2024-2025學(xué)年高中物理第3章萬有引力定律及其應(yīng)用章末復(fù)習(xí)課學(xué)案含解析粵教版必修2

PAGE8-章末復(fù)習(xí)課[體系構(gòu)建][核心速填]一、開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律1．開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律(1)第肯定律(又稱軌道定律)：全部的行星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上(2)其次定律(又稱面積定律)：行星和太陽之間的連線，在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相同的面積．(3)第三定律(又稱周期定律)：行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方和軌道半長軸的立方成正比，即eq\f(a3,T2)＝k.2．萬有引力定律(1)內(nèi)容：宇宙間的一切物體都是相互吸引的．兩個(gè)物體間引力的方向在它們的連線上，引力的大小跟它們的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們之間的距離的二次方成反比．(2)公式：F＝Geq\f(m1m2,r2).二、計(jì)算天體的質(zhì)量1．地球質(zhì)量的計(jì)算：若月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是由它們之間的萬有引力供應(yīng)的，依據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up20(2)r可得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，知道月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期T以及它和地球之間的距離r就可以算出地球的質(zhì)量．2．行星(或中心天體)的質(zhì)量計(jì)算：已知衛(wèi)星繞行星(或行星繞中心天體)運(yùn)動(dòng)的周期和衛(wèi)星與行星(或行星與中心天體)之間的距離，同樣可以計(jì)算出行星(或中心天體)的質(zhì)量．三、人造衛(wèi)星和宇宙速度1．近地衛(wèi)星的速度：(1)原理：飛行器繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)所需的向心力由萬有引力供應(yīng)，所以meq\f(v2,r)＝eq\f(GMm,r2)，解得v＝eq\r(\f(GM,r)).(2)結(jié)果：用地球半徑R代表近地衛(wèi)星到地心的距離r，可算出v＝eq\r(\f(6.67×10－11×5.98×1024,6.37×106))m/s≈7.9km/s.2．宇宙速度數(shù)值意義第一宇宙速度7.9km/s衛(wèi)星在地球表面旁邊繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度其次宇宙速度11.2km/s使衛(wèi)星擺脫地球引力束縛的最小地面放射速度第三宇宙速度16.7km/s使衛(wèi)星擺脫太陽引力束縛的最小地面放射速度萬有引力與重力的關(guān)系1.萬有引力和重力的關(guān)系事實(shí)上，地面上物體所受的萬有引力F可以分解為物體所受的重力mg和隨地球自轉(zhuǎn)而做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力F′.其中F＝Geq\f(Mm,R2)，F(xiàn)′＝mrω2，質(zhì)量為m的物體在地面上的萬有引力F大小不變，且F?F′.(1)當(dāng)物體在赤道上時(shí)，F(xiàn)、mg、F′三力同向．此時(shí)滿意F′＋mg＝F，物體的重力最小，方向指向地心．(2)當(dāng)物體在兩極點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)′＝0，F(xiàn)＝mg＝Geq\f(Mm,R2).(3)當(dāng)物體在地球的其他位置時(shí)，三力方向不同，F(xiàn)＞mg，重力略小于萬有引力，重力的方向不指向地心．(4)當(dāng)忽視地球自轉(zhuǎn)時(shí)，重力等于萬有引力，即mg＝Geq\f(Mm,R2).(5)對(duì)于繞地球運(yùn)行的近地衛(wèi)星，所受的萬有引力可認(rèn)為等于衛(wèi)星的重力．2．赤道上物體的向心加速度和衛(wèi)星的向心加速度的區(qū)分放在赤道地面上的物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力是地球?qū)ξ矬w的引力和地面支持力的合力供應(yīng)的；而環(huán)繞地球運(yùn)行的衛(wèi)星所需的向心力完全由地球?qū)πl(wèi)星的引力供應(yīng)(如圖)．兩個(gè)向心力的數(shù)值相差很大(如質(zhì)量為1kg的物體在赤道上隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力只有0.034N，而它所受地球引力約為9.8N，近地衛(wèi)星上每千克的物體所需的向心力是9.8N)，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向心加速度的計(jì)算方法也不同，赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度a1＝ω2R＝(eq\f(2π,T))2R，式中T為地球自轉(zhuǎn)周期，R為地球半徑；衛(wèi)星環(huán)繞地球運(yùn)行的向心加速度a2＝eq\f(GM,r2)，式中M為地球質(zhì)量，r為衛(wèi)星與地心的距離．【例1】某星球“一天”的時(shí)間是T1＝6h，用彈簧測(cè)力計(jì)在星球的“赤道”上比在“兩極”處測(cè)同一物體的重力時(shí)讀數(shù)小10%，設(shè)想該星球自轉(zhuǎn)的角速度加快，使赤道上的物體自動(dòng)飄起來，這時(shí)星球的“一天”是多少小時(shí)？[解析]“一天”的含義是指該星球自轉(zhuǎn)的周期設(shè)該物體在星球的“赤道”上時(shí)重力為G1，在兩極處的重力為G2.在“赤道”處：Geq\f(Mm,R2)－G1＝meq\f(4π2,T\o\al(2,1))R ①在“兩極”處：Geq\f(Mm,R2)＝G2 ②G2－G1＝G2·10% ③由①②③式得Geq\f(Mm,R2)·10%＝meq\f(4π2,T\o\al(2,1))R ④赤道上的物體自動(dòng)飄起來也就是萬有引力全部供應(yīng)自轉(zhuǎn)向心力，設(shè)星球自轉(zhuǎn)的周期為T2時(shí)，即Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,2))R ⑤由④⑤兩式可得T2＝eq\f(\r(10),10)T1≈1.9h.[答案]1.9h1．設(shè)地球自轉(zhuǎn)周期為T，質(zhì)量為M，引力常數(shù)為G.假設(shè)地球可視為質(zhì)量勻稱分布的球體，半徑為R.同一物體在南極和赤道水平面上靜止時(shí)所受到的支持力之比為()A.eq\f(GMT2,GMT2－4π2R3)B.eq\f(GMT2,GMT2＋4π2R3)C.eq\f(GMT2－4π2R3,GMT2) D.eq\f(GMT2＋4π2R3,GMT2)A[在南極時(shí)物體受力平衡，支持力等于萬有引力，即N＝Geq\f(mM,R2)；在赤道上物體由于隨地球一起自轉(zhuǎn)，萬有引力與支持力的合力供應(yīng)向心力，即Geq\f(mM,R2)－N′＝mReq\f(4π2,T2)，兩式聯(lián)立可知A正確．]天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的“一”、“二”、“三”分析處理天體運(yùn)動(dòng)問題，要抓住“一個(gè)模型”、應(yīng)用“兩個(gè)思路”、區(qū)分“三個(gè)不同”．1．一個(gè)模型無論是自然天體(如行星、月球等)，還是人造天體(如人造衛(wèi)星、空間站等)，只要天體的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓形，就可將其簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．2．兩個(gè)思路(1)全部做圓周運(yùn)動(dòng)的天體，所需的向心力都來自萬有引力．因此，向心力等于萬有引力，據(jù)此所列方程是探討天體運(yùn)動(dòng)的基本關(guān)系式，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝man(2)不考慮地球或天體自轉(zhuǎn)影響時(shí)，物體在地球或天體表面受到的萬有引力約等于物體的重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg，變形得GM＝gR2，此式通常稱為“黃金代換式”．3．三個(gè)不同(1)不同公式中r的含義不同．在萬有引力定律公式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(F＝G\f(m1m2,r2)))中，r的含義是兩質(zhì)點(diǎn)間的距離；在向心力公式(F＝meq\f(v2,r)＝mω2r)中，r的含義是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道半徑．當(dāng)一個(gè)天體繞另一個(gè)天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩式中的r相等．(2)運(yùn)行速度、放射速度和宇宙速度的含義不同．三種速度的比較，如下表所示比較項(xiàng)概念大小影響因素運(yùn)行速度衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度v＝eq\r(\f(GM,r))軌道半徑r越大，v越小放射速度在地面上放射衛(wèi)星的速度大于或等于7.9km/s衛(wèi)星的放射高度越高，放射速度越大宇宙速度實(shí)現(xiàn)某種效果所需的最小衛(wèi)星放射速度7.9km/s11.2km/s16.7km/s不同衛(wèi)星放射要求不同(3)衛(wèi)星的向心加速度a、地球表面的重力加速度g、在地球表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度a′的含義不同．①繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的向心加速度a，由Geq\f(Mm,r2)＝ma，得a＝eq\f(GM,r2)，其中r為衛(wèi)星的軌道半徑．②若不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，地球表面的重力加速度為g＝eq\f(GM,R2)，其中R為地球的半徑．③地球表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度a′＝ω2Rcosθ，其中ω、R分別是地球的自轉(zhuǎn)角速度和半徑，θ是物體所在位置的緯度值．【例2】(多選)已知地球質(zhì)量為M，半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T，地球同步衛(wèi)星質(zhì)量為m，引力常量為G，有關(guān)同步衛(wèi)星，下列表述正確的是()A．衛(wèi)星距地面的高度為eq\r(3,\f(GMT2,4π2))B．衛(wèi)星的運(yùn)行速度小于第一宇宙速度C．衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)受到的向心力大小為Geq\f(Mm,R2)D．衛(wèi)星運(yùn)行的向心加速度小于地球表面的重力加速度BD[對(duì)同步衛(wèi)星由萬有引力供應(yīng)向心力Geq\f(Mm,R＋h2)＝m(R＋h)eq\f(4π2,T2)，所以h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))－R，A錯(cuò)誤；第一宇宙速度是最大的環(huán)繞速度，B正確；同步衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的向心力等于萬有引力，應(yīng)為F＝eq\f(GMm,R＋h2)，C錯(cuò)誤；同步衛(wèi)星的向心加速度為a同＝eq\f(GM,R＋h2)，地球表面的重力加速度a表＝eq\f(GM,R2)，知a表>a同，D正確．][一語通關(guān)]解決天體運(yùn)動(dòng)的基本思路,解決天體運(yùn)動(dòng)問題的思路1將天體運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng).2萬有引力供應(yīng)向心力，依據(jù)已知條件敏捷選擇合適的表達(dá)式eq\f(GMm,r2)＝eq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r.3關(guān)于地球衛(wèi)星的問題，有時(shí)還會(huì)應(yīng)用GM＝gR2做代換.2．我國勝利放射探月衛(wèi)星“嫦娥三號(hào)”，該衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道繞行n圈所用的時(shí)間為t，月球半徑為R0，月球表面處重力加速度為g0.(1)請(qǐng)推導(dǎo)出“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星離月球表面高度的表達(dá)式；(2)已知地球和月球的半徑之比為eq\f(R,R0)＝4，表面重力加速度之比為eq\f(g,g0)＝6，試求地球和月球的密度之比．[解析](1)由題意知，“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星的周期為T＝eq\f(t,n)設(shè)衛(wèi)星離月球表面的高度為h，由萬有引力供應(yīng)向心力得Geq\f(Mm,R0＋h2)＝m(R0＋h)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up20(2)又Geq\f(Mm′,R\o\al(2,0))＝m′g0聯(lián)立解得h＝eq\r(3,\f(g0R\o\al(2,0)t2,4π2n2))－R0.(2)設(shè)星球的密度為ρ，由Geq\f(Mm′,R2)＝m′g得GM＝gR2ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)聯(lián)立解得ρ＝eq\f(3g,4πGR)設(shè)地球、月球的密度分別為ρ0、ρ1，則eq\f(ρ0,ρ1)＝eq\f(g·R0,g0·R)將eq\f(R,R0)＝4，eq\f(g,g0)＝6代入上式，解得ρ0∶ρ1＝3∶2.[答案](1)eq\r(3,\f(g0R\o\al(2,0)t2,4π2n2))－R0(2)3∶2雙星問題1.雙星眾多的天體中假如有兩顆恒星，它們靠得較近，在萬有引力作用下圍著它們連線上的某一點(diǎn)共同轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣的兩顆恒星稱為雙星．2．雙星問題特點(diǎn)如圖所示為質(zhì)量分別是m1和m2的兩顆相距較近的恒星．它們間的距離為L.此雙星問題的特點(diǎn)是：(1)兩星的運(yùn)行軌道為同心圓，圓心是它們之間連線上的某一點(diǎn)；(2)兩星的向心力大小相等，由它們間的萬有引力供應(yīng)；(3)兩星的運(yùn)動(dòng)周期、角速度相同；(4)兩星的運(yùn)動(dòng)半徑之和等于它們間的距離，即r1＋r2＝L.3．雙星問題的處理方法雙星間的萬有引力供應(yīng)了它們做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2，由此得出：(1)m1r1＝m2r2，即某恒星的運(yùn)動(dòng)半徑與其質(zhì)量成反比．(2)由于ω＝eq\f(2π,T)，r1＋r2＝L，所以兩恒星的質(zhì)量之和m1＋m2＝eq\f(4π2L3,GT2).【例3】宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們以二者連線上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，而不會(huì)因萬有引力的作用吸引到一起．(1)試證明它們的軌道半徑之比、線速度之比都等于質(zhì)量的反比．(2)設(shè)兩者的質(zhì)量分別為m1和m2，兩者相距L，試寫出它們角速度的表達(dá)式．[解析](1)證明：兩天體繞同一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度ω肯定相同．它們做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由它們之間的萬有引力供應(yīng)，所以兩天體與它們的圓心總是在一條直線上．設(shè)兩者的圓心為O點(diǎn)，軌道半徑分別為R1和R2，如圖所示．對(duì)兩天體，由萬有引力定律可分別列出Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2R1 ①Geq\f(m1m2,L2)＝m2ω2R2 ②所以eq\f(R1,R2)＝eq\f(m2,m1)，所以eq\f(v1,v2)＝eq\f(R1ω,R2ω)＝eq\f(R1,R2)＝eq\f(m2,m1)，即它們的軌道半徑、線速度之比都等于質(zhì)量的反比．(2)由①②兩式相加得Geq\f(m1＋m2,L2)＝ω2(R1＋R2)③因?yàn)镽1＋R2＝L，所以ω＝eq\r(\f(Gm1＋m2,L3)).[答案](1)見解析(2)ω＝eq\r(\f(Gm1＋m2,L3))[一語通關(guān)]雙星問題的處理方法及兩個(gè)結(jié)論1．處理方法：雙星間的萬有引力供應(yīng)了它們做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．即Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2.2．雙星的兩個(gè)結(jié)論(1)運(yùn)動(dòng)半徑：與質(zhì)量成反比，即eq\f(r1,r2)＝eq\f(m2,m1).(2)質(zhì)量之和：m1＋m2＝eq\f(4π2L3,GT2).3．如圖所示，兩顆星球組成的雙星，在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的O點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)測(cè)得兩顆星之間的距離為L，質(zhì)量之比為m1∶m2＝3∶2，下列說法中正確的是()A．