2025年高考數學一輪復習講義專題08奇偶性、對稱性與周期性(原卷版+解析)

專題08奇偶性、對稱性與周期性（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 12【考點1】函數的奇偶性 12【考點2】函數的周期性及應用 16【考點3】函數的對稱性 22【考點4】函數性質的綜合應用 28【分層檢測】 33【基礎篇】 33【能力篇】 40【培優(yōu)篇】 42考試要求：1.理解函數奇偶性的含義.2.了解函數的最小正周期的含義.3.會利用函數的奇偶性、單調性、對稱性、周期性解決函數性質的綜合問題.知識梳理知識梳理1.函數的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數關于y軸對稱奇函數一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數關于原點對稱2.函數的周期性(1)周期函數：對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期.1.函數周期性的常用結論對f(x)定義域內任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).2.對稱性的四個常用結論(1)若函數y＝f(x＋a)是偶函數，則函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.(2)若函數y＝f(x＋b)是奇函數，則函數y＝f(x)的圖象關于點(b，0)中心對稱.(3)若函數y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱；特別地，當a＝b時，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)時，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.(4)若函數y＝f(x)滿足f(x)＋f(2a－x)＝2b，則y＝f(x)的圖象關于點(a，b)對稱.特別地，當b＝0時，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0時，則y＝f(x)的圖象關于點(a，0)對稱.真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）已知是偶函數，則（

）A． B． C．1 D．22．（2023·全國·高考真題）若為偶函數，則（

）．A． B．0 C． D．13．（2022·全國·高考真題）已知函數的定義域為R，且，則（

）A． B． C．0 D．14．（2022·全國·高考真題）已知函數的定義域均為R，且．若的圖像關于直線對稱，，則（

）A． B． C． D．5．（2021·全國·高考真題）已知函數的定義域為，為偶函數，為奇函數，則（

）A． B． C． D．6．（2021·全國·高考真題）設函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，當時，．若，則（

）A． B． C． D．二、多選題7．（2023·全國·高考真題）已知函數的定義域為，，則（

）．A． B．C．是偶函數 D．為的極小值點8．（2022·全國·高考真題）已知函數及其導函數的定義域均為，記，若，均為偶函數，則（

）A． B． C． D．三、填空題9．（2023·全國·高考真題）若為偶函數，則．10．（2021·全國·高考真題）寫出一個同時具有下列性質①②③的函數．①；②當時，；③是奇函數．11．（2021·全國·高考真題）已知函數是偶函數，則.考點突破考點突破【考點1】函數的奇偶性一、單選題1．（2024·重慶·三模）設函數，則下列函數中為奇函數的是（

）A． B．C． D．2．（2024·廣東佛山·一模）已知為奇函數，則在處的切線方程為（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2024·全國·模擬預測）已知函數及其導函數的定義域均為，記，若均為奇函數，則下列說法中正確的是（

）A． B．C． D．4．（2024·湖南邵陽·模擬預測）已知函數的定義域為，為奇函數，為偶函數，且對任意的，，都有，則（

）A．是奇函數 B．C．的圖象關于對稱 D．三、填空題5．（2024·河南三門峽·模擬預測）已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則的值為.6．（2024·廣東佛山·二模）已知定義在上的偶函數在上單調遞減，且，則滿足的實數x的取值范圍為.反思提升：1.判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件：(1)定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數)或f(x)－f(－x)＝0(偶函數))是否成立.2.利用函數的奇偶性可求函數值或求參數的取值，求解的關鍵在于借助奇偶性轉化為求已知區(qū)間上的函數或得到參數的恒等式，利用方程思想求參數的值.3.畫函數圖象：利用函數的奇偶性可畫出函數在其對稱區(qū)間上的圖象，結合幾何直觀求解相關問題.【考點2】函數的周期性及應用一、單選題1．（2024·陜西渭南·模擬預測）已知定義在R上的函數滿足，為奇函數，則（

）A． B．0 C．1 D．22．（21-22高三上·四川攀枝花·階段練習）定義在R上的函數滿足，且，則下列說法正確的是（

）A．的值域為B．圖象的對稱軸為直線C．當時，D．方程恰有5個實數解二、多選題3．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）已知函數，及其導函數，的定義域均為，若的圖象關于直線對稱，，，且，則（

）A．為偶函數 B．的圖象關于點對稱C． D．4．（2024·廣西·二模）已知定義在上的函數滿足.若的圖象關于點對稱，且，則（

）A．的圖象關于點對稱B．函數的圖象關于直線對稱C．函數的周期為2D．三、填空題5．（2024·山東棗莊·一模）已知為偶函數，且，則．6．（2024·寧夏銀川·一模）若定義在上的函數滿足是奇函數，，，則．反思提升：1.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常數，且a≠0)，則2a為函數f(x)的一個周期.2.利用函數的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點個數、求解析式等問題，轉化到已知區(qū)間上，進而解決問題.【考點3】函數的對稱性一、單選題1．（2024·內蒙古呼倫貝爾·二模）已知定義在R上的函數滿足．若的圖象關于點對稱，且，則（

）A．0 B．50 C．2509 D．24992．（22-23高三上·遼寧營口·期末）設函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，當時，．若，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2020·山東淄博·一模）已知函數是R上的奇函數，對于任意，都有成立，當時，，給出下列結論，其中正確的是（

）A．B．點是函數的圖象的一個對稱中心C．函數在上單調遞增D．函數在上有3個零點4．（2024·全國·模擬預測）已知函數下列結論中正確的是（

）A．若，則是的極值點B．，使得C．若是的極小值點，則在區(qū)間上單調遞減D．函數的圖象是中心對稱圖形三、填空題5．（23-24高三下·河南濮陽·開學考試）已知函數的定義域為，且的圖象關于點中心對稱，若，則.6．（2024·寧夏固原·一模）已知定義在R上的函數滿足對任意實數都有，成立，若，則．反思提升：對稱性的三個常用結論(1)若函數f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱.(2)若函數f(x)滿足f(a＋x)＝－f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))對稱.(3)若函數f(x)滿足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則函數f(x)的圖象關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))對稱.【考點4】函數性質的綜合應用一、單選題1．（2024·遼寧撫順·一模）函數滿足：當時，，是奇函數．記關于的方程的根為，若，則的值可以為（

）A． B． C． D．12．（2024·安徽合肥·一模）已知函數的定義域為，且，記，則（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2024·河南開封·三模）已知函數的定義域為，且，，則（

）A． B．C．是周期函數 D．的解析式可能為4．（2024·全國·模擬預測）已知，，則（

）A． B．恒成立C． D．滿足條件的不止一個三、填空題5．（2024·陜西西安·二模）已知函數滿足，.則.6．（2023·全國·模擬預測）已知定義在上的函數滿足，且當時，，則方程的所有解的和為.反思提升：1.比較函數值的大小問題，可以利用奇偶性，把不在同一單調區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數值轉化到同一單調區(qū)間上，再利用函數的單調性比較大小；2.對于抽象函數不等式的求解，應變形為f(x1)>f(x2)的形式，再結合單調性，脫去“f”變成常規(guī)不等式，轉化為x1<x2(或x1>x2)求解.3.周期性與奇偶性結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行轉換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解.4.函數f(x)滿足的關系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函數圖象的對稱性，函數f(x)滿足的關系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函數的周期性，在使用這兩個關系時不要混淆.分層檢測分層檢測【基礎篇】一、單選題1．（2023·福建福州·模擬預測）函數的圖象大致為（

）A． B．C． D．2．（2023高三上·江蘇徐州·學業(yè)考試）已知函數為偶函數，且在上單調遞增，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．3．（2024·廣東茂名·一模）函數和均為上的奇函數，若，則（

）A． B． C．0 D．24．（2024·全國·模擬預測）函數，則（

）A．2024 B． C．e D．二、多選題5．（2021·江蘇連云港·模擬預測）函數的定義域為，且與都為奇函數，則（

）A．為奇函數 B．為周期函數C．為奇函數 D．為偶函數6．（23-24高一上·云南昆明·期中）函數，則下列結論正確的是（

）A． B．的值域為C．是偶函數 D．，7．（2024·全國·模擬預測）已知，，則（

）A．將的圖象向左平移個單位長度可以得到的圖象B．將的圖象向右平移個單位長度可以得到的圖象C．的圖象與的圖象關于直線對稱D．的圖象與的圖象關于直線對稱三、填空題8．（23-24高一下·內蒙古·期中）已知，函數是奇函數，則，．9．（2024·陜西西安·二模）已知定義域為的函數滿足，且當時，，則.10．（2024·四川成都·模擬預測）函數，若，則.四、解答題11．（2023·陜西西安·模擬預測）已知奇函數在處取得極大值2.(1)求的解析式；(2)求在上的最值.12．（2020·廣東中山·模擬預測）已知函數的定義域為，當時，，且對任意滿足．（1）求的值；（2）判斷的單調性，并加以說明；（3）當時，試比較與的大?。灸芰ζ恳?、單選題1．（2024·山東濟南·二模）已知函數的定義域為R，若，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、多選題2．（2024·全國·模擬預測）已知函數的定義域為，且的圖象關于點對稱，，則下列結論正確的是（

）A．是偶函數B．的圖象關于直線對稱C．的最小正周期為4D．若，則三、填空題3．（2024·全國·模擬預測）寫出一個同時滿足下列三個條件的函數的解析式．①；②；③的導數為且．四、解答題4．（2024·上海徐匯·二模）已知函數，其中.(1)求證：是奇函數；(2)若關于的方程在區(qū)間上有解，求實數的取值范圍.【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2024·河南·模擬預測）已知函數的定義域為R，對于任意實數x，y滿足，且，則下列結論錯誤的是（

）A． B．為偶函數C．是周期函數 D．二、多選題2．（2024·河南信陽·模擬預測）已知函數和其導函數的定義域都是，若與均為偶函數，則（

）A．B．關于點對稱C．D．三、填空題3．（2024·山西呂梁·二模）已知函數的圖象關于點中心對稱，也關于點中心對稱，則的中位數為.專題08奇偶性、對稱性與周期性（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 12【考點1】函數的奇偶性 12【考點2】函數的周期性及應用 16【考點3】函數的對稱性 22【考點4】函數性質的綜合應用 28【分層檢測】 33【基礎篇】 33【能力篇】 40【培優(yōu)篇】 42考試要求：1.理解函數奇偶性的含義.2.了解函數的最小正周期的含義.3.會利用函數的奇偶性、單調性、對稱性、周期性解決函數性質的綜合問題.知識梳理知識梳理1.函數的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數關于y軸對稱奇函數一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數關于原點對稱2.函數的周期性(1)周期函數：對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期.1.函數周期性的常用結論對f(x)定義域內任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).2.對稱性的四個常用結論(1)若函數y＝f(x＋a)是偶函數，則函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.(2)若函數y＝f(x＋b)是奇函數，則函數y＝f(x)的圖象關于點(b，0)中心對稱.(3)若函數y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱；特別地，當a＝b時，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)時，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.(4)若函數y＝f(x)滿足f(x)＋f(2a－x)＝2b，則y＝f(x)的圖象關于點(a，b)對稱.特別地，當b＝0時，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0時，則y＝f(x)的圖象關于點(a，0)對稱.真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）已知是偶函數，則（

）A． B． C．1 D．22．（2023·全國·高考真題）若為偶函數，則（

）．A． B．0 C． D．13．（2022·全國·高考真題）已知函數的定義域為R，且，則（

）A． B． C．0 D．14．（2022·全國·高考真題）已知函數的定義域均為R，且．若的圖像關于直線對稱，，則（

）A． B． C． D．5．（2021·全國·高考真題）已知函數的定義域為，為偶函數，為奇函數，則（

）A． B． C． D．6．（2021·全國·高考真題）設函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，當時，．若，則（

）A． B． C． D．二、多選題7．（2023·全國·高考真題）已知函數的定義域為，，則（

）．A． B．C．是偶函數 D．為的極小值點8．（2022·全國·高考真題）已知函數及其導函數的定義域均為，記，若，均為偶函數，則（

）A． B． C． D．三、填空題9．（2023·全國·高考真題）若為偶函數，則．10．（2021·全國·高考真題）寫出一個同時具有下列性質①②③的函數．①；②當時，；③是奇函數．11．（2021·全國·高考真題）已知函數是偶函數，則.參考答案：1．D【分析】根據偶函數的定義運算求解.【詳解】因為為偶函數，則，又因為不恒為0，可得，即，則，即，解得.故選：D.2．B【分析】根據偶函數性質，利用特殊值法求出值，再檢驗即可.【詳解】因為為偶函數，則，解得，當時，，，解得或，則其定義域為或，關于原點對稱.，故此時為偶函數.故選：B.3．A【分析】法一：根據題意賦值即可知函數的一個周期為，求出函數一個周期中的的值，即可解出．【詳解】[方法一]：賦值加性質因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數為偶函數，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數的一個周期為．因為，，，，，所以一個周期內的．由于22除以6余4，所以．故選：A．[方法二]：【最優(yōu)解】構造特殊函數由，聯(lián)想到余弦函數和差化積公式，可設，則由方法一中知，解得，取，所以，則，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故選：A．【整體點評】法一：利用賦值法求出函數的周期，即可解出，是該題的通性通法；法二：作為選擇題，利用熟悉的函數使抽象問題具體化，簡化推理過程，直接使用具體函數的性質解題，簡單明了，是該題的最優(yōu)解.4．D【分析】根據對稱性和已知條件得到，從而得到，，然后根據條件得到的值，再由題意得到從而得到的值即可求解.【詳解】因為的圖像關于直線對稱，所以，因為，所以，即，因為，所以，代入得，即，所以，.因為，所以，即，所以.因為，所以，又因為，聯(lián)立得，，所以的圖像關于點中心對稱，因為函數的定義域為R，所以因為，所以.所以.故選：D【點睛】含有對稱軸或對稱中心的問題往往條件比較隱蔽，考生需要根據已知條件進行恰當的轉化，然后得到所需的一些數值或關系式從而解題.5．B【分析】推導出函數是以為周期的周期函數，由已知條件得出，結合已知條件可得出結論.【詳解】因為函數為偶函數，則，可得，因為函數為奇函數，則，所以，，所以，，即，故函數是以為周期的周期函數，因為函數為奇函數，則，故，其它三個選項未知.故選：B.6．D【分析】通過是奇函數和是偶函數條件，可以確定出函數解析式，進而利用定義或周期性結論，即可得到答案．【詳解】[方法一]：因為是奇函數，所以①；因為是偶函數，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．思路一：從定義入手．所以．[方法二]：因為是奇函數，所以①；因為是偶函數，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．思路二：從周期性入手由兩個對稱性可知，函數的周期．所以．故選：D．【點睛】在解決函數性質類問題的時候，我們通?？梢越柚恍┒壗Y論，求出其周期性進而達到簡便計算的效果．7．ABC【分析】方法一：利用賦值法，結合函數奇偶性的判斷方法可判斷選項ABC，舉反例即可排除選項D.方法二：選項ABC的判斷與方法一同，對于D，可構造特殊函數進行判斷即可.【詳解】方法一：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數的定義域為，所以為偶函數，故正確，對于D，不妨令，顯然符合題設條件，此時無極值，故錯誤.方法二：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數的定義域為，所以為偶函數，故正確，對于D，當時，對兩邊同時除以，得到，故可以設，則，當肘，，則，令，得；令，得；故在上單調遞減，在上單調遞增，因為為偶函數，所以在上單調遞增，在上單調遞減，

顯然，此時是的極大值，故D錯誤.故選：.8．BC【分析】方法一：轉化題設條件為函數的對稱性，結合原函數與導函數圖象的關系，根據函數的性質逐項判斷即可得解.【詳解】[方法一]：對稱性和周期性的關系研究對于，因為為偶函數，所以即①，所以，所以關于對稱，則，故C正確；對于，因為為偶函數，，，所以關于對稱，由①求導，和，得，所以，所以關于對稱，因為其定義域為R，所以，結合關于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；若函數滿足題設條件，則函數（C為常數）也滿足題設條件，所以無法確定的函數值，故A錯誤.故選：BC.[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構造函數法.由方法一知周期為2，關于對稱，故可設，則，顯然A，D錯誤，選BC.故選：BC.[方法三]：因為，均為偶函數，所以即，，所以，，則，故C正確；函數，的圖象分別關于直線對稱，又，且函數可導，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯誤；若函數滿足題設條件，則函數（C為常數）也滿足題設條件，所以無法確定的函數值，故A錯誤.故選：BC.【點評】方法一：根據題意賦值變換得到函數的性質，即可判斷各選項的真假，轉化難度較高，是該題的通性通法；方法二：根據題意得出的性質構造特殊函數，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．9．2【分析】利用偶函數的性質得到，從而求得，再檢驗即可得解.【詳解】因為為偶函數，定義域為，所以，即，則，故，此時，所以，又定義域為，故為偶函數，所以.故答案為：2.10．（答案不唯一，均滿足）【分析】根據冪函數的性質可得所求的.【詳解】取，則，滿足①，，時有，滿足②，的定義域為，又，故是奇函數，滿足③.故答案為：（答案不唯一，均滿足）11．1【分析】利用偶函數的定義可求參數的值.【詳解】因為，故，因為為偶函數，故，時，整理得到，故，故答案為：1考點突破考點突破【考點1】函數的奇偶性一、單選題1．（2024·重慶·三模）設函數，則下列函數中為奇函數的是（

）A． B．C． D．2．（2024·廣東佛山·一模）已知為奇函數，則在處的切線方程為（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2024·全國·模擬預測）已知函數及其導函數的定義域均為，記，若均為奇函數，則下列說法中正確的是（

）A． B．C． D．4．（2024·湖南邵陽·模擬預測）已知函數的定義域為，為奇函數，為偶函數，且對任意的，，都有，則（

）A．是奇函數 B．C．的圖象關于對稱 D．三、填空題5．（2024·河南三門峽·模擬預測）已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則的值為.6．（2024·廣東佛山·二模）已知定義在上的偶函數在上單調遞減，且，則滿足的實數x的取值范圍為.參考答案：1．A【分析】首先推導出，即函數的對稱中心為，再根據函數的平移只需將函數向右平移個單位，向上平移個單位，得到函數，則該函數關于對稱，即可判斷.【詳解】因為定義域為，則，所以函數的對稱中心為，所以將函數向右平移個單位，向上平移個單位，得到函數，該函數的對稱中心為，故函數為奇函數.故選：A.2．A【分析】根據奇函數定義求出函數表達式，再結合導數和切線相關知識求解切線方程即可.【詳解】因為，所以，因為為奇函數，所以對恒成立，所以，代入函數表達式得，所以，則，所以在處的切線方程為，即.故選：A3．BC【分析】利用是定義域為的奇函數，進而可得，求導可得，結合為奇函數，計算可判斷B；進可可得函數的周期為4，計算可判斷C；的圖象關于點成中心對稱，取可判斷AD.【詳解】因為是定義域為的奇函數，所以，即，所以，即，所以．又因為為奇函數，所以，當時，，即，所以選項B正確．又因為，所以，即函數的周期為4，所以．因為，所以，所以選項C正確．由為奇函數可知，即的圖象關于點成中心對稱，不妨取，則滿足周期為4，關于成中心對稱的條件，因為，可知選項A，D錯誤．故選：BC．【點睛】方法點睛：抽象函數的考查，注意合理運用題中的條件，如本題中，由函數為奇函數，可得函數的對稱中心，判斷結論不成立，可舉反例，是一種有效的方法.4．BC【分析】根據函數的奇偶性和題設條件，推得是周期為4的周期函數，結合周期函數的性質求值，利用單調性比較大小，逐項判定即可求解.【詳解】因為為奇函數，所以,即函數關于對稱，C正確;由函數關于對稱可知,又因為為偶函數，所以，即函數關于對稱，則,所以,即,所以,所以是周期為4的周期函數，所以,又,所以,所以,所以,B正確;是偶函數，A錯誤;對任意的,且,都有,不妨設,則,由單調性的定義可得函數在上單調遞增，又由函數關于對稱，所以在上單調遞增又,,所以,得，D錯誤.故選：BC【點睛】關鍵點點睛：本題考查抽象函數，解題關鍵是合理利用抽象函數的單調性，奇偶性周期性分析題意，然后逐個選項分析即可．5．4【分析】由奇函數性質可求得的值，結合計算即可.【詳解】由題得，解得，所以當時，，所以.故答案為：4.6．【分析】結合偶函數的性質可得，再結合單調性計算即可得.【詳解】由為偶函數且在上單調遞減，故在上單調遞增，又，故當，可得，又，故等價于，故x的取值范圍為.故答案為：.反思提升：1.判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件：(1)定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數)或f(x)－f(－x)＝0(偶函數))是否成立.2.利用函數的奇偶性可求函數值或求參數的取值，求解的關鍵在于借助奇偶性轉化為求已知區(qū)間上的函數或得到參數的恒等式，利用方程思想求參數的值.3.畫函數圖象：利用函數的奇偶性可畫出函數在其對稱區(qū)間上的圖象，結合幾何直觀求解相關問題.【考點2】函數的周期性及應用一、單選題1．（2024·陜西渭南·模擬預測）已知定義在R上的函數滿足，為奇函數，則（

）A． B．0 C．1 D．22．（21-22高三上·四川攀枝花·階段練習）定義在R上的函數滿足，且，則下列說法正確的是（

）A．的值域為B．圖象的對稱軸為直線C．當時，D．方程恰有5個實數解二、多選題3．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）已知函數，及其導函數，的定義域均為，若的圖象關于直線對稱，，，且，則（

）A．為偶函數 B．的圖象關于點對稱C． D．4．（2024·廣西·二模）已知定義在上的函數滿足.若的圖象關于點對稱，且，則（

）A．的圖象關于點對稱B．函數的圖象關于直線對稱C．函數的周期為2D．三、填空題5．（2024·山東棗莊·一模）已知為偶函數，且，則．6．（2024·寧夏銀川·一模）若定義在上的函數滿足是奇函數，，，則．參考答案：1．C【分析】先根據得出函數的周期；再根據為奇函數得出，利用賦值法求出；最后利用的周期即可求解.【詳解】因為，所以，所以的周期為6.又因為為奇函數，所以，即，即，令，則，即所以，故選：C.2．C【分析】由給定條件可得的周期為4，并探討函數的奇偶性，舉例說明判斷A；由是對稱軸判斷B；求出時的解析式判斷C；畫出函數的部分圖象判斷D作答.【詳解】因，則的值域為不正確，A不正確；R上的函數滿足，即，又，則函數是最小正周期為4的周期函數，，當時，，有，當時，，且，，于是有，，即函數在上是偶函數，又周期為4，則是R上的偶函數，由知，直線是函數的圖象對稱軸，不滿足，B不正確；當時，，則，C正確；，在同一坐標系作出函數的部分圖象與直線，如圖，觀察圖象知，直線與函數的圖象有4個公共點，即方程有4個實根，D不正確.故選：C【點睛】方法點睛：圖象法判斷函數零點個數，作出函數f(x)的圖象，觀察與x軸公共點個數或者將函數變形為易于作圖的兩個函數，作出這兩個函數的圖象，觀察它們的公共點個數.3．BC【分析】首先根據抽象函數的對稱性，判斷函數的對稱性，以及周期，并結合條件轉化，判斷函數的對稱性，利用抽象函數的導數公式，以及周期性，求，最后利用函數與的關系求和.【詳解】由的圖象關于直線對稱，可得的圖象關于直線對稱，即的圖象關于直線對稱，則由，可得，又，所以，所以的圖象關于點對稱，即為奇函數，所以，即，即函數的周期為4，由，可得，因為的周期為4，所以，則，即，所以的圖象關于點對稱，故B正確；因為的圖象關于直線對稱，則，所以，所以，因為的周期為4，所以的周期也為4.由，可得，所以，故C正確；由，可得，所以，即，故D錯誤.故選：BC【點睛】關鍵點點睛：本題考查抽象函數的性質，以及導數運算問題，本題的關鍵是以條件等式為橋梁，發(fā)現函數與的性質關系，以及解析式的關系.4．ABD【分析】對A，根據函數圖象的變換性質判斷即可；對B，由題意計算即可判斷；對C，由A可得，由B可得，進而可判斷C；對D，由結合與的對稱性可得，進而，結合C中的周期為4求得，進而可得.【詳解】對A，因為的圖象關于點對稱，則的圖象關于點對稱，故的圖象關于點對稱，故A正確；對B，，，又，故.即，故的圖象關于直線對稱，故B正確；對C，由A，，且，又因為，故，即，故，即.由B，，故，故的周期為4，故C錯誤；對D，由，的圖象關于點對稱，且定義域為R，則，，又，代入可得，則，又，故，，，，又的周期為4，.則.即，則，故D正確.故選：ABD【點睛】關鍵點點睛：判斷D選項的關鍵是得出，結合周期性以及的定義即可順利得解.5．【分析】由條件結合偶函數定義可得，由結合周期函數定義證明為周期函數，利用周期性及賦值法求結論.【詳解】因為為偶函數，所以，又，所以，因為，所以，所以，所以函數為周期函數，周期為，所以，由，可得，由，可得，所以，所以，故答案為：.6．【分析】由是奇函數，可得，由可得，進而得到，從而得出函數的周期為，根據條件賦值可求得，從而得解.【詳解】因為是奇函數，所以，用替換上式中的，可得，在中，用替換，可得，所以，用替換該式中的，可得，所以，所以函數的周期為，在中，令，得，在中，令，得，在中，令，得，所以，所以.故答案為：.【點睛】結論點睛：解決抽象函數的求值、性質判斷等問題，常見結論：（1）關于對稱：若函數關于直線軸對稱，則，若函數關于點中心對稱，則，反之也成立；（2）關于周期：若，或，或，可知函數的周期為.反思提升：1.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常數，且a≠0)，則2a為函數f(x)的一個周期.2.利用函數的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點個數、求解析式等問題，轉化到已知區(qū)間上，進而解決問題.【考點3】函數的對稱性一、單選題1．（2024·內蒙古呼倫貝爾·二模）已知定義在R上的函數滿足．若的圖象關于點對稱，且，則（

）A．0 B．50 C．2509 D．24992．（22-23高三上·遼寧營口·期末）設函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，當時，．若，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2020·山東淄博·一模）已知函數是R上的奇函數，對于任意，都有成立，當時，，給出下列結論，其中正確的是（

）A．B．點是函數的圖象的一個對稱中心C．函數在上單調遞增D．函數在上有3個零點4．（2024·全國·模擬預測）已知函數下列結論中正確的是（

）A．若，則是的極值點B．，使得C．若是的極小值點，則在區(qū)間上單調遞減D．函數的圖象是中心對稱圖形三、填空題5．（23-24高三下·河南濮陽·開學考試）已知函數的定義域為，且的圖象關于點中心對稱，若，則.6．（2024·寧夏固原·一模）已知定義在R上的函數滿足對任意實數都有，成立，若，則．參考答案：1．D【分析】由圖象的對稱中心得圖象的對稱中心，由，構造函數，求出圖象的對稱性和周期，由求值即可.【詳解】因為的圖象關于點對稱，所以，即，從而，則的圖象關于點對稱．由，可得．令，得，則的圖象關于直線對稱．，則的圖象關于點對稱，則有，所以，，兩式相減得，故是以4為周期的函數．因為，，，，所以．故選：D.【點睛】方法點睛：關于函數圖象對稱性的幾個結論：1、函數滿足(T為常數)的充要條件是的圖象關于直線對稱.2、函數滿足(T為常數)的充要條件是的圖象關于直線對稱.3、函數滿足的充要條件是圖象關于直線對稱.4、若滿足，則的圖象關于原點對稱.5、若滿足，則的圖象關于點對稱.6、若滿足，則的圖象關于點對稱.2．B【分析】根據為奇函數，為偶函數，可得函數的周期，且為偶函數，根據時，，求的值得此時解析式，即可求得的值.【詳解】為奇函數，，所以關于對稱，所以①，且，又為偶函數，，則關于對稱，所以②，由①②可得，即，所以，于是可得，所以的周期，則，所以為偶函數則，所以，所以所以，解得，所以當時，所以.故選：B.3．AB【分析】由，賦值，可得，故A正確；進而可得是對稱中心，故B正確；作出函數圖象，可得CD不正確.【詳解】在中，令，得，又函數是R上的奇函數，所以，，故是一個周期為4的奇函數，因是的對稱中心，所以也是函數的圖象的一個對稱中心，故A、B正確；作出函數的部分圖象如圖所示，易知函數在上不具單調性，故C不正確；函數在上有7個零點，故D不正確.故選：AB【點睛】本題考查了函數的性質，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題目.4．BD【分析】求出函數的導數，當時，有兩解，列表表示出導數值的正負以及函數的單調情況，當時，，即可判斷A，B，C；證明等式成立即可判斷D.【詳解】A：因為，所以，當時，，則在R上單調遞增，不是極值點，故A錯誤；B：由選項A的分析知，函數的值域為，所以，使得，故B正確；C：由選項A的分析知，當時，在上單調單調遞增，在上單調遞減，所以若為的極小值點時，在上先遞增再遞減，故C錯誤；D：，而，則，所以點為的對稱中心，即函數的圖象是中心對稱圖形，故D正確.故選：BD．5．【分析】先根據條件證明，然后由證明，再由此證明，最后由得到結果.【詳解】對任意，由于，且函數的定義域為，故點在曲線上，且曲線關于點中心對稱，故點也在曲線上，從而，從而對任意有.從而對任意，由知，即.根據條件又有，即.現在對任意的整數，我們有：，所以，從而有：.故有：.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是對函數方程的處理，通過其中取值的任意性，代入合適的值得到關鍵條件.6．【分析】由可得函數的對稱性，再對中的進行賦值，依次得到，，，，即可求出.【詳解】由可得函數圖象關于直線對稱，因，故，在中，令，代入可得，再令，代入可得，再令，代入可得，，故令，代入可得，故.故答案為：.反思提升：對稱性的三個常用結論(1)若函數f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱.(2)若函數f(x)滿足f(a＋x)＝－f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))對稱.(3)若函數f(x)滿足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則函數f(x)的圖象關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))對稱.【考點4】函數性質的綜合應用一、單選題1．（2024·遼寧撫順·一模）函數滿足：當時，，是奇函數．記關于的方程的根為，若，則的值可以為（

）A． B． C． D．12．（2024·安徽合肥·一模）已知函數的定義域為，且，記，則（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2024·河南開封·三模）已知函數的定義域為，且，，則（

）A． B．C．是周期函數 D．的解析式可能為4．（2024·全國·模擬預測）已知，，則（

）A． B．恒成立C． D．滿足條件的不止一個三、填空題5．（2024·陜西西安·二模）已知函數滿足，.則.6．（2023·全國·模擬預測）已知定義在上的函數滿足，且當時，，則方程的所有解的和為.參考答案：1．C【分析】首先判斷函數關于點對稱，再畫出函數和的圖象，結合函數的對稱性，判斷交點的個數，利用數形結合，即可求解.【詳解】若函數是奇函數，則，即，則函數關于點對稱，所以而也關于點對稱，恒過點，方程根，即為函數與交點的橫坐標，因為兩個函數都關于點對稱，所以交點也關于點對稱，且其中一個交點是，如圖畫出兩個函數的圖象，若，根據對稱性可知，軸左側和右側各有3個交點，如圖，當直線過點時，軸右側有2個交點，此時，當直線過點時，軸右側有3個交點，此時，所以滿足條件的的取值范圍是，選項中滿足條件的只有.故選：C【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是正確分析出函數的圖象，尤其是，并且會利用數形結合，分析臨界直線，即可求解.2．A【分析】根據函數滿足的表達式以及，利用賦值法即可計算出的大小.【詳解】由可得，令，代入可得，即，令，代入可得，即，令，代入可得，即；由可得，顯然可得.故選：A【點睛】方法點睛：研究抽象函數性質時，可根據滿足的關系式利用賦值法合理選取自變量的取值，由函數值或范圍得出函數單調性等性質，進而實現問題求解.3．ABC【分析】利用賦值法求判斷A；賦值法可得函數奇偶性即可判斷D；利用賦值法求得，化簡得，即可判斷C,由周期性和奇偶性即可求解B.【詳解】由，令，，有，可得,故A正確；令，則，則，函數是偶函數，而為奇函數，故D錯誤，，令，則，所以，則，，所以，則周期為6，C正確．由于為偶函數且周期為6，故，B正確，故選：ABC4．ABC【分析】令即可判斷A；令即可判斷B；令即可判斷C；令即可判斷D.【詳解】A：令，得．又，所以，故A正確．B：令，得，即，所以，令，得，即函數，所以，故B正確，D錯誤；C：令，得，代入，可得，則，故C正確；故選：ABC．5．.【分析】根據題意，取，求得，再令，得到，結合，利用等差數列的求和公式，即可求解.【詳解】由函數滿足，取，可得，令，可得，即則.故答案為：.6．【分析】由函數在上的解析式可知在上單調遞減，在上單調遞增，求出最值，并利用求出其他區(qū)間內函數的表達式為，又可得出時關于的方程，利用韋達定理即可求得所有解的和.【詳解】當時，，易知在上的圖象可由函數的圖象先向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度得到，且函數在上單調遞減，在上單調遞增，∴在上單調遞減，在上單調遞增，∴，又，且，∴.∵，∴當時，，，∴，，∴，，此時的最小值為，最大值為..易知，∴當時，，，∴，整理得，函數在上單調遞減，在上單調遞增，且在上的最小值為，最大值為，，，∴方程必有2個解；由韋達定理可知方程的所有解的和為.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于根據函數在上的解析式判斷出其單調性求出最值，再結合求出其他區(qū)間內函數的表達式，即可構造關于的方程，即可實現問題求解.反思提升：1.比較函數值的大小問題，可以利用奇偶性，把不在同一單調區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數值轉化到同一單調區(qū)間上，再利用函數的單調性比較大??；2.對于抽象函數不等式的求解，應變形為f(x1)>f(x2)的形式，再結合單調性，脫去“f”變成常規(guī)不等式，轉化為x1<x2(或x1>x2)求解.3.周期性與奇偶性結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行轉換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解.4.函數f(x)滿足的關系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函數圖象的對稱性，函數f(x)滿足的關系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函數的周期性，在使用這兩個關系時不要混淆.分層檢測分層檢測【基礎篇】一、單選題1．（2023·福建福州·模擬預測）函數的圖象大致為（

）A． B．C． D．2．（2023高三上·江蘇徐州·學業(yè)考試）已知函數為偶函數，且在上單調遞增，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．3．（2024·廣東茂名·一模）函數和均為上的奇函數，若，則（

）A． B． C．0 D．24．（2024·全國·模擬預測）函數，則（

）A．2024 B． C．e D．二、多選題5．（2021·江蘇連云港·模擬預測）函數的定義域為，且與都為奇函數，則（

）A．為奇函數 B．為周期函數C．為奇函數 D．為偶函數6．（23-24高一上·云南昆明·期中）函數，則下列結論正確的是（

）A． B．的值域為C．是偶函數 D．，7．（2024·全國·模擬預測）已知，，則（

）A．將的圖象向左平移個單位長度可以得到的圖象B．將的圖象向右平移個單位長度可以得到的圖象C．的圖象與的圖象關于直線對稱D．的圖象與的圖象關于直線對稱三、填空題8．（23-24高一下·內蒙古·期中）已知，函數是奇函數，則，．9．（2024·陜西西安·二模）已知定義域為的函數滿足，且當時，，則.10．（2024·四川成都·模擬預測）函數，若，則.四、解答題11．（2023·陜西西安·模擬預測）已知奇函數在處取得極大值2.(1)求的解析式；(2)求在上的最值.12．（2020·廣東中山·模擬預測）已知函數的定義域為，當時，，且對任意滿足．（1）求的值；（2）判斷的單調性，并加以說明；（3）當時，試比較與的大?。畢⒖即鸢福?．A【分析】根據函數的定義域以及奇偶性即可求得答案．【詳解】因為函數的定義域為，排除CD，又，即為偶函數，圖象關于軸對稱，排除B．故選：A．2．D【分析】根據是偶函數，且，得到，再根據在上單調遞減求解.【詳解】因為是偶函數，且，，所以，又在上單調遞減，所以，即或解得，或故選：D3．A【分析】由奇函數性質推導出的周期為4，利用周期性、奇偶性求函數值.【詳解】因為為奇函數，所以關于對稱，即，又關于原點對稱，則，有，所以的周期為4，故.故選：A4．D【分析】根據給定的函數解析式，利用對數運算可得，再代入計算即得.【詳解】函數中，，即函數定義域為R，有，于是，所以．故選：D5．ABC【分析】由題設可得，進而可得、，即可判斷A、B、D的正誤，又可判斷C的正誤.【詳解】由題意知：且，∴，即，可得，∴是周期為2的函數，且、為奇函數，故A、B正確，D錯誤；由上知：，即為奇函數，C正確.故選：ABC.6．AC【分析】根據函數解析式，結合分段函數的性質，逐項判斷即可.【詳解】，，，A正確；，則的值域為，B錯誤；時，，，，所以，時，，，，，所以為偶函數，C正確；時，取，此時，，則，D錯誤.故選：AC7．BD【分析】根據三角函數的圖像變換及對稱性可判斷各項.【詳解】因為的圖象向左平移個單位長度得到，所以A錯誤，因為的圖象向右平移個單位長度得到，故B正確；與的圖象關于直線對稱的函數為，故C錯誤；與的圖象關于直線對稱的函數為，所以D正確；故選：BD．8．【分析】由，可求，由，結合奇函數可求．【詳解】由，解得，所以，又因為函數為奇函數，所以，所以，所以，所以，所以或，所以1或，解得(舍去)．故答案為：①-1；②1．9．【分析】利用函數的奇偶性與周期性計算即可.【詳解】由已知可得，所以，所以，即是函數的一個周期，所以.故答案為：10．【分析】利用和的關系求解即可.【詳解】，，.故答案為：11．(1)(2)最大值為52，最小值為【分析】（1）利用函數奇偶性可得，再由在上取得極大值2可求得，可得解析式；（2）由（1）中解析式求導可得其在上的單調性，得出極值并比較端點處的函數值即可求出其最值.【詳解】（1）易知函數的定義域為，因為是奇函數，所以，則.由，得.因為在上取得極大值2，所以解得經經檢驗當時，在處取得極大值2，故.（2）由（1）可知，，當時，單調遞增；當和時，單調遞減；即函數在處取得極小值，在處取得極大值；又因為，所以在上的最大值為52，最小值為.12．（1）；（2）在上單調遞增，證明見解析；（3）.【分析】（1）