)容。題型一般是以空間幾何體為載體，考查其中的線線、線面、面面的平行與垂直關(guān)系。

全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷對(duì)線線、線面、面面的垂直關(guān)系的考查是重中之重。在復(fù)習(xí)備考中，要緊緊抓住重點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)并加強(qiáng)訓(xùn)練，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)線面有關(guān)位置關(guān)系的定義、公理、定理的深刻理解，熟練掌握“文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言”這三種語(yǔ)言之間的互譯與轉(zhuǎn)換，培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力。為了增強(qiáng)直線與平面的位置關(guān)系部分的復(fù)習(xí)效應(yīng)，依據(jù)其知識(shí)結(jié)構(gòu)和內(nèi)涵特點(diǎn)，可以歸納為“1234方略”：（1）抓住一個(gè)關(guān)鍵——緊緊抓住“垂直”這個(gè)關(guān)鍵因素；（2）突出2大重點(diǎn)——始終突出“線線、線面、面面平行關(guān)系”與“線線、線面、面面的垂直關(guān)系”這2大重點(diǎn)；（3）熟悉3類轉(zhuǎn)化——必須熟悉“線線、線面、面面平行關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化，線線、線面、面面垂直關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化，線線、線面、面面平行與垂直關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化”（要求學(xué)生熟悉地描繪出這“3類轉(zhuǎn)化”之間的“路線圖”與“方向標(biāo)”）；（4）掌握4種解題策略——掌握“抽象問(wèn)題直觀化（數(shù)形結(jié)合）、空間問(wèn)題平面化、幾何問(wèn)題代數(shù)化、立體問(wèn)題坐標(biāo)化”這四種解題策略。此外，在課堂教學(xué)中，要注意訓(xùn)練學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、書寫表達(dá)的規(guī)范性。教師要做好示范，每一節(jié)課至少要有一道規(guī)范板演的解題過(guò)程，逐步培養(yǎng)學(xué)生書寫規(guī)范的習(xí)慣。由于全國(guó)新課標(biāo)卷解答題的考查往往是中檔題，所以在復(fù)習(xí)中要控制好題目的難度，設(shè)置問(wèn)題時(shí)要循序漸進(jìn)、步步深入。圖14

設(shè)計(jì)意圖：本題考查線面平行、面面垂直的判定以及解題表達(dá)的規(guī)范性，考查空間想象能力和推理論證能力。線面平行需要線線平行來(lái)轉(zhuǎn)化，而面面垂直需要線面垂直和線線垂直來(lái)轉(zhuǎn)化。4、空間向量的應(yīng)用（理科）向量具有代數(shù)形式與幾何形式的“雙重身份”，融數(shù)與形于一體，為利用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題提供了強(qiáng)有力的工具，空間向量法為推證平行與垂直問(wèn)題、求各類角和距離的問(wèn)題提供了基本思路，復(fù)習(xí)中要給予高度重視。

要通過(guò)與平面向量有關(guān)知識(shí)的類比進(jìn)行復(fù)習(xí)，進(jìn)一步完善知識(shí)體系；在用向量法時(shí)，要強(qiáng)調(diào)按照“建系——找點(diǎn)——求向量——公式運(yùn)算——作答”的步驟，有條理的完成。

通過(guò)典型例題多種形式的解決、針對(duì)性的強(qiáng)化訓(xùn)練，熟練運(yùn)用坐標(biāo)證明空間位置關(guān)系及求空間角等的通性通法。圖15—1圖15—2

設(shè)計(jì)意圖：（1）在應(yīng)用空間向量解題過(guò)程中，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是前提。解答題的幾何背景往往是給出兩個(gè)坐標(biāo)軸的位置，另外一個(gè)軸會(huì)“無(wú)依無(wú)靠”，需要通過(guò)證明、計(jì)算來(lái)確定一些點(diǎn)的坐標(biāo)，因此正確計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵。要引導(dǎo)學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的前提下，加強(qiáng)計(jì)算方面的訓(xùn)練，突破非標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下建系、確定點(diǎn)的坐標(biāo)的難點(diǎn)。圖15—1圖15—2（2）要讓學(xué)生切實(shí)理解向量角轉(zhuǎn)化為幾何角的原理，突破由向量角向幾何角轉(zhuǎn)化的難點(diǎn)，特別是線面角的求解。設(shè)計(jì)意圖：本題第（Ⅱ）問(wèn)表面上看，似乎是考查三棱錐的體積問(wèn)題，實(shí)際上其考查重點(diǎn)是二面角問(wèn)題。只有通過(guò)條件“二面角D-AE-C為60°”，才能求出邊CD的長(zhǎng)度，從而求出三棱錐E-ACD的體積?？山⒖臻g直角坐標(biāo)系，假設(shè)CD的長(zhǎng)度m，從而得到所需要的點(diǎn)、向量的坐標(biāo)和兩個(gè)半平面的法向量，通過(guò)解方程求得m的值，進(jìn)而求解三棱錐E-ACD的體積。圖16

本題也可以采用“幾何法”進(jìn)行求解，“幾何法”“幾何法”一般按照“一找——二證——三求“的步驟進(jìn)行。（三）激活課本，用足教材“問(wèn)渠那得清如許，為有源頭活水來(lái)”，教材是思想之基，方法之源。立體幾何復(fù)習(xí)要實(shí)現(xiàn)學(xué)生知識(shí)的系統(tǒng)化，思想和方法的強(qiáng)化，能力的提高，光靠利用教輔資料進(jìn)行題海強(qiáng)化是不夠的，必須緊扣教材這一“基和源”。（三）激活課本，用足教材首先，要準(zhǔn)確理解教材，要上升到思想和方法的角度審視教材，對(duì)教材中所講的基本知識(shí)、基本方法、例題和習(xí)題，要認(rèn)真研究，準(zhǔn)確把握。其次，應(yīng)通過(guò)對(duì)課本例習(xí)題的變式、拓展，挖掘教材例（習(xí)）題的潛在功能，從中提煉相應(yīng)的思想方法，準(zhǔn)確把握立體幾何的本源和本質(zhì)，提高復(fù)習(xí)效益。說(shuō)明:本題求解的關(guān)鍵是理解概念，弄清各相關(guān)元素間的關(guān)系，能結(jié)合公式進(jìn)行證明。

變式一：如圖17—1，半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱.當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是___________

說(shuō)明：此題源于教材例題，要先由圓柱側(cè)面積最大時(shí)找到圓柱的底面半徑r和R間的關(guān)系。圖17—1當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差為分析；設(shè)圓柱的底面半徑為r，變式二：(2013新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ·理6)如圖17—2，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為(

)．圖17—2

說(shuō)明：本題由人教A版《數(shù)學(xué)2>(必修)第37頁(yè)復(fù)習(xí)參考題B組第2題改編而來(lái)，主要考查球的截面圓性質(zhì)、球的體積公式。

變式二：(2013新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ·理6)如圖17—2，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為