2025高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)講義第08講新高考新結(jié)構(gòu)命題下的立體幾何解答題綜合訓(xùn)練(學(xué)生版+解析)

第08講新高考新結(jié)構(gòu)命題下的立體幾何解答題綜合訓(xùn)練（10類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）在新課標(biāo)、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推進(jìn)。這不僅僅是一場(chǎng)考試形式的變革，更是對(duì)教育模式和教育理念的全面革新。當(dāng)前的高考試題設(shè)計(jì)，以“三維”減量增質(zhì)為核心理念，力求在減少題目數(shù)量的同時(shí)，提升題目的質(zhì)量和考查的深度。這具體體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：三考題目設(shè)計(jì)著重考查學(xué)生的知識(shí)主干、學(xué)習(xí)能力和學(xué)科素養(yǎng)，確保試題能夠全面、客觀地反映學(xué)生的實(shí)際水平。三重強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生思維深度、創(chuàng)新精神和實(shí)際應(yīng)用能力的考查，鼓勵(lì)學(xué)生不拘泥于傳統(tǒng)模式，展現(xiàn)個(gè)人的獨(dú)特見(jiàn)解和創(chuàng)造力。三突出試題特別突出對(duì)學(xué)生思維過(guò)程、思維方法和創(chuàng)新能力的考查，通過(guò)精心設(shè)計(jì)的題目，引導(dǎo)學(xué)生深入思考和探索，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力。面對(duì)新高考新結(jié)構(gòu)試卷的5個(gè)解答題，每個(gè)題目的考查焦點(diǎn)皆充滿(mǎn)變數(shù)，無(wú)法提前預(yù)知。立體幾何版塊作為一個(gè)重要的考查領(lǐng)域，其身影可能悄然出現(xiàn)在第15題中，作為一道13分的題目，難度相對(duì)較為適中，易于學(xué)生入手。同樣不能忽視的是，立體幾何版塊也可能被置于第18、19題這樣的壓軸大題中，此時(shí)的分值將提升至17分，挑戰(zhàn)學(xué)生的解題能力和思維深度，難度自然相應(yīng)加大。面對(duì)如此多變的命題趨勢(shì)，教師在教學(xué)備考過(guò)程中必須與時(shí)俱進(jìn)。不僅要深入掌握不同題目位置可能涉及的知識(shí)點(diǎn)及其命題方式，更要能夠靈活應(yīng)對(duì)，根據(jù)試題的實(shí)際情況調(diào)整教學(xué)策略。本文基于新高考新結(jié)構(gòu)試卷的特點(diǎn)，結(jié)合具體的導(dǎo)數(shù)解答題實(shí)例，旨在為廣大師生提供一份詳盡的導(dǎo)數(shù)解答題綜合訓(xùn)練指南，以期在新高考中取得更好的成績(jī)。考點(diǎn)一、空間中平行關(guān)系的證明1．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，為正三角形，底面為矩形，且平面平面分別為棱的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，且二面角的大小為120°，求的值．2．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為6的正方形，側(cè)面底面，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上且.(1)求證：平面；(2)求直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值.3．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在圓柱中，分別為圓柱的母線(xiàn)和下底面的直徑，為底面圓周上一點(diǎn).(1)若為的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若，圓柱的體積為，求二面角的正弦值.4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在九面體ABCDEFGH中，平面平面，平面平面，，，底面ABCDEF為正六邊形．

(1)證明：平面ABCDEF．(2)證明：平面AFG．(3)求GE與平面所成角的正弦值．5．（2024·貴州貴陽(yáng)·二模）由正棱錐截得的棱臺(tái)稱(chēng)為正棱臺(tái).如圖，正四棱臺(tái)中，分別為的中點(diǎn)，，側(cè)面與底面所成角為.

(1)求證：平面；(2)線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線(xiàn)段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.考點(diǎn)二、空間中垂直關(guān)系的證明1．（2024·陜西商洛·三模）如圖，在四棱錐中，平面，平面平面．(1)證明：；(2)若為的中點(diǎn)，，求到平面的距離．2．（2024·江蘇宿遷·一模）如圖，在四棱錐中，四邊形為梯形，其中，，平面平面．

(1)證明：；(2)若，且與平面所成角的正切值為2，求平面與平面所成二面角的正弦值．3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將繞邊旋轉(zhuǎn)得到，其中平面，連結(jié)分別是的中點(diǎn)，平面．

(1)求證：；(2)求與平面所成角的正弦值．4．（2024·安徽·一模）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，，M是的中點(diǎn)，.(1)證明：平面；(2)若點(diǎn)P是棱上的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，求的值.5．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在斜三棱柱中，為邊長(zhǎng)為3的正三角形，側(cè)面為正方形，在底面內(nèi)的射影為點(diǎn)O．

(1)求證：；(2)若，求直線(xiàn)和平面的距離．考點(diǎn)三、空間向量法求空間角與空間距離1．（2024·天津北辰·三模）如圖，在四棱錐中，平面，，∥，，，為棱的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求平面和平面夾角的余弦值；(3)求A點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.2．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，三棱柱中，分別為棱的中點(diǎn)，分別是棱上的點(diǎn)，.(1)求證：直線(xiàn)平面；(2)若三棱柱為正三棱柱，求平面和平面的夾角的大小.3．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，，，，，，，平面平面.

(1)求證：平面平面.(2)求二面角的余弦值.(3)為平面內(nèi)一點(diǎn)，若平面，求的長(zhǎng).4．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，平面，是上一點(diǎn)，且，連接與，為中點(diǎn).(1)過(guò)點(diǎn)的平面平行于平面且與交于點(diǎn)，求；(2)若平面平面，且，求點(diǎn)到平面的距離.5．（2024·遼寧沈陽(yáng)·三模）已知四棱柱中，平面，在底面四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn).

(1)若平面平面，求三棱錐的體積；(2)設(shè)且，若直線(xiàn)與平面所成角等于，求的值.考點(diǎn)四、幾何法求空間角與空間距離1．（2024·遼寧丹東·一模）如圖，在四棱錐中，，，，，，點(diǎn)在棱上．

(1)求證：平面平面；(2)若平面分兩部分幾何體與的體積之比，求二面角的正弦值．2．（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知在正三棱柱中，為邊的中點(diǎn).(1)證明：；(2)求三棱錐的體積；(3)求二面角的大小.3．（2024·江西南昌·三模）如圖1，四邊形為菱形，，，分別為，的中點(diǎn)，如圖2．將沿向上折疊，使得平面平面，將沿向上折疊．使得平面平面，連接.(1)求證：，，，四點(diǎn)共面：(2)求平面與平面所成角的余弦值.4．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，正方形的棱長(zhǎng)為2，，點(diǎn)M為AB中點(diǎn)，．(1)求證：三棱柱為直三棱柱；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的余弦值．5．（2024·廣東汕頭·三模）如圖，四面體中，是的中點(diǎn)，，(1)求異面直線(xiàn)AB與CD所成角余弦值的大??；(2)求點(diǎn)E到平面ACD的距離.考點(diǎn)五、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題1．（24-25高二上·浙江嘉興·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成角為，四邊形是梯形，．

(1)證明：平面平面；(2)若點(diǎn)T是的中點(diǎn)，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，求點(diǎn)P到平面的距離．(3)點(diǎn)是線(xiàn)段CD上的動(dòng)點(diǎn)，上是否存在一點(diǎn)M，使平面，若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四邊形是直角梯形，，平面是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，的面積為，四棱錐的體積為．(1)求證：平面;(2)若P是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求的值．3．（23-24高二上·廣西·階段練習(xí)）如圖，已知直圓柱的上、下底面圓心分別為，是圓柱的軸截面，正方形內(nèi)接于下底面圓，點(diǎn)是中點(diǎn)，.

(1)求證：平面平面；(2)若點(diǎn)為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成角的余弦值的最小值.4．（2024·江西新余·二模）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，且，.

(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面平面；(2)若，，線(xiàn)段上的點(diǎn)滿(mǎn)足，且平面與平面夾角的余弦值為，求實(shí)數(shù)的值.5．（2023·山東濰坊·三模）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在母線(xiàn)上，且，．

(1)求證：平面；(2)求證：平面平面(3)若點(diǎn)為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)直線(xiàn)與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離．考點(diǎn)六、范圍問(wèn)題1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱中，，，垂直于平面．點(diǎn)，，分別為邊，，上的動(dòng)點(diǎn)（不包括頂點(diǎn)），且滿(mǎn)足．(1)求三棱錐的體積的最大值；(2)記平面與平面所成的銳二面角為，當(dāng)最小時(shí)，求的值，并說(shuō)明點(diǎn)所處的位置．2．（23-24高三下·河北滄州·階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，△為邊長(zhǎng)為2的正三角形，為中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.(1)當(dāng)時(shí)，求證平面；(2)設(shè)為底面的中心，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值時(shí)的值.3．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）如圖，在四棱錐中，平面，，底面為直角梯形，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在線(xiàn)段與上，且，.(1)若平面平面，求、的值；(2)若平面，求的最小值.4．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，，直線(xiàn)與平面所成角為，直線(xiàn)與平面所成角為．(1)求三棱錐體積的取值范圍；(2)當(dāng)直線(xiàn)與平面所成角最小時(shí)，求二面角的平面角的余弦值.5．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正四棱臺(tái)中，，，，為棱，的中點(diǎn)，棱上存在一點(diǎn)，使得平面．

(1)求；(2)當(dāng)正四棱臺(tái)的體積最大時(shí)，求與平面所成角的正弦值．6．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，且平面平面．分別是的中點(diǎn)．．(1)求證：是直角三角形；(2)求四棱錐體積的最大值；(3)求平面與平面的夾角余弦值的范圍．考點(diǎn)七、立體幾何中的存在性問(wèn)題1．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，，，四邊形是菱形，，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且.

(1)證明：平面.(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2．（2023·天津·一模）已知底面是正方形，平面，，，點(diǎn)、分別為線(xiàn)段、的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，說(shuō)明理由．3．（2023·福建龍巖·二模）三棱柱中，，，側(cè)面為矩形，，三棱錐的體積為．

(1)求側(cè)棱的長(zhǎng)；(2)側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為？若存在，求出線(xiàn)段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直四棱柱的底面為菱形，且，分別是上，下底面的中心，是的中點(diǎn)，．(1)求證：平面；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得在平面內(nèi)的射影恰好為的重心．若存在，求，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，，且底面ABCD，點(diǎn)P、Q分別是棱、的中點(diǎn)．

(1)在底面內(nèi)是否存在點(diǎn)M，滿(mǎn)足平面CPQ?若存在，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)M的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)設(shè)平面CPQ交棱于點(diǎn)T，平面CPTQ將四棱臺(tái)，分成上、下兩部分，求上、下兩部分的體積比．考點(diǎn)八、立體幾何中的劣構(gòu)性問(wèn)題1．（2024·北京海淀·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形，，平面，，，，，平面與棱交于點(diǎn).再?gòu)臈l件①、條件②、條件③，這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.(1)求證：；(2)求直線(xiàn)與平面夾角的正弦值；(3)求的值.條件①：；條件②：；條件③：.2．（2024·江蘇南通·二模）如圖，邊長(zhǎng)為4的兩個(gè)正三角形，所在平面互相垂直，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱AD上，，直線(xiàn)AB與平面相交于點(diǎn)H.(1)從下面兩個(gè)結(jié)論中選一個(gè)證明：①；②直線(xiàn)HE，GF，AC相交于一點(diǎn)；注：若兩個(gè)問(wèn)題均作答，則按第一個(gè)計(jì)分.(2)求直線(xiàn)BD與平面的距離.3．（2024·北京海淀·一模）如圖，在四棱錐中，為的中點(diǎn)，平面.(1)求證：；(2)若，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使四棱錐存在且唯一確定.（i）求證：平面；（ⅱ）設(shè)平面平面，求二面角的余弦值.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.4．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐的底面是正方形，給出下列三個(gè)條件：①；②；③平面.(1)從①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另一個(gè)成立；(2)在（1）的條件下，若，當(dāng)四棱錐體積最大時(shí)，求二面角的余弦值.5．（23-24高三上·北京朝陽(yáng)·期末）如圖，在四棱錐中，，側(cè)面底面，是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)已知，，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使四棱錐唯一確定，求二面角的余弦值.條件①：；條件②：；條件③：直線(xiàn)與平面所成角的正切值為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.考點(diǎn)九、立體幾何中的雜糅問(wèn)題1．（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，的平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)D，.平面α過(guò)直線(xiàn)AB，且與所在的平面垂直.(1)求直線(xiàn)CD與平面所成角的大小；(2)設(shè)點(diǎn)，且，記E的軌跡為曲線(xiàn)Γ.（i）判斷Γ是什么曲線(xiàn)，并說(shuō)明理由；（ii）不與直線(xiàn)AB重合的直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)D且交Γ于P，Q兩點(diǎn)，試問(wèn)：在平面α內(nèi)是否存在定點(diǎn)T，使得無(wú)論l繞點(diǎn)D如何轉(zhuǎn)動(dòng)，總有？若存在，指出點(diǎn)T的位置；若不存在，說(shuō)明理由.2．（2024·河北石家莊·二模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方，且不與軸垂直，的周長(zhǎng)為，直線(xiàn)與交于另一點(diǎn)，直線(xiàn)與交于另一點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的下頂點(diǎn)，如圖①.(1)當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，將平面xOy沿軸折疊如圖②，使平面平面，求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值；(2)若過(guò)作，垂足為.（i）證明:直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；（ii）求的最大值.3．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖（1），已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在第一象限），以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)相切于點(diǎn)C，D為弦AB上任意一點(diǎn)，現(xiàn)將沿CD折成直二面角，如圖（2）．(1)證明：；(2)當(dāng)最小時(shí)，①求，兩點(diǎn)間的最小距離；②當(dāng)，兩點(diǎn)間的距離最小時(shí)，在三棱錐內(nèi)部放一圓柱，使圓柱底面在面BCD上，求圓柱體積的最大值．4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)，點(diǎn)在的準(zhǔn)線(xiàn)上，過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)與相交于兩點(diǎn)，且為正三角形．(1)求的面積；(2)取平面外一點(diǎn)使得，設(shè)為的中點(diǎn)，若，求二面角的余弦值．考點(diǎn)十、立體幾何中的新定義問(wèn)題1．（22-23高三上·河北·階段練習(xí)）已知，，，定義一種運(yùn)算：，在平行六面體中，，，.(1)證明：平行六面體是直四棱柱；(2)計(jì)算，并求該平行六面體的體積，說(shuō)明的值與平行六面體體積的關(guān)系.2．（2022·遼寧沈陽(yáng)·二模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示.蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個(gè)相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉(zhuǎn)，使，，三點(diǎn)重合為點(diǎn)所圍成的曲頂多面體（下底面開(kāi)口），如圖2所示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來(lái)刻畫(huà)，定義其度量值等于蜂房頂端三個(gè)菱形的各個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，而每一頂點(diǎn)的曲率規(guī)定等于減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個(gè)面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為.(1)求蜂房曲頂空間的彎曲度；(2)若正六棱柱底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，設(shè)（i）用表示蜂房（圖2右側(cè)多面體）的表面積；（ii）當(dāng)蜂房表面積最小時(shí)，求其頂點(diǎn)的曲率的余弦值.3．（23-24高一下·福建三明·期末）閱讀數(shù)學(xué)材料：“設(shè)為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，…，平面和平面為多面體的所有以為公共點(diǎn)的面.”已知在直四棱柱中，底面為菱形..（角的運(yùn)算均采用弧度制）(1)若，求四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率；(2)若四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為，求與平面的夾角的正弦值；(3)截取四面體，若該四面體在點(diǎn)處的離散曲率為與平面交于點(diǎn)，證明：.4．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）我們知道，二元實(shí)數(shù)對(duì)可以表示平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)；那么對(duì)于元實(shí)數(shù)對(duì)（，是整數(shù)），也可以把它看作一個(gè)由條兩兩垂直的“軸”構(gòu)成的高維空間（一般記為）中的一個(gè)“點(diǎn)”的坐標(biāo)表示的距離．(1)當(dāng)時(shí)，若，，，求，和的值；(2)對(duì)于給定的正整數(shù)，證明中任意三點(diǎn)滿(mǎn)足關(guān)系；(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)，，，其中，，，．求滿(mǎn)足點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并證明從這個(gè)點(diǎn)中任取11個(gè)點(diǎn)，其中必存在個(gè)點(diǎn)，它們共面或者以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的三棱錐體積不大于．5．（24-25高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）高斯-博內(nèi)公式是大范圍微分幾何學(xué)的一個(gè)經(jīng)典的公式，是關(guān)于曲面的圖形（由曲率表征）和拓?fù)洌ㄓ蓺W拉示性數(shù)表征）間聯(lián)系的一項(xiàng)重要表述，建立了空間的局部性質(zhì)和整體性質(zhì)之間的聯(lián)系.其特例是球面三角形總曲率與球面三角形內(nèi)角和滿(mǎn)足：，其中為常數(shù)，（如圖，把球面上的三個(gè)點(diǎn)用三個(gè)大圓（以球心為半徑的圓）的圓弧聯(lián)結(jié)起來(lái)，所圍成的圖形叫做球面三角形，每個(gè)大圓弧叫做球面三角形的一條邊，兩條邊所在的半平面構(gòu)成的二面角叫做球面三角形的一個(gè)角.球面三角形的總曲率等于，為球面三角形面積，為球的半徑）.(1)若單位球面有一個(gè)球面三角形，三條邊長(zhǎng)均為，求此球面三角形內(nèi)角和；(2)求的值；(3)把多面體的任何一個(gè)面伸展成平面，如果所有其他各面都在這個(gè)平面的同側(cè)，這樣的多面體叫做凸多面體.設(shè)凸多面體頂點(diǎn)數(shù)為，棱數(shù)為，面數(shù)為，試證明凸多面體歐拉示性數(shù)為定值，并求出第08講新高考新結(jié)構(gòu)命題下的立體幾何解答題綜合訓(xùn)練（10類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）在新課標(biāo)、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推進(jìn)。這不僅僅是一場(chǎng)考試形式的變革，更是對(duì)教育模式和教育理念的全面革新。當(dāng)前的高考試題設(shè)計(jì)，以“三維”減量增質(zhì)為核心理念，力求在減少題目數(shù)量的同時(shí)，提升題目的質(zhì)量和考查的深度。這具體體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：三考題目設(shè)計(jì)著重考查學(xué)生的知識(shí)主干、學(xué)習(xí)能力和學(xué)科素養(yǎng)，確保試題能夠全面、客觀地反映學(xué)生的實(shí)際水平。三重強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生思維深度、創(chuàng)新精神和實(shí)際應(yīng)用能力的考查，鼓勵(lì)學(xué)生不拘泥于傳統(tǒng)模式，展現(xiàn)個(gè)人的獨(dú)特見(jiàn)解和創(chuàng)造力。三突出試題特別突出對(duì)學(xué)生思維過(guò)程、思維方法和創(chuàng)新能力的考查，通過(guò)精心設(shè)計(jì)的題目，引導(dǎo)學(xué)生深入思考和探索，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力。面對(duì)新高考新結(jié)構(gòu)試卷的5個(gè)解答題，每個(gè)題目的考查焦點(diǎn)皆充滿(mǎn)變數(shù)，無(wú)法提前預(yù)知。立體幾何版塊作為一個(gè)重要的考查領(lǐng)域，其身影可能悄然出現(xiàn)在第15題中，作為一道13分的題目，難度相對(duì)較為適中，易于學(xué)生入手。同樣不能忽視的是，立體幾何版塊也可能被置于第18、19題這樣的壓軸大題中，此時(shí)的分值將提升至17分，挑戰(zhàn)學(xué)生的解題能力和思維深度，難度自然相應(yīng)加大。面對(duì)如此多變的命題趨勢(shì)，教師在教學(xué)備考過(guò)程中必須與時(shí)俱進(jìn)。不僅要深入掌握不同題目位置可能涉及的知識(shí)點(diǎn)及其命題方式，更要能夠靈活應(yīng)對(duì)，根據(jù)試題的實(shí)際情況調(diào)整教學(xué)策略。本文基于新高考新結(jié)構(gòu)試卷的特點(diǎn)，結(jié)合具體的導(dǎo)數(shù)解答題實(shí)例，旨在為廣大師生提供一份詳盡的導(dǎo)數(shù)解答題綜合訓(xùn)練指南，以期在新高考中取得更好的成績(jī)?？键c(diǎn)一、空間中平行關(guān)系的證明1．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，為正三角形，底面為矩形，且平面平面分別為棱的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，且二面角的大小為120°，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）取棱的中點(diǎn)，連結(jié)，，可證四邊形是平行四邊形，利用線(xiàn)面平行的判定即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量公式求出參數(shù)，即可求解【詳解】（1）如圖，取棱的中點(diǎn)，連接．因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以且．又因?yàn)樗倪呅问蔷匦危抢獾闹悬c(diǎn)，故且，所以四邊形是平行四邊形，所以．又平面平面，故平面．（2）取棱的中點(diǎn)，則在正三角形中，，所以平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則．所以．設(shè)平面的法向量為，則即可?。O(shè)平面的法向量為，則即可取．由題設(shè)知，故，即．2．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為6的正方形，側(cè)面底面，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上且.(1)求證：平面；(2)求直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）解法一：取的中點(diǎn)，連接，證明四邊形是平行四邊形，得線(xiàn)線(xiàn)平行，然后得證線(xiàn)面平行；解法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用向量法證明線(xiàn)面平行；（2）解法一：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，證得為直線(xiàn)與平面所成的角，在三角形中求出此角的正弦值后可得；解法二：由空間向量法求線(xiàn)面角．【詳解】（1）解法一：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，且，正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，所以，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.解法二：，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，又側(cè)面底面，側(cè)面底面平面，所以平面，如圖以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)為軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，則所以，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取得，所以，所以，即，又不在平面內(nèi)，所以平面.（2）解法一：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，由題意知，又側(cè)面底面，側(cè)面底面平面，所以底面，又平面，所以，又平面，所以底面，所以為直線(xiàn)與平面所成的角，記直線(xiàn)與平面所成的角為，由（1）知，所以，又由題意知，，所以，又，所以，所以，所以直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值為.解法二：由（1）知設(shè)n=x,y,z是平面的一個(gè)法向量，則，取得，所以，所以，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，則，所以直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值為.3．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在圓柱中，分別為圓柱的母線(xiàn)和下底面的直徑，為底面圓周上一點(diǎn).(1)若為的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若，圓柱的體積為，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).【分析】（1）取中點(diǎn)，利用線(xiàn)面平行的判定性質(zhì)，結(jié)合圓柱的結(jié)構(gòu)特征推理即得.（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面、平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，如圖，由分別為的中點(diǎn)，得，由圓柱上下底面平行，且與平面交于和，得，且，則且，因此四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.（2）由為底面直徑，得，由圓柱的體積，得，過(guò)作平面，則，又，以為原點(diǎn)，直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)二面角的大小為，則，于是，所以二面角的正弦值為.4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在九面體ABCDEFGH中，平面平面，平面平面，，，底面ABCDEF為正六邊形．

(1)證明：平面ABCDEF．(2)證明：平面AFG．(3)求GE與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；(2)證明見(jiàn)詳解；(3).【分析】（1）記的中點(diǎn)分別為，利用面面垂直性質(zhì)定理證明為平行四邊形，然后結(jié)合線(xiàn)面平行判定定理可證；（2）利用面面垂直性質(zhì)定理證明平面，結(jié)合（1）可證；（3）以所在直線(xiàn)分別為軸，過(guò)其交點(diǎn)作平面的垂線(xiàn)為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，由線(xiàn)面角的向量公式可得.【詳解】（1）記的中點(diǎn)分別為，連接，因?yàn)?，所以，且因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫嫫矫?，同理可得平面，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平?（2）由正六邊形性質(zhì)可知，，又平面平面，平面平面，所以平面，因?yàn)椋云矫?（3）由正六邊形性質(zhì)可知，，以所在直線(xiàn)分別為軸，過(guò)其交點(diǎn)作平面的垂線(xiàn)為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則，，設(shè)平面的法向量為，則，取得，記GE與平面所成角為，則.

5．（2024·貴州貴陽(yáng)·二模）由正棱錐截得的棱臺(tái)稱(chēng)為正棱臺(tái).如圖，正四棱臺(tái)中，分別為的中點(diǎn)，，側(cè)面與底面所成角為.

(1)求證：平面；(2)線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線(xiàn)段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，且【分析】（1）借助中位線(xiàn)的性質(zhì)可得線(xiàn)線(xiàn)平行，即可得線(xiàn)面平行，利用面面平行的判定定理即可得面面平行，再由面面平行的性質(zhì)定理即可得證；（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，借助空間向量可用未知數(shù)表示出直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值，計(jì)算即可得解.【詳解】（1）連接、，由分別為的中點(diǎn)，則，又平面，平面，故平面，正四棱臺(tái)中，且，則四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，故平面，又，且平面，平面，故平面平面，又平面，故平面；

（2）正四棱臺(tái)中，上下底面中心的連線(xiàn)底面，底面為正方形，故，故可以為原點(diǎn)，、、為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由，側(cè)面與底面所成角為，則，則，，，假設(shè)在線(xiàn)段上存在點(diǎn)滿(mǎn)足題設(shè)，則，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，令，則，，即，因?yàn)橹本€(xiàn)與平面所成的角的正弦值為，故，解得或（舍），故，故線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值為，此時(shí)線(xiàn)段的長(zhǎng)為.

考點(diǎn)二、空間中垂直關(guān)系的證明1．（2024·陜西商洛·三模）如圖，在四棱錐中，平面，平面平面．(1)證明：；(2)若為的中點(diǎn)，，求到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證明平面得到，由題意可得，結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定、性質(zhì)即可得證；（2）首先證明平面，平面，即所求為的長(zhǎng)度，由解三角形知識(shí)即可求解.【詳解】（1）設(shè)，連接，過(guò)作，垂足為，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫫矫?，所以平面，又平面，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．?）取的中點(diǎn)，連接，則，又平面平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離．過(guò)作，垂足為，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以由面面垂直的性質(zhì)可得平面，由（1）得，因?yàn)椋?，因?yàn)椋裕?，所以，即點(diǎn)到平面的距離為．2．（2024·江蘇宿遷·一模）如圖，在四棱錐中，四邊形為梯形，其中，，平面平面．

(1)證明：；(2)若，且與平面所成角的正切值為2，求平面與平面所成二面角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由面面垂直的性質(zhì)定理即可得到平面，再由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理即可證明；（2）法一：建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可得到結(jié)果；法二：根據(jù)面面角的定義，先找出所求的二面角，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以為等邊三角形，所以，又四邊形為梯形，，則，在中，由余弦定理可知，，根據(jù)勾股定理可知，，即．因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫫矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫嫠裕?）法一：由（1）可知，又因?yàn)椋云矫?，所以就是與平面所成角，所以，所以；以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，所以，設(shè)平面的法向量為，則有取，由題意得為平面的法向量，所以，即平面與平面所成二面角的正弦值．法二：在平面內(nèi)，延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)，連接，則為平面與平面的交線(xiàn)，在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，

由（1）得，，因?yàn)榍揖诿鎯?nèi)，所以面，因?yàn)槊?，所以，又因?yàn)榍揖诿鎯?nèi),所以面，即面,因?yàn)槊?，所?因?yàn)榍揖诿鎯?nèi),所以面，由面所以,所以,在直角三角形中,在直角三角形中，所以平面與平面所成二面角的正弦值．所以就是二面角的平面角，又因?yàn)槠矫妫跃褪桥c平面所成角，所以，所以，因?yàn)椋裕?．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將繞邊旋轉(zhuǎn)得到，其中平面，連結(jié)分別是的中點(diǎn)，平面．

(1)求證：；(2)求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作，連接，通過(guò)面面垂直的判定得到平面平面，再通過(guò)面面垂直性質(zhì)定理得到平面，結(jié)合平面以及線(xiàn)面平行判定定理和性質(zhì)定理，證明出，最后利用勾股定理逆定理即可得證；（2）以中點(diǎn)H為原點(diǎn)，為x軸，為z軸，過(guò)點(diǎn)H作的平行線(xiàn)為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量和向量，即可求出線(xiàn)面角的正弦值.【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)D作，連接．因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫忠驗(yàn)?，平面，平面平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以，所以平面．因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫?，同時(shí)，所以平面平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，所以H是中點(diǎn)，所以，所以，所以．（2）如圖，以中點(diǎn)H為原點(diǎn)，為x軸，為z軸，過(guò)點(diǎn)H作的平行線(xiàn)為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，所以．設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則取，則，所以，所以與平面所成角的正弦值為．4．（2024·安徽·一模）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，，M是的中點(diǎn)，.(1)證明：平面；(2)若點(diǎn)P是棱上的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，求的值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，推導(dǎo)出平面，再利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合勾股定理逆定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，求出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得解.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，與交于Q點(diǎn)，在底面矩形中，易知，所以，因?yàn)槠矫妫云矫?，因?yàn)槠矫?，所以，易知，所以，由題意可知,所以，而相交，且平面，所以平面；（2）由上可知，，，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0、、、、，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則，，則，取，則，設(shè)，其中，則，因?yàn)橹本€(xiàn)與平面所成角的正弦值為，則，解得，即.5．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在斜三棱柱中，為邊長(zhǎng)為3的正三角形，側(cè)面為正方形，在底面內(nèi)的射影為點(diǎn)O．

(1)求證：；(2)若，求直線(xiàn)和平面的距離．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析(2)【分析】（1）分析得知要證，只需證，取的中點(diǎn)分別為，故只需證明即可，而這又可以通過(guò)線(xiàn)面垂直的判定定理、性質(zhì)定理證明；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求點(diǎn)到平面的距離，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意分別求出即可，其中為平面的法向量，進(jìn)一步由公式即可得解.【詳解】（1）

一方面：因?yàn)樵诘酌鎯?nèi)的射影為點(diǎn)O，而平面，所以，故要證，只需證；另一方面：取的中點(diǎn)分別為，連接，因?yàn)闉檫呴L(zhǎng)為3的正三角形，所以也是邊長(zhǎng)為3的正三角形，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，從而，因?yàn)?，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，的中點(diǎn)分別為，所以，又因?yàn)椋?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以；綜上所述，；（2）一方面：注意到平面，平面，所以平面，要求直線(xiàn)和平面的距離，只需求點(diǎn)到平面的距離即可；另一方面：若，則點(diǎn)為三角形的外心，從而三點(diǎn)共線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，易知，因?yàn)槠矫?，平面，所以，從而兩兩互相垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由題意，，從而，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可取，所以點(diǎn)到平面的距離為；綜上所述，直線(xiàn)和平面的距離為.考點(diǎn)三、空間向量法求空間角與空間距離1．（2024·天津北辰·三模）如圖，在四棱錐中，平面，，∥，，，為棱的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求平面和平面夾角的余弦值；(3)求A點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)(3)【分析】（1）取中點(diǎn)，可得四邊形為平行四邊形，從而，利用線(xiàn)面平行的判定定理即可得證；（2）建系標(biāo)點(diǎn)，求出平面BDM的法向量，易知為平面PDM的一個(gè)法向量，利用向量夾角公式求解可得答案.（3）利用空間向量求得，即可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，．在中，，分別為，的中點(diǎn)，則，，因?yàn)?，，則，，可知四邊形為平行四邊形，則，且平面，平面，所以平面PAD．（2）因?yàn)槠矫?，，平面ABCD，則，，且，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，取CD的中點(diǎn)，連接BE，因?yàn)?，，則，，又因?yàn)椋运倪呅蜛BED為矩形，且，可知四邊形ABED是以邊長(zhǎng)為2的正方形，則，，，，，，可得，，，設(shè)平面BDM的法向量為，所以，令，則，．所以平面BDM的一個(gè)法向量為，易知為平面PDM的一個(gè)法向量，所以，所以平面和平面夾角的余弦值為.（3）由（2）可知：，則，即，可知為銳角，則，所以A點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.2．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，三棱柱中，分別為棱的中點(diǎn)，分別是棱上的點(diǎn)，.(1)求證：直線(xiàn)平面；(2)若三棱柱為正三棱柱，求平面和平面的夾角的大小.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接交于，連接，則可證得，再由可證得四邊形為平行四邊形，則∥，再由線(xiàn)面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）以為原點(diǎn)，以所在的直線(xiàn)為軸，過(guò)與平行的直線(xiàn)為軸，所在的直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接交于，連接，因?yàn)榉謩e為棱的中點(diǎn)，所以∥∥，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)榉謩e為棱的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椤巍?，所以，∥，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，因?yàn)槠矫妫矫?，所以直線(xiàn)平面；（2）解：連接，因?yàn)槿庵鶠檎庵?，所以為等邊三角形，所以，所以以為原點(diǎn)，以所在的直線(xiàn)為軸，過(guò)與平行的直線(xiàn)為軸，所在的直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)平面和平面的夾角為，則，因?yàn)椋?3．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，，，，，，，平面平面.

(1)求證：平面平面.(2)求二面角的余弦值.(3)為平面內(nèi)一點(diǎn)，若平面，求的長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）利用余弦定理先證，由面面垂直的性質(zhì)得出，結(jié)合勾股定理及線(xiàn)面垂直的判定證明平面即可；（2）法一、利用二面角的定義結(jié)合第一問(wèn)得出二面角的一個(gè)平面角，再由余弦定理計(jì)算即可；法二、以B為中心建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算面面角即可；（3）法一、利用線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直的性質(zhì)與判定作出平面，解三角形即可；法二、利用（2）的坐標(biāo)系，設(shè)坐標(biāo)結(jié)合空間向量基本定理及空間向量數(shù)量積計(jì)算求G點(diǎn)坐標(biāo)即可.【詳解】（1）

連接，在中，，，則，，，平面平面，，平面平面，平面，平面，所以，在中，,又，∴，在中：，∴，又，平面，平面，且平面，平面平面.（2）法一、由上可知：，則二面角的一個(gè)平面角為，在中，由余弦定理知；法二、如圖建系：設(shè)軸與交于，過(guò)P作與E，設(shè)，則，

∴，，解之得，易知，所以，則，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則：，令，則，所以，易知是平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的一個(gè)平面角為，則，由圖形可知該二面角為鈍角，所以；（3）法一：過(guò)作，垂足為，過(guò)作，在中，過(guò)作，過(guò)作，因?yàn)槠矫妫云矫?，又平面，所以，而平面，所以平面，即G為所求.分別延長(zhǎng)交于，連接，過(guò)作，由（1）易知，平面，平面，

∴，設(shè)，，∴，則，設(shè)，

在平面內(nèi)，由幾何關(guān)系知，所以；法二：?。?）的坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，所以，又：，即，4．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，平面，是上一點(diǎn)，且，連接與，為中點(diǎn).(1)過(guò)點(diǎn)的平面平行于平面且與交于點(diǎn)，求；(2)若平面平面，且，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用兩條平行線(xiàn)確定一個(gè)平面，作出過(guò)點(diǎn)平行于平面的平面，并證明.從而利用平面與平面平行的性質(zhì)定理可得，所以，則.【詳解】（1）（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，只需在平面?nèi)向作一條垂線(xiàn)即可證明該垂線(xiàn)與平面垂直，進(jìn)而與垂直；再利用平面，有，利用直線(xiàn)與平面垂直的判定定理可得平面，則.建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面的距離計(jì)算公式求得,過(guò)作，交于，交于；過(guò)作交于.因?yàn)?，面，面，則面，同理面，由，且、平面，所以平面面，平面即為題中所述平面.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以，所?因?yàn)?，所?因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，且，所以為中點(diǎn)，所以，所以，則.（2）過(guò)作交于.因?yàn)?，平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?因?yàn)?，，且、平面，所以平?又因?yàn)槠矫妫?如圖，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系.，，，，，，，.設(shè)n=x,y,z為平面則，令，則，則.5．（2024·遼寧沈陽(yáng)·三模）已知四棱柱中，平面，在底面四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn).

(1)若平面平面，求三棱錐的體積；(2)設(shè)且，若直線(xiàn)與平面所成角等于，求的值.【答案】(1)(2)3【分析】（1）過(guò)作于點(diǎn)，利用面面垂直的性質(zhì)、線(xiàn)面垂直的性質(zhì)判定證得，再在底面四邊形中進(jìn)行相關(guān)計(jì)算即可得解.（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用線(xiàn)面角的向量求法列式求解即得.【詳解】（1）過(guò)作于點(diǎn)，由平面平面，平面平面，平面，則平面，又平面，則，

在四棱柱中，平面，即平面，而平面，于是，又平面，則平面，又平面，則，在底面四邊形中，，即，又，則，即，且，又有，則在等腰直角中，，即，又，則，，又，所以.（2）由四棱柱中，平面，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，在平面中，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，則，即，整理得，而解得，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：用向量法求直線(xiàn)與平面所成的角，求出平面的法向量是關(guān)鍵，并注意公式求出的是線(xiàn)面角的正弦．考點(diǎn)四、幾何法求空間角與空間距離1．（2024·遼寧丹東·一模）如圖，在四棱錐中，，，，，，點(diǎn)在棱上．

(1)求證：平面平面；(2)若平面分兩部分幾何體與的體積之比，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，易得，利用勾股定理證明，即可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；（2）連接，過(guò)點(diǎn)作于，證明平面，則可得即為二面角的平面角，根據(jù)體積之比確定點(diǎn)的位置，再解即可.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，，而，故，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）連接，過(guò)點(diǎn)作于，在中，，則，所以，又因?yàn)?，所以為等邊三角形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以且，又平面，所以平面，又平面，所以，所以即為二面角的平面角，因?yàn)閹缀误w與的體積之比，所以，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，則，解得，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，所以平面，所以，所以，則，所以，所以，故，在中，，所以二面角的正弦值為.

2．（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知在正三棱柱中，為邊的中點(diǎn).(1)證明：；(2)求三棱錐的體積；(3)求二面角的大小.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）取的中點(diǎn)，先證明，，證明平面，得證；（2）根據(jù)題意易知平面，且，利用三棱錐體積公式求解；（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，易得即為二面角的平面角，求出，得解.【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，又因?yàn)闉檎庵云矫嫫矫?，又平面平面，所以平面，又平面，，又，，所以，，所以，所以，又，所以，又，所以平面，所?（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由（1）知平面，所以平面，又為邊的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以，又，所?（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫?，且，所以即為二面角的平面角，又，且，所以，所以，所以二面角的大小?3．（2024·江西南昌·三模）如圖1，四邊形為菱形，，，分別為，的中點(diǎn)，如圖2．將沿向上折疊，使得平面平面，將沿向上折疊．使得平面平面，連接.(1)求證：，，，四點(diǎn)共面：(2)求平面與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)得到，結(jié)合中位線(xiàn)定理得到，最后證明四點(diǎn)共面即可.（2）找到對(duì)應(yīng)二面角的平面角，放入三角形中，利用余弦定理求解即可.【詳解】（1）取，的中點(diǎn)分別為，，連接，，取，的中點(diǎn)分別為，，連接，，，由題意知，都是等邊三角形，所以，，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以平面，平面，所以，因?yàn)?，的中點(diǎn)分別為，，所以所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)椋闹悬c(diǎn)分別為，，所以，所以，所以，，，四點(diǎn)共面；（2）連接，，且延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由題意知，，所以，同理，所以就是二面角的平面角，設(shè)，則，，，所以，同理，所以，所以平面與平面所成角的余弦值為.4．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，正方形的棱長(zhǎng)為2，，點(diǎn)M為AB中點(diǎn)，．(1)求證：三棱柱為直三棱柱；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合勾股定理的逆定理證得，再利用線(xiàn)面垂直的判定推理即得.（2）由（1）中信息，利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離，進(jìn)而求出線(xiàn)面角的正弦即可.【詳解】（1）在三棱柱中，，由點(diǎn)M為AB中點(diǎn)，得，，而，則，于是，而，則，又，平面，從而平面，所以三棱柱為直三棱柱.（2）由（1）知，，，而平面，則平面，又平面，于是，顯然，的面積為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，又，因此，即，解得，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，則，所以直線(xiàn)與平面所成角的余弦值.5．（2024·廣東汕頭·三模）如圖，四面體中，是的中點(diǎn)，，(1)求異面直線(xiàn)AB與CD所成角余弦值的大小；(2)求點(diǎn)E到平面ACD的距離.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)異面直線(xiàn)夾角的定義，結(jié)合中位線(xiàn)性質(zhì)和余弦定理，可得答案；（2）根據(jù)等體積法，結(jié)合三角形面積公式，可得答案.【詳解】（1）取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知，則直線(xiàn)OE與EM所成的角就是異面直線(xiàn)AB與CD所成的角，在中，，因?yàn)槭侵苯切边匒C上的中線(xiàn)，則，可得，所以異面直線(xiàn)AB與CD所成角的余弦值為.（2）設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為因?yàn)?，即，在中，，可得，且，可得，所以點(diǎn)E到平面ACD的距離為考點(diǎn)五、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題1．（24-25高二上·浙江嘉興·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成角為，四邊形是梯形，．

(1)證明：平面平面；(2)若點(diǎn)T是的中點(diǎn)，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，求點(diǎn)P到平面的距離．(3)點(diǎn)是線(xiàn)段CD上的動(dòng)點(diǎn)，上是否存在一點(diǎn)M，使平面，若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）先證明，繼而證明，即可證明平面，從而根據(jù)面面垂直的判定定理證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，根據(jù)空間距離的向量求法，即可求得答案.（3）設(shè)，，進(jìn)而表示出，，由題意列出關(guān)于的方程組求解即可.【詳解】（1）由平面，平面，平面，得，，與底面所成角為．所以三角形為等腰直角三角形，．又由四邊形是直角梯形，，可知，所以為等腰直角三角形，而，故．在直角梯形中，過(guò)C作，垂足為E，則四邊形為正方形，可知．所以，在等腰直角三角形中，．則有，所以．又因?yàn)?，，平面，平面．所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則A0,0,0，P0,0,1，B1,0,0，，因?yàn)門(mén)是的中點(diǎn)，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，所以，．設(shè)平面的法向量為，，，則，得，取，則，得平面的一個(gè)法向量為，而,所以點(diǎn)P到平面的距離為．（3）設(shè)，注意到A0,0,0，所以，所以，設(shè)，注意到P0,0,1，所以，因?yàn)锳0,0,0，B1,0,0，所以若平面，則當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)，綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)重合，此時(shí)存在，使平面.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)的關(guān)鍵在于知道若平面，則當(dāng)且僅當(dāng)，從而只需引入兩個(gè)參數(shù)，分別表示出，由此即可順利得解.2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四邊形是直角梯形，，平面是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，的面積為，四棱錐的體積為．(1)求證：平面;(2)若P是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)題意，可得是等邊三角形，求出，過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)M，可得四邊形為平行四邊形，可求得，結(jié)合四棱錐的體積為，求得利用勾股定理證明，進(jìn)而證明平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的一個(gè)法向量，利用向量法求出點(diǎn)的坐標(biāo)得解.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，所以．因?yàn)镹是的中點(diǎn)，所以，故．又因?yàn)椋允堑冗吶切危驗(yàn)榈拿娣e為，所以．如圖1，過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)M，四邊形是直角梯形，且，，則，故四邊形為平行四邊形．因此．又，因此．因?yàn)樗睦忮F的體積為，所以，解得．連接，在中，．連接，在中，．因?yàn)椋瑒t．因?yàn)槠矫?，所以，而平面平面，所以平面．?）以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2所示．則．因?yàn)镻是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，所以設(shè)，其中．故．設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，，所以．設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有，令，得，，可取．因?yàn)槎娼堑拇笮?，所以，即，解得，即．因?yàn)椋裕?．（23-24高二上·廣西·階段練習(xí)）如圖，已知直圓柱的上、下底面圓心分別為，是圓柱的軸截面，正方形內(nèi)接于下底面圓，點(diǎn)是中點(diǎn)，.

(1)求證：平面平面；(2)若點(diǎn)為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成角的余弦值的最小值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）只需證明平面即可；（2）用向量法求角度及基本不等式即可【詳解】（1）的中點(diǎn)為中點(diǎn)，，又，可得，又直圓柱的上、下底面圓心分別為平面平面.且平面平面；又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)為軸，所在的直線(xiàn)為軸，過(guò)作軸//，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則，所以，設(shè)，；設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，，令，則時(shí)，，.

4．（2024·江西新余·二模）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，且，.

(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面平面；(2)若，，線(xiàn)段上的點(diǎn)滿(mǎn)足，且平面與平面夾角的余弦值為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)為，利用直角梯形中位線(xiàn)的性質(zhì)，線(xiàn)面垂直的性質(zhì)判定推理即可；（2）通過(guò)正三角形證明，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角得向量求法計(jì)算求解即可.【詳解】（1）取中點(diǎn)為，由條件可得為梯形的中位線(xiàn)，則，又，則，且，平面，平面，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理，得平面，平面，.由，則，又，為梯形的兩腰，則與相交，平面，又平面，所以平面平面.（2）取的中點(diǎn)為Q，由，，則，，因此△為等邊三角形，.由（1）知平面，，，兩兩垂直，如圖，以，，分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

由，，則，，，，，由，所以，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由取，得，，得.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由取，得，，即平面的一個(gè)法向量為.記平面與平面夾角的大小為，所以，化簡(jiǎn)得，即，所以實(shí)數(shù)的值為.5．（2023·山東濰坊·三模）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在母線(xiàn)上，且，．

(1)求證：平面；(2)求證：平面平面(3)若點(diǎn)為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)直線(xiàn)與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）設(shè)交于點(diǎn)，連接，利用三角形相似證得，從而證得，進(jìn)而證得直線(xiàn)平面；（2）通過(guò)平面，證得平面，所以平面平面；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，通過(guò)向量和平面的法向量建立直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的關(guān)系式，并利用基本不等式，即可求最值.【詳解】（1）如圖，設(shè)交于點(diǎn)，連接，由圓錐的性質(zhì)可知底面，

因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)槭堑酌鎴A的內(nèi)接正三角形，由，可得，，解得，又，，所以，即，，又因?yàn)椋?，所以，即，又平面，直線(xiàn)平面，平面，所以直線(xiàn)平面．（2）因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以平面平面；?）易知，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，，

設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)，可得，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，則，即，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，即當(dāng)時(shí)，的最大值為1，此時(shí)點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)到平面的距離，故當(dāng)直線(xiàn)與平面所成角的正弦值最大時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為.考點(diǎn)六、范圍問(wèn)題1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱中，，，垂直于平面．點(diǎn)，，分別為邊，，上的動(dòng)點(diǎn)（不包括頂點(diǎn)），且滿(mǎn)足．(1)求三棱錐的體積的最大值；(2)記平面與平面所成的銳二面角為，當(dāng)最小時(shí)，求的值，并說(shuō)明點(diǎn)所處的位置．【答案】(1)(2)；在中點(diǎn)【分析】（1）設(shè)出，由體積公式結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系后，得到平面與平面法向量，即可表示出，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可得的最大值，亦可得到所處的位置.【詳解】（1）由垂直于平面，且為直三棱柱，故平面，故為三棱錐的高，設(shè)，則，由，故，則，故，故時(shí)，三棱錐的體積有最大值；

（2）由垂直于平面，、平面，故、，又，故、、兩兩垂直，設(shè)，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有A0,0,0、B1,0,0、、、、，故、、、，設(shè)平面與平面的法向量分別為m=x1,y則有，，即，，令，，可得、，、，故，，故，令，，則，由，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，故，由為銳角時(shí)，隨的增大而減小，故當(dāng)最小時(shí)，有最大，即此時(shí)，此時(shí)，即點(diǎn)在中點(diǎn).2．（23-24高三下·河北滄州·階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，△為邊長(zhǎng)為2的正三角形，為中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.(1)當(dāng)時(shí)，求證平面；(2)設(shè)為底面的中心，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值時(shí)的值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)最大值為，此時(shí)【分析】（1）根據(jù)已知條件建立空間直角坐坐標(biāo)系，利用向量證明線(xiàn)面垂直即可.（2）求出直線(xiàn)對(duì)應(yīng)的方向向量和平面對(duì)應(yīng)的法向量，將線(xiàn)面角用向量坐標(biāo)表示進(jìn)而求最值.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槿庵鶠橹崩庵?，且△為正三角形，所以以所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件得，當(dāng)時(shí)，，，，，，即，又，而平面，平面.（2）由（1）知，，為△的中心，，設(shè)平面的法向量，則，令，則設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則令，則，此時(shí)，(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào))，，即直線(xiàn)與平面所成角正弦的最大值為，此時(shí)的值為3．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）如圖，在四棱錐中，平面，，底面為直角梯形，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在線(xiàn)段與上，且，.(1)若平面平面，求、的值；(2)若平面，求的最小值.【答案】(1)；(2)8.【分析】（1）若平面平面，由面面平行的性質(zhì)定理可知，，由為的中點(diǎn)，可得為的中點(diǎn)，同理為的中點(diǎn)，即可得出結(jié)果；（2）以為原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為軸、軸、軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得的法向量為，由平面，則有，即，代入計(jì)算化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】（1）若平面平面，平面平面，平面平面，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，同理為的中點(diǎn)，所以.（2）因?yàn)?，底面，如圖，以為原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為軸、軸、軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，故，則，，設(shè)平面的法向量為，則取，可得.因?yàn)?，，所以，，則，因?yàn)槠矫?，所以，即，所以，即，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為8.4．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，，直線(xiàn)與平面所成角為，直線(xiàn)與平面所成角為．(1)求三棱錐體積的取值范圍；(2)當(dāng)直線(xiàn)與平面所成角最小時(shí)，求二面角的平面角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)面夾角分析可得，建立平面直角坐標(biāo)系求點(diǎn)的軌跡方程，結(jié)合圓的性質(zhì)可得的取值范圍，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）根據(jù)線(xiàn)面夾角結(jié)合圓的性質(zhì)分析直線(xiàn)與平面所成角的最小值，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角.【詳解】（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，連接，則直線(xiàn)與平面所成角為，直線(xiàn)與平面所成角為，可得，則，如圖2，以分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，因?yàn)?，則，整理得，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓，可得，即，所以，故三棱錐體積，即三棱錐體積的取值范圍為.

（2）連接，由（1）可知：直線(xiàn)與平面所成角為，則，因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡方程為，且，即點(diǎn)的軌跡過(guò)點(diǎn)，延長(zhǎng)分別交圓于點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，則，可得直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程，解得或，即點(diǎn)，可得，如圖4，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，由題意可知：平面的法向量為，則，所以二面角的平面角的余弦值為.

5．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正四棱臺(tái)中，，，，為棱，的中點(diǎn)，棱上存在一點(diǎn)，使得平面．

(1)求；(2)當(dāng)正四棱臺(tái)的體積最大時(shí)，求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）取點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形，再由比例關(guān)系證明求值．（2）設(shè)，將體積表示為的函較，求出棱臺(tái)的體積最大時(shí)的值，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線(xiàn)面角的正弦值．【詳解】（1）作交于，再作交于，連接．因?yàn)槠矫?，所以平面．又平面平面，所以．又因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，即為棱的四等分點(diǎn)，故也為棱的四等分點(diǎn)，所以．（2）由（1）易知為的四等分點(diǎn)，所以點(diǎn)在點(diǎn)的正上方，所以底面．設(shè)，則，所以，所以該四棱臺(tái)的體積，而．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，．以為原點(diǎn)，，分別為軸、軸，過(guò)平行于的直線(xiàn)為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，由得令，則．設(shè)與平面所成角為，則，故與平面所成角的正弦值為．6．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，且平面平面．分別是的中點(diǎn)．．(1)求證：是直角三角形；(2)求四棱錐體積的最大值；(3)求平面與平面的夾角余弦值的范圍．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）設(shè)平面PAB平面PCD，由面面垂直的性質(zhì)定理以及線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理即可得PE⊥PF，則△PEF是直角三角形；（2）求出P到平面ABCD的最大距離即可得四棱錐P―ABCD體積最大值；（3）利用空間向量法可求平面PEF與平面PBC夾角余弦值的表達(dá)式，再利用換元法以及導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可得最值.【詳解】（1）設(shè)平面平面PCD，由于，平面ADC，平面ADC，因此平面PDC，而平面APB，平面平面，因此，而，因此．而平面平面PCD，平面平面，平面，因此平面PDC，而平面PDC，因此.故△PEF是直角三角形．（2）由于，，因此P是以EF為直徑半圓上的點(diǎn)．而，，平面PEF，因此平面PEF，而AB平面ABCD，因此平面平面ABCD．故P到平面ABCD的最大距離為，四棱錐體積最大為．（3）設(shè)EF中點(diǎn)為O，作過(guò)O垂直EF的直線(xiàn)m．設(shè)平面PEF與平面PBC夾角為．以O(shè)為原點(diǎn)，OE，m，過(guò)O垂直于平面ABCD的直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，并設(shè)．平面PEF的一個(gè)法向量為，，，設(shè)平面PBC的法向量為，因此，可取，不妨設(shè)，，，因此隨增大而增大因此．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：涉及最值問(wèn)題時(shí)，若無(wú)法利用函數(shù)的性質(zhì)以及基本不等式解決，可以考慮使用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解.考點(diǎn)七、立體幾何中的存在性問(wèn)題1．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，，，四邊形是菱形，，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且.

(1)證明：平面.(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在實(shí)數(shù)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由線(xiàn)線(xiàn)垂直得到線(xiàn)面垂直，進(jìn)而得到，再由勾股定理逆定理得到，從而得到線(xiàn)面垂直；（2）作出輔助線(xiàn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，進(jìn)而由二面角的余弦值得到方程，求出答案.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问橇庑危?因?yàn)?，，平面，且，所以平?因?yàn)槠矫妫?因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，平面，且，所以平?（2）取棱的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，，所以為等邊三角形，故⊥，又平面，平面，所以，，故，，兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)?，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則A0,0,0，，，，故，，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，得.平面的一個(gè)法向量為，設(shè)面與面所成的銳二面角為，則，整理得，解得或（舍去）.故存在實(shí)數(shù)，使得面與面所成銳二面角的余弦值是.2．（2023·天津·一模）已知底面是正方形，平面，，，點(diǎn)、分別為線(xiàn)段、的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)存在；或【分析】（1）法一：分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，證明出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；法二：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可證得結(jié)論成立；（2）利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值；（3）假設(shè)存在點(diǎn)，使得，其中，求出向量的坐標(biāo)，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，解之即可.【詳解】（1）證明：法一：分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，由題意可知點(diǎn)、分別為線(xiàn)段、的中點(diǎn)．所以，，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)、、、四點(diǎn)共面，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又因?yàn)?，、平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面；法二：因?yàn)闉檎叫?，且平面，所以、、兩兩互相垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，所以，易知平面的一個(gè)法向量，所以，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面．?）解：設(shè)平面的法向量，，，則，取，可得，所以平面的一個(gè)法向量為，易知平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角余弦值為；（3）解：假設(shè)存在點(diǎn)，使得，其中，則，由（2）得平面的一個(gè)法向量為，由題意可得，整理可得．即，因?yàn)?，解得或，所以，或?．（2023·福建龍巖·二模）三棱柱中，，，側(cè)面為矩形，，三棱錐的體積為．

(1)求側(cè)棱的長(zhǎng)；(2)側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為？若存在，求出線(xiàn)段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）證明平面，結(jié)合題目條件，先計(jì)算出的值，然后即可以求得側(cè)棱的長(zhǎng)；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)未知數(shù)，結(jié)合題目條件，列出方程求解，即可得到本題答案.【詳解】（1）在平面內(nèi)過(guò)作，垂足為，因?yàn)閭?cè)面為矩形，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，易得，面，平面平面，所以平面，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以；?）存在點(diǎn)滿(mǎn)足題意，，理由如下：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，則，故，，設(shè)平面的法向量為則即，令，則，故平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則，解得，故存在點(diǎn)E滿(mǎn)足題意，所以.4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直四棱柱的底面為菱形，且，分別是上，下底面的中心，是的中點(diǎn)，．(1)求證：平面；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得在平面內(nèi)的射影恰好為的重心．若存在，求，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)不存在，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）分別取的中點(diǎn)，連接，說(shuō)明面即為截面，證明后可證得線(xiàn)面平行；（2）分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，由重心公式求得坐標(biāo)，由向量的數(shù)量積為0求得值．【詳解】（1）分別取的中點(diǎn)，連接，則在直四棱柱中，，且是中點(diǎn)，所以平面，即為截面，又是中點(diǎn)，則與平行且相等，從而是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，即平面；（2）不存在，理由如下：是菱形且，所以都是等邊三角形，，易知，由已知得平面，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，，，，因此有，，，，則的重心為，，若平面，則，無(wú)解．因此不存在實(shí)數(shù)，使得在平面內(nèi)的射影恰好為的重心．5．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，，且底面ABCD，點(diǎn)P、Q分別是棱、的中點(diǎn)．

(1)在底面內(nèi)是否存在點(diǎn)M，滿(mǎn)足平面CPQ?若存在，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)M的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)設(shè)平面CPQ交棱于點(diǎn)T，平面CPTQ將四棱臺(tái)，分成上、下兩部分，求上、下兩部分的體積比．【答案】(1)存在，點(diǎn)M的位置見(jiàn)解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再依據(jù)，利用向量的數(shù)量積列出等式計(jì)算即可；（2）設(shè)出點(diǎn)T的坐標(biāo)，根據(jù)平面向量基本定理，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，再直接求體積即可.【詳解】（1）因?yàn)樗睦馀_(tái)的上、下底面都是正方形，且底面ABCD，所以可以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示坐標(biāo)系，則，假設(shè)在底面內(nèi)存在點(diǎn)M，滿(mǎn)足平面CPQ，則可設(shè)，有，則，即，所以，，故在底面內(nèi)存在點(diǎn)，滿(mǎn)足平面CPQ.（2）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)T在平面CPQ內(nèi)，所以可設(shè)，則，所以，所以，則，連接，，設(shè)平面CPTQ將四棱臺(tái)分成上、下兩部分的體積分別為，，，，取的中點(diǎn)，連接，則，，又平面，平面，所以平面，，所以，，，所以，所以所求的上、下兩部分的體積比為.

考點(diǎn)八、立體幾何中的劣構(gòu)性問(wèn)題1．（2024·北京海淀·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形，，平面，，，，，平面與棱交于點(diǎn).再?gòu)臈l件①、條件②、條件③，這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.(1)求證：；(2)求直線(xiàn)與平面夾角的正弦值；(3)求的值.條件①：；條件②：；條件③：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）先證明平面平面，得平面，再證即可；（2）依題建系，分別就①，②，③，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求得平面的法向量的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式計(jì)算即得；（3）設(shè)，求得，分別利用①，②，③求得，結(jié)合列方程組，求出即得【詳解】（1）因?yàn)?，平面，平面，故平面，由矩形可得，平面，平?故平面,又，且平面，平面，故平面平面，又因平面，故平面，因平面，平面平面所以，即；（2）若選擇條件①，因?yàn)槠矫?，平?，.又有，如圖，分別以，，所在直線(xiàn)為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，故可取.設(shè)直線(xiàn)與平面夾角為，則，即直線(xiàn)與平面夾角的正弦值；若選擇條件②，因?yàn)槠矫?，平?，.又有，如圖，分別以，，所在直線(xiàn)為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，故可取.設(shè)直線(xiàn)與平面夾角為，則，即直線(xiàn)與平面夾角的正弦值；若選擇條件③，因?yàn)槠矫?，平?，.又有，如圖，分別以，，所在直線(xiàn)為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，故可取.設(shè)直線(xiàn)與平面夾角為，則，即直線(xiàn)與平面夾角的正弦值.（3）由（2）建系，且可知無(wú)論選擇①，②，③哪個(gè)條件，都有.設(shè)，，則，由（1）知，所以故存在實(shí)數(shù)，使得,即，解得,符合題意.故得.2．（2024·江蘇南通·二模）如圖，邊長(zhǎng)為4的兩個(gè)正三角形，所在平面互相垂直，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱AD上，，直線(xiàn)AB與平面相交于點(diǎn)H.(1)從下面兩個(gè)結(jié)論中選一個(gè)證明：①；②直線(xiàn)HE，GF，AC相交于一點(diǎn)；注：若兩個(gè)問(wèn)題均作答，則按第一個(gè)計(jì)分.(2)求直線(xiàn)BD與平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）選擇條件①，利用線(xiàn)面平行的判定性質(zhì)推理即得；選擇條件②，利用平面的基本事實(shí)推理即得.（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面距離公式求解即得.【詳解】（1）選擇條件①，由,分別為,的中點(diǎn)，得，又平面平面，則平面，又平面，平面平面，所以.選擇條件②，在中，為中點(diǎn)，則與不平行，設(shè)，則，又平面平面，于是平面平面，又平面平面，因此，所以,,相交于一點(diǎn).（2）若第（1）問(wèn)中選①，由（1）知，平面，則點(diǎn)到平面的距離即為與平面的距離，若第（1）問(wèn)中選②，由,分別為,的中點(diǎn)，則，又平面平面，于是平面，因此點(diǎn)到平面的距離即為與平面的距離，連接,，由均為正三角形，為的中點(diǎn)，得，又平面平面，平面平面平面，于是平面，又平面，則，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，,，設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則，令，得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以與平面的距離為.3．（2024·北京海淀·一模）如圖，在四棱錐中，為的中點(diǎn)，平面.(1)求證：；(2)若，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使四棱錐存在且唯一確定.（i）求證：平面；（ⅱ）設(shè)平面平面，求二面角的余弦值.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ⅱ）【分析】（1）借助線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理與中位線(xiàn)的性質(zhì)即可得；（2）（i）借助線(xiàn)面垂直的判定定理即可得；（ⅱ）結(jié)合所給條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系后借助空間向量計(jì)算即可得.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，所以四點(diǎn)共面，因?yàn)槠矫?，平面平面，平面，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以；?）（i）取的中點(diǎn)，連接，由（1）知，所以，因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，選條件①：，因?yàn)?，所以與全等，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，又因?yàn)椋?、平面，所以平面；（ⅱ）由（i）知平面，而平面，所以，因?yàn)?，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為,則，即，令，則，于是，因?yàn)闉槠矫娴姆ㄏ蛄?且,所以二面角的余弦值為.選條件③：，(i)因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以與全等，所以，即，因?yàn)椋忠驗(yàn)?，、平面，所以平面?ii)同選條件①.不可選條件②，理由如下：由（i）可得，又，，、平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，即是由已知條件可推出的條件，故不可選條件②.4．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐的底面是正方形，給出下列三個(gè)條件：①；②；③平面.(1)從①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另一個(gè)成立；(2)在（1）的條件下，若，當(dāng)四棱錐體積最大時(shí)，求二面角的余弦值.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）①②③：可以通過(guò)分別證明，，結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理得平面，進(jìn)一步，結(jié)合即可得證；②③①：首先證明平面，結(jié)合底面是正方形，是正方形的中心即可得證；①③②：首先通過(guò)證明平面，得到四棱錐是正四棱錐，進(jìn)一步通過(guò)證明平面即可得證；（2）首先通過(guò)基本不等式證明當(dāng)四棱錐體積取最大值時(shí)，四棱錐的底邊邊長(zhǎng)為.法一：由定義找出二面角，結(jié)合解三角形知識(shí)即可得解；法二：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，由向量夾角的余弦公式即可得解.【詳解】（1）①②③，連接，相交于，連接，由于底面是正方形，所以，又，，，平面，故平面，平面，故，由于，，，故，因此，，，平面，故平面，（可得四棱錐是正四棱錐）平面，故，又，，，平面，故平面.②③①連接，相交于，連接，由于底面是正方形，所以，又，，，平面，故平面，平面，故，又平面，平面，故，，，平面，故平面，結(jié)合底面是正方形，是正方形的中心，所以四棱錐是正四棱錐，故，①③②連接，相交于，連接，平面，平面，故，由于，，故，又，，，故，故，因此，，，，平面，故平面，故四棱錐是正四棱錐，由于，又，，，平面，故平面，平面，故，（2）無(wú)論選擇哪兩個(gè)條件，都可以推出四棱錐是正四棱錐，設(shè)四棱錐的底邊邊長(zhǎng)為，則四，所以，故，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故當(dāng)四棱錐的底邊邊長(zhǎng)為時(shí)，四棱錐體積的最大值為.（法一）因?yàn)榈酌?，由點(diǎn)向作垂線(xiàn)，垂足為，連接，又因?yàn)榈酌?，，所以為二面角的平面角，，，，即二面角的余弦值?（法二）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，設(shè)面的法向量為m=x,y,z則即，不妨取，則，，所以，易得平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，即二面角的余弦值為.5．（23-24高