醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)講義：正態(tài)分布

1正態(tài)分布

(Normaldistribution)醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)2正態(tài)分布正態(tài)分布的背景正態(tài)分布的概率密度函數(shù)正態(tài)分布的特征正態(tài)分布的應(yīng)用總結(jié)3

正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高斯加以推廣，所以通常稱為高斯分布(Gaussiandistribution).德莫佛

法國數(shù)學(xué)家德莫佛(deMoivre,1667-1754)，最早發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)分布概率的一個(gè)近似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的首次露面(1733年).正態(tài)分布的背景4正態(tài)分布的背景德國數(shù)學(xué)家Gauss(1777-1855)5正態(tài)分布的背景德國數(shù)學(xué)家Gauss(1777-1855)6正態(tài)分布的背景最早用于物理學(xué)、天文學(xué)1889年是高爾頓(FrancisGalton,1822-1911)首先把該曲線稱作正態(tài)曲線。7正態(tài)分布的背景－一個(gè)街頭賭博游戲8為什么如此擺放獎(jiǎng)品？平時(shí)，我們很少有人會(huì)去關(guān)心小球下落位置的規(guī)律性，人們可能不相信它是有規(guī)律的。

高爾頓釘板試驗(yàn)正態(tài)分布的背景－一個(gè)街頭賭博游戲9Ox-8-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

12345678這條曲線就是我們將要介紹的正態(tài)分布曲線。正態(tài)分布的背景－高爾頓釘板試驗(yàn)10正態(tài)分布正態(tài)分布的背景正態(tài)分布的概率密度函數(shù)正態(tài)分布的特征總結(jié)11身高的分布12正態(tài)分布的概率密度函數(shù)

如果隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)(probabilitydensityfunction)

則稱X服從正態(tài)分布，記作X～N(

,

2)，

為分布的均數(shù)，

為分布的標(biāo)準(zhǔn)差。

(e表示常數(shù)2.71828

，-∞＜X

＜+∞)

13正態(tài)分布的概率密度函數(shù)14方差相等、均數(shù)不等的正態(tài)分布圖示

3

1

215均數(shù)相等、方差不等的正態(tài)分布圖示

2

1

316正態(tài)分布正態(tài)分布的背景正態(tài)分布的概率密度函數(shù)正態(tài)分布的特征總結(jié)17不同均數(shù)、方差正態(tài)分布圖示18正態(tài)分布的特征正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)(parameter)，即位置參數(shù)(均數(shù))和變異度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差)。高峰在均數(shù)處；均數(shù)兩側(cè)完全對稱。正態(tài)曲線下的面積分布有一定的規(guī)律。-x1

x119正態(tài)曲線下的面積規(guī)律X軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1。對稱區(qū)域面積相等。S(-,-X)S(X,

)＝S(-,-X)

-x

x20正態(tài)曲線下的面積規(guī)律對稱區(qū)域面積相等。S(-x1,-x2)-x1

-x2

x2

x1S(x2,x1)=S(-x1,-x2)

21正態(tài)曲線下的面積規(guī)律

130140150160170180190

:160cm:10cm身高(cm)-3-2-++2+3

身高(cm)-3-2-10123標(biāo)準(zhǔn)差22正態(tài)曲線下的面積規(guī)律

-4-3-2-101234-3-2-++2+3

S(-,

-3

)=0.0013S(-,

-2

)=0.0228S(-,

-1

)=0.1587S(-,

)=0.5S(-,

+3

)=0.9987S(-,

+2

)=0.9772S(-,

+1

)=0.6587S(-,)=1正態(tài)分布(a)23正態(tài)曲線下的面積規(guī)律

-4-3-2-101234-3-2-++2+3

S(-,

-3

)=0.0013S(-,

-2

)=0.0228S(-,

-1

)=0.1587S(-,

)=0.5S(-,

+3

)=0.9987S(-,

+2

)=0.9772S(-,

+1

)=0.6587S(-,)=1正態(tài)分布(b)24正態(tài)曲線下的面積規(guī)律-3-2-++2+3

S(-,

-3

)=0.0013S(-,

-2

)=0.0228S(-,

-1

)=0.1587S(-,

-0

)=0.5

-4-3-2-101234正態(tài)分布(a)25正態(tài)曲線下的面積規(guī)律-3-++3

-2+2

S(-,

-3

)=0.0013S(-,

-2

)=0.0228S(-,

-1

)=0.1587S(-,

-0

)=0.5正態(tài)分布(b)26正態(tài)曲線下的面積規(guī)律

-1.96

+1.96

2.5%2.5%95%27正態(tài)曲線下的面積規(guī)律

-1.64

+1.64

5%5%90%28

正態(tài)曲線下的面積規(guī)律

-2.58

+2.58

0.5%0.5%99%29正態(tài)曲線下的面積規(guī)律正態(tài)曲線下面積總和為1；正態(tài)曲線關(guān)于均數(shù)對稱；對稱的區(qū)域內(nèi)面積相等；對任意正態(tài)曲線，按標(biāo)準(zhǔn)差為單位，對應(yīng)的面積相等；

-1.64

～+1.64

內(nèi)面積為90%；

-1.96

～+1.96

內(nèi)面積為95%；

-2.58

～+2.58

內(nèi)面積為99%。30正態(tài)分布正態(tài)分布的背景正態(tài)分布的概率密度函數(shù)正態(tài)分布的特征總結(jié)31總結(jié)正態(tài)分布是描述個(gè)體變異的重要分布之一，也是統(tǒng)計(jì)學(xué)理論中的重要分布之一；正態(tài)分布是一簇分布，由兩個(gè)參數(shù)決定：均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差；正態(tài)分布曲線下的面積是有規(guī)律的，按標(biāo)準(zhǔn)差為單位，對應(yīng)的面積相等。32標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(standardnormaldistribution)是均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布。記為N(0,1)。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是一條曲線。概率密度函數(shù)：

(-∞＜u

＜+∞)

33正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布若

X～N(

,

2)，作變換：則u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。u稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差(standardnormaldeviate)34

實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)u變換后，就可把求解任意一個(gè)正態(tài)分布曲線下面積的問題，轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下相應(yīng)的面積問題。正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布35正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布36標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下面積

(u)

u 0.00 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08-3.0 0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010-2.5 0.0062 0.0059 0.0055 0.0052 0.0049-2.0 0.0228 0.0217 0.0207 0.0197 0.0188-1.9 0.0287 0.0274 0.0262 0.0250 0.0239-1.6 0.0548 0.0526 0.0505 0.0485 0.0465-1.0 0.1587 0.1539 0.1492 0.1446 0.1401-0.5 0.3085 0.3015 0.2946 0.2877 0.28100 0.5000 0.4920 0.4840 0.4761 0.46810u37正態(tài)分布正態(tài)分布的背景正態(tài)分布的概率密度函數(shù)正態(tài)分布的特征正態(tài)分布的應(yīng)用38正態(tài)分布的應(yīng)用估計(jì)頻數(shù)分布質(zhì)量控制確定臨床參考值范圍39☆正態(tài)變量x轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量u，（公式

）再用u值查表，得所求區(qū)間面積占總面積的比例。估計(jì)頻數(shù)分布40某項(xiàng)目研究嬰兒的出生體重服從正態(tài)分布，其均數(shù)為3150g，標(biāo)準(zhǔn)差為350g。若以2500g作為低體重兒，試估計(jì)低體重兒的比例。首先計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)離差：查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表:

(-1.86)=0.0314結(jié)果：估計(jì)低體重兒的比例為3.14%.估計(jì)頻數(shù)分布41例已知某市120名歲男童身高均數(shù)為=142.67cm，標(biāo)準(zhǔn)差為s=6.00cm。設(shè)該資料服從正態(tài)分布，試求：①該地12歲男童身高在132cm以下者占該地12歲男童總數(shù)的比例，②分別求±1s、±1.96s和±2.58s范圍內(nèi)12歲男童占該組兒童總數(shù)的實(shí)際百分?jǐn)?shù)，并與理論百分?jǐn)?shù)比較。估計(jì)頻數(shù)分布42首先計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)離差：查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表:

(-1.78)=0.0375(3.75％)

結(jié)果：該地12歲男童身高在132cm以下者，估計(jì)約占3.75％。估計(jì)頻數(shù)分布43估計(jì)頻數(shù)分布44質(zhì)量控制質(zhì)量控制的意義監(jiān)控日常工作、科研過程、生產(chǎn)過程中誤差的變化，分析變化的趨勢是否出現(xiàn)異常，從而引起警覺和注意，以便分析原因，并及時(shí)采取措施。45質(zhì)量控制圖(qualitycontrolchart)UCL(上控制限)UWL(上警戒限)CL(中心線)LWL(下警戒限)LCL(下控制限)樣本編號(hào)、取樣時(shí)間M+3SDM+2SDMM-2SDM-3SD46質(zhì)量控制圖(qualitycontrolchart)UCL(上控制限)UWL(上警戒限)CL(中心線)LWL(下警戒限)LCL(下控制限)樣本編號(hào)、取樣時(shí)間M+2.58SDM+1.96SDMM-1.96SDM-2.58SD47質(zhì)量控制圖(qualitycontrolchart) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15取樣時(shí)間M+3SDM+2SDMM-2SDM-3SD

48彩電色彩的質(zhì)量分布SONY牌彩電有兩個(gè)產(chǎn)地：日本與美國。兩地的工廠是按同一設(shè)計(jì)方案和相同的生產(chǎn)線生產(chǎn)同一牌號(hào)SONY電視機(jī)，連使用說明書和檢驗(yàn)合格的標(biāo)準(zhǔn)都是相同的。譬如彩電的彩色濃度的目標(biāo)值為Y，允許的波動(dòng)為5，當(dāng)Y在[Y-5，Y+5]范圍內(nèi)該彩電的彩色濃度為合格，否則判為不合格。兩地產(chǎn)的SONY牌彩電在美國市場上都能買到，到70年代后期，美國消費(fèi)者購買日本產(chǎn)的SONY彩電的熱情高于購買美國產(chǎn)的SONY彩電。這是什么原因呢？49彩電色彩的質(zhì)量分布50參考值范圍(referenceinterval)參考值范圍又稱正常值范圍(normalrange)。什么是參考值范圍：是絕大多數(shù)正常人的某觀察指標(biāo)所在的范圍。絕大多數(shù)：90%，95%，99%等等。確定參考值范圍的意義：用于判斷正常與異常?！罢Ｈ恕钡亩x：排除了影響所研究的指標(biāo)的疾病和有關(guān)因素的同質(zhì)的人群。51參考值范圍確定的原則選定同質(zhì)的正常人作為研究對象控制檢測誤差判斷是否分組(性別,年齡組)單、雙側(cè)問題選擇百分界值(90%,95%)確定可疑范圍52單側(cè)與雙側(cè)參考值范圍根據(jù)醫(yī)學(xué)專業(yè)知識(shí)確定！雙側(cè)：白細(xì)胞計(jì)數(shù)，血清總膽固醇，單側(cè)：上限:轉(zhuǎn)氨酶，尿鉛，發(fā)汞……

下限:肺活量，IQ，

單側(cè)下限---過低異常單側(cè)上限---過高異常雙側(cè)---過高、過低均異常

單側(cè)下限異常正常單側(cè)上限異常正常異常正常雙側(cè)下限雙側(cè)上限異常53正常人病人假陽性率假陰性率正常人與病人的數(shù)據(jù)分布重疊示意圖(單側(cè))

54正常人病人假陽性率假陰性率正常人與病人的數(shù)據(jù)分布重疊示意圖(單側(cè))

55正常人病人假陽性率假陰性率病人正常人與病人的數(shù)據(jù)分布重疊示意圖(雙側(cè))56參考值范圍的估計(jì)方法方法 雙側(cè) 單側(cè)下限 單側(cè)上限正態(tài)分布法百分位數(shù)法P2.5～P97.5

>P5

<P95

57正常值范圍的界值

正態(tài)分布法

百分位數(shù)法％雙側(cè)單側(cè)

雙側(cè)單側(cè)下限上限下限上限909599

P5～P95P2.5～P97.5P0.5～P99.5P10P90P5P95P1P99參考值范圍的估計(jì)方法58百分比（%）單側(cè)雙側(cè)800.84241.2816901.28161.6449951.64491.9600992.32632.5758標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的u界值表參考值范圍的估計(jì)方法59例題例某地抽查了樣本含量較大的部分成年男女的紅細(xì)胞數(shù)，數(shù)據(jù)見表，試制定臨床參考值范圍。60

表某地正常成年男、女紅細(xì)胞數(shù)（×1012/L）

性別S

男50.25女