《高等數(shù)學全局回顧課件》

高等數(shù)學全局回顧課件歡迎來到高等數(shù)學全局回顧課程！本課程旨在幫助大家系統(tǒng)性地復(fù)習高等數(shù)學的核心概念、理論與方法，為進一步的學術(shù)研究和工程實踐打下堅實的基礎(chǔ)。我們將通過精講重點、剖析難點、實戰(zhàn)演練等環(huán)節(jié)，助力大家構(gòu)建完整知識體系，提升解題能力，重拾數(shù)學信心！課程目標與安排課程目標系統(tǒng)回顧高等數(shù)學核心知識點掌握重要定理和公式提升解題能力和應(yīng)試技巧培養(yǎng)數(shù)學思維和解決實際問題的能力課程安排基礎(chǔ)概念回顧：集合、函數(shù)、極限、連續(xù)性一元函數(shù)微積分：導(dǎo)數(shù)、微分、積分及其應(yīng)用多元函數(shù)微積分：偏導(dǎo)數(shù)、二重積分級數(shù)與微分方程：數(shù)項級數(shù)、常微分方程為什么需要全局回顧？1知識體系的完整性高等數(shù)學內(nèi)容繁多，全局回顧能夠幫助我們建立完整的知識框架，將各個知識點串聯(lián)起來，形成一個有機的整體。這有助于更深入地理解數(shù)學的本質(zhì)，而不是孤立地記憶公式和定理。2解題能力的提升通過回顧不同章節(jié)的知識點，我們可以發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系，從而能夠更靈活地運用所學知識解決問題。全局回顧還可以幫助我們查漏補缺，彌補知識上的不足，提高解題的準確性和效率。3應(yīng)對考試的需要高等數(shù)學考試通常涉及多個章節(jié)的內(nèi)容，全局回顧可以幫助我們?nèi)嬲莆湛荚嚨闹攸c和難點，從而更好地應(yīng)對考試。此外，通過回顧歷年真題，我們可以了解考試的出題規(guī)律和趨勢，提高應(yīng)試能力。集合與函數(shù)：基礎(chǔ)概念回顧集合與函數(shù)是高等數(shù)學的基礎(chǔ)，理解它們的概念和性質(zhì)至關(guān)重要。集合是數(shù)學中最基本的概念之一，而函數(shù)則描述了集合之間的關(guān)系。在本節(jié)中，我們將回顧集合的定義、運算，以及函數(shù)的定義、性質(zhì)和分類，為后續(xù)的學習打下堅實的基礎(chǔ)。我們將從集合的表示方法、子集、交集、并集、補集等基本概念入手，然后深入探討函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)，最后對常見的函數(shù)類型進行分類，例如線性函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等。集合的定義與運算定義集合是由一個或多個確定的對象所組成的整體。這些對象稱為集合的元素。集合具有確定性、互異性和無序性三個基本特征。并集由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，記作A∪B。A∪B={x|x∈A或x∈B}交集由所有既屬于集合A又屬于集合B的元素所組成的集合，記作A∩B。A∩B={x|x∈A且x∈B}函數(shù)的定義、性質(zhì)與分類1定義設(shè)A、B為非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A。2性質(zhì)單調(diào)性：增函數(shù)、減函數(shù)；奇偶性：奇函數(shù)、偶函數(shù)；周期性：周期函數(shù)；有界性：有界函數(shù)、無界函數(shù)。3分類基本初等函數(shù)：常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)；初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合運算所得到的函數(shù)；分段函數(shù)。極限的概念與性質(zhì)極限的描述性定義當自變量x無限接近于x?時，函數(shù)f(x)無限接近于一個確定的值A(chǔ)，則稱A為當x趨近于x?時，函數(shù)f(x)的極限。極限的嚴格定義對于任意給定的正數(shù)ε（無論多么?。偞嬖谡龜?shù)δ，使得當0<|x-x?|<δ時，|f(x)-A|<ε成立，則稱A為當x趨近于x?時，函數(shù)f(x)的極限。極限的性質(zhì)唯一性：若極限存在，則極限值唯一；有界性：若極限存在，則函數(shù)在極限點附近有界；保號性：若極限值大于0（或小于0），則函數(shù)在極限點附近也大于0（或小于0）。數(shù)列極限的定義與判定定義設(shè){xn}為一個無窮數(shù)列，A為一個常數(shù)。若對于任意給定的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當n>N時，|xn-A|<ε成立，則稱數(shù)列{xn}收斂于A，記作lim(n→∞)xn=A。1判定方法單調(diào)有界數(shù)列必有極限；夾逼準則：若存在兩個數(shù)列{yn}和{zn}，使得yn≤xn≤zn，且lim(n→∞)yn=lim(n→∞)zn=A，則lim(n→∞)xn=A；柯西收斂準則：數(shù)列{xn}收斂的充要條件是：對于任意給定的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當m,n>N時，|xm-xn|<ε成立。2函數(shù)極限的定義與性質(zhì)1性質(zhì)唯一性：若極限存在，則極限值唯一；局部有界性：若極限存在，則函數(shù)在極限點附近有界；局部保號性：若極限值大于0（或小于0），則函數(shù)在極限點附近也大于0（或小于0）。2單側(cè)極限左極限：lim(x→x?-)f(x)；右極限：lim(x→x?+)f(x)；函數(shù)在某點存在極限的充要條件是其在該點的左極限和右極限都存在且相等。3定義當x→x?時，若對于任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，使得當0<|x-x?|<δ時，|f(x)-A|<ε成立，則稱A為當x趨近于x?時，函數(shù)f(x)的極限，記作lim(x→x?)f(x)=A。極限的運算法則1四則運算法則若limf(x)=A，limg(x)=B，則lim[f(x)±g(x)]=A±B；lim[f(x)·g(x)]=A·B；lim[f(x)/g(x)]=A/B(B≠0)。2復(fù)合函數(shù)極限法則設(shè)y=f(u)，u=g(x)，若lim(x→x?)g(x)=u?，lim(u→u?)f(u)=A，且存在δ>0，當0<|x-x?|<δ時，g(x)≠u?，則lim(x→x?)f[g(x)]=A。重要極限與無窮小重要極限描述lim(x→0)sin(x)/x=1當x趨近于0時，sin(x)與x的比值的極限為1lim(x→∞)(1+1/x)^x=e當x趨近于無窮大時，(1+1/x)的x次方的極限為自然常數(shù)e無窮小在極限過程中，以零為極限的變量無窮大的倒數(shù)是無窮小無窮小的倒數(shù)是無窮大函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性是指函數(shù)在某一點的極限值等于該點的函數(shù)值。間斷點是指函數(shù)不連續(xù)的點。常見的間斷點類型包括可去間斷點、跳躍間斷點和無窮間斷點。了解函數(shù)的連續(xù)性與間斷點對于研究函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用至關(guān)重要。導(dǎo)數(shù)的概念與計算導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x?的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量x在x?處取得增量Δx時，函數(shù)y相應(yīng)地取得增量Δy=f(x?+Δx)-f(x?)。如果Δy與Δx的比值當Δx→0時的極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點x?處可導(dǎo)，并稱這個極限為函數(shù)y=f(x)在點x?處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x?)或dy/dx|x=x?。導(dǎo)數(shù)的計算利用導(dǎo)數(shù)的定義計算；利用求導(dǎo)公式計算：(C)'=0；(x^n)'=nx^(n-1)；(sinx)'=cosx；(cosx)'=-sinx；(e^x)'=e^x；(a^x)'=a^xlna；(lnx)'=1/x；(log?x)'=1/(xlna)。導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點處的變化率，反映了函數(shù)在該點附近的變化趨勢。導(dǎo)數(shù)的定義可以通過極限來描述，即函數(shù)增量與自變量增量之比的極限。導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)圖像在該點處的切線斜率。切線是與函數(shù)圖像在該點處最為接近的直線，其斜率反映了函數(shù)在該點處的變化方向和速度。求導(dǎo)法則：加、減、乘、除加法法則[u(x)+v(x)]'=u'(x)+v'(x)減法法則[u(x)-v(x)]'=u'(x)-v'(x)乘法法則[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)除法法則[u(x)/v(x)]'=[u'(x)v(x)-u(x)v'(x)]/[v(x)]2(v(x)≠0)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則是指求由兩個或兩個以上的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法。設(shè)y=f(u)，u=g(x)，則dy/dx=dy/du·du/dx，即復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于外層函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則在微積分中有著重要的應(yīng)用，可以簡化復(fù)雜的求導(dǎo)過程。在應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則時，需要注意以下幾點：首先，要正確識別復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，分清外層函數(shù)和中間變量；其次，要熟練掌握基本函數(shù)的求導(dǎo)公式；最后，要注意鏈式法則的運用，即逐層求導(dǎo)，直到求到自變量為止。高階導(dǎo)數(shù)1定義若函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)仍然可導(dǎo)，則f'(x)的導(dǎo)數(shù)稱為f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記作f''(x)或d2y/dx2。類似地，f''(x)的導(dǎo)數(shù)稱為f(x)的三階導(dǎo)數(shù)，記作f'''(x)或d3y/dx3。一般地，函數(shù)f(x)的n階導(dǎo)數(shù)記作f^(n)(x)或d^ny/dx^n。2計算逐階求導(dǎo)：先求出一階導(dǎo)數(shù)，再求二階導(dǎo)數(shù)，以此類推。利用萊布尼茨公式：若u(x)和v(x)都具有n階導(dǎo)數(shù)，則(uv)^(n)=Σ(k=0到n)C(n,k)u^(k)v^(n-k)，其中C(n,k)為二項式系數(shù)。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：函數(shù)單調(diào)性單調(diào)性的判定若在區(qū)間I上，f'(x)>0，則f(x)在I上單調(diào)遞增；若在區(qū)間I上，f'(x)<0，則f(x)在I上單調(diào)遞減；若在區(qū)間I上，f'(x)=0，則f(x)在I上為常數(shù)。求單調(diào)區(qū)間的步驟求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x)；令f'(x)=0，解出方程的根；用導(dǎo)數(shù)的根將函數(shù)的定義域分成若干個區(qū)間；判斷在每個區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號，從而確定函數(shù)的單調(diào)性。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：函數(shù)極值與最值極值的定義極值是指函數(shù)在某一點附近取得的最大值或最小值。極值分為極大值和極小值。極大值是指函數(shù)值大于或等于該點附近所有其他點的函數(shù)值，極小值是指函數(shù)值小于或等于該點附近所有其他點的函數(shù)值。1求極值的步驟求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x)；令f'(x)=0，解出方程的根，這些根稱為駐點；判斷駐點左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號，若左正右負，則為極大值點；若左負右正，則為極小值點；若符號不變，則不是極值點。2最值的求法求出函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上的所有極值；求出函數(shù)在區(qū)間端點a和b處的函數(shù)值；比較所有極值和端點處的函數(shù)值，其中最大的為最大值，最小的為最小值。3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：曲線的凹凸性與拐點1應(yīng)用凹凸性是曲線的重要幾何特征，拐點是凹凸性發(fā)生改變的點。利用二階導(dǎo)數(shù)可以判斷曲線的凹凸性，并求出拐點，從而更準確地描繪曲線的形狀。2凹凸性的判定若在區(qū)間I上，f''(x)>0，則f(x)在I上是凹的（或稱向上凸）；若在區(qū)間I上，f''(x)<0，則f(x)在I上是凸的（或稱向下凸）。3定義若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是可導(dǎo)的，且f'(x)也是可導(dǎo)的，則f'(x)的導(dǎo)數(shù)稱為f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記作f''(x)。拐點是指曲線凹凸性發(fā)生改變的點，即二階導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點。微分的概念與應(yīng)用1定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x處可導(dǎo)，Δx為自變量的增量，則函數(shù)的微分dy定義為dy=f'(x)Δx。微分是函數(shù)增量的線性主要部分，當Δx很小時，dy可以近似代替Δy。2幾何意義微分表示函數(shù)圖像在該點處的切線的增量。當Δx很小時，切線的增量可以近似代替函數(shù)的增量。3應(yīng)用近似計算：當Δx很小時，可以利用微分來近似計算函數(shù)值的改變量；誤差估計：利用微分可以估計函數(shù)值的誤差；數(shù)值分析：微分是數(shù)值分析中許多算法的基礎(chǔ)。微分的定義與幾何意義微分的定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x處可導(dǎo)，Δx為自變量的增量，則函數(shù)的微分dy定義為dy=f'(x)Δx。其中，f'(x)為函數(shù)在點x處的導(dǎo)數(shù)，Δx為自變量的增量。微分的幾何意義微分dy表示函數(shù)圖像在該點處的切線的增量。當Δx很小時，切線的增量可以近似代替函數(shù)的增量Δy。因此，微分可以看作是函數(shù)增量的線性主要部分。微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系概念聯(lián)系導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)是微分系數(shù)，即dy/dx=f'(x)微分微分是導(dǎo)數(shù)與自變量增量的乘積，即dy=f'(x)dx幾何意義導(dǎo)數(shù)表示切線斜率，微分表示切線上的增量應(yīng)用導(dǎo)數(shù)用于研究函數(shù)的變化率，微分用于近似計算微分的近似計算利用微分可以進行近似計算，當自變量的改變量Δx很小時，可以用微分dy近似代替函數(shù)值的改變量Δy，即Δy≈dy=f'(x)Δx。這種近似計算方法在實際應(yīng)用中非常廣泛，例如，可以用來估計誤差、簡化計算等。需要注意的是，微分的近似計算只在Δx很小時才有效，當Δx較大時，近似計算的誤差會增大。因此，在使用微分進行近似計算時，需要根據(jù)實際情況選擇合適的Δx值，以保證計算的精度。不定積分的概念與計算定義設(shè)F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則稱F(x)+C為f(x)的不定積分，記作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C為任意常數(shù)，稱為積分常數(shù)。計算利用基本積分公式；利用換元積分法；利用分部積分法。不定積分的定義與性質(zhì)不定積分的定義設(shè)F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則稱F(x)+C為f(x)的不定積分，記作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C為任意常數(shù)，稱為積分常數(shù)。原函數(shù)是指導(dǎo)數(shù)為f(x)的函數(shù)，即F'(x)=f(x)。不定積分的性質(zhì)∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx；∫kf(x)dx=k∫f(x)dx，其中k為常數(shù)；[∫f(x)dx]'=f(x)；d[∫f(x)dx]=f(x)dx?；痉e分公式函數(shù)不定積分x?(n≠-1)(x^(n+1))/(n+1)+C1/xln|x|+Ce^xe^x+Csinx-cosx+Ccosxsinx+C換元積分法換元積分法是計算不定積分的重要方法之一，其基本思想是通過變量代換，將復(fù)雜的積分轉(zhuǎn)化為簡單的積分。換元積分法分為第一類換元積分法和第二類換元積分法。第一類換元積分法適用于被積函數(shù)中含有復(fù)合函數(shù)的情況，第二類換元積分法適用于被積函數(shù)中含有根式或分式的情況。在使用換元積分法時，需要注意以下幾點：首先，要選擇合適的變量代換，使得積分變得簡單；其次，要將積分變量進行替換，并將積分限進行相應(yīng)的變換；最后，要將被積函數(shù)中的所有x都用新的變量表示出來。分部積分法1應(yīng)用當被積函數(shù)是兩個函數(shù)乘積時，分部積分法是一種常用的計算方法。通過合理選擇u和dv，可以將復(fù)雜的積分轉(zhuǎn)化為更容易計算的積分。2選擇u和dv選擇u和dv的原則是：vdu比udv更容易積分。通常，將冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)等作為u，將指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等作為dv。3公式∫udv=uv-∫vdu定積分的概念與計算1分割將積分區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間，每個小區(qū)間的長度為Δx?=(b-a)/n。2求和在每個小區(qū)間上取一個點ξ?，計算函數(shù)值f(ξ?)與小區(qū)間長度Δx?的乘積，并求和，即Σ(i=1到n)f(ξ?)Δx?。3取極限當n→∞時，如果上述和的極限存在，則稱這個極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作∫(a到b)f(x)dx。定積分的定義與幾何意義定義設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義，將區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為Δx?，在每個小區(qū)間上取一點ξ?，作和Σ(i=1到n)f(ξ?)Δx?，當n→∞時，如果上述和的極限存在，則稱這個極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作∫(a到b)f(x)dx。幾何意義定積分表示函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上與x軸所圍成的曲邊梯形的面積。當f(x)>0時，定積分值為正；當f(x)<0時，定積分值為負；當f(x)在[a,b]上有正有負時，定積分值為正負面積的代數(shù)和。定積分的性質(zhì)性質(zhì)描述線性性∫(a到b)[f(x)+g(x)]dx=∫(a到b)f(x)dx+∫(a到b)g(x)dx常數(shù)倍性∫(a到b)kf(x)dx=k∫(a到b)f(x)dx(k為常數(shù))區(qū)間可加性∫(a到c)f(x)dx+∫(c到b)f(x)dx=∫(a到b)f(x)dx(a<c<b)保號性若在[a,b]上，f(x)≥0，則∫(a到b)f(x)dx≥0牛頓-萊布尼茨公式FundamentalApplications牛頓-萊布尼茨公式，也稱為微積分基本定理，是微積分學中最重要的定理之一。它建立了定積分與不定積分之間的聯(lián)系，使得我們可以通過求原函數(shù)來計算定積分。公式內(nèi)容為：∫(a到b)f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的任意一個原函數(shù)。牛頓-萊布尼茨公式的應(yīng)用非常廣泛，可以用來計算各種函數(shù)的定積分，例如多項式函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等。此外，它還可以用來解決各種實際問題，例如計算面積、體積、弧長等。定積分的應(yīng)用：面積計算1復(fù)雜圖形面積通過將復(fù)雜圖形分解成若干個簡單圖形，分別計算每個簡單圖形的面積，然后將這些面積相加，即可得到復(fù)雜圖形的面積。2曲邊梯形面積由曲線y=f(x)、直線x=a、x=b以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為∫(a到b)|f(x)|dx。3面積計算公式利用定積分可以計算平面圖形的面積。設(shè)平面圖形由兩條曲線y=f(x)和y=g(x)以及兩條直線x=a和x=b所圍成，其中a<b，且在[a,b]上，f(x)≥g(x)，則該平面圖形的面積為∫(a到b)[f(x)-g(x)]dx。定積分的應(yīng)用：體積計算1旋轉(zhuǎn)體體積將曲線y=f(x)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為∫(a到b)π[f(x)]2dx。2平行截面面積為已知的立體體積設(shè)立體在x處的截面面積為A(x)，則立體的體積為∫(a到b)A(x)dx。定積分的應(yīng)用：弧長計算弧長計算設(shè)曲線C的方程為y=f(x)，其中f(x)在[a,b]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則曲線C在[a,b]上的弧長為∫(a到b)√[1+(f'(x))2]dx。參數(shù)方程弧長若曲線由參數(shù)方程給出，x=x(t)，y=y(t)，其中t∈[α,β]，則弧長為∫(α到β)√[(dx/dt)2+(dy/dt)2]dt。多元函數(shù)微積分多元函數(shù)自變量多于一個的函數(shù)，例如f(x,y)=x2+y2偏導(dǎo)數(shù)固定其他變量，對其中一個變量求導(dǎo)，例如?f/?x表示f(x,y)對x的偏導(dǎo)數(shù)二重積分對二元函數(shù)在平面區(qū)域上進行積分，可以計算體積等多元函數(shù)的基本概念定義域多元函數(shù)自變量的取值范圍，是使函數(shù)有意義的自變量的集合。值域多元函數(shù)所有函數(shù)值的集合。等值線/面多元函數(shù)值相等的點的集合，可以幫助我們理解函數(shù)的圖像。偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)對其中一個變量求導(dǎo)，其他變量視為常數(shù)。記作?f/?x,?f/?y等1全微分函數(shù)所有自變量的微分的線性組合，反映了函數(shù)變化的整體情況。記作df=(?f/?x)dx+(?f/?y)dy2關(guān)系全微分是偏導(dǎo)數(shù)與自變量微分的乘積之和。偏導(dǎo)數(shù)存在是全微分存在的必要條件，但不是充分條件。3多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則1應(yīng)用鏈式法則：逐層求導(dǎo)，直到求到自變量為止2中間變量確定中間變量與自變量的關(guān)系3求導(dǎo)將復(fù)合函數(shù)分解為基本函數(shù)，利用鏈式法則求導(dǎo)多元函數(shù)極值問題1駐點偏導(dǎo)數(shù)都為0的點，是可能的極值點2判定利用二階偏導(dǎo)數(shù)判斷極值類型3最值在有界區(qū)域內(nèi)，比較極值和邊界值，確定最大值和最小值二重積分的概念與計算定義將積分區(qū)域分割成小區(qū)域，計算函數(shù)值與小區(qū)域面積的乘積，并求和，然后取極限計算化為累次積分進行計算，先對一個變量積分，再對另一個變量積分二重積分的定義與性質(zhì)定義將積分區(qū)域D分割成n個小區(qū)域Δσ?，在每個小區(qū)域上取一點(ξ?,η?)，作和Σ(i=1到n)f(ξ?,η?)Δσ?，當n→∞時，如果上述和的極限存在，則稱這個極限為函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上的二重積分，記作?(D)f(x,y)dσ。性質(zhì)線性性：?(D)[f(x,y)+g(x,y)]dσ=?(D)f(x,y)dσ+?(D)g(x,y)dσ；常數(shù)倍性：?(D)kf(x,y)dσ=k?(D)f(x,y)dσ(k為常數(shù))；區(qū)域可加性：若D=D?∪D?，且D?∩D?=?，則?(D)f(x,y)dσ=?(D?)f(x,y)dσ+?(D?)f(x,y)dσ。二重積分的計算方法二重積分的計算方法主要有兩種：直角坐標系下的計算和極坐標系下的計算。在直角坐標系下，需要將二重積分化為累次積分進行計算，即先對一個變量積分，再對另一個變量積分。在極坐標系下，需要將直角坐標轉(zhuǎn)化為極坐標，并將積分區(qū)域和被積函數(shù)進行相應(yīng)的變換，然后再進行計算。選擇哪種計算方法取決于積分區(qū)域的形狀和被積函數(shù)的特點。對于圓形或扇形區(qū)域，通常選擇極坐標系進行計算；對于其他形狀的區(qū)域，通常選擇直角坐標系進行計算。級數(shù)定義無窮多個數(shù)相加的形式，例如1+1/2+1/4+1/8+...收斂級數(shù)的部分和的極限存在，例如等比級數(shù)|q|<1時收斂發(fā)散級數(shù)的部分和的極限不存在，例如等比級數(shù)|q|≥1時發(fā)散數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)收斂如果部分和數(shù)列{S?}的極限存在，則稱數(shù)項級數(shù)收斂，否則稱數(shù)項級數(shù)發(fā)散。發(fā)散如果部分和數(shù)列{S?}的極限不存在，則稱數(shù)項級數(shù)發(fā)散。性質(zhì)級數(shù)收斂的必要條件是通項趨于0；有限個收斂級數(shù)的代數(shù)和仍然收斂；收斂級數(shù)乘以常數(shù)仍然收斂；去掉、增加或改變級數(shù)中的有限項，不改變級數(shù)的收斂性。正項級數(shù)的審斂法比較審斂法若0≤a?≤b?，且Σb?收斂，則Σa?收斂；若0≤b?≤a?，且Σb?發(fā)散，則Σa?發(fā)散。1比值審斂法（達朗貝爾判別法）設(shè)ρ=lim(n→∞)a???/a?，若ρ<1，則Σa?收斂；若ρ>1，則Σa?發(fā)散；若ρ=1，則審斂法失效。2根值審斂法（柯西判別法）設(shè)ρ=lim(n→∞)?√a?，若ρ<1，則Σa?收斂；若ρ>1，則Σa?發(fā)散；若ρ=1，則審斂法失效。3交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法1結(jié)論如果滿足這兩個條件，則交錯級數(shù)收斂。2條件二lim(n→∞)a?=03條件一數(shù)列{a?}單調(diào)遞減，即a?≥a???>0函數(shù)項級數(shù)與冪級數(shù)1函數(shù)項級數(shù)每一項都是函數(shù)的級數(shù)，例如Σ(n=1到∞)f?(x)2收斂域使函數(shù)項級數(shù)收斂的x的集合3冪級數(shù)形如Σ(n=0到∞)a?(x-x?)?的級數(shù)冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間收斂半徑使冪級數(shù)在(-R,R)內(nèi)收斂，在|x|>R時發(fā)散的R收斂區(qū)間冪級數(shù)收斂的x的集合，需要單獨判斷端點是否收斂泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)泰勒級數(shù)將函數(shù)表示成在某一點的導(dǎo)數(shù)展開的無窮級數(shù)，