湖南省邵陽市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題卷數(shù)學(xué)本試卷共4頁，個(gè)小題滿分分考試時(shí)間分鐘.注意事項(xiàng)：答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，班級(jí)，考號(hào)填寫在答題卡上將條形碼橫貼在答題卡上條形碼粘貼區(qū)作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案答案不能答在試卷上.位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液不按以上要求作答無效.保持答題卡的整潔考試結(jié)束后，只交答題卡，試題卷自行保存.85分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，集合，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先解一元二次不等式得出集合B，再應(yīng)用交集的定義計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榧?，集合，則.故選：B.2.已知向量，，與的夾角為，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】第1頁/共20頁【分析】首先根據(jù)向量數(shù)量積公式求出，再利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)向量數(shù)量積公式.先求，.再求..所以.根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，所以.故選：C.3.已知復(fù)數(shù)滿足：（，i（）A.5B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化簡(jiǎn)，再利用復(fù)數(shù)的除法求得復(fù)數(shù)，從而求出其模長(zhǎng).【詳解】∵，∴，∴，∴.故選：C.4.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用充分必要條件結(jié)合函數(shù)的不等式求解即可.【詳解】繪制出的圖像，第2頁/共20頁當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.為了推廣一種新產(chǎn)品，某公司開展了有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)：將6件這種產(chǎn)品裝一箱，每箱中都放置2件能夠中獎(jiǎng)的產(chǎn)品.若從一箱中隨機(jī)抽出2件，能中獎(jiǎng)的概率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用組合數(shù)求出基本事件數(shù)和符合條件的事件數(shù)，再結(jié)合古典概型公式求解即可.【詳解】基本事件共有件，符合條件的有件，且設(shè)中獎(jiǎng)為事件，即，故B正確.故選：B6.經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由橢圓方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而寫出直線方程，聯(lián)立方程組得一元二次方程，由韋達(dá)定理得到兩個(gè)的和與差，利用交點(diǎn)弦長(zhǎng)公式即可求得結(jié)果.【詳解】，，∴，即，，∴，第3頁/共20頁聯(lián)立方程組得，整理得，設(shè)，，∴，，.故選：A.7.定義在上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為.若，恒成立，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得的奇偶性，再根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，由此比較三個(gè)數(shù)的大小.【詳解】若，，，，構(gòu)造函數(shù)，由于是偶函數(shù)，故是奇函數(shù).由于，故函數(shù)在上遞增.由于，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.第4頁/共20頁所以，，，，根據(jù)單調(diào)性有，所以，故選：B.8.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】將看成一個(gè)整體，找出其范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)列出不等式求解.【詳解】，令，得，.令，由的圖象得：，化簡(jiǎn)得.故選：D.第5頁/共20頁36分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列說法正確的是（）A.決定系數(shù)越小，模型的擬合效果越好B.若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，，則C.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則D.一組數(shù)（）的平均數(shù)為，若再插入一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)的方差變大【答案】BC【解析】ABC反例判斷D即可.【詳解】由決定系數(shù)性質(zhì)得，決定系數(shù)越大，模型的擬合效果越好，故A錯(cuò)誤，若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，，則，故B正確，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，由正態(tài)分布性質(zhì)得，故C正確，我們令，，此時(shí)平均數(shù)，方差為，插入一個(gè)數(shù)，此時(shí)平均數(shù)為，方差為，方差顯然變小了，即再插入一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)的方差不可能變大，故D錯(cuò)誤.故選：BC第6頁/共20頁10.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線過點(diǎn)，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.B.當(dāng)時(shí)，的最小值為C.點(diǎn)到直線的距離的最小值為2D.當(dāng)時(shí)，直線ON的斜率的最大值為【答案】ABD【解析】ABCD拋物線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進(jìn)行計(jì)算求解.【詳解】根據(jù)拋物線的定義，的準(zhǔn)線為，由題意準(zhǔn)線過，可求出，拋物線的方程為，選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，C，D，可設(shè)拋物線上的點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)為，對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.選項(xiàng)B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，直線與拋物線的位置關(guān)系如下圖所示：第7頁/共20頁到直線的距離，當(dāng)時(shí)，.選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，可根據(jù)向量共線作出示意圖：根據(jù)定義求出拋物線的焦點(diǎn)，由得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.選項(xiàng)D正確.故選：ABD已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.當(dāng)時(shí)，，D.若，，則【答案】ACD【解析】ABCD.第8頁/共20頁【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)是奇函數(shù)，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，C正確；對(duì)于D，由，得，令，，而，，且均在時(shí)取等號(hào)，則，，因此，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義域?yàn)镈，，①存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.②存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共分）12.若等比數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的公比______.【答案】【解析】【分析】由結(jié)合已知條件可求得的值.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列滿足：，，則，解得.故答案為：.13.某校高三（5）班班主任準(zhǔn)備從2名男生和4名女生中選取3人擔(dān)任數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)學(xué)科課代表，每學(xué)科安排1人，且至少有1名男生，則不同的選取方法有______（請(qǐng)用數(shù)字作答）第9頁/共20頁【答案】96【解析】【分析】可采用間接法或直接法來求解不同的選取方法數(shù).【詳解】方法一：間接法先求出從名男生和名女生共人中選人擔(dān)任學(xué)科代表的所有情況，再減去所選人都是女生的情況，即可得到至少有名男生的情況.從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)記為，其計(jì)算公式為.從人中選人進(jìn)行全排列，安排到數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三個(gè)學(xué)科，方法數(shù)為種.從名女生中選人進(jìn)行全排列，安排到三個(gè)學(xué)科，方法數(shù)為種.用總的選法數(shù)減去人都是女生的選法數(shù)，可得至少有名男生的選法有種.方法二：直接法分兩種情況討論：選名男生名女生和選名男生名女生，然后分別計(jì)算這兩種情況的選法數(shù)，最后將它們相加.情況一：選名男生名女生從名男生中選名男生的選法有種，從名女生中選名女生的選法有種，然后將這人進(jìn)行全排列安排到三個(gè)學(xué)科，方法數(shù)為種.根據(jù)組合數(shù)公式，可得，.則這種情況下的選法有種.情況二：選名男生名女生從名男生中選名男生的選法有種，從名女生中選名女生的選法有種，然后將這人進(jìn)行全排列安排到三個(gè)學(xué)科，方法數(shù)為種.第10頁/共20頁，.則這種情況下的選法有種.將兩種情況的選法數(shù)相加，可得至少有名男生的選法有種.故答案為：14.已知在棱長(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)是底面ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為棱BC上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】由正切函數(shù)定義結(jié)合幾何位置關(guān)系，得到，結(jié)合解析幾何中的圓的知識(shí)，得到三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，得到結(jié)果.，.又，.，，，設(shè)點(diǎn).，化簡(jiǎn)得：（，）則圓心為，，點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn).故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）第11頁/共20頁15.已知在中，三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，點(diǎn)D在邊BC上，且，求的值.【答案】（1）（2）.【解析】1）根據(jù)余弦定理可求；（2）根據(jù)角的關(guān)系可得，求出后者后可得比值.【小問1詳解】，.即.由正弦定理得：，，，.【小問2詳解】易知，，，，，，..的值為.第12頁/共20頁16.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，得到切線方程即可；（2）利用給定條件求出，再轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問題求解即可.【小問1詳解】由題意知，，令，則，.故，，即切點(diǎn)為，所求切線方程為，即.【小問2詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，得.令，則，，因?yàn)橛?個(gè)零點(diǎn)，所以和有2個(gè)交點(diǎn)，令，.令，得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；第13頁/共20頁當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，且.實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.中，，，，，E，F(xiàn)分別為AD，AB的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：平面平面；（3）若，P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）.【解析】1）求出，即可得到，結(jié)合，即可得到，從而得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面、平面的法向量，即可證明；（3與平面所成角為求出，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值.【小問1詳解】，，所以又，，第14頁/共20頁又，，，.【小問2詳解】在直四棱柱中，平面，又平面，所以，，，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，.，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，令，得，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取.，又平面與平面不重合，平面平面.【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，為平面的一個(gè)法向量，，則，設(shè)，第15頁/共20頁，，設(shè)直線與平面所成角為，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.18.已知雙曲線的漸近線方程為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)在上.（1）求的方程；（2直線與C相交于FGE與點(diǎn)F關(guān)于EG是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由；（3）將圓心在軸上，且與C的兩支各恰有一個(gè)公共點(diǎn)的圓稱為“子圓”，若兩個(gè)“子圓”外切于點(diǎn)距為，求.【答案】（1）（2）直線EG過定點(diǎn).（3）.【解析】1）設(shè)出方程帶入點(diǎn)，得到方程.（2）當(dāng)直線DG的斜率不為零時(shí)，設(shè)直線DG的方程再進(jìn)行聯(lián)立，再易知，直線EG的斜率存在，設(shè)直線EG的方程為，最后得到過定點(diǎn).（3）考慮子圓，兩圓的圓心之間的距離，最后得到答案.【小問1詳解】第16頁/共20頁設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)代入得，即，雙曲線的方程為【小問2詳解】當(dāng)直線DG的斜率不為零時(shí)，設(shè)直線DG的方程為，，，.由消去整理得，依題意得：，且，即且，，.易知，直線EG的斜率存在，設(shè)直線EG的方程為.令，得.直線EG過定點(diǎn).當(dāng)直線DG的斜率為0時(shí)，直線EG的方程為，過點(diǎn)，綜上，直線EG過定點(diǎn).【小問3詳解】考慮以為圓心的“子圓”，由的方程與的方程消去，得關(guān)于的二次方程.第17頁/共20頁依題意，該方程的判別式，.對(duì)于外切于點(diǎn)的兩個(gè)“子圓”，，顯然點(diǎn)在軸上，設(shè)，，的半徑分別為，，不妨設(shè)，的圓心分別為，.則，.兩式相減得：，而，.，整理得：.，點(diǎn).，故.19.已知正項(xiàng)數(shù)列（）的前項(xiàng)和為，且.當(dāng)時(shí)，將進(jìn)行重新排列，構(gòu)成新數(shù)列，使其滿足：或（其中，）.（1）當(dāng)時(shí)，寫出所有滿足的數(shù)列；（2）試判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并加以證明；（3）當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足：是公差為且（且）的等差數(shù)列，求公差.【答案】（1）2，4，1，3，5和2，5，3，1，4.第18頁/共20頁（2）不可能是等差數(shù)列，證明見解析（3）.【解析】1以及和或的條件來確定數(shù)列.（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列.（3范圍，再根據(jù)是公差為的等差數(shù)列，求出，得到滿足題意的.【小問1詳解】，①當(dāng)時(shí)，，即，.當(dāng)時(shí)，，②由①－②得：，即.，，，即.數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列..由題意可得當(dāng)且的數(shù)列為：2，4，1，3，5和2，5，3，1，4.【小問2詳解】數(shù)列不可能為等差數(shù)列，證明如下：假設(shè)