2025年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)鞏固考點(diǎn)鞏固卷13數(shù)列綜合研究通項(xiàng)及求和(七大考點(diǎn))(原卷版+解析)

考點(diǎn)鞏固卷13數(shù)列綜合研究通項(xiàng)及求和（七大考點(diǎn)）考點(diǎn)01：已知通項(xiàng)公式與前項(xiàng)的和關(guān)系求通項(xiàng)問題若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式構(gòu)造兩式作差求解．用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個(gè)表達(dá)，（要先分和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一）．1．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和滿足，若，則的值是（

）A． B． C．6 D．72．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．-3 B．3 C．-2 D．23．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．4 B．8 C． D．4．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，則.5．已知數(shù)列的前三項(xiàng)依次為的前項(xiàng)和，則．6．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．7．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.8．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足且成等差數(shù)列(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．9．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.10．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和記為，已知．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的和．(3)若，則為__________（等差/等比）數(shù)列，并證明你的結(jié)論．考點(diǎn)02：同除以指數(shù)求通項(xiàng)遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q，r均為常數(shù)）時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類型Ⅴ㈠的方法解決．11．?dāng)?shù)列{an}滿足，，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為.12．已知數(shù)列滿足，若，，則；若，，則.13．各項(xiàng)均正的數(shù)列滿足，則等于14．?dāng)?shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.15．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則.16．已知數(shù)列的前項(xiàng)的和為且滿足，數(shù)列是兩個(gè)等差數(shù)列與的公共項(xiàng)組成的新數(shù)列.求出數(shù)列，的通項(xiàng)公式；17．已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；18．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求及．19．已知列滿足，且，．（1）設(shè)，證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；20．已知數(shù)列滿足，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.考點(diǎn)03：疊加法與疊乘法求通項(xiàng)形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個(gè)式子兩邊分別相加，可得：=1\*GB3①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；=2\*GB3②若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；=3\*GB3③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；=4\*GB3④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和．形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個(gè)式子兩邊分別相乘，可得：有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．21．已知數(shù)列滿足：且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．22．已知數(shù)列滿足，，則，.23．已知數(shù)列{an}滿足，a1＝1，則a2023＝25．?dāng)?shù)列滿足，則.26．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，則.27．已知數(shù)列滿足，，，則．28．?dāng)?shù)列中，，且，則等于.29．在數(shù)列中，已知，且，則．30．?dāng)?shù)列滿足，且，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為.考點(diǎn)04：構(gòu)造數(shù)列法求通項(xiàng)㈠形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：（1）若時(shí)，數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）若時(shí)，數(shù)列{}為等比數(shù)列；（3）若且時(shí)，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求．方法有如下兩種：法一：設(shè)，展開移項(xiàng)整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法）便可求出31．已知數(shù)列中，，，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和.32．已知數(shù)列的首項(xiàng),且,則滿足條件的最大整數(shù).33．已知數(shù)列，其中，滿足，設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，當(dāng)不等式成立時(shí)，正整數(shù)n的最小值為.34．在數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，則，．35．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，則.36．在數(shù)列中，，且，則的通項(xiàng)公式為．37．在數(shù)列中，，若對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值.38．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則.39．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則．40．已知數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則滿足不等式的n的最大值為.41．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，，則數(shù)列的前100項(xiàng)之和為（

）A． B． C． D．42．（

）A． B． C． D．43．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和等于（

）．A． B．C． D．44．已知數(shù)列中，，.(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求；(2)求的前項(xiàng)和.45．已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足.(1)求證為等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.46．?dāng)?shù)列滿足，（）．(1)計(jì)算，，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式并證明；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；.47．已知數(shù)列滿足，，且對，都有．(1)設(shè)，證明數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(3)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．48．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為，且滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．49．已知數(shù)列.(1)求；(2)令為數(shù)列的前項(xiàng)和，求.50．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.考點(diǎn)06：裂項(xiàng)相消求和裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．積累裂項(xiàng)模型：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）51．若數(shù)列滿足（且），，則（

）A． B． C． D．52．?dāng)?shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．53．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．1 B． C． D．54．已知數(shù)列滿足，若，則的前2024項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．55．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．56．已知數(shù)列1，，，…，，…，其前n項(xiàng)和為，則正整數(shù)n的值為（

）．A．6 B．8 C．9 D．1057．三角形數(shù)由古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出，是由一列點(diǎn)等距排列表示的數(shù)，其前五個(gè)數(shù)如圖所示.記三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，則使數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小正整數(shù)n為（

）A．5 B．6 C．7 D．858．?dāng)?shù)列中，，，則（

）A．51 B．40 C．41 D．5059．已知是等差數(shù)列，且，，則（

）A．15 B．26 C．28 D．3260．在各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列中，，且等比數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.考點(diǎn)07：分組求和分組轉(zhuǎn)化求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．61．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，則（

）A．511 B．61 C．93 D．12562．記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．301 B．101 C． D．63．在數(shù)列中，，且，則其前項(xiàng)的和為（

）A．841 B．421 C．840 D．42064．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．590 B．602 C．630 D．65065．設(shè)數(shù)列滿足．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)的和，則（

）A．110 B．120 C．288 D．30666．設(shè)數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則（

）A．1011 B．1022 C．1033 D．104467．在數(shù)列中，已知，，則的前11項(xiàng)的和為（

）A．2045 B．2046 C．4093 D．409468．已知數(shù)列滿足，則其前9項(xiàng)和.69．已知數(shù)列滿足，且前12項(xiàng)和為134，則．70．已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且，求的前n項(xiàng)和．考點(diǎn)鞏固卷13數(shù)列綜合研究通項(xiàng)及求和（七大考點(diǎn)）考點(diǎn)01：已知通項(xiàng)公式與前項(xiàng)的和關(guān)系求通項(xiàng)問題若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式構(gòu)造兩式作差求解．用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個(gè)表達(dá)，（要先分和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一）．1．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和滿足，若，則的值是（

）A． B． C．6 D．7【答案】B【分析】由已知結(jié)合化簡變形可得數(shù)列是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而可求出，進(jìn)而可求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，，所以，得，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以.故選：B2．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．-3 B．3 C．-2 D．2【答案】B【分析】根據(jù)遞推關(guān)系，賦值即可求解．【詳解】若，，變形得到，，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得；故選：B.3．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．4 B．8 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)的關(guān)系可得遞推公式，利用遞推公式可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，整理得，所以.故選：B．4．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，則.【答案】【分析】首先利用公式，判斷數(shù)列是等比數(shù)列，再代入公式，即可求解.【詳解】令，得，得，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，，即，即，所以數(shù)列是以首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以.故答案為：5．已知數(shù)列的前三項(xiàng)依次為的前項(xiàng)和，則．【答案】2024【分析】根據(jù)題意列方程得到，然后根據(jù)求即可.【詳解】由題意知，，，解得，，，所以，.故答案為：2024.6．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系求出通項(xiàng)公式即得.【詳解】數(shù)列中，，，當(dāng)時(shí)，，顯然滿足上式，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：7．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項(xiàng)后可求通項(xiàng)；（2）利用分組求和法即可求.【詳解】（1）因?yàn)?故，所以即故等比數(shù)列的公比為，故，故，故.（2）由等比數(shù)列求和公式得，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.8．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足且成等差數(shù)列(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用的關(guān)系可知是等比數(shù)列，再求出首項(xiàng)，可得通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法可求答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，兩式相減可得，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，即，解得，所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列；所以.（2），，，兩式相減可得，所以.9．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，作差得到，從而得到，再由等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式計(jì)算可得（2）由（1）可得，利用分組求和法計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，即，?dāng)時(shí)，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，所以，即，即，即，又，所以，即，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）可得，所以.10．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和記為，已知．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的和．(3)若，則為__________（等差/等比）數(shù)列，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)(2)(3)等差，證明見解析【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系即可作差得為等比數(shù)列，且公比為，即可利用等比通項(xiàng)求解，（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式即可求解，（3）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可求解.【詳解】（1）由可得，兩式相減可得，進(jìn)而可得，又，解得，故數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為，所以（2），所以（3），為等差數(shù)列，證明如下：為常數(shù)，故為等差數(shù)列，且公差為考點(diǎn)02：同除以指數(shù)求通項(xiàng)遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q，r均為常數(shù)）時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類型Ⅴ㈠的方法解決．11．?dāng)?shù)列{an}滿足，，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為.【答案】．【分析】已知式兩邊同除以，構(gòu)造一個(gè)等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)論．【詳解】∵，所以，即，∴是等差數(shù)列，而，所以，所以．故答案為：．12．已知數(shù)列滿足，若，，則；若，，則.【答案】85【分析】對于第一空，直接根據(jù)遞推公式代入計(jì)算可得；對于第二空，依題意可得，即可得到，再根據(jù)，即可得到，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；【詳解】解：因?yàn)?，?dāng)，時(shí)，所以，，；當(dāng)，時(shí)，則，又，所以，即故答案為：；；13．各項(xiàng)均正的數(shù)列滿足，則等于【答案】【解析】根據(jù)可得，即可構(gòu)造出等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)可求出，即可求得．【詳解】將兩邊同除以，得，則是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，∴，則．故答案為：．14．?dāng)?shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【分析】根據(jù)給定的遞推公式，利用構(gòu)造法，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)求解即得.【詳解】數(shù)列中，由，得，即，而，，于是數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列，因此，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：15．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則.【答案】/0.5【分析】構(gòu)造得，從而得到，則，再利用等比數(shù)列求和公式代入計(jì)算即可.【詳解】由，得，則，又，則，則，，，，故答案為：.16．已知數(shù)列的前項(xiàng)的和為且滿足，數(shù)列是兩個(gè)等差數(shù)列與的公共項(xiàng)組成的新數(shù)列.求出數(shù)列，的通項(xiàng)公式；【答案】，【分析】利用，得，再變形為，根據(jù)數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，求出；根據(jù)兩個(gè)等差數(shù)列的第一個(gè)公共項(xiàng)為首項(xiàng)，兩個(gè)等差數(shù)列的公差的最小公倍數(shù)為公差，可求出通項(xiàng)公式.【詳解】當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，即，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，；數(shù)列是兩個(gè)等差數(shù)列與的公共項(xiàng)組成的新數(shù)列，數(shù)列的首項(xiàng)為，因?yàn)榈炔顢?shù)列，的公差為，等差數(shù)列的公差為，所以數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，.17．已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】．【分析】由已知可得數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求其通項(xiàng)公式，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；【詳解】解：由，得：，∴，即數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，∴，得．18．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求及．【答案】(1)證明見解析(2)，【分析】（1），再由得的遞推關(guān)系式，進(jìn)而得出，然后由等比數(shù)列的定義證明；（2）由的遞推關(guān)系，構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列求出通項(xiàng)公式后可得，代入已知式得．【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，解得，，化為，所以，可得，，則數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列；（2）由，可得，則為公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，可得，則；所以．19．已知列滿足，且，．（1）設(shè)，證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)題設(shè)遞推式得，根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)論得證.（2）由（1）直接寫出通項(xiàng)公式即可.【詳解】（1）由題設(shè)知：，且，∴是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，又，則數(shù)列為等差數(shù)列，得證.（2）由（1）知：.20．已知數(shù)列滿足，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【分析】對變形可得，從而可得數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而可求出.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以.考點(diǎn)03：疊加法與疊乘法求通項(xiàng)形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個(gè)式子兩邊分別相加，可得：=1\*GB3①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；=2\*GB3②若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；=3\*GB3③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；=4\*GB3④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和．形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個(gè)式子兩邊分別相乘，可得：有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．21．已知數(shù)列滿足：且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【答案】【分析】根據(jù)累乘法求數(shù)列通項(xiàng)公式即可.【詳解】因?yàn)?，所以，累乘可得，即，所以，?dāng)時(shí)，也成立，所以.故答案為：22．已知數(shù)列滿足，，則，.【答案】02023【分析】分別令可求出；由可得，再由累乘法即可求出，代入可求出.【詳解】令可得：，所以，令可得：，所以，由可得：，所以，，……，，以上個(gè)式子相加可得：，所以，則.故答案為：0；2023.23．已知數(shù)列{an}滿足，a1＝1，則a2023＝【答案】4045【詳解】∵＝2n，∴an＋1＋an＝2n(an＋1－an)，即(1－2n)an＋1＝(－2n－1)an，可得＝，∴a2023＝×××…×××a1＝××…×××1＝4045.24．?dāng)?shù)列中，若，，則.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式結(jié)合累乘法即可得.【詳解】由題意，，可得，所以，所以.故答案為：.25．?dāng)?shù)列滿足，則.【答案】【分析】由累乘法求出，再由錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前項(xiàng)和為，即可求出，代入求解即可.【詳解】由可得：，當(dāng)時(shí)，，，，……，，所以上述式子相乘可得：，所以，令，，所以滿足，所以.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，①，②，①減②可得：所以，所以，所以.故答案為：.26．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，則.【答案】【分析】由遞推公式可得，再由累乘法即可求得結(jié)果.【詳解】由可得，由累乘可得.故答案為：27．已知數(shù)列滿足，，，則．【答案】128【分析】由題意，根據(jù)等比數(shù)列的定義可知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，利用累乘法求得，令，計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，，即，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列，所以，當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：12828．?dāng)?shù)列中，，且，則等于.【答案】【分析】先根據(jù)條件求首項(xiàng)，再利用累乘法求通項(xiàng)即可.【詳解】由題意可知：，顯然有，由累乘法可得.而符合，故答案為：29．在數(shù)列中，已知，且，則．【答案】【分析】由累加法和裂項(xiàng)相消法求通項(xiàng)即可得出答案.【詳解】由可得：，．故答案為：.30．?dāng)?shù)列滿足，且，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為.【答案】【分析】由運(yùn)用迭代法求出，則，利用裂項(xiàng)相消法即可求得的前2024項(xiàng)和.【詳解】由可得，則，則，故數(shù)列的前2024項(xiàng)和為.故答案為：.考點(diǎn)04：構(gòu)造數(shù)列法求通項(xiàng)㈠形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：（1）若時(shí)，數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）若時(shí)，數(shù)列{}為等比數(shù)列；（3）若且時(shí)，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求．方法有如下兩種：法一：設(shè)，展開移項(xiàng)整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法）便可求出31．已知數(shù)列中，，，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】【分析】根據(jù)條件，先構(gòu)造等比數(shù)列求出，再由得，從而可求和.【詳解】由，有，，兩式相除得到，所以是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以，則，所以，所以.故答案為：.32．已知數(shù)列的首項(xiàng),且,則滿足條件的最大整數(shù).【答案】2024【分析】將已知條件遞推公式,取倒數(shù),變換為,則有是等比數(shù)列,從而得,分組求和求出新數(shù)列,根據(jù)的單調(diào)性,即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為,公比為，所以,即，所以，而當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又因?yàn)?且，所以滿足條件的最大整數(shù).故答案為：2024.33．已知數(shù)列，其中，滿足，設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，當(dāng)不等式成立時(shí)，正整數(shù)n的最小值為.【答案】9【分析】利用遞推關(guān)系式得，由此可證得是等比數(shù)列；由等比數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)可得，進(jìn)而可求得的表達(dá)式，代入解不等式即可求解.【詳解】因?yàn)橛傻茫?，又，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以.所以，所以等價(jià)，由知，滿足正整數(shù)n的最小值為9.故答案為：9.34．在數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，則，．【答案】【分析】借助所給條件可構(gòu)造，即可得數(shù)列為等比數(shù)列，即可得，借助等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可得.【詳解】由，即，則，又，故數(shù)列是以為公比、為首項(xiàng)的等比數(shù)列，即，則，.故答案為：；.35．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，則.【答案】2022【分析】利用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，則，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)求和公式計(jì)算即可求解.【詳解】由，得，又，所以數(shù)列是以4為公比、以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以，得.所以，則.故答案為：202236．在數(shù)列中，，且，則的通項(xiàng)公式為．【答案】【分析】利用待定系數(shù)法，設(shè)，變形得出，對比題干中的等式，求出、的值，可知數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)?，設(shè)，其中、，整理可得，所以，，解得，所以，，且，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比也為的等比數(shù)列，所以，，解得.故答案為：.37．在數(shù)列中，，若對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值.【答案】【分析】首先利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用函數(shù)的恒成立問題和數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】由整理得，即，又，故數(shù)列是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，可得,不等式，可化為，令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，綜上，，所以，故最小值為．故答案為：38．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則.【答案】【分析】由與的關(guān)系即可求出，進(jìn)而求.【詳解】由題意當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，由可得，兩式相減得，所以，即，所以，所以是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，故.故答案為：39．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則．【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合與之間的關(guān)系整理可得，進(jìn)而結(jié)合等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式分析求解.【詳解】因?yàn)?，則，整理得，且，可知數(shù)列是以首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，可得，所以.故答案為：.40．已知數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則滿足不等式的n的最大值為.【答案】8【分析】已知遞推關(guān)系湊配一個(gè)等比數(shù)列，從而可得通項(xiàng)公式，再由分組求得法及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求得，化簡不等式后求解即得．【詳解】由得，又，從而，所以是等比數(shù)列，所以，，所以，，由得（因?yàn)槭钦麛?shù)），所以的最大值是8.故答案為：8.考點(diǎn)05：錯(cuò)位相減求和錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．41．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，，則數(shù)列的前100項(xiàng)之和為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用錯(cuò)位相減法求和作答.【詳解】令數(shù)列的前n項(xiàng)和為，因?yàn)椋瑒t，則有兩式相減得：，因此，有，所以數(shù)列的前100項(xiàng)之和為.故選：B42．（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】觀察數(shù)列屬于等差乘等比模型，按照錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】由，得，兩式相減得.所以.故選：B.43．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和等于（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)錯(cuò)位相減法求解即可得答案.【詳解】解：設(shè)的前n項(xiàng)和為，則，

①所以，

②①－②，得，所以．故選:B．44．已知數(shù)列中，，.(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求；(2)求的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析，(2).【分析】（1）依題意可得，結(jié)合等差數(shù)列的定義證明即可，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得；（2）利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，故，即?shù)列是以為公差的等差數(shù)列，又，所以，故，所以.（2）依題意可得，，兩式相減可得，所以.45．已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足.(1)求證為等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義證明為等差數(shù)列，由數(shù)列的通項(xiàng)公式求的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】（1）證明：數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足，則有，又，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公差為3的等差數(shù)列；則有，所以.（2）由（1）得，，所以，①，②由①②得，所以.46．?dāng)?shù)列滿足，（）．(1)計(jì)算，，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式并證明；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；【答案】(1)，，猜測，證明見解析(2)【分析】（1）直接通過遞推公式計(jì)算，然后猜測并證明；（2）使用錯(cuò)位相減法即可.【詳解】（1），.猜測，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，由知結(jié)論成立；假設(shè)結(jié)論對成立，即，則，故結(jié)論對成立.綜上，有成立.（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.所以.故.47．已知數(shù)列滿足，，且對，都有．(1)設(shè)，證明數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(3)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)，(3)【分析】（1）由得，根據(jù)等差數(shù)列的定義可得；（2）由（1）可得時(shí)，，利用累加法可得，驗(yàn)證即可；（3）利用錯(cuò)位相減法求和可得.【詳解】（1）證明：，，，即，則數(shù)列為等差數(shù)列；（2），，，，，又，當(dāng)時(shí)，，，，，累加有，則．也符合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，.（3），①，②，①②得，．48．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為，且滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)．【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知條件和等比數(shù)列基本量的計(jì)算，求出數(shù)列首項(xiàng)和公比，得通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法可得數(shù)列的前n項(xiàng)和．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，∵，，∴，即，∴（舍去），∴，即，∴．（2）∵，∴．∴，，兩式相減得，∴．49．已知數(shù)列.(1)求；(2)令為數(shù)列的前項(xiàng)和，求.【答案】(1)(2).【分析】（1）利用得到，再用兩式相減可得，由于此時(shí)，所以需要對第一項(xiàng)和第二項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)，，最后可判斷是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)；（2）先求出，再利用錯(cuò)位相減法來求出它的前項(xiàng)和.【詳解】（1）由，所以當(dāng)時(shí)，有，兩式相減得：，即.又有，所以是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以.（2）由（1）知：，所以，則，上面兩式相減得：，所以.50．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由的關(guān)系分是否等于1進(jìn)行討論即可求解；（2）首先得，進(jìn)一步結(jié)合錯(cuò)位相減法以及等比數(shù)列求和公式即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，（2）由（1）可知，記，，，兩式相減得.考點(diǎn)06：裂項(xiàng)相消求和裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．積累裂項(xiàng)模型：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）51．若數(shù)列滿足（且），，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將數(shù)列遞推式整理裂項(xiàng)，運(yùn)用累加法和裂項(xiàng)相消法求和，得到數(shù)列通項(xiàng)即得.【詳解】由可得，則有，.故.故選：C.52．?dāng)?shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到，從而得到，再由裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.故選：B53．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相法求和即得.【詳解】依題意，，則，所以.故選：D54．已知數(shù)列滿足，若，則的前2024項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由數(shù)列的遞推式推得，從而得到，再由裂項(xiàng)相消法求和即可．【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，所以，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)也成立，所以，所以，設(shè)的前項(xiàng)和為，則．故選：B．55．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先將化為，再利用裂項(xiàng)相消法求出它的前項(xiàng)和．【詳解】由題意得，，所以數(shù)列的前項(xiàng)和，故選：A．56．已知數(shù)列1，，，…，，…，其前n項(xiàng)和為，則正整數(shù)n的值為（

）．A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再裂項(xiàng)相消求和列方程求n的值.【詳解】，所以前n項(xiàng)和為，解得.故選：C.57．三角形數(shù)由古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出，是由一列點(diǎn)等距排列表示的數(shù)，其前五個(gè)數(shù)如圖所示.記三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，則使數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小正整數(shù)n為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】由題意可得，則，然后累加求和即可.【詳解】由題意可得，則，則，又，則，則，則使數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小正整數(shù)n為7故選：C.58．?dāng)?shù)列中，，，則（

）A．51 B．40 C．41 D．50【答案】B【分析】化簡得到，利用裂項(xiàng)相消法求和，得到方程，求出答案.【詳解】，故，故，解得.故選：B59．已知是等差數(shù)列，且，，則（

）A．15 B．26 C．28 D．32【答案】C【分析】設(shè)出公差為，進(jìn)而裂項(xiàng)相消法求和得到，從而得到方程，求出公差，進(jìn)而求出答案.【詳解】設(shè)公差為，若，則，不滿足題意，所以，則，則，所以，故，解得，故.故選：C60．在各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列中，，且等比數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由已知可得，解得（舍去）或，可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用與的關(guān)系可求得的通項(xiàng)公式；（2）利用，可求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，成等比數(shù)列，，即，整理得，解得（舍去）或，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2），則數(shù)列的前項(xiàng)和.考點(diǎn)07：分組求和分組