4.2.1 等差數(shù)列的概念（8大題型）精練（解析版）

4.2.1等差數(shù)列的概念【題型1等差數(shù)列的概念】1、（2022·高二課時練習）下列數(shù)列中，不成等差數(shù)列的是（）．A．2，5，8，11B．1.1，1.01，1.001，1.0001C．a(chǎn)，a，a，aD．，，，【答案】B【解析】對于A，因為第2項起，后一項與前一項的差是同一個常數(shù)3，所以此數(shù)列是等差數(shù)列，所以A不合題意，對于B，因為，，即，所以此數(shù)列不是等差數(shù)，所以B符合題意，對于C，因為第2項起，后一項與前一項的差是同一個常數(shù)0，所以此數(shù)列是等差數(shù)列，所以C不合題意，對于D，數(shù)列，，，可表示為，，，，因為第2項起，后一項與前一項的差是同一個常數(shù)1，所以此數(shù)列是等差數(shù)列，所以D不合題意，故選：B2、（2023·重慶·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）下列數(shù)列中等差數(shù)列的是（）A．B．C．【答案】A【解析】對于A，，相鄰兩項的差為常數(shù)，是等差數(shù)列；對于B，，相鄰兩項的差不為常數(shù)，不是等差數(shù)列；對于C，，相鄰兩項的差不為常數(shù)，不是等差數(shù)列；故選：A3、（2022·陜西咸陽·高二統(tǒng)考期中）若數(shù)列為等差數(shù)列，則下列說法中錯誤的是（）A．數(shù)列，，，…，…為等差數(shù)列B．數(shù)列，，，…，，…為等差數(shù)列C．數(shù)列為等差數(shù)列D．數(shù)列為等差數(shù)列【答案】C【解析】A選項：因為為等差數(shù)列，所以設(shè)（為常數(shù)），又，所以數(shù)列也為等差數(shù)列，故A正確；B選項：，所以數(shù)列為等差數(shù)列，故B正確；C選項：，不是常數(shù)，故不是等差數(shù)列，故C錯；D選項：，所以數(shù)列為等差數(shù)列，故D正確.故選：C.4、（2022·全國·高二課時練習）（多選）下列數(shù)列中是等差數(shù)列的是（）A．，a，B．2，4，6，8，…，，C．，，，D．【答案】ABD【解析】對于A選項，由于，故是等差數(shù)列，正確；對于B選項，2，4，6，8，…，，中，，是等差數(shù)列，正確；對于C選項，因為，，又，即第3項與第2項的差不等于第2項與第1項的差，故不是等差數(shù)列；對于D選項，由得，滿足等差數(shù)列定義.故選：ABD.5、（2023·全國·高三專題練習）若，，（，，均不為0）是等差數(shù)列，則下列說法正確的是（）A．，，一定成等差數(shù)列B．，，可能成等差數(shù)列C．，，一定成等差數(shù)列D．，，可能成等差數(shù)列【答案】BCD【解析】對于A，令，，，則，，，不滿足，所以，，不成等差數(shù)列，故A錯誤；對于B，令，則，滿足，故B正確；對于C，∵，，成等差數(shù)列，∴，∴，即，，，一定成等差數(shù)列，故C正確；對于D，令，則，滿足，故D正確，故選：BCD.【題型2等差數(shù)列的通項與基本量】1、（2022·天津河東·高二?？茧A段練習）等差數(shù)列3，11，19，27，…的通項公式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為等差數(shù)列的首項，公差，所以通項公式為.故選：B2、（2023·黑龍江·高二鶴崗一中?？计谥校┑炔顢?shù)列中，，公差，則是數(shù)列的第（）A．項B．項C．項D．項【答案】A【解析】因為等差數(shù)列中，，公差，所以，則，所以，即，解得.故選：A.3、（2023·浙江臺州·高二期末）已知數(shù)列中，，且是等差數(shù)列，則（）A．36B．37C．38D．39【答案】A【解析】因為，所以，又是等差數(shù)列，故首項為3，公差為2，所以，所以．故選：A.4、（2023·江西·高二泰和中學校聯(lián)考期中）在數(shù)列中，，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得，令，則，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，即，所以.故選：B5、（2023·河北承德·高二實驗中學?？茧A段練習）在等差數(shù)列中，若，，求等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意，解得，于是，因此.故選：D【題型3等差中項及其應用】1、（2023·重慶·高二校聯(lián)考期末）在等差數(shù)列中，、是方程的兩根，則的值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由韋達定理和等差中項的性質(zhì)可得，因此，.故選：A.2、（2023·安徽合肥·高二合肥市第七中學?？计谥校┮阎羧齻€數(shù)成等差數(shù)列，則.【答案】5【解析】由等差中項可得，所以.3、（2023·廣東湛江·高二湛江市第二中學?？茧A段練習）在等差數(shù)列中，，則的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在等差數(shù)列中，，則，因此，.故選：D.4、（2023·河南洛陽·高二?？茧A段練習）在等差數(shù)列中，若，，則等于（）A．20B．18C．16D．【答案】D【解析】因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，所以；又，，所以.故選：D5\（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預測）已知等差數(shù)列滿足，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，即，所以，故選：A【題型4等差數(shù)列的性質(zhì)】1、（2023·甘肅武威·高二統(tǒng)考期中）在等差數(shù)列中，，則的值為（）A．B．11C．22D．33【答案】B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：，而，所以，即.故選：B.2、（2023·高二課時練習）已知等差數(shù)列中，，則（）A．30B．15C．5D．10【答案】B【解析】∵數(shù)列為等差數(shù)列，，所以∴.故選：B3、（2023·全國·高二課時練習）如果等差數(shù)列中，，那么（）A．14B．12C．28D．36【答案】C【解析】∵，∴，則，又，故.故選:C.4、（2022·全國·高二課時練習）等差數(shù)列{an}中，a5＋a6＝4，則（）A．10B．20C．40D．2＋log25【答案】B【解析】因為，所以原式＝log2220＝20.故選：B.5、（2023·全國·高二課時練習）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，求．【答案】【解析】由等差數(shù)列性質(zhì)知：，，.【題型5設(shè)元法巧解等差數(shù)列】1、（2022·江蘇連云港·高二期末）已知四個數(shù)依次成等差數(shù)列，且四個數(shù)的平方和為94，首尾兩數(shù)之積比中間兩數(shù)之積少18，則此等差數(shù)列的和是（）A．14B．13C．或14D．或13【答案】C【解析】設(shè)這四個數(shù)分別為，由題意得，即，解得或或或，當時，等差數(shù)列為-1，2，5，8；當時，等差數(shù)列為8，5，2，-1；等差數(shù)列的和是14；當時，等差數(shù)列為-8，-5，-2，1；當時，等差數(shù)列為1，-2，-5，-8，等差數(shù)列的和是．故選：C．2、（2022·全國·高二課時練習）已知5個數(shù)組成一個單調(diào)遞減的等差數(shù)列，且它們的和為5，平方和為165，則這個等差數(shù)列的第1項為.【答案】9【解析】設(shè)這個等差數(shù)列中的五個數(shù)分別為，，x，，.由題意，得解得或因為這個數(shù)列單調(diào)遞減，所以，即所以第1項為.3、（2021·山西運城·高二?？奸_學考試）（1）三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為，前兩項之積為后一項的倍，求這三個數(shù).（2）四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為，首末兩項的積為，求這四個數(shù).【答案】（1），，；（2），，，.【解析】（1）設(shè)這三個數(shù)依次為，，，由題意可得：，解得：，所以這三個數(shù)依次為，，.（2）設(shè)這四個數(shù)依次為，，，(公差為)，由題意可得，解得或(舍)，故所求的四個數(shù)依次為，，，.4、（2022·全國·高二課時練習）三個數(shù)成等差數(shù)列，這三個數(shù)的和為6，三個數(shù)之積為－24，求這三個數(shù).【答案】三個數(shù)為－2，2，6或6，2，－2.【解析】設(shè)這三個數(shù)分別為a－d，a，a＋d.由題意可得解得或∴所求三個數(shù)為－2，2，6或6，2，－2.5、（2022·全國·高二課時練習）已知四個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，前三個數(shù)的和為15，第一個數(shù)與第四個數(shù)的乘積為27，求這四個數(shù)．【答案】3，5，7，9或，5，，6．【解析】設(shè)此等差數(shù)列的前4項分別為a﹣d，a，a+d，a+2d,由題意可得，解得或.∴這四個數(shù)是：3，5，7，9或，5，，6．【題型6由等差數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列】1、（2023·湖北武漢·高二校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入3個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列，則（）A．4044B．4046C．4048D．4050【答案】B【解析】設(shè)數(shù)列的公差為，由題意可知，，，故，故，則，故選：B.2、（2023·河北·高二秦皇島一中?？计谀┰诘炔顢?shù)列中每相鄰兩項之間都插入2個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列.則是數(shù)列的第（）項.A．32B．33C．34D．35【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等差數(shù)列的公差為，等差數(shù)列各項為：，等差數(shù)列各項為：，顯然有，，故選：B3、（2022·全國·高二課時練習）在數(shù)列、、、、的每相鄰兩項中插入個數(shù)，使它們與原數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，則新數(shù)列的第項（）A．不是原數(shù)列的項B．是原數(shù)列的第項C．是原數(shù)列的第項D．是原數(shù)列的第項【答案】C【解析】設(shè)數(shù)列為，則，，，，設(shè)，則，，，，由題意可知，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，故，令，解得，因此，新數(shù)列的第項為原數(shù)列的第項，故選：C.4、（2023·上海閔行·高三閔行中學?？奸_學考試）已知等差數(shù)列的首項為2，公差為8，在中每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，使它們與原數(shù)列的項一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列，則數(shù)列．【答案】4046【解析】設(shè)數(shù)列的公差為，由題意可得：，即，且，故.5、（2022·高二課時練習）已知為等差數(shù)列，且以，，若在每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，使它和原數(shù)列的數(shù)構(gòu)成一個新的等差數(shù)列，求：（1）原數(shù)列的第12項是新數(shù)列的第幾項？（2）新數(shù)列的第29項是原數(shù)列的第幾項？【答案】（1）第45項；（2）第8項．【解析】（1）設(shè)新數(shù)列為，則，，根據(jù)，有，即，所以，所以．又因為，所以．即原數(shù)列的第n項為新數(shù)列的第項．當時，，故原數(shù)列的第12項為新數(shù)列的第45項．（2）由（1），令，得，即新數(shù)列的第29項是原數(shù)列的第8項．【題型7等差數(shù)列的證明】1、（2023·全國·高二課時練習）已知數(shù)列中，在時恒成立，求證：是等差數(shù)列．【答案】證明見解析【解析】證明

因為，所以．因此，從第2項起，每一項與它的前一項的差都相等，所以是等差數(shù)列．2、（2023上·云南昆明·高二云南民族大學附屬中學校考期中）數(shù)列滿足.（1）求的值；（2）設(shè)，證明是等差數(shù)列.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）數(shù)列滿足所以，（2）∵∴為等差數(shù)列.3、（2023·全國·高二課時練習）已知，若，且（為正整數(shù)）.（1）寫出數(shù)列的前5項；（2）證明是等差數(shù)列，并求.【答案】（1）1，，，，；（2）證明見解析，【解析】（1）由已知條件得，即，,,,故數(shù)列的前5項為1，，，，.（2）證明：∵，∴,∴，其中首項為，∴是首項為，公差為的等差數(shù)列，∴，∴.4、（2023·重慶榮昌·高二榮昌中學校?？茧A段練習）已知數(shù)列滿足，且.（1）求；（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求.【答案】（1）；（2）證明見解析；【解析】（1）因為，所以.（2）因為，所以，則，故，又，所以，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列.所以，則.5、（2023·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級中學校聯(lián)考階段練習）記為數(shù)列的前n項和．（1）若數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求的表達式；（2）若數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）由已知得，，所以；（2）∵，∴，∴，當時，，兩式相減得：∴，∴，∴，∴數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列.【題型8等差數(shù)列的實際應用】1、（2023·天津和平·高三天津二十中?？茧A段練習）《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為（）A．升B．升C．升D．升【答案】C【解析】設(shè)此等差數(shù)列為，公差為，由題意可得：則，聯(lián)立解得故選：C．2、（2023·廣東汕尾·高二華中師范大學海豐附屬學校?？茧A段練習）《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：冬至?小寒?大寒?立春?雨水?驚蟄?春分?清明?谷雨?立夏?小滿?芒種這十二個節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，立春當日日影長為9.5尺，立夏當日日影長為2.5尺，則春分當日日影長為（）A．4.5尺B．5尺C．5.5尺D．6尺【答案】D【解析】設(shè)十二節(jié)氣自冬至日起的日影長構(gòu)成的等差數(shù)列為，則立春當日日影長為，立夏當日日影長為，所以春分當日日影長為.故選：D3、（2022·江蘇連云港·高二海州高級中學校考期中）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于我國南北朝時期的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》，1852年，英國傳教士偉烈亞力將該解法傳至歐洲，1874年，英國數(shù)學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定