2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考專用)專題32數(shù)列的概念與簡單表示法(原卷版+解析)

專題32數(shù)列的概念與簡單表示法（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點(diǎn)突破】 4【考點(diǎn)1】由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng) 4【考點(diǎn)2】由數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式 5【考點(diǎn)3】數(shù)列的性質(zhì) 6【分層檢測】 7【基礎(chǔ)篇】 7【能力篇】 9【培優(yōu)篇】 10考試要求：1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).知識梳理知識梳理1.數(shù)列的定義按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).2.數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1＞an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1＜an常數(shù)列an＋1＝an擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3.數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是表格法、圖象法和解析式法.4.數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.5.數(shù)列的遞推公式如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.1.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))2.在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))真題自測真題自測一、單選題1．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立D．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立2．（2023·全國·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．3．（2022·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·高考真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（

）A． B． C． D．5．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．二、填空題6．（2022·北京·高考真題）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和滿足．給出下列四個(gè)結(jié)論：①的第2項(xiàng)小于3；

②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項(xiàng)．其中所有正確結(jié)論的序號是．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)一、單選題1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．190 B．210 C．380 D．4202．（2024·江蘇蘇州·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，若對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·湖北黃岡·二模）數(shù)列滿足：，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．是等比數(shù)列C． D．4．（2024·安徽淮北·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，若，則（

）A． B．C．的前10項(xiàng)和為 D．的前10項(xiàng)和為三、填空題5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則；數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最大值為．6．（2024·浙江嘉興·二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則.反思提升：(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，))轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項(xiàng)公式.(2)Sn與an關(guān)系問題的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解.方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解.【考點(diǎn)2】由數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式一、單選題1．（2024·河南·三模）已知函數(shù)滿足：，且，，則的最小值是（

）A．135 B．395 C．855 D．9902．（23-24高三上·湖北·階段練習(xí)）定義：在數(shù)列中，，其中d為常數(shù)，則稱數(shù)列為“等比差”數(shù)列.已知“等比差”數(shù)列中，，，則（

）A．1763 B．1935 C．2125 D．2303二、多選題3．（23-24高三下·甘肅·開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，則（

）A．是等差數(shù)列B．的前項(xiàng)和為C．是單調(diào)遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為44．（2024·山東煙臺·一模）給定數(shù)列，定義差分運(yùn)算：.若數(shù)列滿足，數(shù)列的首項(xiàng)為1，且，則（

）A．存在，使得恒成立B．存在，使得恒成立C．對任意，總存在，使得D．對任意，總存在，使得三、填空題5．（23-24高二上·廣東河源·期末）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，則.6．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．反思提升：(1)形如an＋1＝an＋f(n)的遞推關(guān)系式利用累加法求和，特別注意能消去多少項(xiàng)，保留多少項(xiàng).(2)形如an＋1＝an·f(n)的遞推關(guān)系式可化為eq\f(an＋1,an)＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1代入求出通項(xiàng).(3)形如an＋1＝pan＋q的遞推關(guān)系式可以化為(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，構(gòu)成新的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，求變量x是關(guān)鍵.(4)形如an＋1＝eq\f(Aan,Ban＋C)(A，B，C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解.【考點(diǎn)3】數(shù)列的性質(zhì)一、單選題1．（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知數(shù)列中，，則（

）A． B． C．1 D．22．（2024·天津·二模）已知數(shù)列為不單調(diào)的等比數(shù)列，，數(shù)列滿足，則數(shù)列的最大項(xiàng)為（

）．A． B． C． D．二、多選題3．（2024·浙江紹興·二模）已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且，，則（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則 D．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則4．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測）意大利數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契提出的“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，，在現(xiàn)代生物及化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，它可以表述為數(shù)列滿足.若此數(shù)列各項(xiàng)被3除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，則以下結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2024·湖北武漢·二模）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：，，則；若，則的最大值為．6．（23-24高二上·湖北省直轄縣級單位·期中）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且為遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.反思提升：1.解決數(shù)列周期性問題，根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng)，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求出有關(guān)項(xiàng)的值或前n項(xiàng)和.2.求數(shù)列最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法(1)函數(shù)法：利用相關(guān)的函數(shù)求最值.若借助通項(xiàng)的表達(dá)式觀察出單調(diào)性，直接確定最大(小)項(xiàng)，否則，利用作差法.(2)利用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)確定最大項(xiàng)，利用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)確定最小項(xiàng).分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·四川廣安·二模）已知數(shù)列滿足，（），則（

）A． B． C． D．22．（2024·廣東深圳·二模）已知n為正整數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023·山西·模擬預(yù)測）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層（即第一層）有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球，…，設(shè)“三角垛”從第一層到第n層的各層球的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則（

）A． B．C． D．二、多選題5．（2024·云南·二模）記數(shù)列的前項(xiàng)和為為常數(shù).下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．存在常數(shù)A、B，使數(shù)列是等比數(shù)列 D．對任意常數(shù)A、B，數(shù)列都是等差數(shù)列6．（2024·云南昆明·一模）在數(shù)列中，，，，記的前n項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則7．（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，為其前n項(xiàng)和，則（

）A． B．C． D．三、填空題8．（2022·黑龍江齊齊哈爾·一模）數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．9．（23-24高二下·江西撫州·階段練習(xí)）數(shù)列滿足，則.10．（2023·四川樂山·三模）已知數(shù)列滿足，，則．四、解答題11．（23-24高二上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．12．（2024·山西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【能力篇】一、單選題1．（2024·四川宜賓·二模）在數(shù)列中，已知，且滿足，則數(shù)列的前2024項(xiàng)的和為（）A．3 B．2 C．1 D．0二、多選題2．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論成立的有（

）A．B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和的最小值為三、填空題3．（2023·湖南邵陽·二模）已知數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為，．四、解答題4．（2024·全國·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為．【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2024·北京東城·二模）設(shè)無窮正數(shù)數(shù)列，如果對任意的正整數(shù)，都存在唯一的正整數(shù)，使得，那么稱為內(nèi)和數(shù)列，并令，稱為的伴隨數(shù)列，則（

）A．若為等差數(shù)列，則為內(nèi)和數(shù)列B．若為等比數(shù)列，則為內(nèi)和數(shù)列C．若內(nèi)和數(shù)列為遞增數(shù)列，則其伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列D．若內(nèi)和數(shù)列的伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列，則為遞增數(shù)列二、多選題2．（22-23高二上·江蘇常州·期末）在邊長為2的等邊三角形紙片中，取邊的中點(diǎn)，在該紙片中剪去以為斜邊的等腰直角三角形得到新的紙片，再取的中點(diǎn)，在紙片中剪去以為斜邊的等腰直角三角形得到新的紙片，以此類推得到紙片，，……，，……，設(shè)的周長為，面積為，則（

）A． B．C． D．三、填空題3．（2024·吉林·模擬預(yù)測）“冰天雪地也是金山銀山”，2023-2024年雪季，東北各地冰雪旅游呈現(xiàn)出一片欣欣向榮的景象，為東北經(jīng)濟(jì)發(fā)展增添了新動(dòng)能．某市以“冰雪童話”為主題打造—圓形“夢幻冰雪大世界”，其中共設(shè)“森林姑娘”“扣像墻”“古堡滑梯”等16處打卡景觀．若這16處景觀分別用表示，某游客按照箭頭所示方向（不可逆行）可以任意選擇一條路徑走向其它景觀，并且每個(gè)景觀至多經(jīng)過一次，那么他從入口出發(fā)，按圖中所示方向到達(dá)有種不同的打卡路線；若該游客按上述規(guī)則從入口出發(fā)到達(dá)景觀的不同路線有條，其中，記，則（結(jié)果用表示）.專題32數(shù)列的概念與簡單表示法（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點(diǎn)突破】 13【考點(diǎn)1】由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng) 13【考點(diǎn)2】由數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式 18【考點(diǎn)3】數(shù)列的性質(zhì) 23【分層檢測】 26【基礎(chǔ)篇】 26【能力篇】 34【培優(yōu)篇】 37考試要求：1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).知識梳理知識梳理1.數(shù)列的定義按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).2.數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1＞an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1＜an常數(shù)列an＋1＝an擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3.數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是表格法、圖象法和解析式法.4.數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.5.數(shù)列的遞推公式如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.1.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))2.在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))真題自測真題自測一、單選題1．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立D．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立2．（2023·全國·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．3．（2022·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·高考真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（

）A． B． C． D．5．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．二、填空題6．（2022·北京·高考真題）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和滿足．給出下列四個(gè)結(jié)論：①的第2項(xiàng)小于3；

②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項(xiàng)．其中所有正確結(jié)論的序號是．參考答案：1．B【分析】法1：利用數(shù)列歸納法可判斷ACD正誤，利用遞推可判斷數(shù)列的性質(zhì)，故可判斷B的正誤.法2：構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求得的正負(fù)情況，再利用數(shù)學(xué)歸納法判斷得各選項(xiàng)所在區(qū)間，從而判斷的單調(diào)性；對于A，構(gòu)造，判斷得，進(jìn)而取推得不恒成立；對于B，證明所在區(qū)間同時(shí)證得后續(xù)結(jié)論；對于C，記，取推得不恒成立；對于D，構(gòu)造，判斷得，進(jìn)而取推得不恒成立.【詳解】法1：因?yàn)?，故，對于A，若，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立，由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，，，故，故，故為減數(shù)列，注意故，結(jié)合，所以，故，故，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，故恒成立僅對部分成立，故A不成立.對于B，若可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立即由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，，，故，故，故為增數(shù)列，若，則恒成立，故B正確.對于C，當(dāng)時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立即由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，故，故為減數(shù)列，又，結(jié)合可得：，所以，若，若存在常數(shù)，使得恒成立，則恒成立，故，的個(gè)數(shù)有限，矛盾，故C錯(cuò)誤.對于D，當(dāng)時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，故，故為增數(shù)列，又，結(jié)合可得：，所以，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，這與n的個(gè)數(shù)有限矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：B.法2：因?yàn)?，令，則，令，得或；令，得；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，即，解得或或，注意到，，所以結(jié)合的單調(diào)性可知在和上，在和上，對于A，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，，則，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，綜上：，即，因?yàn)樵谏希裕瑒t為遞減數(shù)列，因?yàn)?，令，則，因?yàn)殚_口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，故，所以在上單調(diào)遞增，故，故，即，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因?yàn)?，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋裕瑒t，所以，又當(dāng)時(shí)，，即，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則，所以，綜上：，因?yàn)樵谏?，所以，所以為遞增數(shù)列，此時(shí)，取，滿足題意，故B正確；對于C，因?yàn)椋瑒t，注意到當(dāng)時(shí)，，，猜想當(dāng)時(shí)，，當(dāng)與時(shí)，與滿足，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以，綜上：，易知，則，故，所以，因?yàn)樵谏希?，則為遞減數(shù)列，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，記，取，其中，則，故，所以，即，所以，故不恒成立，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，綜上：，因?yàn)樵谏?，所以，所以為遞增數(shù)列，因?yàn)椋睿瑒t，因?yàn)殚_口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，故，即，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因?yàn)?，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)首項(xiàng)給出與通項(xiàng)性質(zhì)相關(guān)的相應(yīng)的命題，再根據(jù)所得命題結(jié)合放縮法得到通項(xiàng)所滿足的不等式關(guān)系，從而可判斷數(shù)列的上界或下界是否成立.2．B【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個(gè)元素分析、推理作答.【詳解】依題意，等差數(shù)列中，，顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個(gè)不同取值，又，則在中，或，于是有，即有，解得，所以，.故選：B3．B【分析】先通過遞推關(guān)系式確定除去，其他項(xiàng)都在范圍內(nèi)，再利用遞推公式變形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放縮可得出．【詳解】∵，易得，依次類推可得由題意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；綜上：．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系進(jìn)行合理變形放縮.

4．D【分析】根據(jù)，再利用數(shù)列與的關(guān)系判斷中各項(xiàng)的大小，即可求解.【詳解】[方法一]:常規(guī)解法因?yàn)?，所以，，得到，同理，可得，又因?yàn)?，故，；以此類推，可得，，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，得，故C錯(cuò)誤；，得，故D正確.[方法二]：特值法不妨設(shè)則故D正確.5．A【分析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進(jìn)而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可得到，從而得解．【詳解】因?yàn)?，所以，．由，即根?jù)累加法可得，，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，，由累乘法可得，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，由裂項(xiàng)求和法得：所以，即．故選：A．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過倒數(shù)法先找到的不等關(guān)系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過局部放縮得到的不等關(guān)系，改變不等式的方向得到，最后由裂項(xiàng)相消法求得．6．①③④【分析】推導(dǎo)出，求出、的值，可判斷①；利用反證法可判斷②④；利用數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷③.【詳解】由題意可知，，，當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，由可得，兩式作差可得，所以，，則，整理可得，因?yàn)椋獾?，①對；假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，即，所以，，可得，解得，不合乎題意，故數(shù)列不是等比數(shù)列，②錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，可得，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，③對；假設(shè)對任意的，，則，所以，，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對.故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題在推斷②④的正誤時(shí)，利用正面推理較為復(fù)雜時(shí)，可采用反證法來進(jìn)行推導(dǎo).考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)一、單選題1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．190 B．210 C．380 D．4202．（2024·江蘇蘇州·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，若對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·湖北黃岡·二模）數(shù)列滿足：，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．是等比數(shù)列C． D．4．（2024·安徽淮北·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，若，則（

）A． B．C．的前10項(xiàng)和為 D．的前10項(xiàng)和為三、填空題5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則；數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最大值為．6．（2024·浙江嘉興·二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則.參考答案：1．B【分析】根據(jù)給定的遞推公式，結(jié)合變形，再構(gòu)造常數(shù)列求出通項(xiàng)即可得解.【詳解】數(shù)列中，，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，因此，顯然數(shù)列是常數(shù)列，而，解得，于是，因此，所以.故選：B2．B【分析】根據(jù)給定的遞推公式求出，再按為奇數(shù)、偶數(shù)分類求解即可得的范圍.【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，，則，整理得，即，而，解得，于是，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，因此，即，由，得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即，顯然為遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，于是，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，即，顯然恒有，于是，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B3．AC【分析】利用已知求得，可判斷A；，可得，判斷BC，進(jìn)而求得，判斷D.【詳解】由，當(dāng)，解得，故A正確；當(dāng)，可得，所以，所以，即，而，故C正確，B不正確；因，故D錯(cuò)誤.故選：AC.4．ABD【分析】本題首先根據(jù)題意判斷出數(shù)列、分別是等差數(shù)列、等比數(shù)列，求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而分析也是等比數(shù)列并求出其通項(xiàng)公式，可解決選項(xiàng)A、B、D的問題，再依據(jù)裂項(xiàng)法，可解決選項(xiàng)C的問題.【詳解】，所以是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，，故選項(xiàng)A正確.令，則，，又，，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.又，，又，，，是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，，故選項(xiàng)B正確.又，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.5．【分析】借助數(shù)列與前項(xiàng)和的關(guān)系，由得作差即可得；得到后，結(jié)合裂項(xiàng)相消法計(jì)算即可得，結(jié)合數(shù)列的函數(shù)特性即可得的最大值.【詳解】將代入，得，當(dāng)時(shí)，由，得，化簡得，因此數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故，，則，故，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：；.6．【分析】根據(jù)題意，先求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，進(jìn)而求得，再利用項(xiàng)與和的關(guān)系求得通項(xiàng).【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，則，解得，又，所以，，代入，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，滿足上式，所以，.故答案為：.反思提升：(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，))轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項(xiàng)公式.(2)Sn與an關(guān)系問題的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解.方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解.【考點(diǎn)2】由數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式一、單選題1．（2024·河南·三模）已知函數(shù)滿足：，且，，則的最小值是（

）A．135 B．395 C．855 D．9902．（23-24高三上·湖北·階段練習(xí)）定義：在數(shù)列中，，其中d為常數(shù)，則稱數(shù)列為“等比差”數(shù)列.已知“等比差”數(shù)列中，，，則（

）A．1763 B．1935 C．2125 D．2303二、多選題3．（23-24高三下·甘肅·開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，則（

）A．是等差數(shù)列B．的前項(xiàng)和為C．是單調(diào)遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為44．（2024·山東煙臺·一模）給定數(shù)列，定義差分運(yùn)算：.若數(shù)列滿足，數(shù)列的首項(xiàng)為1，且，則（

）A．存在，使得恒成立B．存在，使得恒成立C．對任意，總存在，使得D．對任意，總存在，使得三、填空題5．（23-24高二上·廣東河源·期末）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，則.6．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．參考答案：1．C【分析】構(gòu)造函數(shù)，可得，令，由得，從而得到，即可求出的最小值.【詳解】由，得，令，得，令，得，故，又，所以，所以，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，的最小值為855．故選：C．2．B【分析】運(yùn)用累和法和累積法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是“等比差”數(shù)列，所以，因?yàn)?，，所以，所以有，累和，得，因此有，累積，得，所以，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是運(yùn)用累和法和累積法.3．BC【分析】利用等比數(shù)列的定義求出可得，再由等比數(shù)列求和公式計(jì)算可判斷AB；根據(jù)的通項(xiàng)公式可判斷C；根據(jù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】由，得，因?yàn)椋?，從而，所以是首?xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以，即，所以，所以，所以A錯(cuò)誤，B正確；由，易知是單調(diào)遞增數(shù)列，C正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：BC.4．BC【分析】由已知求出及范圍判斷AB；利用累加法結(jié)合錯(cuò)位相減法求和求出及范圍判斷C；求出及的范圍判斷D.【詳解】對于A，由，得，顯然有最小值4，無最大值，因此不存在，使得恒成立，A錯(cuò)誤；對于B，由選項(xiàng)A知，，則，顯然當(dāng)時(shí)，恒成立，B正確；對于C，由，得，當(dāng)時(shí)，即，于是，兩式相減得，因此，顯然滿足上式，則，由，得數(shù)列是遞增數(shù)列，有最小值1，無最大值，從而對任意，總存在，使得，C正確；對于D，，由選項(xiàng)C得，顯然數(shù)列是遞減數(shù)列，，因此對任意，不存在，使得成立，D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及數(shù)列新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計(jì)算、分析、推理等方法綜合解決.5．【分析】由遞推公式可得，再由累乘法即可求得結(jié)果.【詳解】由可得，由累乘可得.故答案為：6．【分析】根據(jù)給定的遞推公式，利用構(gòu)造法求出通項(xiàng)即得.【詳解】數(shù)列中，，，顯然，則有，即，而，因此數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即．故答案為：反思提升：(1)形如an＋1＝an＋f(n)的遞推關(guān)系式利用累加法求和，特別注意能消去多少項(xiàng)，保留多少項(xiàng).(2)形如an＋1＝an·f(n)的遞推關(guān)系式可化為eq\f(an＋1,an)＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1代入求出通項(xiàng).(3)形如an＋1＝pan＋q的遞推關(guān)系式可以化為(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，構(gòu)成新的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，求變量x是關(guān)鍵.(4)形如an＋1＝eq\f(Aan,Ban＋C)(A，B，C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解.【考點(diǎn)3】數(shù)列的性質(zhì)一、單選題1．（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知數(shù)列中，，則（

）A． B． C．1 D．22．（2024·天津·二模）已知數(shù)列為不單調(diào)的等比數(shù)列，，數(shù)列滿足，則數(shù)列的最大項(xiàng)為（

）．A． B． C． D．二、多選題3．（2024·浙江紹興·二模）已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且，，則（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則 D．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則4．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測）意大利數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契提出的“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，，在現(xiàn)代生物及化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，它可以表述為數(shù)列滿足.若此數(shù)列各項(xiàng)被3除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，則以下結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2024·湖北武漢·二模）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：，，則；若，則的最大值為．6．（23-24高二上·湖北省直轄縣級單位·期中）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且為遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.參考答案：1．C【分析】利用數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的周期，即可求解.【詳解】由，得，，，，，，則是以6為周期的周期數(shù)列，所以.故選：C2．C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的概念求公比及通項(xiàng)公式，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求最大項(xiàng)即可.【詳解】由題意可知或，又為不單調(diào)的等比數(shù)列，所以，則，故，若要求的最大項(xiàng)，需為偶數(shù)，則，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知當(dāng)時(shí)，為的最大項(xiàng).故選：C3．ACD【分析】寫出的表達(dá)式，根據(jù)，，得到或，由此即可判斷AB，進(jìn)一步根據(jù)遞增數(shù)列的定義分別與的關(guān)系即可判斷CD.【詳解】由題意可知，且，，故有且（否則若，則的符號會(huì)正負(fù)交替，這與，，矛盾），也就是有或，無論如何，數(shù)列是遞增數(shù)列，故A正確，B錯(cuò)誤；對于C，若數(shù)列是遞增數(shù)列，即，由以上分析可知只能，故C正確；對于D，若數(shù)列是遞增數(shù)列，顯然不可能是，（否則的符號會(huì)正負(fù)交替，這與數(shù)列是遞增數(shù)列，矛盾），從而只能是，且這時(shí)有，故D正確.故選：ACD.4．ABC【分析】根據(jù)數(shù)列可得出數(shù)列是以8為周期的周期數(shù)列，依次分析即可判斷.【詳解】數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，被3除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，數(shù)列為1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…，觀察可得數(shù)列是以8為周期的周期數(shù)列，故，A正確；且，故，B正確；，C正確；則的前2022項(xiàng)和為，D錯(cuò)誤.故選：ABC5．4【分析】由歐拉函數(shù)定義，確定中與8互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)求，且，應(yīng)用作差法判斷的單調(diào)性，即可求最大值.【詳解】由題設(shè)，則中與8互質(zhì)的數(shù)有，共4個(gè)數(shù)，故，在中，與互質(zhì)的數(shù)為范圍內(nèi)的所有奇數(shù)，共個(gè)，即，所以，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即，所以的最大值為.故答案為：4，6．【分析】根據(jù)條件，可得對恒成立，轉(zhuǎn)化為最值問題，化簡解出即可.【詳解】因?yàn)闉檫f減數(shù)列，，所以對恒成立，即對恒成立，所以，故答案為：.反思提升：1.解決數(shù)列周期性問題，根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng)，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求出有關(guān)項(xiàng)的值或前n項(xiàng)和.2.求數(shù)列最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法(1)函數(shù)法：利用相關(guān)的函數(shù)求最值.若借助通項(xiàng)的表達(dá)式觀察出單調(diào)性，直接確定最大(小)項(xiàng)，否則，利用作差法.(2)利用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)確定最大項(xiàng)，利用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)確定最小項(xiàng).分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·四川廣安·二模）已知數(shù)列滿足，（），則（

）A． B． C． D．22．（2024·廣東深圳·二模）已知n為正整數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023·山西·模擬預(yù)測）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層（即第一層）有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球，…，設(shè)“三角垛”從第一層到第n層的各層球的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則（

）A． B．C． D．二、多選題5．（2024·云南·二模）記數(shù)列的前項(xiàng)和為為常數(shù).下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．存在常數(shù)A、B，使數(shù)列是等比數(shù)列 D．對任意常數(shù)A、B，數(shù)列都是等差數(shù)列6．（2024·云南昆明·一模）在數(shù)列中，，，，記的前n項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則7．（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，為其前n項(xiàng)和，則（

）A． B．C． D．三、填空題8．（2022·黑龍江齊齊哈爾·一模）數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．9．（23-24高二下·江西撫州·階段練習(xí)）數(shù)列滿足，則.10．（2023·四川樂山·三模）已知數(shù)列滿足，，則．四、解答題11．（23-24高二上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．12．（2024·山西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.參考答案：1．A【分析】列舉出數(shù)列的前幾項(xiàng)，即可找到規(guī)律，從而得解.【詳解】因?yàn)?，，所以，，，，，又，所以故選：A2．C【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造數(shù)列，探討該數(shù)列單調(diào)性即得.【詳解】令，顯然，當(dāng)時(shí)，，即，因此當(dāng)時(shí)，，所以n為正整數(shù)，且，有.故選：C3．B【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，列方程求出，進(jìn)而可求出，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的最大、小值，列不等式組即可求出的取值范圍【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，解得，所以，?dāng)x為正整數(shù)且奇數(shù)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x為正整數(shù)且偶數(shù)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，解得.故選：B.4．D【分析】根據(jù)已知條件寫出遞推關(guān)系式，運(yùn)用累加法求得通項(xiàng)公式，賦值可判斷A項(xiàng)、B項(xiàng)、D項(xiàng)，分別計(jì)算與比較大小可判斷B項(xiàng).【詳解】由相鄰層球的個(gè)數(shù)差，可知，，所以當(dāng)時(shí)，，將代入得，符合所以，對于A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，所以，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)正確.故選：D.5．ABC【分析】根據(jù)與的關(guān)系求得可判斷A；由可判斷B；取可得是公比為1的等比數(shù)列，可判斷C；當(dāng)時(shí)，根據(jù)等差數(shù)列定義驗(yàn)證，可判斷D.【詳解】對于A，若，則，A正確；對于B，若，則，B正確；對于C，由得，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是公比為1的等比數(shù)列，C正確；對于D，由上知，當(dāng)時(shí)，若，則，此時(shí)，數(shù)列不是等差數(shù)列，D錯(cuò)誤.故選：ABC6．ACD【分析】根據(jù)已知，結(jié)合條件，，可依次求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，從而判斷A、B；由題意可得，根據(jù)等差數(shù)列的定義可判定數(shù)列為等差數(shù)列，從而判斷C、D.【詳解】若，，又，則，A正確；若，，由A選項(xiàng)可知，又，可得，，可得，B錯(cuò)誤；若，，則，，，可得，所以數(shù)列為等差數(shù)列，且，所以，C正確；且，D正確.故選：ACD7．ABC【分析】根據(jù)條件依次可得，，，，，…，，然后可得，，，然后可逐一判斷.【詳解】因?yàn)?，，，，，…，，所以，，，累加得，∴，，因?yàn)?，，所以，故選：ABC．8．【分析】根據(jù)累加法求通項(xiàng)公式即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，，，，累乘得：，，所以，．由于，所以，．顯然當(dāng)時(shí)，滿足，所以，．故答案為：9．【分析】當(dāng)時(shí)求出，當(dāng)時(shí)，作差即可得解.【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，所以，當(dāng)時(shí)不成立，所以.故答案為：10．【分析】湊配法得出數(shù)列是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)論．【詳解】由得，又，所以，即是等比數(shù)列，所以，即．故答案為：．11．(1)(2)【分析】（1）利用累乘法即可得解；（2）利用裂項(xiàng)相消法即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，滿足上式，所以；（2）因?yàn)?，所以，所?12．(1)(2)【分析】（1）首先利用作差法得到，再由作差可得；（2）由（1）知，再利用分組求和法及裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)有，兩式相減得，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)仍然成立，所以，當(dāng)時(shí)，，又也滿足，所以.（2）由（1）知，所以.【能力篇】一、單選題1．（2024·四川宜賓·二模）在數(shù)列中，已知，且滿足，則數(shù)列的前2024項(xiàng)的和為（）A．3 B．2 C．1 D．0二、多選題2．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論成立的有（

）A．B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和的最小值為三、填空題3．（2023·湖南邵陽·二模）已知數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為，．四、解答題4．（2024·全國·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為．參考答案：1．A【分析】用去換中的，得，相加即可得數(shù)列的周期，再利用周期性運(yùn)算得解.【詳解】由題意得，用替換式子中的，得，兩式相加可得，即，所以數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列.又，，.所以數(shù)列的前2024項(xiàng)和.故選：A.2．ABD【分析】變形給定的等式，利用等比數(shù)列的定義判斷并求出的通項(xiàng)，再逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】在數(shù)列中，由，得，而，因此數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則，即，B正確；顯然，A正確；顯然，，當(dāng)時(shí)，，因此數(shù)列不是單調(diào)數(shù)列，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，即數(shù)列從第2項(xiàng)起單調(diào)遞增，而，因此數(shù)列的前6項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，從第7項(xiàng)起均為正數(shù)，所以數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值為，D正確.故