2024-2025學年廣東省廣州市番禺區(qū)高二上學期教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年廣東省廣州市番禺區(qū)高二上學期教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={?4,?3,0,6}，B=x∈Zx≤3，則A∩B的子集的個數(shù)為A.1 B.2 C.3 D.42.若復數(shù)z滿足1?2iz=4?3i，則z的虛部為(

)A.i B.?i C.1 D.?13.已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a7+aA.880 B.440 C.220 D.1104.在四面體ABCD中，點F在AD上，且AF=2FD，E為BC的中點，則EF=?(

)A.AC+12AB?23AD 5.已知橢圓C:x24+y23=1A.y=±12x B.y=±x C.y=±6.根據(jù)有關資料，國王與國際象棋發(fā)明者在棋盤放米的故事中，最后一個格子需放米粒的數(shù)量M為263，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與NM最接近的是(

A.1061 B.1071 C.7.在平面直角坐標系xOy中，直線l的方程為kx?y?6k=0，若圓x2+y2?6x=0上有且僅有3個點到直線l的距離為32A.3 B.±3 C.8.已知函數(shù)fx=ex+mm∈R,m≠0，若存在實數(shù)x0∈A.?12e?e2,?1 B.?e?二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.在某校2000名學生中隨機抽取了800名學生對2024年奧運會期間6場網(wǎng)球單打比賽的收看情況進行了調(diào)查，將數(shù)據(jù)分組整理后，列表如下：觀看場次0123456觀看人數(shù)占調(diào)查人數(shù)的百分比(%)1555m10154m從表中數(shù)據(jù)可以得出的正確結論為(

)A.表中m的數(shù)值為15B.估計該校學生觀看場次的第三四分位數(shù)為6

C.估計該校學生觀看場次的平均數(shù)為4D.估計該校學生觀看場次不低于4場的

人數(shù)為130010.過?ABC所在平面外一點P，作PO⊥平面ABC，垂足為O，連接PA、PB、PC.下列說法正確的是(

)A.若PA=PB=PC，∠ACB=90°，則O是AB邊的中點

B.若點P到?ABC三條邊的距離相等，則點O是?ABC的內(nèi)心

C.若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是?ABC的垂心

D.若PA、PB、PC與平面ABC所成的角均相等，則點O11.若直線l:x?my?2=0m∈R過拋物線C:y2=2pxp>0的焦點F，且與拋物線C交于A、A.p=8B.?OAB重心的橫坐標的最小值為43

C.OA?OB=?12D.以線段三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知圓C經(jīng)過原點和點A2,0，并且圓心在直線l:x?2y?1=0上，則圓C的標準方程為

．13.空間內(nèi)有三點E2,1,1，F(xiàn)1,2,2，P3,1,?4，則點P到直線EF的距離為

14.古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點．設橢圓方程x2a2+y2b2=1a>b>0，F(xiàn)1、F2為其左、右焦點，若從右焦點F2發(fā)出的光線經(jīng)橢圓上的點A四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)記?ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c?acos(1)求A；(2)若過?ABC的

重心M的直線l與AB交于點D，BA與DM夾角為π4，且b=c=1，求AD．16.(本小題12分)已知數(shù)列an是公差大于1的等差數(shù)列，a2=3，且a1+1，a3?1，a6?3成等比數(shù)列，若數(shù)列b(1)求數(shù)列an，b(2)若cn=an+1?bn17.(本小題12分)閱讀材料：函數(shù)知識有廣泛的實際應用，如函數(shù)的凹凸性，可應用于風險評估、經(jīng)濟學模型構建及計算機科學等諸多領域．其中函數(shù)的凹凸性的定義如下．定義1：設函數(shù)y=f(x)是定義在區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)，若?x1,x2∈D(D?I)，都有fx1+x22≤fx定義2：設函數(shù)y=f(x)是定義在區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)，若?x1,x2∈D(D?I)，都有fx1+x22≥fx

結合閱讀材料回答下面的問題：(1)請寫出一個R上的凹函數(shù)(不必說明理由)；(2)用定義證明fx=?x(3)討論函數(shù)fx=x18.(本小題12分)如圖，在以A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形CDEF均為等腰梯形，AB//CD，CD//EF，AB=DE=EF=CF=2，CD=4，AE=23,AD=BC=10(1)證明：平面ABCD⊥平面CDEF；(2)求平面BCM與平面BEM所成角的余弦值；(3)是否存在點N在線段AM上，使得直線EN與平面BEM所成角的正弦值為31326？若存在，請求出19.(本小題12分)已知平面上兩點Aa1,a2，Bb1,b2，定義它們之間的“D距離”為DAB=a1?(1)求軌跡C的方程；(2)求軌跡C的面積；(3)若直線y=kx+2與軌跡C的外接橢圓E交于S,T兩點，動點G滿足GS=GT=GQ，其中Q的坐標為(0,?3)，記直線OG的斜率為k′參考答案1.D

2.C

3.B

4.B

5.C

6.A

7.D

8.A

9.BCD

10.ABC

11.BC

12.x?1213.1414.22

或15.解：(1)因為c?acos由正弦定理可得sinC?又因為sinC=可得cosA且B∈0,π，則sinB≠0，可得cosA=?又因為A∈0,π，所以A=(2)取BC的中點E，連接AE，因為b=c=1，A=2π3，可知AE⊥BC,∠BAE=π由題意可知：∠ADM=π則sin∠AMD=在△ADM中，由正弦定理可得ADsin所以AD=AM?sin∠AMD

16.解：(1)設等差數(shù)列an的公差為d由a1+1,a可得a2由a2=3，則方程化簡可得5d2?12d+4=0所以首項為1，公差為2的等差數(shù)列an的通項公式為a當n=1時，S1=2b1?2當n≥2時，bn可得bn=2bn?1，則數(shù)列bn所以bn(2)由題意可得cnTn2T兩式相減可得?T?T解得Tn

17.解：(1)例如gx對?x1,即滿足gx(2)對于二次函數(shù)fx?x1,即fx1+(3)由(1)可知二次函數(shù)y=x2+bx為凹函數(shù)，由(2)因為函數(shù)f(x)=xx?a所以f(x)在a,+∞內(nèi)為凹函數(shù)，在?∞,a內(nèi)為凸函數(shù)．

18.解：(1)取DM的中點O，連結OA,OE，由已知得，?EMD是邊長為2的等邊三角形，△ADM是以AD=AM=則OE⊥DM,OA⊥DM,OA=3,OE=3，故故OA⊥OE,OE∩DM=O,OE?平面CDEF,DM?平面CDEF，所以OA⊥平面CDEF，又OA?平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面CDEF；(2)以O為坐標原點，分別以OE,OC,OA為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則EBE=(3顯然平面BCM的一個法向量為n=設平面BEM的一個法向量為m=由m?EM=?3所以cosm故平面BCM與平面BEM所成角的余弦值39(3)由上可知A0,0,3，EAE=3假設存在點N在線段AM上，設AN=λAM0≤λ≤1所以EN=設直線EN與平面BEM所成角為θ，則sinθ=可得λ=13或λ=2(舍)，所以AN=所以存在點N在線段AM上，且AN=

19.解：(1)設M(x,y)，由“D距離”公式可得：DMF1由題意，DM故軌跡C的方程為：2x(2)由2x+y+2當x≥0時，若?3≤y≤?2，則x=1若?2<y<2，則x=1若2≤y≤3，則x=1即當x≥0時，x=當x<0時，由對稱性可得：x=其圖象為：由圖可知：軌跡C的面積為：S=2×1(3)由上圖知，軌跡C的外接橢圓E的長半