湖北省武漢市武昌區(qū)2025屆高三上學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題 含解析

湖北省武漢市武昌區(qū)屆高三上學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題?85分在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】化簡集合，根據(jù)集合的交集運算求解.【詳解】集合，，則.故選：A.2.若復數(shù)z滿足，則（）A.2B.C.2iD.【答案】B【解析】【分析】利用復數(shù)的四則運算及共軛復數(shù)的定義計算即可.【詳解】解：因為，所以，所以所以故選：3.已知雙曲線C的漸近線方程為，則C的離心率為（）A.B.C.或D.不能確定【答案】C【解析】第1頁/共20頁【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線焦點位置設出方程，借助漸近線方程求出離心率.【詳解】當雙曲線方程為時，其漸近線為，，則離心率；當雙曲線方程為時，其漸近線為，，則離心率，所以雙曲線的離心率為或.故選：C4.已知公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A.B.C.13D.【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列求和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)可求得的值.【詳解】因為公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，且，因為，整理可得，故，所以，.故選：C.5.中國冶煉鑄鐵的技術比歐洲早2000個表面積為cm2的實心鐵球熔化后，澆鑄成一個正四棱臺形狀的實心鐵錠澆鑄過程體積無變化，該鐵錠的上、下底面的邊長分別為cm和cm，則該鐵錠的高為（）A.30cmB.C.36cmD.【答案】B【解析】第2頁/共20頁【分析】根據(jù)給定條件，利用球的表面積、體積公式及棱臺的體積公式列式計算得解.【詳解】解：設實心鐵球的半徑為R，則，解得，則實心鐵球的體積為，設正四棱臺的實心鐵錠的高為h，因為實心鐵球的體積和正四棱臺的實心鐵錠體積相等，則，解得故選：6.已知函數(shù)在與上的最小值均為，最大值也相同，則實數(shù)a的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題干的定義域，求出的定義域，再得到值域，列不等式，得到答案.【詳解】解：由題，，當時，；當時，；要使在與上的最小值均為，最大值也相同，顯然，且，第3頁/共20頁則有，解得，故實數(shù)a的取值范圍是，故選：7.已知平面向量，，，滿足，則的最小值是（）A0B.3C.D.2【答案】D【解析】【分析】不妨設，計算，當時，【詳解】解：向量滿足，則不妨設，則，則，且，則，當時，第4頁/共20頁故選：D.8.已知函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，，均有，則函數(shù)的最小值是（）A.8B.6C.4D.【答案】A【解析】【分析】記，由，利用函數(shù)單調(diào)性知，結合，首先求出的解析式，可得函數(shù)，再利用配方法求最值即可求解.【詳解】記，用y替換中的x得，且，，因為函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，所以，因為，所以，或，又函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減所以有滿足題設條件.所以，，第5頁/共20頁當即時，函數(shù)的最小值是故選：A【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵是用y替換中的x，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的解析式.二、多選題：本題共3小題，共分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.某射擊運動員在一次訓練中一共進行了10次射擊，成績依次為6，5，7，8，6，7，9，7，9，單位：環(huán)，則下列說法中正確的是（）A.這組數(shù)的眾數(shù)為7B.這組數(shù)的第80百分位數(shù)為8C.若每個數(shù)都減去2，則這組數(shù)的均值也會減去2D.若每個數(shù)都乘以2，則這組數(shù)方差也會乘以2【答案】AC【解析】【分析】分別求出運動員成績的眾數(shù)，均值，方差、以及第80百分位，再用均值，方差性質(zhì)，判斷四個選項即可．【詳解】解：將成績從小到大排列為：5，5，6，6，7，7，7，8，9，9，對于A、這組數(shù)的眾數(shù)為7，故A正確；對于B、因為，則這組數(shù)的第80百分位數(shù)為，故B錯誤；對于C、若每個數(shù)都減去2，則這組數(shù)的均值也會減去2，故C正確；對于D、若每個數(shù)都乘以2，則這組數(shù)方差會乘以4，故D錯誤.故選：AC.10.已知函數(shù)，則（）A.B.若函數(shù)單調(diào)遞增，則C.當時，函數(shù)的圖象關于點中心對稱第6頁/共20頁D.若存在，使得，則a的最大值是1【答案】BCD【解析】【分析】利用配方法判斷A；利用導數(shù)判斷B；利用中心對稱的性質(zhì)判斷C；分類討論判斷【詳解】解：因為，所以，A錯誤；求導數(shù)，，所以，所以，B正確；當時，，所以，所以函數(shù)的圖象關于點中心對稱，C正確；當時，，滿足題意；當時，若,則，故在上無解，故，所以a的最大值是1，D正確.故選:已知非常數(shù)數(shù)列n項和為，，為包容數(shù)列．下列說法錯誤的是（）A.數(shù)列0，0，1，1，，是包容數(shù)列B.任何包容數(shù)列的前三項中一定存在兩項互為相反數(shù)C.若一個包容數(shù)列從第k項開始連續(xù)三項可以構成一個各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，則k的最小值為5D.由，0，1三個數(shù)生成的包容數(shù)列中，如果去掉一項后依然是包容數(shù)列，這項一定是0【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)包容數(shù)列的定義和性質(zhì)可判斷ABD的正誤，利用枚舉法可判斷C的正誤.第7頁/共20頁【詳解】對于A，當時，不存在使，所以數(shù)列0，0，1，1，，不是包容數(shù)列，故A錯誤；對于B，當為包容數(shù)列，則或或，即或或，故B正確；對于D，，0，1去掉后，得到0，1仍是包容數(shù)列，故D錯誤；對于C，可為任意數(shù)，考慮前2項，或，得或，所以包容數(shù)列的前2項中必有1個數(shù)為0，設包容數(shù)列的前2項為m，0或0，m，考慮前3項，由B項知的前3項中必有2項互為相反數(shù)，則的前3項為m，0，0或0，m，0或m，0，或0，m，同理可知的前n項中必有項之和為0，的前4項為m000①或m00，②或0m00③或0m0，④或m0，n⑤或0，m，，n⑥，從第5項開始：對于①，對于②，對于③，；對于④，；第8頁/共20頁對于⑤，對于⑥，綜上所述，中要么會有一個0，要么會有一組相反數(shù)，所以不可能全為正，故C錯誤.故選：ACD.【點睛】思路點睛：對于數(shù)列新定義問題，注意根據(jù)數(shù)列新定義展開計算與討論，對于新定義下數(shù)列的性質(zhì)的探究，可以從具體中找到一般的性質(zhì).三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.展開式中只有第7項的系數(shù)最大，則__________.【答案】12【解析】【分析】由題意利用二項式定理，二項式系數(shù)的性質(zhì)，得出結論．【詳解】解：的展開式中，只有第七項的系數(shù)即二項式系數(shù)最大，故展開式共有13項，則，故答案為：13.已知隨機變量X，Y均服從分布，若，且，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩點分布的概率特征，結合互斥事件特征和對立事件概率性質(zhì)計算即可.【詳解】解：因為隨機變量X，Y均服從分布，且，所以，第9頁/共20頁因為，所以，且因為，所以，因此，所以故答案為：.14.設圓與拋物線交于點，為圓的直線與拋物線交于不同于點的兩個點D，E，則直線AD與AE的斜率之積為__________.【答案】2【解析】【分析】由題意得出，，設，，由B，D，E三點共線可得，結合，，化簡得，代入即可求.【詳解】將代入圓的方程中，得，故，又因為為圓與拋物線的交點，所以，代入得，即拋物線，由AB為圓的直徑可得，A，B關于O對稱，則，第10頁/共20頁設，，則由B，D，E三點共線可得，整理得，又因為，，所以，整理得，由題意，所以，所以，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，點D為線段AC的中點，A，C滿足（1）求B；（2）若的面積為，，求中線BD的長．【答案】（1）（2）【解析】1）根據(jù)正弦定理將已知的正弦關系轉(zhuǎn)化為邊的關系，再利用余弦定理求出角。（2BD的長。【小問1詳解】第11頁/共20頁因為，所以，又因為所以，，得，所以，由余弦定理得，又B為三角形內(nèi)角，所以，【小問2詳解】因為的面積為，，，所以，，所以，又，因為BD為的中線，所以，，所以，，所以16.如圖，四棱錐中，平面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，，（1）已知G為AF的中點，求證：平面DCF；（2BF與平面ABCD所成的角為的余弦值為B到平面DCF的距離．【答案】（1）證明見解析第12頁/共20頁（2）【解析】DF的中點K，可證明四邊形KGBC為平行四邊形，即可證明平面；（2）以A為坐標原點建立空間直角坐標系，設，求出平面DCF的法向量為，應用公式即可求點B到平面DCF的距離.【小問1詳解】取DF的中點K，連接GK、KC，因為G為AF中點，所以，，因為，，所以，，所以四邊形KGBC為平行四邊形，所以，因為平面DCF，平面DCF，故平面DCF；【小問2詳解】因為平面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，，所以FA，AD，AB兩兩垂直，以A為坐標原點，AF，AB，AD所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，直線BF與平面ABCD所成的角為，有，設，，則，，，，所以，，，第13頁/共20頁設平面DCF的法向量為，所以，即，令，則，，所以，所以，所以，即，因為，所以點B到平面DCF的距離17.已知函數(shù)（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，，求實數(shù)a取值范圍．【答案】（1）在，單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減.（2）【解析】1）先將代入函數(shù)，然后對求導，根據(jù)導數(shù)的正負來確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2時的取值范圍.【小問1詳解】當時，，則，令，解得或，當或時，第14頁/共20頁當或時，所以在，單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減.【小問2詳解】因為時，，所以，得，即，令，則，令，且在上單調(diào)遞增，且，所以，當時，，即當時，，即所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故18.已知橢圓C：的長軸長是短軸長的2倍，焦距為，點A，B分別為C的左、右頂點，點P，Q為C上的兩個動點，且分別位于x軸上、下兩側，和的面積分別為，，記（1）求橢圓C的方程；（2）若，求證直線PQ過定點，并求出該點坐標；（3）若，設直線AP和直線BQ的斜率分別為，，求的取值范圍．【答案】（1）第15頁/共20頁（2）證明見解析，定點坐標為（3）【解析】1）根據(jù)題意，列出關于的方程組，求得的值，即可得到橢圓方程；（2）由圖形對稱性可知定點在x軸上，設，由題意得，求解即可.（3）設直線PQ的方程為，，，并表示聯(lián)立由韋達定理得，，代入化簡并結合即可得所求.【小問1詳解】由題意知，，，又，，，所以橢圓C的方程為：【小問2詳解】證明：由知，，由圖形對稱性可知，定點M在x軸上，設直線PQ方程為：，，，，，解得，即定點坐標為【小問3詳解】第16頁/共20頁設直線PQ的方程為，，聯(lián)立可得，則，，且于是，，，即的范圍是19.翻開這些卡片時，要求按照從小到大的數(shù)字順序依次翻開，如果翻開了一張卡片其順序不符合要求，應該立刻將它翻回至背面朝上（翻回不計入次數(shù)）并記住此卡片出現(xiàn)的數(shù)字，以保證翻卡片的次數(shù)盡可能少，直到所有卡片正面朝上為止．（1）求第三次恰好翻開數(shù)字為的卡片且不再翻回的概率；（2）記為需要翻開的次數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望；（3）將卡片數(shù)量改為張，并依次寫上數(shù)字，記為翻開這些卡片需要的平均次數(shù)，求證：.附：數(shù)學期望具有線性可加性，即第17頁/共20頁【答案】（1）（2）分布列見解析，次（3）證明見解析【解析】1）分兩種情況討論如果第一張翻出了和第二張翻出了，利用互斥事件的概率公式即可求解；（2）根據(jù)題設可得次數(shù)可取，再分別求出相應的概率，即可求出分布列，再利用期望的計算公式，即可求解；（3）記為需要翻開寫有點數(shù)的紙卡片的次數(shù)，根據(jù)題設有，從而得到，即可求解.【小問1詳解】由題知，前兩次一定會翻到，否則第三次翻到也會被翻回，故分兩種情況：如果第一張翻出了，那么第二次一定不能翻，因此，如果第二張翻出了，那么有兩種情況，第一種情況第一張翻出了并翻回，另一種情況是第一張沒有翻出2，第三張恰好翻到2，因此，所以.【小問2