《自動控制原理》課件2第4章 根軌跡

自動控制原理第4章線性系統(tǒng)的根軌跡法1第4章根軌跡法2025/2/25線性系統(tǒng)的根軌跡法從時域分析法可以看出，控制系統(tǒng)的性能主要取決于系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，因此，可以根據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點研究控制系統(tǒng)的性能。但對于高階系統(tǒng)，采用解析法求取系統(tǒng)的閉環(huán)特征根(閉環(huán)極點)通常是比較困難的，這限制了時域分析法在二階以上系統(tǒng)的全面應用。1948年，伊文思(W·R·Evans)根據(jù)反饋系統(tǒng)中開、閉環(huán)傳遞函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系，提出了直接由開環(huán)傳遞函數(shù)判別閉環(huán)特征根的新方法，即根軌跡法。本章主要介紹根軌跡的概念，繪制根軌跡的法則，廣義根軌跡的繪制以及應用根軌跡分析控制系統(tǒng)性能等方面的內(nèi)容。2025/2/25第4章根軌跡法24.1根軌跡法的基本概念4.1.1根軌跡概念根軌跡是指當開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)（由）變化時，閉環(huán)特征方程的根在s平面移動的軌跡。為了具體說明根軌跡的概念，設控制系統(tǒng)如圖4.1所示，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：2025/2/25第4章根軌跡法3R(s)C(s)-_

圖4.1二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖根軌跡增益

，其閉環(huán)傳遞函數(shù)則閉環(huán)特征方程為:顯然，特征方程的根為：2025/2/25第4章根軌跡法4根軌跡概念根軌跡概念當系統(tǒng)參數(shù)

從零變化到無窮大時，閉環(huán)極點的變化情況見表4.1

2025/2/25第4章根軌跡法5KS1S2000-20.50.25-0.3-1.710.5-1-121-1+j-1-j52.5-1+j2-1-j2…

………∞∞-1+j∞-1-j∞根軌跡概念利用計算結(jié)果在s平面上描點并用平滑曲線將其連接，便得到

從零變化到無窮大時閉環(huán)極點在s平面上移動的軌跡，即根軌跡，如圖4.2所示。圖中，根軌跡用粗實線表示，箭頭表示

增大時兩條根軌跡移動的方向。根軌跡圖直觀地表示了參數(shù)

變化時，閉環(huán)極點變化的情況，全面地描述了參數(shù)K對閉環(huán)極點分布的影響。2025/2/25第4章根軌跡法64.1.2根軌跡與系統(tǒng)性能有了根軌跡圖，就能分析系統(tǒng)的性能，下面以圖4.2為例進行說明：2025/2/25第4章根軌跡法7圖4.2系統(tǒng)根軌跡根軌跡與系統(tǒng)性能1.穩(wěn)定性當根軌跡從零變化到無窮大時，圖4.2所示的根軌跡始終都處于s平面左半部，因此，圖4.1所示系統(tǒng)對所有K值都是穩(wěn)定的。若有根軌跡段(閉環(huán)極點)處于s平面右半部，則閉環(huán)系統(tǒng)在相應K值下是不穩(wěn)定的。根軌跡與虛軸交點處的K值，即為臨界開環(huán)增益。2.穩(wěn)態(tài)性能由圖4.2可見，開環(huán)系統(tǒng)在坐標原點有一個極點，系統(tǒng)屬于I型系統(tǒng)，因而根軌跡上的K值就等于靜態(tài)速度誤差系數(shù)，進而可以通過輸入的類型求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。2025/2/25第4章根軌跡法8根軌跡與系統(tǒng)性能3.動態(tài)性能由圖4.2可見，當

時，閉環(huán)系統(tǒng)特征根為實根，系統(tǒng)呈過阻尼狀態(tài)，階躍響應為單調(diào)上升過程。當

時，閉環(huán)特征根為二重實根，系統(tǒng)呈現(xiàn)臨界阻尼狀態(tài)，階躍響應仍為單調(diào)過程，但響應速度較

時較快。當

時，閉環(huán)特征根為一對共軛復根，系統(tǒng)呈欠阻尼狀態(tài)，階躍響應為衰減振蕩過程。上述分析表明，根軌跡與系統(tǒng)性能之間有著密切聯(lián)系。然而，對于高階系統(tǒng)，采用解析的方法繪制系統(tǒng)根軌跡圖顯然是很繁瑣的。我們希望能有簡便的圖解方法，可以根據(jù)已知的開環(huán)零、極點迅速繪出閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。為此，需要研究閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間的關系。2025/2/25第4章根軌跡法94.1.3閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點的關系控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)如圖4.3所示，相應開環(huán)傳遞函數(shù)為

。如果假設：2025/2/25第4章根軌跡法10圖4.3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點的關系因此式中，

為系統(tǒng)根軌跡增益，它與開環(huán)增益K之間僅差一個比例常數(shù)。對于有m個開環(huán)零點和n個開環(huán)極點的系統(tǒng)，必有

f+l=m和q+h=n，則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可表示為2025/2/25第4章根軌跡法11閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點的關系在（4.4）式中，

表示開環(huán)零點；

表示開環(huán)極點，注意（4.4）形式與第二章的傳遞函數(shù)零極點表示形式只差一個負號。此時系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù):由式(4.5)可見：(1)閉環(huán)零點由前向通道傳遞函數(shù)G(s)的零點和反饋通道傳遞函數(shù)H(s)的極點組成。對于單位反饋系統(tǒng)H(s)=1，閉環(huán)零點就是開環(huán)零點。閉環(huán)零點不隨

變化，不必專門討論之。2025/2/25第4章根軌跡法12(4.5)閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點的關系(2)閉環(huán)極點與開環(huán)零點、開環(huán)極點以及根軌跡增益

均有關。閉環(huán)極點隨

而變化，所以研究閉環(huán)極點隨

的變化規(guī)律是必要的。研究根軌跡法的目的在于：如何由已知的開環(huán)零、極點的分布及根軌跡增益，通過圖解法找出閉環(huán)極點。一旦閉環(huán)極點確定后，閉環(huán)傳遞函數(shù)的形式便不難確定，因為閉環(huán)零點可由式(4.5)直接得到。在已知閉環(huán)傳遞函數(shù)的情況下，系統(tǒng)性能便可以確定。2025/2/25第4章根軌跡法134.1.4根軌跡方程閉環(huán)控制系統(tǒng)一般可用圖4.3所示的結(jié)構(gòu)圖描述，假設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù):系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù):系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為:2025/2/25第4章根軌跡法14

(4.7)(4.6)根軌跡方程即顯然，在s平面上凡是滿足式（4.8）的點，都是根軌跡上的點。式（4.8）稱為根軌跡方程。式(4.8)進而可以用幅值條件和相角條件來表示。幅值條件：2025/2/25第4章根軌跡法15(4.8)(4.9)根軌跡方程

2025/2/25第4章根軌跡法16(4.10)4.2根軌跡繪制的基本法則

2025/2/25第4章根軌跡法17(4.11)根軌跡繪制的基本法則2025/2/25第4章根軌跡法18根軌跡繪制的基本法則可見，當（）時，，說明根軌跡必定起始于開環(huán)極點。當()時，，說明根軌跡終止于開環(huán)零點。由于實際系統(tǒng)存在慣性，開環(huán)傳遞函數(shù)分子多項式的次數(shù)m≤n，當時，，因此有n-m條根軌跡的終點在無窮遠處。法則2：根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性；根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)有限零點數(shù)m和有限極點數(shù)n中大者相等，它們是連續(xù)并且對稱于實軸的。根軌跡是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零到無窮大變化時，閉環(huán)極點在s平面上的變化軌跡。因此根軌跡的分支數(shù)必定與閉環(huán)特征方程根的數(shù)目一致，即根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)的2025/2/25第4章根軌跡法19根軌跡繪制的基本法則2025/2/25第4章根軌跡法20階數(shù)。實際系統(tǒng)一般滿足m≤n。所以一般講，根軌跡分支數(shù)就等于開環(huán)極點數(shù)。實際系統(tǒng)的特征方程都是實系數(shù)方程，根據(jù)代數(shù)定理其特征根必定為實數(shù)或者共軛復數(shù)。因此，根軌跡必定對稱于實軸。利用對稱性，只需繪出s平面上半部分和實軸上的根軌跡，下半部的根軌跡即可對稱繪出。當K*從零到無窮大連續(xù)變化時，特征方程的系數(shù)也是連續(xù)變化的，因此，特征根也是連續(xù)變化的，所以根軌跡具有連續(xù)性。根軌跡繪制的基本法則例4.1假設某單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：試討論根軌跡的起點和終點。解該系統(tǒng)n=2，為2階系統(tǒng)。1.系統(tǒng)應有兩條根軌跡。2.根軌跡必對稱于實軸。3.系統(tǒng)開環(huán)極點為：

；由于開環(huán)傳遞函數(shù)分子無s項，即m=0，所以系統(tǒng)沒有開環(huán)零點。4.由法則1可知，該系統(tǒng)根軌跡增益

變動時，兩條根軌跡應分別從開環(huán)極點0和-2開始，最終均趨向于無窮遠。該系統(tǒng)的根軌跡已示于圖4.2，可看出上述諸特點。當然，法則1并未明確指出根軌跡趨于無窮遠時的具體方位2025/2/25第4章根軌跡法21根軌跡繪制的基本法則

2025/2/25第4章根軌跡法22根軌跡繪制的基本法則2025/2/25第4章根軌跡法23（4.12）式中，(2k+1)為奇數(shù)。由于π與-π表示的方向相同，于是等效有:

（4.13）式中，分別表示在點右側(cè)實軸上的開環(huán)l零點和極點個數(shù)。

根軌跡繪制的基本法則2025/2/25第4章根軌跡法24圖4.4實軸上的根軌跡根軌跡繪制的基本法則

2025/2/25第4章根軌跡法25(4.14)根軌跡繪制的基本法則2025/2/25第4章根軌跡法26所以漸近線的傾角:

(4.15)根軌跡繪制的基本法則上式右端展開式為:而式(4.15)左端用長除法處理為:當時，只保留前兩項，并比較第二項系數(shù)可得:2025/2/25第4章根軌跡法27本法則得證根軌跡繪制的基本法則

2025/2/25第4章根軌跡法28根軌跡繪制的基本法則同時可得到漸近線與實軸的交點:三條漸近線如圖4.5所示，將平面分為三等份。2025/2/25第4章根軌跡法29圖4.5例4.2系統(tǒng)的根軌跡漸近線根軌跡繪制的基本法則法則5：根軌跡的分離點與分離角：兩條或兩條以上根軌跡分支在s平面相遇又分離的點，稱為根軌跡的分離點，分離點的坐標d可由公式(4.16)求得證明由根軌跡方程式(4.8)可知2025/2/25第4章根軌跡法30根軌跡繪制的基本法則式中所以閉環(huán)特征方程為根軌跡在s平面上相遇，說明閉環(huán)特征方程有重根，假設該重根為d，根據(jù)代數(shù)中重根條件，有2025/2/25第4章根軌跡法31

(4.18)

(4.17)根軌跡繪制的基本法則將式(4.18)、式(4.17)等號兩端對應相除，得2025/2/25第4章根軌跡法32

(4.19)有:于是有從上式解出的s中，即為分離點d，故式(4.16)得證。根軌跡繪制的基本法則這里不加證明地指出：當l條根軌跡分支進入并立即離開分離點時，分離角可由決定，其中。需要說明的是，分離角定義為根軌跡進入分離點的切線方向與離開分離點的切線方向之間的夾角。顯然，當l=2時，分離角必為直角。2025/2/25第4章根軌跡法33根軌跡繪制的基本法則控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：試概略繪制該系統(tǒng)的根軌跡。解將系統(tǒng)開環(huán)零、極點標于s平面，如圖4.6所示。根據(jù)諸法則判斷可知：系統(tǒng)應有3條根軌跡分支，且有n-m=2條根軌跡趨于無窮遠處，根軌跡繪制如下：(1)實軸上的根軌跡：根據(jù)法則3，實軸上的根軌跡區(qū)段應為(2)漸近線：根據(jù)法則4，根軌跡的漸近線與實軸交點的坐標及夾角分別為2025/2/25第4章根軌跡法34根軌跡繪制的基本法則(3)分離點：根據(jù)法則5，分離點坐標為得到d=-0.5495根據(jù)上述討論，可繪制出系統(tǒng)根軌跡，如圖4.62025/2/25第4章根軌跡法35圖4.6根軌跡圖根軌跡繪制的基本法則法則6：根軌跡的起始角和終止角：根軌跡離開開環(huán)復數(shù)極點處的切線與實軸正方向的夾角，稱為起始角，用

表示；根軌跡進入開環(huán)復數(shù)零點處的切線與實軸正方向的夾角稱為終止角，以

表示。起始角、終止角可以直接利用相角條件求出2025/2/25第4章根軌跡法36

(4.20)

(4.21)根軌跡繪制的基本法則

2025/2/25第4章根軌跡法37根軌跡繪制的基本法則例4.4某單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試概略繪制系統(tǒng)的根軌跡。解將開環(huán)零、極點標于s平面上，繪制根軌跡步驟如下：

(1)開環(huán)極點：

開環(huán)零點：(2)實軸上的根軌跡：(3)漸近線方位：由于開環(huán)傳遞函數(shù)n=4、m=3，故只有一條根軌跡趨向無窮遠，又依據(jù)根軌跡必對稱實軸法則，2025/2/25第4章根軌跡法38根軌跡繪制的基本法則

2025/2/25第4章根軌跡法39根軌跡繪制的基本法則

2025/2/25第4章根軌跡法40根軌跡繪制的基本法則2025/2/25第4章根軌跡法41圖4.7根軌跡的起始角和終止角根軌跡繪制的基本法則2025/2/25第4章根軌跡法42圖4.8系統(tǒng)根軌跡根軌跡繪制的基本法則法則7:根軌跡與虛軸的交點：若根軌跡與虛軸相交，則意味著閉環(huán)特征方程出現(xiàn)純虛根。因此，可在閉環(huán)特征方程中令，然后分別令方程的實部和虛部均為零，從中求得交點的坐標值及其相應的值。此外，根軌跡與虛軸相交表明系統(tǒng)在該值下處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，此處的根軌跡增益也稱為臨界根軌跡增益。2025/2/25第4章根軌跡法43根軌跡繪制的基本法則

2025/2/25第4章根軌跡法44根軌跡繪制的基本法則

2025/2/25第4章根軌跡法45根軌跡繪制的基本法則

2025/2/25第4章根軌跡法46根軌跡繪制的基本法則2025/2/25第4章根軌跡法47根軌跡繪制的基本法則

2025/2/25第4章根軌跡法484.3廣義根軌跡

2025/2/25第4章根軌跡法494.3.1參數(shù)根軌跡

2025/2/25第4章根軌跡法50參數(shù)根軌跡

2025/2/25第4章根軌跡法51參數(shù)根軌跡

2025/2/25第4章根軌跡法52參數(shù)根軌跡

2025/2/25第4章根軌跡法53參數(shù)根軌跡

2025/2/25第4章根軌跡法54參數(shù)根軌跡系統(tǒng)根軌跡圖如圖4.10所示。2025/2/25第4章根軌跡法55圖4.10系統(tǒng)根軌跡圖參數(shù)根軌跡

2025/2/25第4章根軌跡法564.3.2零度根軌跡

2025/2/25第4章根軌跡法57(4.22)零度根軌跡幅值條件:相角條件:0°根軌跡的幅值條件與180°根軌跡的幅值條件一致，而兩者相角條件則不同。因此，繪制180°根軌跡法則中與相角條件無關的法則可以直接用來繪制0°根軌跡，而與相角條件有關的法則3、法則4、法則6則需要相應修改。修改后的法則為：2025/2/25第4章根軌跡法58(4.23)(4.24)零度根軌跡法則3*

實軸上的根軌跡：實軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)零、極點個數(shù)之和為偶數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。法則4*根軌跡的漸近線與實軸夾角應改為:法則6*根軌跡的起始角與終止角用式(4.24)計算。除上述三個法則外，其他法則不變。2025/2/25第4章根軌跡法59零度根軌跡例4.7設系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4.11所示，其中試繪制根軌跡。2025/2/25第4章根軌跡法60圖4.11系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖零度根軌跡

2025/2/25第4章根軌跡法61零度根軌跡

2025/2/25第4章根軌跡法62零度根軌跡

2025/2/25第4章根軌跡法63圖4.12根軌跡圖4.4閉環(huán)零、極點分布與系統(tǒng)階躍響應的關系

2025/2/25第4章根軌跡法64用閉環(huán)零、極點表示的階躍響應表達式2025/2/25第4章根軌跡法65

(4.25)用閉環(huán)零、極點表示的階躍響應表達式2025/2/25第4章根軌跡法66式(4.22)經(jīng)拉氏反變換，得系統(tǒng)單位階躍響應由(4.25)、(4.26)可以看出，系統(tǒng)響應與閉環(huán)零、極點緊密相關。(4.26)4.4.2閉環(huán)零、極點分布與階躍響應的定性關系

2025/2/25第4章根軌跡法67用閉環(huán)零、極點表示的階躍響應表達式

2025/2/25第4章根軌跡法68用閉環(huán)零、極點表示的階躍響應表達式二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為:閉環(huán)特征根在欠阻尼情況下為復根，，位于s平面左側(cè)，如圖4.13所示。2025/2/25第4章根軌跡法69圖4.13二階系統(tǒng)特征根分布用閉環(huán)零、極點表示的階躍響應表達式

2025/2/25第4章根軌跡法70用閉環(huán)零、極點表示的階躍響應表達式

2025/2/25第4章根軌跡法71用閉環(huán)零、極點表示的階躍響應表達式2025/2/25第4章根軌跡法72

用閉環(huán)零、極點表示的階躍響應表達式

2025/2/25第4章根軌跡法73用閉環(huán)零、極點表示的階躍響應表達式及估算系統(tǒng)性能指標時，一定條件下，可以只考慮主導極點所對應的子分量，忽略其他極點的作用，如此相當于將高階系統(tǒng)近似看作一、二階系統(tǒng)，這也是工程實踐中最常用的處理方法。一般來說，其他極點的實部絕對值較主導極點的實部絕對值大4倍以上，近似分析就將有足夠的可靠性。2025/2/25第4章根軌跡法744.4.3利用主導極點估算系統(tǒng)性能指標

2025/2/25第4章根軌跡法75利用主導極點估算系統(tǒng)性能指標2025/2/25第4章根軌跡法76圖4.14系統(tǒng)閉環(huán)零、極點分布利用主導極點估算系統(tǒng)性能指標

2025/2/25第4章根軌跡法77利用主導極點估算系統(tǒng)性能指標

2025/2/25第4章根軌跡法78利用主導極點估算系統(tǒng)性能指標圖4.15系統(tǒng)閉環(huán)零、極點分布2025/2/25第4章根軌跡法790j-4利用主導極點估算系統(tǒng)性能指標

2025/2/25第4章根軌跡法80利用主導極點估算系統(tǒng)性能指標

2025/2/25第4章根軌跡法81利用主導極點估算系統(tǒng)性能指標2025/2/25第4章根軌跡法82圖4.16三階系統(tǒng)根軌跡圖利用主導極點估算系統(tǒng)性能指標阻尼線OA與根軌跡的交點即為相應的閉環(huán)極點，可設相應兩個復數(shù)閉環(huán)極點分別為閉環(huán)特征方程為2025/2/25第4章根軌跡法83利用主導極點估算系統(tǒng)性能指標比較系數(shù)有解得故

時的

值以及相應的閉環(huán)極點為2025/2/25第4章根軌跡法84利用主導極點估算系統(tǒng)性能指標2025/2/25第4章根軌跡法85在求得的3個閉環(huán)極點中，

至虛軸的距離約為

至虛軸的距離的7倍，可見

是系統(tǒng)的主導極點，系統(tǒng)可以近似為二階，即對照二階系統(tǒng)標準式可知利用主導極點估算系統(tǒng)性能指標代入指標公式得2025/2/25第4章根軌跡法86在用根軌跡法對控制系統(tǒng)的性能分析時，必須先畫出具有一定準確度的根軌跡草圖，這就要花費較多的時間；而用下述MATLAB的相關指令，就能既迅速又較精確地畫出系統(tǒng)的根軌跡圖，并能方便地確定根軌跡圖上任一點所對應的一組閉環(huán)極點和相應的根軌跡增益值。1.繪制控制系統(tǒng)的根軌跡圖繪制根軌跡的常用命令為rlocus(num,den)或rlocus(num,den,K)。如果參變量K的范圍是給定的，則MATLAB將按給定的參數(shù)范圍繪制根軌跡；否則K是自動確定，其變化范圍為。在繪制根軌跡圖時，MATLAB有x，y坐標軸的自動定標功能。如果用戶需要，可自行設置坐標的范圍，只要在相應的程序中加上如下的指令：

V=[-xx–yy]；axis（V）它表示x軸的范圍為–x~x，y軸的范圍為–y~y。4.5基于MATLAB的根軌跡分析

4.5.1繪制系統(tǒng)根軌跡圖的MATLAB命令2025/2/25第四章根軌跡87例4.11已知一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試用MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡。2025/2/25第四章根軌跡88例題4.11解:%MATLAB程序4.1K=1；Z=[]；P=[0-1-2];[num,den]=zp2tf(Z,P,K);%將以零、極點形式表示的G（s）rlocus(num,den);V=[-42-33];%坐標范圍axis(V);title(‘Root–locusplotofG(s)=K/s(s+1)(s+2)’);xlabel(‘Re’);ylabel(‘Im’); 運行結(jié)果如圖4.17所示。2025/2/25第四章根軌跡89自動控制原理圖4.17例4.11的根軌跡圖（ａ）2025/2/25第四章根軌跡90自動控制原理2.由根軌跡圖對系統(tǒng)的性能進行分析在對系統(tǒng)性能的分析過程中，一般需要確定根軌跡圖上某一點的根軌跡增益值和其他對應的閉環(huán)極點。對此，只要在rlocus指令后，調(diào)用下面的指令：[K2,P2]=rlocfind(num,den)運行該指令后，在顯示根軌跡圖形的屏幕上會生成一個十字光標，同時在MATLAB的命令窗口出現(xiàn)“Selectapointinthegraphicswindow”,提示用戶選擇某一個點。當使用鼠標移動十字光標到所希望的位置后，單擊左鍵，在MATLAB的命令窗口就會顯示該點的數(shù)值、增益K和對應的其他閉環(huán)極點。例如移動十字光標至圖4.18中的A點，單擊左鍵后，在MATLAB的命令窗口輸出：2025/2/25第四章根軌跡91在A點處根軌跡的增益值為2.0129，另外兩個閉環(huán)極點為-0.2382+0.8608i和-0.2382-0.8608i，因而相應的系統(tǒng)為穩(wěn)定。2025/2/25第四章根軌跡92圖4.18例4.11的根軌跡圖（ｂ）2025/2/25第四章根軌跡934.5.2單極倒立擺系統(tǒng)的根軌跡分析在第二章已得到了倒立擺系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，輸入為小車的加速度，輸出為倒立擺系統(tǒng)擺桿的角度，被控對象的傳遞函數(shù)為2025/2/25第四章根軌跡94在MATLAB下鍵入如下命令：clearnum=[0.02725];den=[0.01021250-0.26705];rlocus(num,den);畫出倒立擺系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡如圖4.19所示，可以看出閉環(huán)傳遞函數(shù)的一個極點位于右半平面，并且有一條根軌跡起始于該極點，并沿著實軸向左移動到零點處并在虛軸上移動，這意味著無論增益如何變化，這條根軌跡總是位于右半平面，即系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的。2025/2/25第四章根軌跡95若在原系統(tǒng)中增加一個-6的零點，MATLAB下鍵入如下命令：clearnum=0.02725*[16];den=[0.01021250-0.26705];rlocus(num,den);則系統(tǒng)根軌跡如圖4.20所示，可以看出閉環(huán)傳遞函數(shù)的一個極點位于右半平面，并沿著實軸向左移動，然后沿橢圓在左半平面上運動，由圖可得當根軌跡增益K*大于1.61時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。2025/2/25第四章根軌跡96若在系統(tǒng)中繼續(xù)增加一個-2５的極點，MATLAB下鍵入如下命令：clearnum=0.02725*[16];den=conv([0.01021250-0.26705],[125]);rlocus(num,den);則系統(tǒng)根軌跡如圖4.21所示，可以看出閉環(huán)傳遞函數(shù)的一個極點從右半平面出發(fā)，并沿著實軸向左移動，然后沿平行于虛軸的直線在左半平面上運動，由圖可得當根軌跡增益K*大于48