湖北省部分市州2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題 含解析

湖北省部分市州年秋季高二年級期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)本試卷共4頁，題全卷滿分分考試用時分鐘.★?？荚図樌镒⒁馐马棧禾枟l形碼粘貼在答題卡上的指定位置.選擇題的作答：每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑寫在試卷，草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.題卡上的非答題區(qū)域均無效.考試結(jié)束后，請將答題卡上交.一選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知兩點，直線傾斜角為，則實數(shù)等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用兩點的斜率公式及直線的斜率定義即可求解.【詳解】由題，直線的斜率為，又，.故選：B.2.已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，則等于（）A.B.9C.7D.或1【答案】A【解析】第1頁/共21頁【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)和通項公式即可求解.【詳解】在公差為正數(shù)的等差數(shù)列中，因為，所以，又，所以或，又因為公差為正數(shù)，所以，所以，所以，則.故選：A.3.已知向量，向量，向量，若三個向量共面，則實數(shù)等于（）A.17B.19C.21D.23【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可知存在，使得，結(jié)合向量的坐標運算列式求解即可.【詳解】因為向量，向量，向量，且，，三向量共面，可知存在，使得，即，則，解得，所以.故選：D.4.某學(xué)校乒乓球比賽，學(xué)生甲和學(xué)生乙比賽30.7，乙獲勝的概率是0.3一局甲獲勝，其概率是0.7.由于要比賽3局，所以每3個隨機數(shù)為一組，例如，產(chǎn)生20組隨機數(shù)；603099316696851916062107493977第2頁/共21頁329906355860375107347467822166根據(jù)隨機數(shù)估計甲獲勝的概率為（）A.0.9B.0.95C.0.8D.0.85【答案】A【解析】【分析】由頻率可得到概率估計值.【詳解】設(shè)事件為“甲獲勝”，20組隨機數(shù)，其中事件發(fā)生了18次，.故選：A.5.已知圓與圓與圓的公切線的條數(shù)有（）A.1條B.2條C.3條D.4條【答案】C【解析】【分析】判斷兩圓的位置關(guān)系，進而求出公切線的條件.【詳解】可化為，所以圓心，半徑，可化為，所以圓心，半徑，圓心距，所以兩圓外切，所以兩圓的公切線有3條.故選：C6.已知過點的直線與雙曲線的左，右兩支均相交，則該直線斜率的取值范圍為（）A.B.C.D.第3頁/共21頁【答案】B【解析】【分析】設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為方程有一正一負根求解.【詳解】設(shè)該直線為，聯(lián)立，化簡整理得，由直線與雙曲線的左，右兩支均相交，所以，解得，所以該直線斜率的取值范圍為.故選：B.7.已知八面體由正四棱錐與正四棱錐，，點分別為的中點，則（）A.0B.2C.D.【答案】D【解析】【分析】建系，利用空間向量數(shù)量積的坐標表示求解即可.【詳解】連接，交于點，連接，，因為正四棱錐與正四棱錐，第4頁/共21頁所以平面，平面，因為，，所以，，，以為原點，分別為軸的正向建立空間直角坐標系，則，，，，，，，所以，，所以.故選：D.8.已知點是橢圓上的一點，設(shè)是直線上任意兩個不同的點，若時，則使得是等腰直角三角形的點有（）A.2個B.4個C.6個D.8個【答案】C【解析】到直線的距離是否為直角頂點進行分類討論，即可求解.【詳解】橢圓方程為，橢圓與直線均關(guān)于原點對稱，第5頁/共21頁設(shè)點，，設(shè)點到直線的距離為，則，①若為直角頂點，如下圖：則由，得頂點到邊的高為，即，此時滿足為等腰直角三角形的點有四個；②若不直角頂點，如下圖：則由，得頂點到邊的高為，即，此時滿足是等腰直角三角形的非直角頂點有兩個，綜上，使得是等腰直角三角形的點有6個.故選：C.二多選題：本題共3小題，每小題6分，共分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知事件與事件相互獨立，且，則下列正確的是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】第6頁/共21頁【分析】根據(jù)相互獨立事件，對立事件和概率加法公式逐一計算判斷即可.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，因為事件與相互獨立，所以，故B正確；對于C，因為事件與相互獨立，所以事件與相互獨立，，故C錯誤；對于D，，故D錯誤.故選：AB.10.中，為的中點，在線段上.則下列結(jié)論正確的是（）A.若為中點時，則B.C.D.若直線與平面所成的角為，則的取值范圍為【答案】ACD【解析】為坐標原點，所在直線為項.【詳解】如圖，以點為坐標原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，第7頁/共21頁由題可得，，，，，，，對于A，若為中點時，則，所以，故A正確；對于B，，，則，故B錯誤；對于C，，，，所以，故C正確；對于D，設(shè)點，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，則，所以，，令，則，令，，第8頁/共21頁則，，當時，取得最小值，此時取得最大值1；當時，取得最大值，此時取得最小值；綜上，的取值范圍為，故D正確.故選：ACD.在平面直角坐標系內(nèi)，定義任意兩點“新距離”為：，到直線的“新距離”就是點與直線上所有點的“新距離”.已知點，，直線.（）A.B.到點C“新距離”等于1的點所圍成的圖形的面積為4C.D.【答案】ACD【解析】【分析】由新距離定義求解判斷A；由新距離定義，分類討論求出點P的軌跡判斷B；設(shè)M為直線上的動點，由新距離定義，分情況討論判斷C；由新距離定義，結(jié)合絕對值的幾何意義推理判斷D.【詳解】對于A，，，則，A正確；對于B，，即，當且時，有，即；當目時，有，即；當且時，有，即；第9頁/共21頁當目時，有，即；因此點P的軌跡圍成的圖形是以為頂點的正方形，邊長為，面積為，B錯誤；對于C，令M為直線上的動點，設(shè)，則與點的“新距離”，當時，，當時，，當時，，因此點D到直線的“新距離”，C正確；對于D，由絕對值的幾何意義得，，則，，將兩式相加得：，即，D正確.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：涉及新定義的理解和運用問題，解題的關(guān)鍵是正確理解新定義，注意與的區(qū)別.三填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知直線，若，則與之間的距離為__________.第10頁/共21頁【答案】##【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行的充要條件求出，利用兩平行線間距離公式求解.詳解】由，可得，解得，所以直線，即，所以與間的距離為.故答案為：.13.已知圓的直徑為是圓是圓的垂直平分線和半徑相交于點，若點在圓上運動時，則點的軌跡的離心率等于__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義可知，點的軌跡是以為焦點，焦距為長軸長等于的橢圓，即可求得其離心率.【詳解】由已知，圓的直徑為，則，又線段的垂直平分線和半徑相交于點，，因為，所以與兩個定點的距離的和等于常數(shù)（大于由橢圓的定義得，點的軌跡是以為焦點，焦距為，長軸長等于的橢圓，第11頁/共21頁所以點的軌跡的離心率為.故答案為：.14.已知個圓兩兩相交，每兩個圓都有兩個交點且所有交點均不重合，設(shè)個圓的交點總數(shù)為，記，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，可得，迭代求出，再利用裂項相消法求和.詳解】由題意，，，，，，，當時，上式成立，則，，，，所以，.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是理解題意得到，求出通項.四解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的5個球，其中有3個紅色球和2個綠色球，從袋中隨機摸出2個球.（1）求“摸到兩個球顏色不同”的概率；（2）求“至少摸到一個紅球”的概率.【答案】（1）第12頁/共21頁（2）【解析】1）根據(jù)題意寫出從袋中不放回摸出2個球的所以可能結(jié)果結(jié)合兩個球顏色相同的結(jié)果，利用古典概型概率計算公式計算即可；（2）利用古典概型概率計算公式計算即可.【小問1詳解】用1、2、3表示3個紅色球，4、5表示2個綠色球，用數(shù)組表示可能的結(jié)果，則樣本空間所包含的樣本點為：10種，其中兩個球顏色不同的事件有：共6種，設(shè)摸到兩個球顏色不同為事件A,故事件A的概率為.【小問2詳解】其中至少摸到一個紅球事件有：共9種，設(shè)至少摸到一個紅球為事件B,故事件B的概率為.16.如圖，已知四棱錐，底面為菱形，且，側(cè)面為邊長等于2的正三角形，平面平面，為的中點.（1）求四棱錐的體積；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）2（2）【解析】1）由平面與平面垂直的性質(zhì)定理證明平面，根據(jù)題意即可求出體積；第13頁/共21頁（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量即可求解.【小問1詳解】取中點，連接，因為為正三角形，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為的邊長為2，所以，又為菱形，，，所以，，所以，所以，所以菱形的面積為，所以四棱錐的體積為：.【小問2詳解】由（1為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，由題意，，，，，，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則即，令，則，，所以平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則即，令，則，，所以平面的法向量為，第14頁/共21頁設(shè)平面與平面夾角為，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.已知圓圓心在軸上，且過點兩點.（1）求圓的方程；（2）設(shè)點，以線段為直徑的圓與圓交于兩點，求線段長度的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】1）設(shè)出圓的方程，利用待定系數(shù)法求出方程.（2）求出線段為直徑的圓的方程，進而求出直線的方程，再利用圓的弦長公式建立函數(shù)關(guān)系并求出最小值.小問1詳解】依題意，設(shè)圓的方程為，由圓過點，得，解得，所以圓的方程為：.【小問2詳解】由（1）知，圓：的圓心，半徑，而點，以PD為直徑的圓的方程為：，整理得，第15頁/共21頁于是直線EF的方程為：，點D到直線EF的距離為，，，函數(shù)，則當，即時，，即當時，，所以線段EF長度的最小值為18.已知直線與拋物線交于兩點.（1）若，直線的斜率為1，且過拋物線的焦點，求線段的長；（2）如圖，若（為線段的中點，點為直線與軸的交點，設(shè)線段的中垂線與軸，軸分別交于兩點.記的面積為的面積為，求的取值范圍.【答案】（1）16（2）【解析】1）由題可得直線的方程為，與拋物線聯(lián)立得，利用拋物線定義求出答案；第16頁/共21頁（2）設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，結(jié)合求得，求得點的坐標，直線的方程，得點坐標，由得，利用基本不等式求解.【小問1詳解】若，則，焦點為，所以直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，整理得，，，所以，所以線段的長為16.【小問2詳解】由題意，，設(shè)直線的方程為，，當時，不能構(gòu)成三角形，不合題意；當時，聯(lián)立，整理得，，，因為，所以，即，，即，，解得，滿足上面方程，則，，即點的坐標為，因為，所以直線的方程為：，第17頁/共21頁令，得，令，得，由，可得，當且僅當，即時，等號成立，所以的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問解決的關(guān)鍵是求出直線的方程，得到點坐標，根據(jù)可得，計算求解.19.已知數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列是首項為1，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列第1項，第2項，第項成等差數(shù)列？若存在，求滿足條件的所有的值；若不存在，請說明理由；（3）類比教材等比數(shù)列前項和公式推導(dǎo)方法，探求數(shù)列的前項和.【答案】（1），（2）存在滿足要求得，或（3），第18頁/共21頁【解析】1）根據(jù)的關(guān)系求的通項公式，由等比數(shù)列的定義寫出的通項公式；（2）假設(shè)存在，使得成等差數(shù)列，根據(jù)等差中項的關(guān)系列式結(jié)合討論求解；（3表示的前項和，表示的前位相加法求出