江蘇省常州市田家炳高級中學2024-2025學年高二上學期期中階段性調(diào)研測試數(shù)學試題

第1頁/共1頁階段性調(diào)研測試高二數(shù)學試題2024.11注意事項1．請將本試卷答案寫在答題卡相應位置上；2．考試時間為120分鐘，試卷總分為150分．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.拋物線的準線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由拋物線的標準方程可求解.【詳解】由，可知拋物線的焦點在的正半軸上，又，所以，所以拋物線的準線方程為.故選：B.2.經(jīng)過兩點的直線的傾斜角為，則（）A. B. C.1 D.3【答案】C【解析】【分析】由已知可得，求解即可.【詳解】因為經(jīng)過兩點的直線的傾斜角為，所以，解得.故選：C.3.雙曲線的實軸長為4，則其漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出雙曲線的標準方程即可求解.【詳解】雙曲線的實軸長為4，所以，解得，所以雙曲線的標準方程為，所以雙曲線的漸近線方程為，即.故選：D．4.圓和圓的位置關系是（）A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩圓圓心距與兩圓的半徑差、半徑和的大小關系即可判斷.【詳解】圓的圓心為,半徑，圓的圓心為,半徑，因為，，所以，所以兩圓的位置關系為相交.故選：C5.平行直線與之間的距離為（）A.1 B. C.32 D.3【答案】C【解析】【分析】利用兩平行線間的距離公式求解即可.【詳解】由，得，又，所以兩平行線間的距離.故選：C.6.與圓及圓都外切的圓的圓心在（）A.橢圓上 B.雙曲線的一支上C.拋物線上 D.圓上【答案】B【解析】【分析】求得動圓的圓心所滿足的幾何條件，由雙曲線的定義可求解.【詳解】設動圓的圓心為，半徑為，由，可得圓心，半徑，由，可得圓心為，半徑由題意可得，消去可得，所以動圓的圓心是雙曲線靠近的一支曲線.故選：B.7.若直線與曲線有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】將曲線方程化為，利用直線與曲線位置關系，結(jié)合圖形即可求解.【詳解】依題意，曲線的方程可化為：它表示以原點為圓心，2為半徑的右半圓，如圖：直線過定點，直線與相切時，可得，解得，直線過點時，，根據(jù)圖形，結(jié)合對稱性可得，直線與曲線有兩個交點時，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.8.我們稱與向量平行的非零向量為直線的法向量.已知直線與圓相交，則下列向量不可能是直線的法向量的為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用直線與圓相交，可得，求解可得結(jié)論.【詳解】由，可得圓心，半徑為，因為直線與圓相交，所以，解得，根據(jù)法向量的定義可得直線的法向量為，且，所以A，B，C均可作為直線的法向量，D不能作為直線的法向量.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有錯選的得0分．9.下列四個命題中真命題有（）A.直線在軸上截距為B.經(jīng)過定點的直線都可以用方程表示C.直線過定點D.點關于直線的對稱點是【答案】ACD【解析】【分析】令可求直線在軸上的截距判斷A；分斜率存在與不存在兩種情況可判斷B；求得的定點可判斷C；由點關于直線的對稱點可判斷D.【詳解】對于A，令，可得，所以直線在軸上的截距為，故A正確；對于B，經(jīng)過定點的直線斜率存在時可以用方程表示，當直線斜率不存在時，直線方程為，故經(jīng)過定點的直線方程為或，故B錯誤；對于C，由，方程過直線與直線的交點的直線，由，解得，所以直線過定點，故C正確；對于D，點關于直線的對稱點是，故D正確.故選：ACD.10.已知過點的直線與圓交于、兩點，為坐標原點，則（）A.B.的最大值為C.面積的最大值為D.點到直線的距離小于【答案】ABD【解析】【分析】判斷出點在圓外，計算出的最小值，可判斷A選項；當直線過圓心時，取最大值，可判斷B選項；利用三角形的面積公式可判斷C選項；分析直線與垂直時，直線與圓的位置關系，可判斷D選項.【詳解】圓的圓心為，半徑為，因為，則點在圓外，對于A選項，，則，A對；對于B選項，當直線過圓心時，取最大值，且最大值為，B對；對于C選項，當且僅當時，等號成立，即面積的最大值為，C錯；對于D選項，因為，當時，則直線的斜率為，此時，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，此時，直線與圓相離，且此時，原點到直線的最大距離為，由于直線與圓相交，故原點到直線的距離小于，D對.故選：ABD.11.已知橢圓的左、右焦點分別為，左、右頂點分別為為橢圓上異于的動點，則下列說法正確的是（）A.B.的最大值為20C.的外接圓圓心到x軸的距離的最小值為D.直線的斜率之差可能為1【答案】AC【解析】【分析】得用已知橢圓求得，再結(jié)合每個選項的條件逐項計算可判斷結(jié)論.【詳解】由橢圓C：的方程可知，，解得，所以，即，故A正確；因為，所以，當且僅當時取等號，故B錯誤；由的外接圓的圓心在的垂直平分線上，可得圓心在軸上，由，所以為銳角，且在短軸的端點處時，最大，由外接圓的半徑為可知，越大，半徑越小，此時外心到x軸的距離最小，設外心為，取在上頂點時，所以，解得，故C正確；設，由，得，所以，不妨取，則，，，當且僅當時取等號，所以直線的斜率之差不可能為1，故D不正確.故選：AC.【點睛】方法點睛：根據(jù)點在橢圓上，可求得為定值，進而可利用基本不等式判斷直線斜率之差是否可能為1.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.以雙曲線的右焦點為焦點的拋物線的標準方程為______【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線可得拋物線的焦點為，即可得方程.【詳解】由雙曲線方程可知，且焦點在x軸上，可知雙曲線的右焦點為，即拋物線的焦點為，所以拋物線的標準方程為.故答案為：.13.若光線通過點，經(jīng)軸反射，其反射光線通過點且與圓相切，則______【答案】【解析】【分析】求出反射光線所在直線的方程，利用直線與圓的位置關系結(jié)合點到直線的距離公式可求出正數(shù)的值.【詳解】點關于軸的對稱點為，，直線的方程為，即，由題意可知，反射光線即為直線，則直線與圓相切，且圓心為，半徑為，可得，由于，解得.故答案為：.14.已知曲線是平面內(nèi)到定點與到定直線的距離之和為3的點的軌跡，圓與曲線有兩個交點，則的值為______【答案】2或【解析】【分析】設，可得，分類討論化簡，與圓的方程聯(lián)立可求得的值.【詳解】設，由題意可得：.當或時，，所以無軌跡；當時，，由關于軸對稱，圓與有公共點時，在有解，可得，當時，，圓與有公共點時，則在有解，當時，，由對稱性可知圓與曲線有兩個交點，則的值只能有唯一的值與之對應，所以只有或符合題意，所以圓與曲線有兩個交點，則的值為或.故答案為：或.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知點，直線，且點均在直線上，，（1）求點的坐標：（2）若，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設，由題意列方程組，即可求得.（2）設，由題意可得，可求得點的坐標，可求直線的方程.【小問1詳解】設，由題意可得：，解得：，所以點的坐標為.【小問2詳解】設，由（1）知點的坐標為.根據(jù)題意可得，解得或，所以點的坐標為或，當點為時，直線的方程為，即，當點為時，直線的方程為，即，綜上所述：直線的方程為或.16.設為實數(shù)，直線與圓相交于兩點.（1）若弦的中點坐標為，求的取值范圍及直線的方程；（2）若直線，，求圓的半徑.【答案】（1）的取值范圍為,直線的方程為（2）【解析】【分析】（1）將圓的一般方程化為標準方程，利用半徑為正、點在圓內(nèi)得到的取值范圍，再利用和點斜式方程得到直線的方程即可.（2）利用圓中的弦長公式可求得圓心到直線的距離，進而可得，求解即可.【小問1詳解】將化為，即該圓的圓心為，半徑為，因為弦的中點為，所以在圓的內(nèi)部，即，解得，又，所以；因為，且，所以，所以直線的方程為，即；【小問2詳解】由（1）可得圓的圓心為，半徑為，由，可得圓心到直線的距離，所以圓心到直線的距離，解得，所以圓的半徑為..17.已知橢圓與直線交于點，點為中點，為坐標原點.（1）若過橢圓的一個頂點和一個焦點．①求橢圓的方程；②求的坐標.（2）若橢圓的離心率為，以為直徑的圓過原點，求橢圓的方程.【答案】（1）①橢圓的方程為；②的坐標為（2）橢圓的方程為【解析】【分析】（1）①求得直線與坐標軸交點，可求橢圓的方程；②聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關系可求中點的坐標；（2）由已知可得橢圓的方程可變?yōu)?，與直線聯(lián)立結(jié)合韋達定理，由已知可得，進而代入計算可得橢圓的方程.【小問1詳解】①因為直線與坐標軸交于，又橢圓的焦點在軸上，所以，所以,所以橢圓的方程為；②聯(lián)立，消去得，解得或，所以的坐標為，所以的坐標為.【小問2詳解】若橢圓的離心率為，則，解得，所以，所以橢圓的方程可變?yōu)椋?lián)立，消去得，設的坐標為，因為直線與橢圓有兩個交點，所以，則，以為直徑的圓過原點，所以，所以，所以，所以，所以，解得，符合，所以橢圓的方程為.18.已知拋物線的焦點為，拋物線上的點到的距離為3．（1）求拋物線的方程；（2）過點F的直線l交拋物線于兩點，分別以為直徑作圓①證明：圓與軸相切；②若直線的斜率為1，求與圓都相切的直線方程.【答案】（1）（2）①證明見解析；②或y=-1或x=0【解析】【分析】（1）利用焦半徑公式可得，求解即可；（2）①利用焦半徑公式可求得線段中點到軸的距離可得結(jié)論；②由平面幾何知識可得所求切線可能是內(nèi)公切線與也可能是外公切線，分情況討論可求與圓相切的直線方程.【小問1詳解】由拋物線的方程得焦點，又拋物線上的點到的距離為3，所以，解得，所以拋物線的方程為【小問2詳解】①設，由焦半徑公式可得，所以的中點，點到軸的距離為，所以以為直徑作圓與軸相切；②由①可知圓與軸也相切，且兩圓的圓心在同一直線上，又，可得圓相外切于點，所以與圓相切的直線有三條，一條內(nèi)公切線，兩條外公切線，因為兩圓與軸相切，故直線與兩圓相切，因圓相外切于點，故過點與垂直的直線與兩圓相切，又直線的斜率為1，所以所求直線的斜率為，故所求直線方程為，即；兩外公切線關于直線對稱，直線的斜率為1，又直線是一條外公切線，故另一條外公切線的斜率為0，又的方程為，即，與直線交于點，故所求的另一條外公切線方程為，所以所求切線方程為或或.19.已知中，，的角平分線交于點．（1）若，求的值；（2）若點在曲線上，求：①的取值范圍；②直線與曲線的交點個數(shù).【答案】（1）12（2）①取值范圍為；②直線與曲線的交點個數(shù)為1個【解析】【分析】（1）求得直線，的方程，利用角平分線的性質(zhì)得到，求解即可；（2）①設，求得直線，的方程，利用角平分線的性質(zhì)得到，化簡可得，可得的取值范圍；②求得直線的直線方程為與雙曲線方程聯(lián)立方程，判斷方程組的解的個數(shù)可得結(jié)論.【小問1詳解】因為，又，所