湖北省楚天協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題 含解析

－學(xué)年上學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)試卷時間：年1月日：：試卷滿分：分注意事項：準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.選擇題的作答，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑寫在試卷，草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域上的答案均無效.答題卡上的非答題區(qū)域上的答案均無效.85分在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線，直線，則直線的傾斜角為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由兩直線垂直斜率關(guān)系可得直線的斜率，即可得其傾斜角.【詳解】由直線，則其斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則有，故，由，故.故選：A.2.雙曲線的漸近線方程為，則（）A.B.2C.D.【答案】D【解析】第1頁/共20頁【分析】根據(jù)雙曲線方程得出雙曲線的漸近線再計算求參.【詳解】因為雙曲線方程為，所以，所以漸近線方程為，即得，所以.故選：D.3.已知數(shù)列滿足：，，則所有可能的取值的集合為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先算出前面幾項，再根據(jù)規(guī)律得到周期，可解.【詳解】依題意，，，，，所以是周期為3的周期數(shù)列，根據(jù)選項，結(jié)合集合元素?zé)o序性.故選：C.4.如圖，在正四面體中，過點作平面的垂線，垂足為點，點滿足，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量的基本定理結(jié)合空間向量的線性運算可得出關(guān)于、、的表達(dá)式.第2頁/共20頁【詳解】記線段的中點為，由正四面體的性質(zhì)可知，為的重心，因為為的中點，則，所以，，所以，，所以所以.故選：B5.已知事件，滿足，，則（）A.若與相互獨立，則B.若與互斥，C.因為，所以與相互對立D若，則【答案】D【解析】AB時發(fā)生即可判斷；C項，不能判斷是否互斥與對立；D項，由可得.【詳解】選項A，若與相互獨立，則與相互獨立，所以，故A錯誤；選項B，若與互斥，則，不可能同時發(fā)生，即，故B錯誤；選項C，，則由于不確定與是否互斥，所以無法確定兩事件是否對立，如拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察試驗的結(jié)果，設(shè)事件“出現(xiàn)奇數(shù)點”；事件“出現(xiàn)點數(shù)不大于3”，第3頁/共20頁則，，但事件，并不互斥，也不對立，故C錯誤；選項D，若，則，則，故D正確.故選：D.6.已知圓上的所有點都在第一象限，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】將圓的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合題意得到不等式組，解之即得.【詳解】由，配方得，則該圓圓心為，半徑為3，由題意可得解得，故實數(shù)的取值范圍是.故選：A.7.已知項和為，）A.B.C.D.【答案】C【解析】的公比為可得可得等比數(shù)列性質(zhì)可知，也為等比數(shù)列，從而求得前項和.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，則得到，故，得或1，.設(shè)，由等比數(shù)列性質(zhì)可知，數(shù)列也為等比數(shù)列，第4頁/共20頁且首項為，公比為4，故.故選：C.8.已知雙曲線與直線相交于，兩點，其中中點的橫坐標(biāo)為，則該雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出弦的中點坐標(biāo)，再利用點差法列式求出離心率.【詳解】設(shè)，中點，則，，，兩式相減得，經(jīng)檢驗成立.所以該雙曲線的離心率為.故選：B36分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.記等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A.的前10項和為50B.是遞增數(shù)列C.當(dāng)時，取得最小值D.若，則的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】求出通項公式，對于A，直接算出和即可；對于B，運用數(shù)列的函數(shù)特征判定即可；對于C，根據(jù)數(shù)列函數(shù)特征，找出正負(fù)相鄰項即可；對于D，根據(jù)數(shù)列增減性，結(jié)合判定即可.第5頁/共20頁【詳解】解析：設(shè)公差為，則，，，，對于A：，知A正確；對于B，由知B正確；對于C，由通項公式知道，知C錯誤；對于D，由時，，且，知D正確.故選：ABD.10.如圖，在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點，則（）A.直線與所成角的余弦值為B.平面C.點到直線的距離為1D.在上投影向量為【答案】BC【解析】A.對于B一條直線平行且直線不在平面內(nèi)來判斷.對于C.對于D，求向量在另一個向量上的投影向量，根據(jù)投影向量的定義進(jìn)行計算.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，第6頁/共20頁則，，，，，，，且，分別為棱，的中點，可知，，可得，，，，對于選項A：因為，所以直線與所成角的余弦值為，故A錯誤；對于選項B：，，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得，所以，，因為，所以平面，B選項正確；對于選項C：因為在方向上的投影向量的模長為，且，點到直線的距離為，故C正確；對于選項D：在上的投影向量為，D錯誤.故選：BC.已知直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與交于，兩點，過，分別作直線的垂線，垂足依次為，，若長的最小值為4，則下列結(jié)論正確的有（）A.第7頁/共20頁B.若的傾斜角為，點在第一象限，則C.若，則的斜率為1D.若點，在上，且，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)通徑為焦點弦最短弦列式求解判斷A；聯(lián)立直線與拋物線，求出交點坐標(biāo)，結(jié)合焦半徑公式利用向量共線的概念判斷B；根據(jù)焦半徑公式列式求解判斷C；利用向量坐標(biāo)運算得，進(jìn)而利用焦半徑公式求解判斷D.【詳解】對于A：由題意得拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，因為長的最小值為4，所以，解得，故A正確對于B：所以拋物線的方程為，設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立，得，所以，，所以，，由拋物線的定義可得，，，若的傾斜角為，則，所以，，所以，，所以，，所以，，所以，故B正確；對于C：若，則，所以，第8頁/共20頁所以，所以，所以，解得，所以直線的斜率為1或，故C錯誤；對于D：設(shè)，，由，得為的重心，所以，，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.橢圓上的點到直線的最短距離為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元，根據(jù)求出的值，再求出平移直線間的距離，即可得解.【詳解】設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線方程為，聯(lián)立方程，消去得整理得，所以，解得，當(dāng)時，兩平行直線的距離為，當(dāng)時，兩平行直線的距離為.所以點到直線的最短距離為.第9頁/共20頁故答案為：13.已知圓，的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】由兩圓外切推出2看成過點與點的直線的斜率，結(jié)合圖形需使直線與圓有公共點，即可求得其范圍.【詳解】圓，則，半徑，圓，則，半徑，因為兩圓外切，所以，即，即，則點在以為圓心，半徑為2的圓上，即在圓上，令，則表示過點與點的直線的斜率，則該直線一定過點，且與圓有公共點，設(shè)該直線方程為，即，設(shè)圓心到直線的距離為，則，即第10頁/共20頁解得，即的取值范圍是.故答案為：.14.在長方體（如圖1）中，已知，，上底面繞著其中心旋轉(zhuǎn)得到一個十面體（如圖2______.【答案】【解析】【分析】求出外接球的半徑，利用球的體積公式計算即可【詳解】該十面體的外接球的球心是上下底面中心連線的中點，該點到該十面體每個頂點的距離均為，所以這個十面體的外接球的半徑為，所以體積.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，將兩次得到的點數(shù)分別記為，.（1）求是奇數(shù)的概率；（2）求直線與雙曲線有公共點的概率.【答案】（1）第11頁/共20頁（2）【解析】1）先求出基本事件的總數(shù)，再用列舉法求出隨機(jī)事件中基本事件的個數(shù)，利用古典概型的概率公式可求概率；（2與雙曲線有公共點時件的個數(shù)，再根據(jù)古典概型的概率公式可求概率.【小問1詳解】由題意可知，基本事件的總數(shù)為：.設(shè)“是奇數(shù)”為事件，則事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，共18個，所以【小問2詳解】設(shè)“直線與雙曲線有公共點”為事件，因為雙曲線的漸近線為，所以，得，則事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共15個,故.16.已知圓關(guān)于直線的對稱圓的圓心為，直線過點.（1）若直線與圓相切，求直線的方程；（2）若直線與圓交于，兩點，，求直線的方程.【答案】（1）或（2）或【解析】第12頁/共20頁【分析】(1)分類討論直線的斜率存在與不存在，利用圓心到直線的距離等于圓的半徑計算即可；(2)由題意知直線的斜率一定存在，設(shè)直線方程，利用點到直線的距離公式和圓的半徑計算即可.【小問1詳解】由題意可知圓的圓心坐標(biāo)，半徑，當(dāng)直線過點的方程為當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)斜率為，因為直線過點，設(shè)直線的方程為，化為一般式：，直線與圓相切，則，解得，所以直線的方程為：，即，綜上，當(dāng)直線與圓相切，直線的方程為或；【小問2詳解】圓的圓心坐標(biāo)，半徑，設(shè)，因為圓關(guān)于直線的對稱圓的圓心為，所以，解得，即圓的圓心為，半徑為4，當(dāng)直線斜率不存在時，因為直線過點，直線的方程，此時圓心到直線距離等于，，符合；當(dāng)直線斜率存在時，直線的方程為，化為一般式：，圓心到直線的距離，若直線與圓交于，兩點，，根據(jù)勾股定理可得，第13頁/共20頁即，解得，所以直線的方程為或.17.如圖，在五棱錐中，平面平面，，.（1）證明：平面；（2）若四邊形為正方形，且，，為邊的中點，，當(dāng)取何值時，直線與平面所成的角最小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得出線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系求解線面角的正弦值結(jié)合正弦函數(shù)的值域得出正弦值的最小值即可得出最小角.【小問1詳解】因為平面平面，，平面，平面平面所以平面，又平面，所以，又因為，，且，平面所以平面.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點，分別以，，為，，軸建立空間直間直角坐標(biāo)系.第14頁/共20頁由，則，，，可得與軸夾角為，所以，，，，，平面的法向量記為由得令，得即，當(dāng)時，等號成立，即時，直線與平面的所成的角取得最小值18.已知等比數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式.（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.（3）在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項；若不存在，請說明理由.第15頁/共20頁【答案】（1）（2）（3）不存在，理由見解析【解析】1）根據(jù)的關(guān)系即可作差求解，（2）根據(jù)錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和即可得解，（3）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，即可根據(jù)等差中項以及等比中項的性質(zhì)得矛盾求解.【小問1詳解】由，得，兩式相減，得.數(shù)列是等比數(shù)列，又時，代入可得，，【小問2詳解】因為，所以，①，則②，①-②得，因此，【小問3詳解】由題意得，即，故，第16頁/共20頁假設(shè)在數(shù)列中存在三項，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，即，①、、成等差數(shù)列，，則①式可化為，故.這與題設(shè)矛盾，在數(shù)列中不存在三項，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列19.已知點是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，在變換的作用下，點對應(yīng)到點，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換.如：在變換的作用下得到.（1）已知曲線在的作用下得到曲線，求的方程；（2）已知橢圓在變換下保持位置關(guān)系不變性，即點在曲線上，在變換下點也在曲線與下直線與曲線也相切.已知點是上一動點，直線是在處的切線.用上述結(jié)論求的方程；（3與曲線在第四象限的交點為，在處的切線被所截得的弦長記為，求.【答案】（1）第17頁/共20頁（2）（3）【