離散型隨機(jī)變量及其分布列十四大題型（老師版）

題型1普通型 1題型2競(jìng)賽（游戲）型 7題型3一人比賽（測(cè)試）型 17題型4兩人比賽賽制型 題型5兩隊(duì)比賽型 題型6三人比賽型 43題型7摸球型 題型8藥物相關(guān)型 題型9商品利潤(rùn)型 題型10頻率分布圖型 題型11分布表型 83題型12折線圖型 95題型13導(dǎo)數(shù)型 題型14數(shù)列型 【例題1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“英才計(jì)劃”最早開(kāi)始于2013年，由中國(guó)科協(xié)、教育部共同組織實(shí)施，到2022年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對(duì)象，某高校在暑假期間從武漢市的中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、信息技術(shù)學(xué)科夏令營(yíng)活動(dòng)．若化學(xué)組的12名學(xué)員中恰有5人來(lái)自同一中學(xué)，從這12名學(xué)員中選取3人，ξ表示選取的人中來(lái)自該中學(xué)的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】分布列見(jiàn)解析，E(ξ)=【分析】求出ξ的的可能取值及其對(duì)應(yīng)的概率，即可求出隨機(jī)變量ξ的分布列，再由期望公式求解即可得出答案.【詳解】由題意可知ξ的可能取值有0、1、2、3，所以，隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示：ξ0123P 4444 【變式1-1】1.（2023上·遼寧·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┠陈毞Q考試有A，B兩門課程，每年每門課程均分別有一次考試機(jī)會(huì)，若某門課程上一年通過(guò)，則下一年不再參加該科考試，只要在連續(xù)兩年內(nèi)兩門課程均通過(guò)就能獲得該職稱.某考生準(zhǔn)備今年兩門課程全部參加考試，預(yù)測(cè)每門課程今年通過(guò)的概率均為；若兩門均沒(méi)有通過(guò)，則明年每門課程通過(guò)的概率均為；若只有一門沒(méi)過(guò)，則明年這門課程通過(guò)的概率為.(1)求該考生兩年內(nèi)可獲得該職稱的概率；(2)設(shè)該考生兩年內(nèi)參加考試的次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)該考生兩年內(nèi)可獲得該職稱的事件為A，計(jì)算概率得到答案.（2）X的可能取值為2，3，4，計(jì)算概率得到分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）設(shè)該考生兩年內(nèi)可獲得該職稱的事件為A，PA=×+12×1212（2）X的可能取值為2，3，4.P(X=4)=12×12X的分布列為：X234p141214【變式1-1】2.（2023上·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）某同學(xué)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，已知該同學(xué)每次投籃投中的概率均為.(1)求該同學(xué)進(jìn)行三次投籃恰好有兩次投中的概率；(2)若該同學(xué)進(jìn)行三次投籃，第一次投中得1分，第二次投中得1分，第三次投中得2分，記X為三次總得分，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1(2)分布列見(jiàn)解析，2【分析】（1）應(yīng)用獨(dú)立事件概率乘積公式計(jì)算即可；（2）應(yīng)用獨(dú)立事件概率乘積公式結(jié)合對(duì)立事件的概率公式計(jì)算概率，寫(xiě)出分布列計(jì)算數(shù)學(xué)期望即得；【詳解】（1）記該同學(xué)進(jìn)行三次投籃恰好有兩次投中為事件“B”，（2）設(shè)事件A1,A2,A3分別表示第一次投中，第二次投中，第三次投中，根據(jù)題意可知X=0,1,2,3,4.故P(X=0)=P1P2P3=.一P(X=1)=PA1P(A2P(A3+P(A1P(A2P(A3)一P(X=2)=PA1P(A2P(A3+P(A1P(A2PA31,4,11P(X=3)=P(A1P(A2)PA3+P(A1)PA2PA3=4，1所以于X的分布列為：X01234P1814141418【變式1-1】3.（2023上·湖南邵陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）某公司有A，B，C型三輛新能源電動(dòng)汽車參加陽(yáng)光保險(xiǎn)，每輛車需要向陽(yáng)光保險(xiǎn)繳納800元的保險(xiǎn)金，若在一年內(nèi)出現(xiàn)事故每輛車可賠8000元的賠償金（假設(shè)每輛車每年最多賠償一次）.設(shè)A,B,C型三輛車一年內(nèi)發(fā)生事故的概率分別為且每輛車是否發(fā)生事故相互獨(dú)立.(1)求該公司獲賠的概率；(2)設(shè)獲賠金額為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）由每輛車發(fā)生事故相互獨(dú)立，可通過(guò)對(duì)立事件的概率計(jì)算即可;（2）由題意可得獲賠金額可能為0，8000，16000，24000元，分別計(jì)算出概率，列出分布列，求出期望即可.【詳解】（1）設(shè)該公司獲賠的概率為PD，則PD=1?PPP=1? × × 4則P(X=0)=PPP= × × P(X=24000=PAPBPC=××=;一P(X=16000)=PAPBPC+PAPBPC+PAPBPCX080001600024000P34 31【變式1-1】4.（2023上·江蘇南通·高三統(tǒng)考期中）2023年9月25日，在富陽(yáng)銀湖體育中心舉行的杭州亞運(yùn)會(huì)射擊項(xiàng)目男子25米手槍速射團(tuán)體決賽中，中國(guó)隊(duì)以1765環(huán)的總成績(jī)擊敗韓國(guó)隊(duì)奪得冠軍，并打破世界記錄．現(xiàn)已知男子25米手槍速射決賽規(guī)則如下：取資格賽前6名選手進(jìn)入決賽，5發(fā)子彈為一組，每發(fā)子彈9.7環(huán)以上得1分，否則得0分．若進(jìn)入決賽的每位選手每組能得5分與4分概率分別為0.6，0.4.(1)求某位進(jìn)入決賽的選手三組射擊后得分為14分的概率；(2)設(shè)某位進(jìn)入決賽的選手三組射擊后得分為隨機(jī)變量ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列與期望.【答案】(1(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件的概率公式即可求解.（2）根據(jù)獨(dú)立事件概率公式求解概率，即可列分布列，由期望公式求解期望即可.【詳解】（1）“某位進(jìn)入決賽的選手三組射擊后得分為14分”記事件A，所以答：某位進(jìn)入決賽的選手三組射擊后得分為14分的概率為（2）隨機(jī)變量ξ的可能取值為12,13,14,15，ξ=12ξ=13；P(ξ=14)=C(2×=；Pξ=15=()3=.所以隨機(jī)變量ξ的分布表為：ξP8 【變式1-1】5.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某獵人發(fā)現(xiàn)在距離他100米處的位置有一只獵物，如果直接射擊，則只射擊一次就擊中獵物的概率為，為了有更大的概率擊中獵物，獵人準(zhǔn)備多次射擊.假設(shè)每次射擊結(jié)果之間相互獨(dú)立，獵人每次射擊擊中獵物的概率與他和獵物之間的距離成反比.如果獵人第一次射擊沒(méi)有擊中藥物，則獵人經(jīng)過(guò)調(diào)整后進(jìn)行第二次射擊，但由于獵物受到驚嚇奔跑，使得第二次射擊時(shí)獵物和他之間的距離增加了50米；如果第二次射擊仍然沒(méi)有擊中獵物，則第三次射擊時(shí)獵物和他之間的距離又增加了50米，如此進(jìn)行下去，每次射擊如果沒(méi)有擊中，則下一次射擊時(shí)獵物和他之間的距離都會(huì)增加50米，當(dāng)獵人擊中獵物或發(fā)現(xiàn)下次射擊擊中的概率小于時(shí)就停止射擊，求獵人停止射擊時(shí)射擊次數(shù)的概率分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】分布列見(jiàn)解析，【分析】設(shè)第i次射擊擊中獵物的概率為pi，獵人和獵物之間的距離為di，根據(jù)題求得k=60，求得pi=，得出隨機(jī)變量x的所有取值，結(jié)合相互對(duì)立事件的概率公式，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，利用期望的公式求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：因?yàn)楂C人每次射擊擊中獵物的概率與他和獵物之間的距離成反比，設(shè)第i次射擊擊中獵物的概率為pi(i∈N?)，獵人和獵物之間的距離為di(i∈N?)，設(shè)獵人的射擊次數(shù)為X，則X的所有取值為1，2，3，4，可得P(X=1=3PX=2=1?3×2=4 =所以隨機(jī)變量X的分布列為： = X1234P 3 5 4 9 所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為EX=1×+2×+3×+4×=.【例題2】（2023上·北京·高三北京市第三十五中學(xué)校考期中）某校舉辦知識(shí)競(jìng)賽，已知學(xué)生甲是否做對(duì)每個(gè)題目相互獨(dú)立，做對(duì)A，B，C三道題目的概率以及做對(duì)時(shí)獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)金如表所示．規(guī)則如下：按照A，B，C的順序做題，只有做對(duì)當(dāng)前題目才有資格做下一題.題目ABC做對(duì)的概率341214獲得的獎(jiǎng)金/元[注：甲最終獲得的獎(jiǎng)金為答對(duì)的題目相對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)金總和．](1)求甲沒(méi)有獲得獎(jiǎng)金的概率；(2)求甲最終獲得的獎(jiǎng)金X的分布列及期望；(3)如果改變做題的順序，最終獲得的獎(jiǎng)金期望是否相同？如果不同，你認(rèn)為哪個(gè)順序最終獲得的獎(jiǎng)金期望最大？（不需要具體計(jì)算過(guò)程，只需給出判斷）【答案】(1(2)分布列見(jiàn)解析，60(3)不同，按照A，B，C的順序獲得獎(jiǎng)金的期望最大.（2）由相互獨(dú)立事件概率乘法公式計(jì)算概率，后可得分布列，由期望公式可得均值；（3）分別求出每種順序的期望，然后比較可知.由題意，X的可能取值為0，32，911,,所以甲最終獲得的獎(jiǎng)金X的分布列為X096224P1438 4P(X=0=P)=14,,,P(X=160=P(ACB=3×1×1,P(X=224=PACB=××=所以甲獲得的獎(jiǎng)金X的分布列為X0224P14 EX=0×+32×+160×+224×=54按照B,A,2P(X=0=P)=12,P(X=64=PBA)=1×1=,,P(X=96=PBAC=1×3×3=,PX=224=PBAC=××=所以甲獲得的獎(jiǎng)金X的分布列為X096224P1218 E(X)=56按照B,C,A順序：2P(X=0=P)=12,P(X=64=PBC=1×3=3,,P(X=192=PBCA=1×1×1=,PX=224=PBCA=××=所以甲獲得的獎(jiǎng)金X的分布列為X0224P1238 E(X)=51按照C,A,B順序：,4P(X=0=P=3,4,P(X=128=PCA)=1×1=,,P(X=160=PCAB=1×3×1=,PX=224=PCAB=××=所以甲獲得的獎(jiǎng)金X的分布列為X0224P34 E(X)=44按照C,B,A順序：,4P(X=0=P=3,4,P(X=128=PCB)=1×1=,,P(X=192=PCBA)=1×1×1,P(X=224=PCBA=××=所以甲獲得的獎(jiǎng)金X的分布列為X0224P3418 E(X)=43綜上，改變做題的順序，獲得獎(jiǎng)金的均值互不相同，按照A，B，C的順序獲得獎(jiǎng)金的期望最大.【變式2-1】1.（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考一模）某娛樂(lè)節(jié)目闖關(guān)游戲共有三關(guān)，游戲規(guī)則如下，選手依次參加第一，二，三關(guān)，闖關(guān)成功可獲得的獎(jiǎng)金分別為1000元、2000元、3000元.獎(jiǎng)金可累加，若某關(guān)闖關(guān)成功，選手可以選擇結(jié)束闖關(guān)游戲并獲得相應(yīng)獎(jiǎng)金，也可以選擇繼續(xù)闖關(guān)，若有任何一關(guān)闖關(guān)失敗，則連同前面所得獎(jiǎng)金全部歸零，闖關(guān)游戲結(jié)束.選手小劉參加闖關(guān)游戲，已知他第一，二，三關(guān)闖關(guān)成功的概率分別為.第一關(guān)闖關(guān)成功選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率為，第二關(guān)闖關(guān)成功選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率為，且每關(guān)闖關(guān)成功與否互不影響.(1)求小劉第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎(jiǎng)金為零的概率；(2)設(shè)小劉所得獎(jiǎng)金為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1；(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為1544元.【分析】（1）利用獨(dú)立事件乘法及互斥事件加法求小劉第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎(jiǎng)金為零的概率；（2）首先確定可能X=0,1000,3000,6000，應(yīng)用乘法公式、加法公式求對(duì)應(yīng)概率，寫(xiě)出分布列，進(jìn)而求期望即可.【詳解】（1）由題意，要使小劉第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎(jiǎng)金為零，選擇闖第二關(guān)且失敗，或選擇闖第二關(guān)且成功，又選擇闖第三關(guān)且失敗，所以小劉第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎(jiǎng)金為零的概率P=××+××××=.（2）由題意，X=0,1000,3000,6000，且PX的分布列如下：X030006000P 46 【變式2-1】2.（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）某闖關(guān)游戲共設(shè)置4道題，參加比賽的選手從第1題開(kāi)始答題，一旦答錯(cuò)則停止答題，否則繼續(xù)，直到答完所有題目．設(shè)選手甲答對(duì)第1題的概率為，甲答對(duì)題序?yàn)閕的題目的概率pi=，i∈{1,2,3,4}，各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響.(1)若甲已經(jīng)答對(duì)了前3題，求甲答對(duì)第4題的概率；(2)求甲停止答題時(shí)答對(duì)題目數(shù)量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1(2)分布列見(jiàn)解析；期望為【分析】（1）根據(jù)題意，得到pi=，進(jìn)而求得甲答對(duì)第4題的概率；（2）根據(jù)題意，得到X可取0,1,2,3,4，取得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解.所以若甲已經(jīng)答對(duì)了前3題，則甲答對(duì)第4題的概率為.隨機(jī)變量X可取0,1,2,3,4，所以隨機(jī)變量X分布列如下：X01234P1349 2432243【變式2-1】3.（2023上·廣東佛山·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在十一黃金周期間，某商場(chǎng)規(guī)定單次消費(fèi)超過(guò)500元的顧客可參與如下的游戲．活動(dòng)規(guī)則如下：現(xiàn)有甲，乙，丙三個(gè)游戲，每位參與者從中隨機(jī)選擇一個(gè)游戲，若不通過(guò)，則游戲結(jié)束，若通過(guò)，則再?gòu)氖Ｏ碌膬蓚€(gè)游戲中隨機(jī)選擇一個(gè)游戲，若不通過(guò)，則游戲結(jié)束，若通過(guò)，則再進(jìn)行最后一個(gè)游戲，最后一個(gè)游戲無(wú)論是否通過(guò)都結(jié)束游戲．每通過(guò)一個(gè)游戲都可獲得對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)金，且參與游戲的順序由顧客確定，顧客是否通過(guò)每個(gè)游戲相互獨(dú)立，已知通過(guò)游戲的概率以及獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)金如下表所示游戲甲乙丙通過(guò)的概率0.80.60.4獲得的獎(jiǎng)金金額/元200300(1)求參與游戲的顧客沒(méi)有獲得獎(jiǎng)金的概率；(2)現(xiàn)有王先生、李先生兩名顧客分別以甲→乙→丙、丙→乙→甲的順序進(jìn)行游戲，請(qǐng)問(wèn)哪位顧客獲得獎(jiǎng)金的期望值較大？【答案】(1)0.4(2)王先生獲得獎(jiǎng)金的期望值較大【分析】（1）利用條件概率與全概率公式計(jì)算即可；（2）利用離散型隨機(jī)變量的分布列及期望公式計(jì)算即可.【詳解】（1）設(shè)顧客選擇甲，乙，丙作為第一個(gè)游戲分別為事件A1，B1，C1；設(shè)顧客通過(guò)游戲甲，乙，丙分別為事件A，B，C；顧客沒(méi)有獲得獎(jiǎng)金等價(jià)于顧客一個(gè)游戲也沒(méi)有通過(guò)，設(shè)此事件為事件M，由已知得PA1=PB1=PC1=，PAA1)=0.8,PBB1)=0.6,P(CC1)=0.4，由全概率公式得：PM=PA1PAA1)+PB1PBB1+PC1PCC1)（2）設(shè)王先生獲得獎(jiǎng)金總額為X，按甲→乙→丙的順序進(jìn)行，則X的可能取值有0，100，300，600，P(X=0)=1?0.8=0.2，P(X=100)=0.8×(1?0.6P(X=300)=0.8×0.6×(1?0.4)=0.288，P(X=600)=0.8概率分布表為：X0300600P0.20.320.2880.192同理，設(shè)李先生獲得獎(jiǎng)金總額為Y，按丙→乙→甲的順序進(jìn)行，則Y的可能取值有0，300，500，600，概率分布表為：Y0300600P0.60.160.0480.192獲得獎(jiǎng)金金額的均值為EY=0×0.6+300×0.16+500×0.048+600×0.192=187.2元.綜上可知王先生獲得獎(jiǎng)金的期望值較大.【變式2-1】4.（2023上·四川·高三重慶第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┲貞c市第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校在83周年校慶時(shí)組織了“校史”知識(shí)競(jìng)賽，有A,B兩類問(wèn)題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得40分，否則得0分；B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得60分，否則得0分.已知小王同學(xué)能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.7，能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.5，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).(1)若小王先回答A類問(wèn)題，記X為小王的累計(jì)得分，求X的分布列；(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小王應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析(2)A類，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意得到P(X=0)=0.3，P(X=40)=0.35，P(X=40)=0.35，再列出分布列即可.（2）分別算出數(shù)學(xué)期望，再比較即可得到答案.【詳解】（1）因?yàn)镻(X=0)=1?0.7=0.所以分布列為：x040P0.30.350.35（2）若小王先回答B(yǎng)類問(wèn)題，記Y為小王的累計(jì)得分，所以分布列為：Y0P0.50.150.35所以先回答A類問(wèn)題.【變式2-1】5.（2023上·江蘇南京·高三校聯(lián)考期中）某校在一次慶祝活動(dòng)中，設(shè)計(jì)了一個(gè)“套圈游戲”，規(guī)則如下：每人3個(gè)套圈，向M，N兩個(gè)目標(biāo)投擲，先向目標(biāo)M擲一次，套中得1分，沒(méi)有套中不得分，再向目標(biāo)N連續(xù)擲兩次，每套中一次得2分，沒(méi)套中不得分，根據(jù)累計(jì)得分發(fā)放獎(jiǎng)品．已知小明每投擲一次，套中目標(biāo)M的概率為，套中目標(biāo)N的概率為,假設(shè)小明每次投擲的結(jié)果相互獨(dú)立，累計(jì)得分記為X.(1)求小明恰好套中2次的概率；(2)求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1；(2)分布列見(jiàn)解析，.【分析】（1）分類討論及利用概率乘法公式計(jì)算即可；（2）利用隨機(jī)變量的分布列與期望公式計(jì)算即可.【詳解】（1）記“小明恰好套中2次”為事件A，分3種情況第一次，第二次套中；第一次，第三次套中；第二次第三次套中；小明恰好套中2次的概率為；所以X的分布列為X012345P 【例題3】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）小梅參加甲、乙兩項(xiàng)測(cè)試，每次測(cè)試結(jié)果只有3種，分別是優(yōu)秀、良好、合格，結(jié)果為優(yōu)秀得3分、良好得1分、合格得0分，小梅參加甲項(xiàng)測(cè)試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，良好的概率為，參加乙項(xiàng)測(cè)試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，良好的概率為，兩項(xiàng)測(cè)試互不影響，兩項(xiàng)測(cè)試結(jié)束后，小梅得分之和為ξ.(1)求小梅參加兩項(xiàng)測(cè)試恰有一次為合格的概率；(2)求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1(2)分布列見(jiàn)解析，Eξ=【分析】（1）小梅恰有一次為合格這個(gè)事件可拆分為四個(gè)互斥事件的和：甲項(xiàng)合格乙項(xiàng)優(yōu)秀，甲項(xiàng)合格乙項(xiàng)良好，甲項(xiàng)優(yōu)秀乙項(xiàng)合格，甲項(xiàng)良好乙項(xiàng)合格，由互斥事件和獨(dú)立事件的概率公式可得；（2）ξ的所有取值為0,1,2,3,4,6，分別求得其概率及其分布列，再由期望公式計(jì)算出期望.【詳解】（1）記Ai為事件“小梅參加甲項(xiàng)測(cè)試的得分為i分”（i=0，1，3則PA3=，PA1=，PA0=1??=；記Bi為事件“小梅參加乙項(xiàng)測(cè)試的得分為i分”（i=0，1，3）則PB3=，PB1=，PB0=1??=.記D為事件“小梅參加兩項(xiàng)測(cè)試恰有一次為合格”，由題意，D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3，由事件的獨(dú)立性和互斥性，P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)=P(A3B0)+P(A1B0+P(A0B1)+P(A0B3)=PA3PB0+PA1PB0+PA0PB1+PA0PB3所以小梅參加兩項(xiàng)測(cè)試恰有一次為合格的概率為；由事件的獨(dú)立性與互斥性，得：Pξ=0=PA0B0=×=，Pξ=1=P(A1B0+A0B1=PA1B0+PA0B1=×+×=，Pξ=2=PA1B1=×=，Pξ=3=P(A3B0+A0B3=PA3B0+PA0B3=×+×=，Pξ=4=P(A3B1+A1B3=PA3B1+PA1B3=×+×=，Pξ=6=PA3B3=×=.可得隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ012346P 16 1 5 2 【變式3-1】1.（2023上·湖南邵陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在一個(gè)有獎(jiǎng)游戲中，參與者可從A，B兩類數(shù)學(xué)試題中選擇作答，答題規(guī)則如下：規(guī)則一：參與者只有在答對(duì)第一次所選試題的情況下，才有資格進(jìn)行第二次選題，且連續(xù)兩次選題不能是同一類試題，每人至多有兩次答題機(jī)會(huì)；規(guī)則二：參與者連續(xù)兩次選題可以是同一類試題，答題次數(shù)不限.(1)小周同學(xué)按照規(guī)則一進(jìn)行答題，已知小周同學(xué)答對(duì)A類題的概率均為0.75，答對(duì)一次可得2分；答對(duì)B類題的概率均為0.6，答對(duì)一次可得3分．如果答題的順序由小周選擇，那么A，B兩類題他應(yīng)優(yōu)先選擇答哪一類試題？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)小南同學(xué)按照規(guī)則二進(jìn)行答題，小南同學(xué)第1次隨機(jī)地選擇其中一類試題作答，如果小南第1次選擇A類試題，那么第2次選擇A類試題的概率為0.6；如果第1次選擇B類試題，那么第2次選擇A類試題的概率為0.8．求小南同學(xué)第2次選擇A類試題作答的概率.【答案】(1)小周應(yīng)該先答A類題，理由見(jiàn)解析(2)0.7【分析】（1）利用概率的分布列和數(shù)學(xué)期望求解；（2）利用條件概率求解.【詳解】（1）根據(jù)題意，小周同學(xué)按照規(guī)則一進(jìn)行答題，若先選擇答A類題，設(shè)小周獲得的積分為隨機(jī)變量為X，則X的所有可能取值為0、2、5，P(X=5)=0.75×0.6=0.45,若先選擇答B(yǎng)類題，設(shè)小周獲得的積分為隨機(jī)變量為Y，則Y的所有可能取值為0、3、5，因?yàn)?.85>2.7，所以小周應(yīng)該先答A類題.（2）由于小南同學(xué)按照規(guī)則二進(jìn)行答題，設(shè)A1:第1次選擇A類題作答；A2:第1次選擇B類題作答；B：第2次選擇A類試題作答；則P(A1)=P(A2)=0.5,P(B|A1)=0.6,P(B|A2)=0.8,故P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7.【變式3-1】2.（2023上·北京·高三北京五十五中?？茧A段練習(xí)）某闖關(guān)游戲必須闖過(guò)若干關(guān)口才能成功，其中第一關(guān)是答題，分別設(shè)置“文史常識(shí)題”“生活常識(shí)題”“影視藝術(shù)常識(shí)題”這3道題目，規(guī)定有兩種答題方案：方案一：答題3道，至少有2道答對(duì)方案二：在這3道題目中，隨機(jī)選取2道，這2道都答對(duì).方案一和方案二中只要完成一個(gè)，就能通過(guò)第一關(guān)，假設(shè)甲選擇方案一、且答對(duì)每一道題的概率是，乙選擇方案二，且3道題中只能答對(duì)其中兩道題.(1)求甲答對(duì)題目數(shù)量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)甲和乙中通過(guò)第一關(guān)的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列；(3)若丙答對(duì)這3道題中每一道題的概率都是pp∈0,1))，且這3道題是否答對(duì)相互之間沒(méi)有影響，丙選擇方案一通過(guò)第一關(guān)的概率為p1，選擇方案二通過(guò)第一關(guān)的概率為p2，直接比較p1與p2的大小.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，EX=1(2)分布列見(jiàn)解析(3)p1>p2【分析】（1）寫(xiě)出隨機(jī)變量X的所有取值，求出對(duì)應(yīng)概率，即可得分布列，再根據(jù)期望公式求期望即可；（2）先分別求出兩人過(guò)關(guān)的概率，寫(xiě)出隨機(jī)變量ξ的所有取值，求出對(duì)應(yīng)概率，即可得分布列，再根據(jù)期望公式求期望即可；（3）先分別求出p1,p2，再作差即可得解.所以分布列如下：X0123P 4929 1313乙通過(guò)的概率ξ可取0,1,2，則Pξ=0=1?×1?=，所以分布列如下：77,ξ012P40 則p1?p2=2p2?2p3=2p2(1?p)，所以p1>p2.【變式3-1】3.（2023上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）第22屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在我國(guó)杭州舉行，這是我國(guó)第三次舉辦亞運(yùn)會(huì)．為迎接這場(chǎng)體育盛會(huì)，杭州市某社區(qū)決定舉辦一次亞運(yùn)會(huì)知識(shí)競(jìng)賽，要求每組參賽隊(duì)伍由兩人組成，競(jìng)賽分為預(yù)賽和決賽，其中預(yù)賽規(guī)則如下：①每組隊(duì)伍先從A，B兩類問(wèn)題中選擇一類，并由兩位選手從中各隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，答錯(cuò)的選手本輪競(jìng)賽結(jié)束；答對(duì)的選手再?gòu)牧硪活悊?wèn)題中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行回答，無(wú)論答對(duì)與否，本輪競(jìng)賽結(jié)束；②若在本輪競(jìng)賽中每組隊(duì)伍的兩名選手合計(jì)答對(duì)問(wèn)題的個(gè)數(shù)不少于3個(gè)，則可進(jìn)入決賽.市民甲與乙組成“夢(mèng)幻”隊(duì)參加了這次競(jìng)賽，已知甲答對(duì)A類中每個(gè)問(wèn)題的概率均為0.7，答對(duì)B類中每個(gè)問(wèn)題的概率均為0.5，乙答對(duì)A類中每個(gè)問(wèn)題的概率均為0.4，答對(duì)B類中每個(gè)問(wèn)題的概率均為0.8.(1)若“夢(mèng)幻”隊(duì)先回答A類問(wèn)題，記X為“夢(mèng)幻”隊(duì)答對(duì)問(wèn)題的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)為使“夢(mèng)幻”隊(duì)進(jìn)入決賽的概率最大，“夢(mèng)幻”隊(duì)?wèi)?yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，期望為1.77(2)應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問(wèn)題，理由見(jiàn)解析結(jié)合期望的計(jì)算公式，即可求解；（2）由（1）求得先回答A類問(wèn)題，“夢(mèng)幻”隊(duì)能進(jìn)入決賽的概率為P1=0.252，再求得先回答B(yǎng)類問(wèn)題，“夢(mèng)幻”隊(duì)能進(jìn)人決賽的概率為P2=0.328，結(jié)合P2>P1，即可得到答案.則P(X=0=1?0.7×1?0.4)=0.18，0.8)=0.334，所以X的分布列為X01234P0.180.2340.3340.140.112（2）解：由（1）可知，若先回答A類問(wèn)題，則“夢(mèng)幻”隊(duì)能進(jìn)入決賽的概率為：P1=P(X=3)+P(X=4)=0.14+0.112=0.252；若先回答B(yǎng)類問(wèn)題，記“夢(mèng)幻”隊(duì)答對(duì)問(wèn)題的個(gè)數(shù)為Y，則“夢(mèng)幻”隊(duì)能進(jìn)人決賽的概率為P2=P(Y=3)+P(Y=4)=0.216+0.112=0.328，所以P2>P1，所以為使“夢(mèng)幻”隊(duì)進(jìn)人決賽的概率最大，“夢(mèng)幻”隊(duì)?wèi)?yīng)選擇先回答B(yǎng)類問(wèn)題.【變式3-1】4.（2023上·河南·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已脫貧的西部地區(qū)某貧困縣，鞏固拓展脫貧攻堅(jiān)成果，全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，在國(guó)家產(chǎn)業(yè)扶貧政策的大力支持下，利用當(dāng)?shù)刈匀粭l件，在山上發(fā)展果樹(shù)種植，現(xiàn)已開(kāi)始大量結(jié)果，為了普及果樹(shù)種植技術(shù)，該縣舉辦“果樹(shù)種植技術(shù)知識(shí)競(jìng)賽”，競(jìng)賽規(guī)則如下：先進(jìn)行預(yù)賽，預(yù)賽共進(jìn)行四輪答題比賽，在每輪答題比賽中，選手可選易，中，難三類題中的一題，答對(duì)得分，答錯(cuò)不得分，四輪答題中，易，中，難三類題中的每一類題最多選兩個(gè)，預(yù)賽的四輪答題比賽得分不低于10分的進(jìn)入決賽，某選手A答對(duì)各題相互獨(dú)立，答對(duì)每類題的概率及得分如下表：容易題中等題難題答對(duì)概率 3 512 答對(duì)得分345(1)若選手A前兩輪都選擇了中等難度題，且對(duì)了一題，錯(cuò)了一題，請(qǐng)你為選手A計(jì)劃后兩輪應(yīng)該怎樣選擇答題，使得進(jìn)入決賽的可能性更大，并說(shuō)明理由；(2)選手A四輪答題中，選擇了一個(gè)容易題，兩個(gè)中等難度題，一個(gè)難題，已知容易題答對(duì)，記選手A預(yù)賽四輪答題比賽得分總和為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)都選擇容易題進(jìn)行答題；(2)分布列見(jiàn)解析，.【分析】（1）根據(jù)給定條件，確定后兩輪的選擇方案，再利用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算比較作答.（2）求出X的可能值及各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出數(shù)學(xué)期望作答.【詳解】（1）依題意，選手A前兩輪都選擇了中等難度題，兩輪得分和為4，于是選手A后兩輪的選擇有3種方案，方案一：都選擇容易題，則必須都答正確，于是進(jìn)入決賽的概率P1=×=；方案二：都選擇難題，則必須都答正確，于是進(jìn)入決賽的概率P2=×=；方案三：容易題、難題各選1道，則必須都答正確，于是進(jìn)入決賽的概率P3=×=，顯然P1>P2>P3，所以后兩輪都選擇容易題進(jìn)行答題，進(jìn)入決賽的可能性更大.（2）依題意，X的可能值為：3,7,8,11,12,16，所以X的分布列為：X378P 40 40 40 40【例題4】（2023上·云南昆明·高三云南省昆明市第十中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）為了提高居民參與健身的積極性，某社區(qū)組織居民進(jìn)行乒乓球比賽，每場(chǎng)比賽采取五局三勝制，先勝3局者為獲勝方，同時(shí)該場(chǎng)比賽結(jié)束，每局比賽沒(méi)有平局.在一場(chǎng)比賽中，甲每局獲勝的概率均為p，且前4局甲和對(duì)方各勝2局的概率為.(1)求p的值；(2)記該場(chǎng)比賽結(jié)束時(shí)甲獲勝的局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列與期望.【答案】(1)p=(2)答案見(jiàn)解析，【分析】（1）由前4局甲和對(duì)方各勝2局的概率為，列方程求解即可，（2）由題意可知X的取值可能為0,1,2,3，求出相應(yīng)的概率，從而可求得X的分布列與期望【詳解】（1）由題可知，前4局甲和對(duì)方各勝2局的概率為Cp21?p2=，解得p=.（2）由題可知，X的取值可能為0,1,2,3，則X的分布列為X0123P18 12【變式4-1】1.（2023上·遼寧沈陽(yáng)·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）甲乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)乒乓球比賽.已知每局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，甲乙約定比賽采取“3局2勝制”.(1)求這場(chǎng)比賽甲獲勝的概率；(2)這場(chǎng)比賽甲所勝局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望（保留兩位有效數(shù)字(3)根據(jù)（2）的結(jié)論，計(jì)算這場(chǎng)比賽甲所勝局?jǐn)?shù)的方差.【答案】(1)0.648(2)1.5(3)0.57【分析】（1）寫(xiě)出甲勝利的情況，結(jié)合組合公式和獨(dú)立事件的乘法公式即可得到答案；（2）設(shè)甲所勝的局?jǐn)?shù)為X，計(jì)算分布列，再利用期望公式即可得到答案；（3）利用方差公式即可得到答案.【詳解】（1）甲勝利的情況有：勝勝；敗勝勝；勝敗勝.甲勝概率為：(0.6)2+C(0.4)×(0.6)2=1.8×(0.6)2=0.648.則甲勝利的概率為0.648.（2）設(shè)甲所勝的局?jǐn)?shù)為X，X=0,1,2.則分布列為：X012P0.160.1920.648所以E(X)=0.16×0+0.192×1+0.648【變式4-1】2.（2023上·貴州·高三凱里一中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）為了豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，某中學(xué)舉辦羽毛球比賽，經(jīng)過(guò)三輪的篩選，最后剩下甲、乙兩人進(jìn)行最終決賽，決賽采用五局三勝制，即當(dāng)參賽甲、乙兩位中有一位先贏得三局比賽時(shí)，則該選手獲勝，則比賽結(jié)束.每局比賽皆須分出勝負(fù)，且每局比賽的勝負(fù)不受之前比賽結(jié)果影響.假設(shè)甲在每一局獲勝的概率均為p(0<p<1).(1)若比賽進(jìn)行三局就結(jié)束的概率為fp，求fp的最小值；(2)記（1）中，fp取得最小值時(shí)，p的值為p0，以p0作為p的值，用X表示甲、乙實(shí)際比賽的局?jǐn)?shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX.【答案】(1(2)分布列見(jiàn)解析，E(X【分析】（1）若比賽進(jìn)行三局就結(jié)束，則甲連勝三局或乙連勝三局，求出概率fp，利用導(dǎo)數(shù)求fp的最小值；（2）由（1）知p0的值，X的可能取值為3,4,5，依次計(jì)算概率，列分布列，利用公式求數(shù)學(xué)期望EX.【詳解】（1）三局就結(jié)束比賽的概率為fp=p3+(1?p)3，由f'(p)=3p2?3(1?p)2=6p?3，當(dāng)0<p<,f'p<0；當(dāng)<p<1,f'p>0，所以f(p)在(0,)上遞減，在(,1)上遞增，所以，當(dāng)p=時(shí)，fp)取得最小值為.設(shè)實(shí)際比賽局?jǐn)?shù)為X，則X的可能取值為3,4,5，所以P(X=3)=()+1?=，22X的分布列為：X345P143838【變式4-1】3.（2023上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）某校為了弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，在校藝術(shù)節(jié)上舉辦班級(jí)“古詩(shī)詞雙人團(tuán)體賽”，每班限報(bào)一隊(duì)，每隊(duì)兩人，每隊(duì)通過(guò)回答多個(gè)問(wèn)題的形式進(jìn)行競(jìng)賽.現(xiàn)甲，乙兩隊(duì)進(jìn)行競(jìng)答比賽，比賽規(guī)則是：每輪比賽中每隊(duì)僅派一人代表答題，兩人都全部答對(duì)或者都沒(méi)有全部答對(duì)則均記1分；一人全部答對(duì)而另一人沒(méi)有全部答對(duì)，則全部答對(duì)的隊(duì)伍記3分，沒(méi)有全部答對(duì)的記0分.設(shè)每輪比賽中甲隊(duì)全部答對(duì)的概率為，乙隊(duì)全部答對(duì)的概率為，甲，乙兩隊(duì)答題相互獨(dú)立，且每輪比賽互不影響.(1)經(jīng)過(guò)1輪比賽，設(shè)甲隊(duì)的得分為X，求X的分布列和期望；(2)若比賽采取3輪制，請(qǐng)計(jì)算第3輪比賽后甲隊(duì)累計(jì)得分低于乙隊(duì)累計(jì)得分的概率.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，EX=【分析】（1）X的所有可能取值為0，1，3，由獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率公式計(jì)算出概率得分布列，再由期望公式計(jì)算出期望.（2）甲隊(duì)累計(jì)得分低于乙的情形為：①甲至少有2場(chǎng)負(fù)于乙；②甲有一場(chǎng)負(fù)于乙，另兩場(chǎng)打平，再結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算.∴X的分布列如下：X013P16 14EX=+==.（2）甲隊(duì)累計(jì)得分低于乙的情形為：①甲至少有2場(chǎng)負(fù)于乙；②甲有一場(chǎng)負(fù)于乙，另兩場(chǎng)打平.【變式4-1】4.（2023上·福建漳州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）甲、乙兩選手進(jìn)行一場(chǎng)體育競(jìng)技比賽，采用2n?1(n∈N?)局n勝制（當(dāng)一選手先贏下n局比賽時(shí)，該選手獲勝，比賽結(jié)束）.已知每局比賽甲獲勝的概率為p，乙獲勝的概率為1?p.若n=2，p=比賽結(jié)束時(shí)的局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若n=3比n=2對(duì)甲更有利，求p的取值范圍.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)題意，得到X所有可能取值為2,3，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解；和p2=p3(6p2?15p+10)，結(jié)合p2?p1>0，即可求解；解法二：用ξ,η表示3局比賽中甲獲勝的局?jǐn)?shù)，得到ξ~B(3,p)和η~B(5,p)，分別求得甲最終獲勝的的概率p1=p2(3?2p)，和p2=p3(6p2?15p+10)，結(jié)合p2?p1>0，即【詳解】（1）解：依題意得，隨機(jī)變量X所有可能取值為2,3，可得P(X=2)=+1?=，P(X=3)=C1?+C所以隨機(jī)變量X的分布列為X23P1212所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=2×+3×=.若采用5局3勝制，甲最終獲勝的概率為：p2=p3+Cp3(1?p)+Cp3(1?p)2=p3(6p2?15p+10)，若采用5局3勝制比采用3局2勝制對(duì)甲更有利，則p2?p1>0，即p3(6p2?15p+10)?p2(3?2p)=p2(6p3?15p2+10p?甲最終獲勝的概率為：p1=P(ξ=2)+P(ξ=3)=Cp2(1?p)+Cp3=p2C(1?p)+Cp=p2(3?2p)，采用5局3勝制，不妨設(shè)賽滿5局，用η表示5局比賽中甲獲勝的局?jǐn)?shù)，則η~B(5,p)，甲最終獲勝的概率為：p2=P(η=3)+P(η=4)+P(η=5)=Cp3(1?p)2+Cp4(1?p)+Cp5=p3(6p2?15p+10)，若采用5局3勝制比采用3局2勝制對(duì)甲更有利，則p2?p1>0，即p3(6p2?15p+10)?p2(3?2p)=p2(6p3?15p2+10p?【變式4-1】5.（2023·山西臨汾·?？寄M預(yù)測(cè)）魔方，又叫魯比可方塊，最早是由匈牙利布達(dá)佩斯建筑學(xué)院厄爾諾·魯比克教授于1974年發(fā)明的機(jī)械益智玩具．魔方擁有競(jìng)速、盲擰、單擰等多種玩法，風(fēng)靡程度經(jīng)久未衰，每年都會(huì)舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力游戲之一．通常意義下的魔方，是指狹義的三階魔方．三階魔方形狀通常是正方體，由有彈性的硬塑料制成．常規(guī)競(jìng)速玩法是將魔方打亂，然后在最短的時(shí)間內(nèi)復(fù)原．廣義的魔方，指各類可以通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)打亂和復(fù)原的幾何體．魔方與華容道、法國(guó)的單身貴族（獨(dú)立鉆石棋）并稱為智力游戲界的三大不可思議．在2018WCA世界魔方蕪湖公開(kāi)賽上，杜宇生以3.47秒的成績(jī)打破了三階魔方復(fù)原的世界紀(jì)錄，勇奪世界魔方運(yùn)動(dòng)的冠軍，并成為世界上第一個(gè)三階魔方速擰進(jìn)入4秒的選手.(1)小王和小吳同學(xué)比賽三階魔方，已知小王每局比賽獲勝的概率均為，小吳每局比賽獲勝的概率均為，若采用三局兩勝制，兩人共進(jìn)行了X局比賽，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)小王和小吳同學(xué)比賽四階魔方，首局比賽小吳獲勝的概率為0.5，若小王本局勝利，則他贏得下一局比賽的概率為0.6，若小王本局失敗，則他贏得下一局比賽的概率為0.5，為了贏得比賽，小王應(yīng)選擇“五局三勝制”還是“三局兩勝制”？【答案】(1(2)小王應(yīng)選擇“五局三勝制”【分析】（1）依題意得到X的可能取值，再利用獨(dú)立事件與互斥事件的概率公式求得其對(duì)應(yīng)的概率，從而得解；（2）分類討論小王不同選擇下對(duì)應(yīng)的獲勝概率，從而得解.【詳解】（1）因?yàn)椴捎萌謨蓜僦?，所以X的可能取值為2,3，X=2表示小王或小吳連勝兩局；X=3表示小王與小吳前兩局一勝一負(fù)；所以所以X的分布列為：X23P 則X的數(shù)學(xué)期望為2×+3×=.（2）若小王選擇“三局兩勝制”，則小王獲勝的情況為：勝勝；勝負(fù)勝；負(fù)勝勝；則小王獲勝的概率為P1=0.5×0.6+0.5×0.4×0.5+0.若小王選擇“五局三勝制”，則小王獲勝的情況為：勝勝勝；勝勝負(fù)勝；勝負(fù)勝勝；負(fù)勝勝勝；勝勝負(fù)負(fù)勝；勝負(fù)勝負(fù)勝；勝負(fù)負(fù)勝勝；負(fù)負(fù)勝勝勝；負(fù)勝負(fù)勝勝；負(fù)勝勝負(fù)勝；則小王獲勝的概率為P2=0.5×0.6×0.6+0.5×0.6×因?yàn)?.55<0.575，所以小王應(yīng)選擇“五局三勝制”.【變式4-1】6.（2023上·山東·高三沂源縣第一中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）喜迎新學(xué)期，高三一班、二班舉行數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，賽制規(guī)定：共進(jìn)行5輪比賽，每輪比賽每個(gè)班可以從A,B兩個(gè)題庫(kù)中任選1題作答，在前兩輪比賽中每個(gè)班的題目必須來(lái)自同一題庫(kù)，后三輪比賽中每個(gè)班的題目必須來(lái)自同一題庫(kù)，A題庫(kù)每題20分，B題庫(kù)每題30分，一班能正確回答A,B題庫(kù)每題的概率分別為、，二班能正確回答A,B題庫(kù)每題的概率均為，且每輪答題結(jié)果互不影響.(1)若一班前兩輪選A題庫(kù)，后三輪選B題庫(kù)，求其總分不少于100分的概率；(2)若一班和二班在前兩輪比賽中均選了B題庫(kù)，而且一班兩輪得分60分，二班兩輪得分30分，一班后三輪換成A題庫(kù)，二班后三輪不更換題庫(kù)，設(shè)一班最后的總分為X，求X的分布列，并從每班總分的均值來(lái)判斷，哪個(gè)班贏下這場(chǎng)比賽？【答案】(1(2)分布列見(jiàn)解析，一班贏下這場(chǎng)比賽.【分析】（1）由概率的乘法公式與加法公式求解；（2）由題意求出兩個(gè)班的總分可能取值，然后求出對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而列出分布列，并根據(jù)期望的概念求出期望，比較大小即可判斷.【詳解】（1）由條件知，若一班在前兩輪得20分，后三輪得90分，總分為110分，121233364，若一班在前兩輪得40分，后三輪得60分或90分，總分為100或130分，于是一班總分不少于100分的概率為+=.X=80，2P(X=100=C=，P(X=120)=()=.2所以X的分布列為：X80P 設(shè)二班最后的總分為Y，Y可能取值為30，60，90，120，Y=30Y=60=，∴Y的分布列：YP 2949 因?yàn)?05>90，所以從總分的均值來(lái)判斷，一班贏下這場(chǎng)比賽.【例題5】（2024上·吉林白城·高三?？茧A段練習(xí)）科普知識(shí)是一種用通俗易懂的語(yǔ)言，來(lái)解釋種種科學(xué)現(xiàn)象和理論的知識(shí)文字，以普及科學(xué)知識(shí)為目的.科普知識(shí)涵蓋了科學(xué)領(lǐng)域的各個(gè)方面，無(wú)論是物理?化學(xué)?生物各個(gè)學(xué)科，還是日常生活無(wú)不涉及到科普知識(shí).由于其范圍的廣泛性，奠定了科普知識(shí)的重要意義和影響.某校為了普及科普知識(shí)，在全校組織了一次科普知識(shí)競(jìng)賽.經(jīng)過(guò)初賽?復(fù)賽，甲?乙兩個(gè)代表隊(duì)（每隊(duì)3人）進(jìn)入了決賽.決賽規(guī)則為每人回答一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)者為本隊(duì)贏得5分，答錯(cuò)或不答者得0分.假設(shè)甲隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為,,，乙隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為，且各人回答正確與否相互之間沒(méi)有影響.(1)設(shè)隨機(jī)變量X表示甲隊(duì)的總得分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)求甲?乙兩隊(duì)總得分之和等于15分且乙隊(duì)得分高的概率.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)已知描述X的所有可能取值為0,5,10,15，求出各情況概率，即可得到其分布列，再根據(jù)分布列計(jì)算得出其數(shù)學(xué)期望；（2）甲?乙兩隊(duì)總得分之和等于15分且乙隊(duì)得分高的情況為甲隊(duì)得0分，乙隊(duì)得15分或甲隊(duì)得5分，乙隊(duì)得10分，計(jì)算得出兩種情況概率，由互斥事件概率的計(jì)算得出兩概率之和即是答案.【詳解】（1）X的所有可能取值為0,5,10,15，所以P(X=0=××=，,,X的分布列為：X05P 38 18（2）甲?乙兩隊(duì)總得分之和等于15分且乙隊(duì)得分高的情況為甲隊(duì)得0分，乙隊(duì)得15分或記“甲隊(duì)得0分，乙隊(duì)得15分”為事件A，“甲隊(duì)得5分，乙隊(duì)得10分”為事件B，332所以PA+PB=+=，2即甲?乙兩隊(duì)總得分之和等于15分且乙隊(duì)得分高的概率為.【變式5-1】1.（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）為了引導(dǎo)人民強(qiáng)健體魄，某市組織了一系列活動(dòng)，其中乒乓球比賽的冠軍由A，B兩隊(duì)爭(zhēng)奪，已知A，B兩隊(duì)之間的比賽采用5局3勝制，且本次比賽共設(shè)有3000元獎(jiǎng)金，獎(jiǎng)金分配規(guī)則如下：①若比賽進(jìn)行3局即可決定勝負(fù)，則贏方獲得全部獎(jiǎng)金，輸方?jīng)]有獎(jiǎng)金；②若比賽進(jìn)行4局即可決定勝負(fù)，則贏方獲得90%的獎(jiǎng)金，輸方獲得10%的獎(jiǎng)金；③若比賽打滿5局才決定勝負(fù)，則贏方獲得80%的獎(jiǎng)金，輸方獲得20%的獎(jiǎng)金．已知每局比賽A隊(duì)，B隊(duì)贏的概率分別為且每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.(1)若比賽進(jìn)行4局即可決定勝負(fù)，則A隊(duì)贏得比賽的概率為多少？(2)求A隊(duì)獲得獎(jiǎng)金金額X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）由獨(dú)立事件乘法公式、組合數(shù)公式直接計(jì)算即可.（2）由獨(dú)立事件乘法公式、組合數(shù)公式先求出隨機(jī)變量的可能的值及其相應(yīng)的概率值，然后再列出分布列，由期望公式直接計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)楸荣愡M(jìn)行了4局即可決定勝負(fù)，且A隊(duì)贏得比賽，所以第4局必然是A隊(duì)贏，且前3局比賽中A隊(duì)贏2局，所以若比賽進(jìn)行了4局即可決定勝負(fù)，則A隊(duì)贏得比賽的概率為C×22（2）由題意知X的所有可能取值為3000，2700，2400，600，則P(X=3000)=()=，PX=2700)=C×()××=，1313P(X=300)=C×()2××=，221313X3000270024006003000P 【變式5-1】2.（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某中學(xué)為了響應(yīng)國(guó)家雙減政策，開(kāi)展了校園娛樂(lè)活動(dòng)．在一次五子棋比賽活動(dòng)中，甲、乙兩位同學(xué)每賽一局，勝者得1分，對(duì)方得0分，沒(méi)有平局．規(guī)定當(dāng)一人比另一人多得5分或進(jìn)行完10局比賽時(shí)，活動(dòng)結(jié)束．假設(shè)甲、乙兩位同學(xué)獲勝的概率都為，且兩人各局勝負(fù)分別相互獨(dú)立．已知現(xiàn)在已經(jīng)進(jìn)行了3局比賽，甲得2分，乙得1分，在此基礎(chǔ)上繼續(xù)比賽.(1)只有當(dāng)一人比另一人多得5分時(shí)，得分高者才能獲得比賽獎(jiǎng)品，求甲獲得比賽獎(jiǎng)品的概率；(2)設(shè)X表示該活動(dòng)結(jié)束時(shí)所進(jìn)行的比賽的總輪數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）由題知甲6:1或7:2獲勝時(shí)，能獲得比賽獎(jiǎng)品，結(jié)合題意可求其概率；（2）根據(jù)題意求出X的所有可能取值和相應(yīng)的概率，列出分布列，求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題意可知甲6:1或7:2獲勝時(shí)，能獲得比賽獎(jiǎng)品，此時(shí)概率×6 6.（2）X的所有可能取值為7，9，10.4P(X=7)==，4P(X=10)=1?P(X=7)?P(X=9)=.所以X的分布列為X79P 【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求離散型隨機(jī)變量的期望的一般步驟：（1）判斷取值，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；（2）探求概率，即利用排列組合、枚舉法、概率公式（常見(jiàn)的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式、對(duì)立事件的概率公式等求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；（3）寫(xiě)分布列，即按規(guī)范形式寫(xiě)出分布列，并注意檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；（4）求期望值，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值【變式5-1】3.（2023上·山東淄博·高三統(tǒng)考期中）第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，為弘揚(yáng)奧林匹克和亞運(yùn)精神，增強(qiáng)鍛煉身體意識(shí)，某學(xué)校舉辦一場(chǎng)羽毛球比賽．已知羽毛球比賽的單打規(guī)則是：若發(fā)球方勝，則發(fā)球方得1分，且繼續(xù)在下一回合發(fā)球；若接球方勝，則接球方得1分，且成為下一回合發(fā)球方．現(xiàn)甲、乙二人進(jìn)行羽毛球單打比賽，若甲發(fā)球，甲得分的概率為，乙得分的概率為；若乙發(fā)球，乙得分的概率為，甲得分的概率為．每回合比賽的結(jié)果相互獨(dú)立．經(jīng)抽簽決定，第一回合由甲發(fā)球.(1)求第三回合甲發(fā)球的概率；(2)設(shè)前三個(gè)回合中，甲的總得分為X，求X的分布列及期望.【答案】(1(2)分布列見(jiàn)解析，期望為【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件概率乘法公式即可求解，（2）分別求解前三個(gè)回合中甲得分的情況，結(jié)合獨(dú)立事件概率乘法公式即可分類求解概率，進(jìn)而由期望公式即可求解.【詳解】（1）若第三回合甲發(fā)球，則前三回合發(fā)球的順序分別為甲甲甲，或者甲乙甲，故第三回合甲發(fā)球的概率為×+35（2）設(shè)甲在第i回合得分記為事件Ai,乙在第i回合得分記為事件Bi,i∈{1,2,3}，3則P(A1A2A3)=()=,此時(shí)甲得3分，32P(A1A2B3)=×=，此時(shí)甲得2分，P(A1B2A3)=××=，此時(shí)甲得2分，P(A1B2B3)=××=，此時(shí)甲得1分，P(B1A2A3)=××=，此時(shí)甲得2分，P(B1A2B3)=××=，此時(shí)甲得1分，P(B1B2A3)=××=，此時(shí)甲得1分，P(B1B2B3)=××=，此時(shí)甲得0分，故X的分布列為：2X0123P 【變式5-1】4.（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）為了豐富在校學(xué)生的課余生活，某校舉辦了一次趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)活動(dòng)，學(xué)校設(shè)置項(xiàng)目A“毛毛蟲(chóng)旱地龍舟”和項(xiàng)目B“袋鼠接力跳”.甲、乙兩班每班分成兩組，每組參加一個(gè)項(xiàng)目，進(jìn)行班級(jí)對(duì)抗賽.第一個(gè)比賽項(xiàng)目A采取五局三勝制（即有一方先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束第二個(gè)比賽項(xiàng)目B采取領(lǐng)先3局者獲勝。每局不存在平局.假設(shè)在項(xiàng)目A中甲班每一局獲勝的概率為，在項(xiàng)目B中甲班每一局獲勝的概率為，且每一局之間沒(méi)有影響.(1)求甲班在項(xiàng)目A中獲勝的概率；(2)若第二個(gè)比賽項(xiàng)目B進(jìn)行了7局，仍然沒(méi)有人領(lǐng)先3局，比賽結(jié)束，領(lǐng)先者也獲勝.現(xiàn)比賽已經(jīng)進(jìn)行了2局，甲班2局全輸.設(shè)甲班在第二個(gè)比賽項(xiàng)目B中參加總局?jǐn)?shù)為X、求隨機(jī)變量X的分布列及期望.【答案】(1(2)分布列見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)甲班在項(xiàng)目A中獲勝對(duì)應(yīng)的事件，利用互斥事件的加法公式和獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算即可；（2）由總局?jǐn)?shù)X可能的取值，計(jì)算相應(yīng)的概率，列出分布列，計(jì)算期望.【詳解】（1）記“甲班在項(xiàng)目A中獲勝”為事件A，比所以甲班在項(xiàng)目A中獲勝的概率為.（2）甲班在第二個(gè)比賽項(xiàng)目B中參加比賽總局?jǐn)?shù)X∈{3,5,7}，X=3表示乙班3:0獲勝，X=5表示乙班4:1獲勝，X=7表示甲班5:2獲勝或乙班5:2獲勝或沒(méi)有人領(lǐng)先3局，2P(X=3=1P(X=5=2×1=2所以X的分布列如下：X357P(X13 【變式5-1】5.（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在2005年世青賽中，被稱作“超白金一代”的中國(guó)男足U23代表隊(duì)打出了中國(guó)男足在世界舞臺(tái)上的最好表現(xiàn)．球隊(duì)的戰(zhàn)術(shù)核心，來(lái)自沈陽(yáng)的陳濤入選了賽事最佳陣容．世青賽的賽制分為小組賽、淘汰賽兩個(gè)階段．小組賽中，每個(gè)小組4支球隊(duì)，按照單循環(huán)賽制選出兩支球隊(duì)進(jìn)入淘汰賽．淘汰賽中16支球隊(duì)逐隊(duì)廝殺，通過(guò)4輪比賽決出最后的冠軍.(1)已知在小組賽中，每贏一場(chǎng)記3分，打平一場(chǎng)記1分，輸一場(chǎng)記0分，小組賽階段中國(guó)隊(duì)與巴拿馬、土耳其、烏克蘭三支球隊(duì)分在同一組．首戰(zhàn)中中國(guó)隊(duì)驚險(xiǎn)戰(zhàn)勝了歐洲亞軍土耳其隊(duì)，在小組賽占據(jù)了優(yōu)勢(shì)．面對(duì)后兩場(chǎng)比賽的對(duì)手烏克蘭隊(duì)和巴拿馬隊(duì)，根據(jù)賽前球探報(bào)告分析，可以近似認(rèn)為后兩場(chǎng)比賽中國(guó)的獲勝的概率都為0.5，打平的概率都為0.2，輸球的概率都為0.3．中國(guó)隊(duì)三場(chǎng)小組賽之后的總積分為隨機(jī)變量X，求出其分布列和期望.(2)10號(hào)隊(duì)員陳濤作為中國(guó)隊(duì)的進(jìn)攻核心，他的表現(xiàn)對(duì)中國(guó)隊(duì)而言舉足輕重．過(guò)往數(shù)據(jù)表示，在所有陳濤出場(chǎng)并且有進(jìn)球或者助攻的比賽中，中國(guó)隊(duì)贏得了其中80%的場(chǎng)次，在所有陳濤沒(méi)有進(jìn)球或者助攻的比賽中，中國(guó)隊(duì)贏得了其中20%的場(chǎng)次，陳濤在其代表中國(guó)隊(duì)出場(chǎng)的40場(chǎng)比賽中，有30場(chǎng)比賽完成了進(jìn)球或者助攻．在本屆比賽中，中國(guó)隊(duì)在小組賽中順利出線，淘汰賽首輪中對(duì)陣世界足壇的傳統(tǒng)強(qiáng)隊(duì)德國(guó)隊(duì)．已知在淘汰賽對(duì)陣德國(guó)隊(duì)的比賽中，陳濤代表中國(guó)隊(duì)出場(chǎng)比賽，雖然經(jīng)過(guò)全隊(duì)不懈努力，仍然不敵強(qiáng)大的德國(guó)隊(duì)，若以過(guò)往的數(shù)據(jù)估計(jì)概率，請(qǐng)估計(jì)陳濤在本場(chǎng)比賽貢獻(xiàn)進(jìn)球或者助攻的概率.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，期望為6.4分；【分析】（1）求出X的可能值，及各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望.（2）利用全概率公式求出中國(guó)隊(duì)獲勝的概率，再利用條件概率公式求解.【詳解】（1）依題意，X的可能值為3,4,5,6,7,9，P(X=3)=0.32=0.09，P(X=4)=C×0.0.25，所以X的分布列如下：X345679P0.090.120.040.30.20.25（2）若A為陳濤取得進(jìn)球或者助攻，則A為未進(jìn)球且未助攻，則P(A)==0.75,P(A)=0.25， 若B為中國(guó)隊(duì)獲勝，則P(B|A)=0.8,P(B|A)=0.2，P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)=0.2×0.25+0.8×0.75=0.65，則P(B)=0.35，P(AB)=P(B|A)P(A)=(1?0.8)×0.75=0.15，所以即中國(guó)隊(duì)輸給德國(guó)隊(duì)的前提下，陳濤進(jìn)球或助攻的概率為.【例題6】（2023上·遼寧沈陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)即將于2024年在巴黎舉辦，其中游泳比賽分為預(yù)賽、半決賽和決賽三個(gè)階段，只有預(yù)賽、半決賽都獲勝才有資格進(jìn)入決賽．已知甲在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，乙在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，丙在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為p和?p，其中<(1)甲、乙、丙三人中，哪個(gè)人進(jìn)入決賽的可能性更大?(2)如果甲、乙、丙三人中恰有兩人進(jìn)入決賽的概率為，求p的值；(3)在（2）的條件下，設(shè)甲、乙、丙三人中進(jìn)入決賽的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列.【答案】(1)乙(3)分布列見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，求得甲、乙、丙進(jìn)入決賽的概率，比較，即可得到答案；（2）各級(jí)題意，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，列出方程，即可求解；（3）由（2）得到丙進(jìn)入決賽的概率，根據(jù)題意得到隨機(jī)變量ξ的可能取值為0,1,2,3，求得相應(yīng)的概率，列出分布列.【詳解】（1）解：甲進(jìn)入決賽的概率為×=，乙進(jìn)入決賽的概率為×=，顯然，乙進(jìn)入決賽的概率最大，所以乙進(jìn)入決賽的可能性最大.（2）解：因?yàn)榧住⒁?、丙三人中恰有兩?duì)進(jìn)入決賽的概率為，（3）解：由（2）知，丙進(jìn)入決賽的概率為(?)=，所以甲、乙、丙三人進(jìn)入決賽的概率分布為,,，根據(jù)題意，得到隨機(jī)變量ξ的可能取值為0,1,2,3，可得P(ξ=0)=(1?)(1?)(1?)=；所以隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ0123P 【變式6-1】1.（2023上·湖南·高三邵陽(yáng)市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）2022年北京冬奧會(huì)成功舉辦后，冰雪運(yùn)動(dòng)深受人們喜愛(ài).高山滑雪運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者乙堅(jiān)持進(jìn)行高山滑雪專業(yè)訓(xùn)練，為了更好地提高滑雪技能，使用A,B兩個(gè)氣候條件有差異的標(biāo)準(zhǔn)高山滑雪場(chǎng)進(jìn)行訓(xùn)練.(1)已知乙第一次去A,B滑雪場(chǎng)訓(xùn)練的概率分別為0.4和0.6.選擇A,B高山滑雪場(chǎng)的規(guī)律是：如果第一次去A滑雪場(chǎng)，那么第二次去A滑雪場(chǎng)的概率為0.6；如果第一次去B滑雪場(chǎng)，那么第二次去A滑雪場(chǎng)的概率為0.5，求高山滑雪運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者乙第二次去A滑雪場(chǎng)的概率；(2)高山滑雪愛(ài)好者協(xié)會(huì)組織高山滑雪挑戰(zhàn)賽，挑戰(zhàn)賽的決賽由一名高山滑雪運(yùn)動(dòng)員甲組成的專業(yè)隊(duì)，與兩名高山滑雪愛(ài)好者乙、丙組成的“飛雪”隊(duì)進(jìn)行比賽，約定賽制如下：“飛雪”隊(duì)的乙、丙兩名隊(duì)員輪流與甲進(jìn)行比賽，若甲連續(xù)贏兩場(chǎng)比賽則甲獲勝；若甲連續(xù)輸兩場(chǎng)比賽則“飛雪”隊(duì)獲勝；若比賽三場(chǎng)還沒(méi)有決出勝負(fù)，則視為平局，比賽結(jié)束.各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立，每場(chǎng)比賽都分出勝負(fù)，若甲與乙比賽，乙贏的概率為；甲與丙比賽，丙贏的概率為p，其中<p<.賽事組委會(huì)規(guī)定：比賽結(jié)束時(shí)，勝隊(duì)獲獎(jiǎng)金3萬(wàn)元，負(fù)隊(duì)獲獎(jiǎng)金1.5萬(wàn)元；若平局，兩隊(duì)各獲獎(jiǎng)金1.8萬(wàn)元.若“飛雪”隊(duì)第一場(chǎng)安排乙與甲進(jìn)行比賽，設(shè)賽事組委會(huì)預(yù)備支付的獎(jiǎng)金金額共計(jì)X萬(wàn)元，求X的數(shù)學(xué)期望EX的取值范圍.【答案】(1)0.54(2)(4.25,4.3)【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求解，（2）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，計(jì)算概率，即可得分布列，進(jìn)而由期望的計(jì)算公式求解期望即可.【詳解】（1）設(shè)A1：第一次去A滑雪場(chǎng)，A2：第二次去A滑雪場(chǎng)，B1：第一次去B滑雪場(chǎng)，B2：第二次去B滑雪場(chǎng)