2024-2025學(xué)年江西省上饒市高二上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年江西省上饒市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.考查范圍：選擇性必修第一冊(cè)第一章至第二章第一節(jié).2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡指定位置上.3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知點(diǎn)，，若直線的斜率為，則（）A. B. C. D.2.如圖，若直線的斜率分別為，則（）A. B.C. D.3.已知點(diǎn)，則以為直徑的圓的方程為（）A. B.C. D.4.已知圓，圓，則圓，的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)切 B.外切 C.相交 D.外離5.已知點(diǎn)，且直線AB與直線CD垂直，則的值為（）A.?7或0 B.0或7 C.0 D.76.若圓C的圓心為，且被y軸截得的弦長(zhǎng)為8，則圓C的一般方程為（）A. B.C. D.7.在中，，已知點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)到直線的最大距離為，點(diǎn)到直線的最大距離為，則（）A B. C. D.8.已知F?，F(xiàn)?分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，以F?F?為直徑的圓與E在第一、二象限交于Q，P兩點(diǎn)，PF?與QF?交于點(diǎn)M，記△PF?M的面積為S△PF?M，△QF?F?的面積為S△QF?F?，若，則E的離心率為（）A. B. C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若直線則（）A.的截距式方程為 B.C.與之間的距離為1 D.與的傾斜角互補(bǔ)10.已知直線被圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的圓O所截得的弦長(zhǎng)為2，則（）A.圓O的方程是B.直線與圓相離C.過點(diǎn)的直線被圓所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值是D.已知點(diǎn)是直線上動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則四邊形面積的最小值是211.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”算出橢圓面積等于圓周率、橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)三者的乘積.如下圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上、下頂點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分，，，，設(shè)C的離心率為e，則（）A.若，則B.四邊形的面積與的面積之比為C.四邊形的內(nèi)切圓方程為D.設(shè)條形陰影部分的面積為，點(diǎn)形陰影部分的面積為，則三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12直線恒過定點(diǎn)________.13.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三邊邊長(zhǎng)分別稱為“勾”“股”“弦”.如圖為一直角三角形，以所在的直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，若以，為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)C的橢圓方程為則直角三角形的“勾”“股”之積的最大值為________.14.若過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則_____四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，在中，，邊上高所在直線的方程為所在直線的方程為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為.（1）求直線的方程;（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及直線的方程.16.已知圓過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）過點(diǎn)作圓切線，求切線方程.17.已知橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是上一動(dòng)點(diǎn)，，的周長(zhǎng)為.（1）求橢圓的方程；（2）證明：無論動(dòng)點(diǎn)在上如何運(yùn)動(dòng)，恒為一個(gè)常數(shù).18.已知圓與圓相外切.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求的最小值；（3）已知，P為圓上任意一點(diǎn)，試問在x軸上是否存在定點(diǎn)B（異于點(diǎn)A），使得為定值?若存在，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.19.定義：由橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和長(zhǎng)軸的一個(gè)頂點(diǎn)（焦點(diǎn)與頂點(diǎn)在同一邊）和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“焦頂三角形”，如果兩個(gè)橢圓的”焦頂三角形”相似，則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比，下列問題中（對(duì)應(yīng)圖1，對(duì)應(yīng)圖2）.（1）判斷橢圓與橢圓是否是“相似橢圓”?若是，求出相似比；若不是，請(qǐng)說明理由；（2）證明：兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”的充要條件是離心率相等；（3）已知橢圓橢圓的離心率為，與是“相似橢圓”，且與的相似比為，若的面積為，求的面積（用，，表示）.2024-2025學(xué)年江西省上饒市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.考查范圍：選擇性必修第一冊(cè)第一章至第二章第一節(jié).2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡指定位置上.3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知點(diǎn)，，若直線的斜率為，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)斜率公式可知，即可得解.【詳解】若直線的斜率為，則，所以，故選：C.2.如圖，若直線的斜率分別為，則（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可判斷.【詳解】?jī)A斜角為銳角時(shí)，斜率為正，傾斜角越大，傾斜程度越大，斜率越大；傾斜角為鈍角時(shí)，斜率為負(fù)，傾斜角越大，傾斜程度越小，斜率越大，所以故選：A.3.已知點(diǎn)，則以為直徑的圓的方程為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式算出的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且，從而得到所求圓的圓心和半徑，可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)椋€段的中點(diǎn)為，，所以以線段為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，所以線段為直徑的圓的方程為.故選：D.4.已知圓，圓，則圓，的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)切 B.外切 C.相交 D.外離【正確答案】A【分析】根據(jù)圓心之間的距離判斷兩圓位置關(guān)系.【詳解】圓可化為，圓心為，半徑；圓可化為，圓心為，半徑，則兩圓心之間的距離，所以，即兩圓相內(nèi)切，故選：A.5.已知點(diǎn)，且直線AB與直線CD垂直，則的值為（）A.?7或0 B.0或7 C.0 D.7【正確答案】B【分析】根據(jù)直線的斜率存在和不存在分類討論，利用兩直線垂直的性質(zhì)，即可求解．【詳解】當(dāng)時(shí)，直線AB的斜率不存在，直線CD的斜率為此時(shí)直線AB的方程為x=0，直線CD的方程為，故;當(dāng)時(shí)，則解得，綜上，或.故選：B.6.若圓C的圓心為，且被y軸截得的弦長(zhǎng)為8，則圓C的一般方程為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】運(yùn)用弦長(zhǎng)結(jié)合垂徑定理求出圓的半徑即可.【詳解】如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，依題意，因?yàn)楣蕓CD|=3，從而，圓的半徑為故所求圓的方程為即故選：C7.在中，，已知點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)到直線的最大距離為，點(diǎn)到直線的最大距離為，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化，可知點(diǎn)的軌跡及，，即可得解.【詳解】由已知，，則，由，再由正弦定理可知，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為得橢圓，不含左、右頂點(diǎn)，所以當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大為，所以，故選：D.8.已知F?，F(xiàn)?分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，以F?F?為直徑的圓與E在第一、二象限交于Q，P兩點(diǎn)，PF?與QF?交于點(diǎn)M，記△PF?M的面積為S△PF?M，△QF?F?的面積為S△QF?F?，若，則E的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】如圖，根據(jù)圓與橢圓的對(duì)稱性可知，點(diǎn)M在y軸上，轉(zhuǎn)成設(shè)則運(yùn)用三角形相似得到將線段長(zhǎng)度用c表示，借助橢圓定義構(gòu)造齊次方程，求出離心率即可.【詳解】如圖，根據(jù)圓與橢圓的對(duì)稱性可知，點(diǎn)M在y軸上，若則設(shè)則易得所以易知QF?⊥QF?，則△QF?F?∽△OF?M，則即解得且解得所以在中，由勾股定理得所以由橢圓的定義得得即故E的離心率為故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若直線則（）A.的截距式方程為 B.C.與之間的距離為1 D.與的傾斜角互補(bǔ)【正確答案】BCD【分析】根據(jù)直線的截距式方程，直線平行的斜率結(jié)論，平行線之間的距離公式，斜率與傾斜角的關(guān)系逐個(gè)判斷即可.【詳解】由得，故的截距式方程為故A錯(cuò)誤；因?yàn)榕c的斜率都等于所以故B正確;直線化為一般方程是，則與之間的距離為故C正確；因?yàn)榈男甭剩男甭逝c的斜率互為相反數(shù)，所以與的傾斜角互補(bǔ)，故D正確.故選：BCD.10.已知直線被圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的圓O所截得的弦長(zhǎng)為2，則（）A.圓O的方程是B.直線與圓相離C.過點(diǎn)的直線被圓所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值是D.已知點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則四邊形面積的最小值是2【正確答案】ABC【分析】對(duì)于A，結(jié)合弦長(zhǎng)，半徑和弦心距的關(guān)系計(jì)算即可求；對(duì)于B，計(jì)算弦心距，與半徑比較即可；對(duì)于C，根據(jù)垂徑定理得弦的最小值是，計(jì)算即可；對(duì)于D，數(shù)形結(jié)合即可知四邊形的面積，計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A，設(shè)圓的方程為，因?yàn)橹本€與圓相交所得的弦長(zhǎng)為2，且圓心到直線的距離所以所以圓的方程為故A正確；對(duì)于B，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)閳A的圓心是，半徑，且，可知點(diǎn)在圓內(nèi)，過點(diǎn)的直線被圓所截得的弦最短時(shí)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得弦的最小值是，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)樗倪呅蔚拿娣e，如圖，由數(shù)形分析可知：當(dāng)時(shí)，取到最小值，所以四邊形面積的最小值為故D錯(cuò)誤.故選：ABC11.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”算出橢圓面積等于圓周率、橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)三者的乘積.如下圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上、下頂點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分，，，，設(shè)C的離心率為e，則（）A.若，則B.四邊形的面積與的面積之比為C.四邊形的內(nèi)切圓方程為D.設(shè)條形陰影部分的面積為，點(diǎn)形陰影部分的面積為，則【正確答案】AB【分析】利用兩直線平行，得到、的比值即可判斷A；根據(jù)題意分別求出四邊形的面積與橢圓的面積，即可判斷B；利用為直角三角形，在直角三角形中利用正弦值求出原點(diǎn)到四邊形一條邊的距離幾即為半徑，即可求解；根據(jù)，利用作差法即可判斷D.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為，對(duì)于A選項(xiàng)，若，則即所以，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，又，所以四邊形的面積與橢圓的面積之比為故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)樵c(diǎn)到四邊形的四條邊的距離都相等，都等于即為四邊形內(nèi)切圓的半徑，所以四邊形內(nèi)切圓的方程為，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由題意，所以所以，而，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AB.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用，通過作差法比較大小.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線恒過定點(diǎn)________.【正確答案】【分析】分離參數(shù)，解方程組可得直線恒過定點(diǎn).【詳解】直線可化，令，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，故答案為.13.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三邊邊長(zhǎng)分別稱為“勾”“股”“弦”.如圖為一直角三角形，以所在的直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，若以，為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)C的橢圓方程為則直角三角形的“勾”“股”之積的最大值為________.【正確答案】【分析】先根據(jù)已知條件結(jié)合橢圓定義求出，再利用基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)，，根據(jù)橢圓定義得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以直角三角形的“勾”“股”之積的最大值為.故14.若過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則_____【正確答案】或【分析】由圓的方程可確定圓心與半徑，再結(jié)合三角函數(shù)值可得圓的半徑，進(jìn)而可得參數(shù)【詳解】如圖所示，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心C0,1，半徑，過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，所以或，又點(diǎn)到圓心0,1的距離為，則或，即或，解得或，故或.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，在中，，邊上的高所在直線的方程為所在直線的方程為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為.（1）求直線的方程;（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及直線的方程.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）由與互相垂直得到直線的斜率，再由點(diǎn)斜式得到直線方程；（2）解方程組得到點(diǎn)，再由兩直線垂直得到斜率關(guān)系，最后由點(diǎn)斜式得到直線方程；【小問1詳解】由于所在直線的方程為，故的斜率為因?yàn)榕c互相垂直，所以直線的斜率為結(jié)合，可得的方程為即.【小問2詳解】聯(lián)立，解得，則點(diǎn)，直線的斜率，因?yàn)榕c互相垂直，所以直線的斜率為，結(jié)合，可得方程為，即.16.已知圓過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）過點(diǎn)作圓的切線，求切線方程.【正確答案】（1）（2）或【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)，可知線段中垂線，圓心在中垂線上，聯(lián)立兩直線，可知點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得圓方程；（2）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)直線方程為成立，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)斜式，根據(jù)點(diǎn)到直線距離，即可得解.【小問1詳解】由已知，，則其中點(diǎn)為，，所以中垂線的斜率，則中垂線為，所以點(diǎn)在上，又點(diǎn)在直線，聯(lián)立，解得，即，半徑，所以圓的方程為；小問2詳解】由（1）得，，當(dāng)過點(diǎn)的切線斜率不存在時(shí)，直線為，與圓相切；當(dāng)過點(diǎn)的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，圓心到切線的距離，解得，所以直線方程為，即，綜上所述，切線方程為或.17.已知橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是上一動(dòng)點(diǎn)，，的周長(zhǎng)為.（1）求橢圓的方程；（2）證明：無論動(dòng)點(diǎn)在上如何運(yùn)動(dòng)，恒為一個(gè)常數(shù).【正確答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義可得解；（2）設(shè)點(diǎn)，結(jié)合向量線性運(yùn)算及模長(zhǎng)公式化簡(jiǎn)可得證.【小問1詳解】由已知，則，即，又的周長(zhǎng)為，則，，則，即橢圓方程為：；【小問2詳解】由（1）可知，，設(shè)，則，，，，又，即，即，所以無論動(dòng)點(diǎn)在上如何運(yùn)動(dòng)，恒一個(gè)常數(shù).18.已知圓與圓相外切.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求的最小值；（3）已知，P為圓上任意一點(diǎn)，試問在x軸上是否存在定點(diǎn)B（異于點(diǎn)A），使得為定值?若存在，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【正確答案】（1）（2）（3）存在定點(diǎn)B，B的坐標(biāo)為.【分析】（1）運(yùn)用圓與圓的位置關(guān)系構(gòu)造方程求出圓心即可（2）將轉(zhuǎn)化點(diǎn)到圓心與圓心的距離之和，結(jié)合點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱知識(shí)畫圖求解即可；（3）設(shè)，用式子表示，分析得到取得定值即可.【小問1詳解】圓心圓心因?yàn)閳A與圓相外切，所以即解得或因?yàn)?，所以舍去，故故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】若，則點(diǎn)在直線上，則表示點(diǎn)到圓心與圓心的距離之和，設(shè)如圖關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，則得，則點(diǎn)數(shù)形結(jié)合易知，到圓心與圓心的距離之和的最小值等于即【小問3詳解】假設(shè)存在定點(diǎn)B，設(shè)，則當(dāng)即時(shí)，為定值，且定值，故存在定點(diǎn)B，且B的坐標(biāo)為.19.定義：由橢