湖北省十一校2025屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考(一模)數(shù)學(xué)試題

鄂南高中黃岡中學(xué)黃石二中荊州中學(xué)龍泉中學(xué)武漢二中孝感高中襄陽四中襄陽五中宜昌一中夷陵中學(xué)2025屆高三湖北省十一校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題(考試時(shí)間:120分鐘試卷滿分:150分)命題學(xué)校:黃岡中學(xué)命題教師:李鋼鋒蔡盛陳曉潔審題學(xué)校:荊州中學(xué)注意事項(xiàng):1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1若集合，，則（）A. B.C. D.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.3.已知非零向量，，若向量在方向上的投影向量為，則（）A. B. C.2 D.44.某工廠生產(chǎn)了500件產(chǎn)品，質(zhì)檢人員測(cè)量其長(zhǎng)度(單位:厘米)，將測(cè)量數(shù)據(jù)分成6組，整理得到如圖所示頻率分布直方圖.如果要讓90%的產(chǎn)品長(zhǎng)度不超過厘米，根據(jù)直方圖估計(jì)，下列最接近的數(shù)是（）A.93.5 B.94.1C.94.7 D.95.55.下列選項(xiàng)中，與不相等的是（）A. B. C. D.6.已知直三棱柱中，，，點(diǎn)到直線的距離為，則三棱柱的外接球表面積為（）A B. C. D.7.蒙日是法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，為橢圓上任意兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線上.若恒為銳角，根據(jù)蒙日?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)得橢圓的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，的定義域?yàn)?，是的?dǎo)數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則（）A.80 B.75 C.70 D.65二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C.將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到的圖象D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增10.已知函數(shù)，定義域?yàn)?，則下列結(jié)論正確的是（）A.若且，則B.已知且，則“”是“”的充分條件C.方程有4個(gè)不同實(shí)數(shù)解D.若，則11.雙紐線是卡西尼卵形線的一類分支，在數(shù)學(xué)曲線領(lǐng)域占有至關(guān)重要的地位，同時(shí)也具有特殊的有價(jià)值的藝術(shù)美.雙紐線的圖形輪廓像“”，是許多藝術(shù)家設(shè)計(jì)作品的主要幾何元素.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，滿足的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱圖形B.曲線上滿足的點(diǎn)有2個(gè)C.D.曲線上存在四個(gè)不同的點(diǎn)，使曲線在該點(diǎn)處切線的斜率為0三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且其前項(xiàng)和為.若，則_____.13.若直線為曲線的一條切線，則的最大值為__________.14.克羅狄·托勒密是希臘數(shù)學(xué)家，他博學(xué)多才，既是天文學(xué)權(quán)威，也是地理學(xué)大師，托勒密定理是平面幾何中非常著名的定理，它揭示了圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)的內(nèi)在聯(lián)系，該定理的內(nèi)容為:圓的內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線長(zhǎng)的乘積等于兩組對(duì)邊長(zhǎng)的乘積之和.已知四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，且，若，則（1）圓的半徑是______________，（2）四邊形面積的取值范圍是_________.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在直三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，為中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，.（1）當(dāng)時(shí)，求證：平面；（2）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.16.已知雙曲線：（，）的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在雙曲線上，當(dāng)時(shí)，.（1）求的離心率；（2）已知，，兩點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、四象限.若，求的面積.17.2023年6月7日，21世紀(jì)汽車博覽會(huì)在上海舉行，已知某汽車模型公司共有25個(gè)汽車模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：紅色外觀藍(lán)色外觀棕色內(nèi)飾128米色內(nèi)飾23（1）若小明從這些模型中隨機(jī)拿一個(gè)模型，記事件為小明取到紅色外觀的模型，事件為小明取到棕色內(nèi)飾的模型，求和，并判斷事件和事件是否獨(dú)立；（2）該公司舉行了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)定在一次抽獎(jiǎng)中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個(gè)汽車模型，給出以下假設(shè)：假設(shè)1：拿到的兩個(gè)模型會(huì)出現(xiàn)三種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色、以及僅外觀或僅內(nèi)飾同色；假設(shè)2：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎(jiǎng)項(xiàng)越高；假設(shè)3：該抽獎(jiǎng)活動(dòng)的獎(jiǎng)金額為：一等獎(jiǎng)600元，二等獎(jiǎng)300元、三等獎(jiǎng)150元；請(qǐng)你分析獎(jiǎng)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的結(jié)果，設(shè)為獎(jiǎng)金額，寫出的分布列并求出的數(shù)學(xué)期望．18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）對(duì)任意的時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）記，若，且，求證：.（參考公式：）19.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)每一個(gè)，有且僅有一