2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時分層作業(yè)19空間向量的基本定理含解析新人教B版選修2-1

PAGE1-課時分層作業(yè)(十九)空間向量的基本定理(建議用時：40分鐘)[基礎(chǔ)達標(biāo)練]一、選擇題1．下列命題中正確的個數(shù)是()①若a與b共線，b與c共線，則a與c共線．②向量a，b，c共面，即它們所在的直線共面．③假如三個向量a，b，c不共面，那么對于空間隨意一個向量p存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.④若a，b是兩個不共線的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，則{a，b，，c}構(gòu)成空間的一個基底．A．0B．1C．2D．3B[①中當(dāng)b＝0時，a與c不肯定共線，故①錯誤；②中a，b，c共面時，它們所在的直線平行于同一平面不肯定在同一平面內(nèi)，故②錯誤；③正確；④不對，a，b不共線．當(dāng)c＝λa＋μb時，a，b，c共面．]2．已知向量{a，b，c}是空間的一個基底，p＝a＋b，q＝a－b，肯定可以與向量p，q構(gòu)成空間的另一個基底的是()A．a(chǎn)B．bC．cD．無法確定C[∵a＝eq\f(1,2)p＋eq\f(1,2)q，∴a與p，q共面，∵b＝eq\f(1,2)p－eq\f(1,2)q，∴b與p，q共面，∵不存在λ，μ，使c＝λp＋μq，∴c與p，q不共面，故{c，p，q}可作為空間的一個基底，故選C.]3．如圖所示，空間四邊形OABC中，eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b，eq\o(OC,\s\up15(→))＝c，點M在OA上，且eq\o(OM,\s\up15(→))＝2eq\o(MA,\s\up15(→))，N為BC中點，則eq\o(MN,\s\up15(→))等于()A.eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)cB．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(2,3)cD.eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)cB[eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\o(ON,\s\up15(→))－eq\o(OM,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→)))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(b＋c)－eq\f(2,3)a＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.所以應(yīng)選B.]4．設(shè)O-ABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一點，且OG＝3GG1，若eq\o(OG,\s\up15(→))＝xeq\o(OA,\s\up15(→))＋yeq\o(OB,\s\up15(→))＋zeq\o(OC,\s\up15(→))，則(x，y，z)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，\f(1,4)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,4)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))A[連接AG1交BC于E，則E為BC中點，eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up15(→))－2eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→)))，eq\o(AG1,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up15(→))－2eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→)))．∵eq\o(OG,\s\up15(→))＝3eq\o(GG1,\s\up15(→))＝3(eq\o(OG1,\s\up15(→))－eq\o(OG,\s\up15(→)))，∴OG＝eq\f(3,4)OG1，∴eq\o(OG,\s\up15(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OG1,\s\up15(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(AG1,\s\up15(→)))＝eq\f(3,4)(eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up15(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up15(→))，故選A.]5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，給出以下向量表達式：①(eq\o(A1D1,\s\up15(→))－eq\o(A1A,\s\up15(→)))－eq\o(AB,\s\up15(→))；②(eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(BB1,\s\up15(→)))－eq\o(D1C1,\s\up15(→))；③(eq\o(AD,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))－2eq\o(DD1,\s\up15(→))；④(eq\o(B1D1,\s\up15(→))＋eq\o(A1A,\s\up15(→)))＋eq\o(DD1,\s\up15(→)).其中能夠化簡為向量eq\o(BD1,\s\up15(→))的是()A．①②B．②③C．③④D．①④[答案]A二、填空題6．下列命題是真命題的是________(填序號)．①若A，B，C，D在一條直線上，則eq\o(AB,\s\up15(→))與eq\o(CD,\s\up15(→))是共線向量；②若A，B，C，D不在始終線上，則eq\o(AB,\s\up15(→))與eq\o(CD,\s\up15(→))不是共線向量；③若向量eq\o(AB,\s\up15(→))與eq\o(CD,\s\up15(→))是共線向量，則A，B，C，D四點必在一條直線上；④若向量eq\o(AB,\s\up15(→))與eq\o(AC,\s\up15(→))是共線向量，則A，B，C三點必在一條直線上．①④[①為真命題，A，B，C，D在一條直線上，向量eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(CD,\s\up15(→))的方向相同或相反，因此eq\o(AB,\s\up15(→))與eq\o(CD,\s\up15(→))是共線向量；②為假命題，A，B，C，D不在一條直線上，則eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(CD,\s\up15(→))的方向不確定，不能推斷eq\o(AB,\s\up15(→))與eq\o(CD,\s\up15(→))是否為共線向量；③為假命題，因為eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(CD,\s\up15(→))兩個向量所在的直線可能沒有公共點，所以A，B，C，D四點不肯定在一條直線上；④為真命題，因為eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(AC,\s\up15(→))兩個向量所在的直線有公共點A，且eq\o(AB,\s\up15(→))與eq\o(AC,\s\up15(→))是共線向量，所以A，B，C三點共線．故填①④.]7．已知空間的一個基阿底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m與n共線，則x＝________，y＝________.1－1[因為m與n共線，所以存在實數(shù)λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))]8．如圖，點M為OA的中點，{eq\o(OA,\s\up15(→))，eq\o(OC,\s\up15(→))，eq\o(OD,\s\up15(→))}為空間的一個基底，eq\o(DM,\s\up15(→))＝xeq\o(OA,\s\up15(→))＋yeq\o(OC,\s\up15(→))＋zeq\o(OD,\s\up15(→))，則有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)＝________.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－1))[eq\o(DM,\s\up15(→))＝eq\o(OM,\s\up15(→))－eq\o(OD,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up15(→))－eq\o(OD,\s\up15(→))，所以有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－1)).]三、解答題9．已知{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且eq\o(OA,\s\up15(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up15(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up15(→))＝e1＋e2－e3，試推斷{eq\o(OA,\s\up15(→))，eq\o(OB,\s\up15(→))，eq\o(OC,\s\up15(→))}能否作為空間的一個基底．[解]假設(shè)eq\o(OA,\s\up15(→))，eq\o(OB,\s\up15(→))，eq\o(OC,\s\up15(→))共面，由向量共面的充要條件知，存在實數(shù)x，y，使得eq\o(OA,\s\up15(→))＝xeq\o(OB,\s\up15(→))＋yeq\o(OC,\s\up15(→))成立，即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.因為{e1，e2，e3}是空間的一個基底，所以e1，e2，e3不共面，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋y＝1，,x＋y＝2，,2x－y＝－1，))此方程組無解．即不存在實數(shù)x，y，使得eq\o(OA,\s\up15(→))＝xeq\o(OB,\s\up15(→))＋yeq\o(OC,\s\up15(→))成立，所以eq\o(OA,\s\up15(→))，eq\o(OB,\s\up15(→))，eq\o(OC,\s\up15(→))不共面．故{eq\o(OA,\s\up15(→))，eq\o(OB,\s\up15(→))，eq\o(OC,\s\up15(→))}能作為空間的一個基底．10．如圖所示，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AD,\s\up15(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up15(→))＝c，P是CA′的中點，M是CD′的中點，N是C′D′的中點，點Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)eq\o(AP,\s\up15(→))；(2)eq\o(AM,\s\up15(→))；(3)eq\o(AN,\s\up15(→))；(4)eq\o(AQ,\s\up15(→)).[解]連接AC，AD′，AC′(圖略)．(1)eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(AA′,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(AA′,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)．(2)eq\o(AM,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(AD′,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up15(→))＋2eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(AA′,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)eq\o(AN,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC′,\s\up15(→))＋eq\o(AD′,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)[(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(AA′,\s\up15(→)))＋(eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(AA′,\s\up15(→)))]＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up15(→))＋2eq\o(AD,\s\up15(→))＋2eq\o(AA′,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)a＋b＋c.(4)eq\o(AQ,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(CQ,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\f(4,5)(eq\o(AA′,\s\up15(→))－eq\o(AC,\s\up15(→)))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA′,\s\up15(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA′,\s\up15(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(1,5)b＋eq\f(4,5)c.[實力提升練]1.如圖，空間四邊形ABCD中，點G為△BCD的重心，E，F(xiàn)，H分別為邊CD，AD和BC的中點，則eq\o(AG,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up15(→))的化簡結(jié)果為()A.eq\o(AF,\s\up15(→)) B.eq\o(AH,\s\up15(→))C.eq\o(AE,\s\up15(→)) D.eq\o(CF,\s\up15(→))A[∵G是△BCD的重心，∴|eq\o(GE,\s\up15(→))|＝eq\f(1,3)|eq\o(BE,\s\up15(→))|，∴eq\o(GE,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up15(→)).又eq\o(EF,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up15(→))，∴eq\o(AG,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up15(→))＝eq\o(AG,\s\up15(→))＋eq\o(GE,\s\up15(→))＝eq\o(AE,\s\up15(→))，eq\o(AE,\s\up15(→))＋eq\o(EF,\s\up15(→))＝eq\o(AF,\s\up15(→))，從而eq\o(AG,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up15(→))＝eq\o