2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算練習(xí)含解析新人教A版選修2-1

PAGEPAGE13.1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算課時(shí)過關(guān)·實(shí)力提升基礎(chǔ)鞏固1在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列各對(duì)向量夾角為45°的是()A.C.解析:A,B,C,D四個(gè)選項(xiàng)中兩個(gè)向量的夾角依次是45°,135°,90°,180°,故選A.答案:A2在棱長為2的正四面體ABCD中,若E,F分別是BC,AD的中點(diǎn),則AEA.0 B.解析:AE答案:D3已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱的長度都為2,E,F分別是AB,A1C1的中點(diǎn),則EF的長是()A.2 B.解析:由于所以即EF的長是答案:C4在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E是上底面A1B1C1D1的中心,則AC1與CE的位置關(guān)系是()A.重合 B.平行 C.垂直 D.無法確定解析:AC1=AB+AD答案:C5已知矩形ABCD,PA⊥平面ABCD,則以下等式可能不成立的是()A.C.解析:①DA⊥ABDA⊥PA?DA⊥平面PAB?DA⊥PB?DA·PB=0;②同①知AB·PD=0;③PA⊥平面ABCD?PA⊥CD?PA·CD=0;④答案:B6在正四面體ABCD中,BC解析:<答案:120°7已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,則A解析:A1B·B1C=答案:a28已知在三棱錐O-ABC中,M,N,P,Q分別為BC,AC,OA,OB的中點(diǎn),若AB=OC,求證:PM⊥QN.證明:設(shè)OA=a,OB=∵P,M分別為OA,BC的中點(diǎn),∴PM=OM-OP=12(b+c)同理,QN=12(a+c)-12b∴PM·QN=-14[|b-a∵AB=OC,即|b-a|=|c|,∴∴即PM⊥QN.9如圖,已知E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1的中點(diǎn),試求向量A解:設(shè)正方體的棱長為m,AB=a,AD=則|a|=|b|=|c|=m,a·b=b·c=a·c=0.∵A1C1=A∴A1C1·DE=(a+b)·c+12又∴cos<實(shí)力提升1已知a,b是異面直線,且a⊥b,e1,e2分別為取自直線a,b上的單位向量,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,則實(shí)數(shù)k的值為()A.-6 B.6 C.3 D.-3解析:∵a⊥b,∴a·b=(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=2k|e1|2+(3k-8)e1·e2-12|e2|2=2k-12=0,∴k=6.答案:B2如圖,在正四面體ABCD中,E是BC的中點(diǎn),則()A.B.C.D.答案:C3設(shè)A,B,C,D是空間不共面的四點(diǎn),且滿足AB·AC=0,ACA.鈍角三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.不確定解析:∵∴AB,AC,AD兩兩垂直.∴BC2=AB2+AC2,CD2=AC2+AD2,BD2=AB2+AD2,∴BC2<CD2+BD2,CD2<BC2+BD2,BD2<BC2+CD2.∴△BCD是銳角三角形.答案:B4在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,若AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,則AC1的長為()A.C.解析:∵∴|∵AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,∴<∴|答案:B5在空間四邊形OABC中,若∠AOB=∠AOC=π解析:OA答案:06在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=π解析:設(shè)AB=AC=AA1=a,所以A1B=則cos<===故向量A1B,C1A所成角為π答案:π7已知在空間四邊形OABC中,OA⊥BC,OB⊥AC,求證:OC⊥AB.證明:=∵∴=OB=①-②,得∴OC·BA8★如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為正方形ABCD和AA1B1B的中心.(1)求證:AC1⊥平面A1BD;(2)求(1)證明設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c,則AC1=a+由題意可知|a|=|b|=|c|,a·b=a·c=b·c=0,則有AC1·BD=(a+b+c=a·b-a2+b2-a·b+b·c-a·c=|b|2-|a|2=0.同理∴AC1⊥BD,AC1⊥A1B.又A1B與BD相交,∴AC1⊥平面A1BD.(2)解設(shè)正方體的棱長為a,則D1M=D1CN=CB+BN=-b∴|=a2+∴|又=-12|c|2-14|a|2∴cos<即9★如圖所示,正四面體V-ABC的高VD的中點(diǎn)為O,VC的中點(diǎn)為M.(1)求證:AO,BO,CO兩兩垂直;(2)求<分析:(1)要證AO,BO,CO兩兩垂直只需證(2)由公式cos<可求得(1)證明設(shè)VA=a,VB=b,VC=c,且正四面體的棱長為1,有|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·則VD=13(a+b+c),AO=BO=16(a+c-5b),CO=1∴AO·BO=136(b+c-5a)·(=136(18a