北師大版九年級數(shù)學(xué)圓教案

北師大版九年級數(shù)學(xué)《圓》教案課題3.1圓教學(xué)設(shè)計課型新授課R章/單元復(fù)習(xí)￡專題復(fù)習(xí)課￡習(xí)題/試卷講評課￡學(xué)科實(shí)踐活動課￡其他￡【課標(biāo)分析】理解圓、弧、弦的概念，了解等弧、等圓的概念；探索并掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。（義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2022年版）【教材分析】1.教材的地位與作用圓是繼三角形、四邊形等基本圖形后的又一個重要內(nèi)容。圓的知識在航海領(lǐng)域、土木建筑、體育競技、科學(xué)技術(shù)和日常生活中有廣泛應(yīng)用?！秷A》是圓這一章的起始課，本節(jié)課的內(nèi)容為學(xué)生進(jìn)一步探究圓的有關(guān)性質(zhì)奠定了知識和方法的基礎(chǔ)。在經(jīng)歷了形成圓的概念、探索點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的過程中，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活，反過來又作用于生活的思想，領(lǐng)悟分類、歸納等思想方法。培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、抽象和概括等思維能力，同時對學(xué)生形成良好的個性品質(zhì)也有一定的作用。2.教學(xué)重點(diǎn)：圓的概念和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。3.教學(xué)難點(diǎn)：圓的概念的形成過程和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的探索過程。圓是一種特殊的曲線型圖形，以“車輪為什么做成圓形與投圈游戲”這兩個實(shí)際問題為背景直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生的面前，引導(dǎo)學(xué)生探索車輪上的任意一點(diǎn)與軸心的關(guān)系和每一位學(xué)生到小球的距離都相等而使游戲顯得公平。這種呈現(xiàn)方式不僅為學(xué)生感受、理解抽象的概念提供了有力的支撐，而且為學(xué)生自主探索提供了良好的空間。在這里，學(xué)生對圓并不陌生，在小學(xué)和七年級階段學(xué)生對圓已經(jīng)有了直觀的認(rèn)識，但還沒有抽象出“圓可以看成是到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形”這一概念。在本節(jié)課的內(nèi)容中用集合的觀點(diǎn)給出圓的描述性定義，因此，圓的概念和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是教學(xué)重點(diǎn)，而圓的概念形成過程與圓的位置關(guān)系是教學(xué)難點(diǎn)?！緦W(xué)情分析】學(xué)生在七年級《多邊形和圓的初步認(rèn)識》一章中已經(jīng)對圓有了一定的認(rèn)識，同時在學(xué)習(xí)了三角形、四邊形等直線型圖形以及圖形的變換等知識的基礎(chǔ)上系統(tǒng)的探究圓的相關(guān)知識，學(xué)生能夠更好的理解與接受。本節(jié)課，將從集合的思想定義圓，這實(shí)際上就是關(guān)于軌跡的概念，部分同學(xué)可能存在理解上的困難?！緦W(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過探索一的活動，學(xué)生能自主概括圓的集合定義；2.能準(zhǔn)確理解弦、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、同心圓、等圓、等弧等與圓有關(guān)的概念，并了解它們之間的區(qū)別和聯(lián)系.3.通過探索二的活動能夠概括出點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.【評價任務(wù)】評價任務(wù)1：對照目標(biāo)二，完成練一練；評價任務(wù)2：對照目標(biāo)三，完成做一做；評價任務(wù)3：對照目標(biāo)一，能完成探索一活動；【學(xué)習(xí)過程】教學(xué)活動學(xué)生活動教學(xué)評價環(huán)節(jié)一：情景引入1、揭示概念產(chǎn)生的背景（多媒體輔助）環(huán)節(jié)二：探索一：圓的定義2、展示概念的形成過程活動一：通過從手推車，自行車，摩托車，小汽車等輪子的觀察，我們發(fā)現(xiàn)各種車的輪子都是以圓形為結(jié)構(gòu)。從而引發(fā)學(xué)生思考車輪為什么是圓的？車輪可以是正方形、橢圓形、三角形結(jié)構(gòu)的嗎？欣賞科普動畫視頻，車輪為什么是圓的？試著用準(zhǔn)備好的圓形、正方形、三角形、橢圓形模具動手操作說明車輪為什么是圓的而不是其它形狀的。問題1：車輪在滾動過程中圓上各點(diǎn)有什么特點(diǎn)？問題2：車輪在滾動過程中什么沒有改變？3抽象概括，形成概念：活動二：議一議：一些學(xué)生在做投圈游戲，他們呈“一”字排開。這樣的對形對每個人都公平嗎？你認(rèn)為應(yīng)排成什么樣的隊(duì)形？為什么？抽象概括，形成概念：試一試：用自己的語言描述圓的概念。用多媒體演示圓定義：圓可以看成是到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形。其中定點(diǎn)就是圓心，定長就是半徑，以點(diǎn)0為圓心的圓記做⊙0，讀做“圓0”。環(huán)節(jié)三：認(rèn)識圓中的相關(guān)概念結(jié)合圖形理解弦，弧等概念環(huán)節(jié)四：探索二：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系問題3：觀察下圖，其中點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有哪幾種？問題4：設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d,圓的半徑為r，量一量在點(diǎn)和圓三種不同位置關(guān)系時，d與r有怎樣的數(shù)量關(guān)系？明晰：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓外，點(diǎn)到圓心的距離大于半徑；點(diǎn)在圓上，點(diǎn)到圓心的距離等于半徑；點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)到圓心的距離小于半徑；追問：反過來，由d與r的數(shù)量關(guān)系，怎樣判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系呢？做一做：設(shè)AB=3cm，畫圖說明滿足下列要求的圖形：（1）到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離都等于2cm的所有點(diǎn)組成的圖形。（2）到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離都小于2cm的所有點(diǎn)組成的圖形。環(huán)節(jié)五：課堂練習(xí)，鞏固提升1.已知⊙O的半徑為5，判斷點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系．（1）若PO=8，則點(diǎn)P在；（2）若PO=4，則點(diǎn)P在；（3）若PO=，則點(diǎn)P在圓上．2．如圖，（1）若點(diǎn)O為⊙O的圓心，則線段是圓O的半徑；線段是圓O的弦，其中最長的弦是；是劣??；是半圓．（2）若∠A＝40°，則∠ABO＝，∠C＝，∠ABC＝．3．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB、CD的延長線交于點(diǎn)E，已知，AB＝2DE，∠AEC＝20°，則∠AOC度數(shù)為．4．已知如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，AB的中點(diǎn)為點(diǎn)M．（1）以點(diǎn)C為圓心，4為半徑作⊙C，則點(diǎn)A、B、M分別與⊙C有怎樣的位置關(guān)系？（2）若以點(diǎn)C為圓心作⊙C，使A、B、M三點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在⊙C內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在⊙C外，求⊙C的半徑r的取值范圍．環(huán)節(jié)六：反思總結(jié)暢談收獲1、通過本堂課，你能從哪些方面定義圓？2、通過本堂課，你掌握了圓中的哪些相關(guān)概念？3、通過本堂課，你知道怎么去判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系嗎？4、本堂課涉及到了哪些數(shù)學(xué)方法？讓學(xué)生去說，培養(yǎng)學(xué)生歸納與說理語言表達(dá)能力。環(huán)節(jié)一：欣賞畫面中的和諧美，舉出生活中其他的例子。環(huán)節(jié)二：觀看動畫，感受圓形車輪轉(zhuǎn)動起來最平穩(wěn)。觀察車輪邊緣任意一點(diǎn)與軸心的距離，用各種方法作出判斷。將這些點(diǎn)推廣到一般情況，使學(xué)生認(rèn)識到圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離是一個定值。討論應(yīng)排成什么樣的隊(duì)形可以使游戲公平，并通過畫圓解決活動二，并體會圓是怎樣形成的。環(huán)節(jié)三：觀察比較，得出一個是等圓，另一個是同心圓。進(jìn)一步得出確定一個圓需要兩個條件：圓心和半徑。同時結(jié)合圖形和教師一起認(rèn)識圓中的弦，弧等圖形，并能準(zhǔn)確表示。環(huán)節(jié)四：小組合作，自主探索，大膽發(fā)言，相互補(bǔ)充，突破難點(diǎn)。環(huán)節(jié)五：利用所學(xué)知識完成課堂練習(xí)，完成后發(fā)言并相互進(jìn)行補(bǔ)充。環(huán)節(jié)六：學(xué)生總結(jié)并分享本節(jié)課的收獲與疑惑。通過這些精美的畫面的展示，讓學(xué)生切身感受到生活離不開圓，也激發(fā)學(xué)生思考為什么離不開圓。引出下一個活動：以車輪為背景來研究圓，認(rèn)識圓。在學(xué)生動手操作后，追問兩個問題，一方面加強(qiáng)學(xué)生對車輪為什么做成圓形更穩(wěn)定原因的思考。另一方面也在幫助學(xué)生從另一個角度（集合）認(rèn)識圓。通過設(shè)計游戲方案，使學(xué)生拋開車輪背景，在自己設(shè)計的游戲方案中再一次體會圓的形成過程，抽象概括出圓的定義。這樣的設(shè)計，使得學(xué)生在游戲中將自己的活動經(jīng)驗(yàn)用自己的語言概括出來，突破了本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。經(jīng)歷“探索—發(fā)現(xiàn)”的過程，培養(yǎng)了學(xué)生大膽表達(dá)自己的觀點(diǎn)和見解,張揚(yáng)學(xué)生個性，讓學(xué)生充分體驗(yàn)探索后的成就感.問題3的目的是：讓學(xué)生通過觀察從特殊點(diǎn)去感受“點(diǎn)與圓之間的位置關(guān)系”培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維和數(shù)學(xué)悟性。問題4和追問的設(shè)計是讓學(xué)生理解反過來這種數(shù)量關(guān)系也可以判斷點(diǎn)與圓的位置根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知情況，鞏固練習(xí)的設(shè)計遵循由簡到難，層層遞進(jìn)的原則，逐步形成技能。通過小結(jié)鞏固所學(xué)知識，總結(jié)本節(jié)課的收獲。教學(xué)設(shè)計思路說明1.本節(jié)課的設(shè)計實(shí)施思路是：在教學(xué)中充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用．教師為學(xué)生提供探索和討論的問題情境和素材，使學(xué)生在自主探索和合作交流的基礎(chǔ)上經(jīng)歷認(rèn)識圓的一般過程：圓的定義—圓中的相關(guān)概念—點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．2.在整個課堂活動中，特別注重了問題串的設(shè)置與目標(biāo)的達(dá)成相呼應(yīng)，既有學(xué)生觀察、探究的內(nèi)容，也有學(xué)生自主設(shè)計的內(nèi)容；使學(xué)生在生動有趣的數(shù)學(xué)活動中對目標(biāo)有感悟與理解?！景鍟O(shè)計】3.1圓學(xué)生作品展示區(qū)：一、圓的定義二、圓中的相關(guān)概念三、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系3.1圓作業(yè)設(shè)計作業(yè)內(nèi)容基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．已知⊙O的直徑AB＝6cm，則圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離等于（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．無法確定2．下列說法：①直徑是圓中最長的弦，弦是直徑；②半徑相等的兩個半圓是等??；③半圓是弧，但弧不一定是半圓④長度相等的兩條弧是等??；⑤經(jīng)過圓內(nèi)一定點(diǎn)可以作無數(shù)條直徑，其中正確的命題有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題3．如圖，在⊙O中，半徑有，直徑有，弦有，劣弧有，優(yōu)弧有．如圖，A，B，C是⊙O上的三點(diǎn)，∠CAO＝25°，∠BCO＝35°，則∠AOB＝度．三、解答題5．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC的中點(diǎn)，現(xiàn)在以D為圓心，以DC為半徑作⊙D，求：（1）BC＝8時，點(diǎn)A與⊙D的位置關(guān)系；（2）BC＝6時，點(diǎn)A與⊙D的位置關(guān)系；（3）BC＝5時，點(diǎn)A與⊙D的位置關(guān)系．6．已知，如圖，OA，OB為⊙O的半徑，C，D分別為OA，OB的中點(diǎn)．求證：（1）∠A＝∠B；（2）AE＝BE．能力提升一、填空題7．平面上有⊙O及一點(diǎn)P，P到⊙O上一點(diǎn)的距離最長為6cm，最短為2cm，則⊙O的半徑為cm．8．如圖，數(shù)軸上半徑為1的⊙O從原點(diǎn)O開始以每秒1個單位的速度向右運(yùn)動，同時，距原點(diǎn)右邊7個單位有一點(diǎn)P以每秒2個單位的速度向左運(yùn)動，經(jīng)過秒后，點(diǎn)P在⊙O上．二、解答題9．如圖所示，已知矩形ABCD的邊AB＝3cm，AD＝4cm．（1）以點(diǎn)A為圓心，4cm為半徑作⊙A，則點(diǎn)B，C，D與⊙A的位置關(guān)系如何？（2）若以點(diǎn)A為圓心作⊙A，使B，C，D三點(diǎn)中至少有一個點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，則⊙A的半徑r的取值范圍是什么？10．如圖，拋物線y＝x2﹣4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，P是以點(diǎn)C（0，3）為圓心，2為半徑的圓上的動點(diǎn)，Q是線段PA的中點(diǎn)，連接OQ，求線段OQ的最小值．設(shè)計說明一、作業(yè)設(shè)計目標(biāo)1.知道圓以及弦、?。▋?yōu)弧、劣?。?、圓心角、等圓、等弧等相關(guān)概念.2.知道點(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系，會從定性和定量兩個維度判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.二、完成作業(yè)要求1.獨(dú)立完成2.完成時間20-25分鐘3.字跡工整三、學(xué)生作業(yè)評價說明本作業(yè)采用教師批閱，及時指出學(xué)生錯誤，并由學(xué)生及時改錯的評價方式四、使用作業(yè)建議本作業(yè)要求學(xué)生要通過寫出計算和推理過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的幾何推理能力和表達(dá)能力．在作業(yè)布置上分層實(shí)施，學(xué)習(xí)能力強(qiáng)完成1-10題，能力中等的學(xué)生完成1-9題，既鞏固性質(zhì)，又發(fā)展推理意識；學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生建議可以僅完成基礎(chǔ)鞏固1、2、3、4、5、6、7題，掌握點(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系.五、作業(yè)解析及說明1．【分析】根據(jù)⊙O的直徑AB＝6cm，利用圓的性質(zhì)得出圓上各點(diǎn)到圓心的距離等于半徑進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵⊙O的直徑AB＝6cm，故圓的半徑為3cm，∴圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離等于3cm，故選：C．【設(shè)計意圖】此題主要考查了圓的性質(zhì)，根據(jù)圓上各點(diǎn)到圓心的距離等于半徑是解題關(guān)鍵．2．【分析】根據(jù)弦、弧、等弧的定義即可求解．【解答】解：①直徑是圓中最長的弦，但弦不一定是直徑，假命題；②半徑相等的兩個半圓是等弧，真命題；③半圓是弧，但弧不一定是半圓，真命題；④在等圓或同圓中，長度相等的兩條弧是等弧，假命題；⑤如果該定點(diǎn)和圓心不重合，根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，則只能作一條直徑，假命題；故選：B．【設(shè)計意圖】本題考查了圓的認(rèn)識：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等），難度一般．3．【分析】根據(jù)半徑、直徑、弦、劣弧和優(yōu)弧的定義求解．【解答】解：在⊙O中，半徑有OA、OB、OC、OD，直徑有AB，弦有AB、BC，劣弧有、、、、，優(yōu)弧有、、、、．故答案為OA、OB、OC、OD；AB、BC；、、、、；、、、、．【設(shè)計意圖】本題考查了圓的認(rèn)識：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．4．【分析】根據(jù)等邊對等角，即可求得∠ACO的度數(shù)，則∠ACB的度數(shù)可以求得，然后根據(jù)圓周角定理，即可求得∠AOB的度數(shù)．【解答】解：∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO＝25°，∴∠ACB＝∠ACO+∠BCO＝25°+35°＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×60°＝120°．故答案是：120．【設(shè)計意圖】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)定理：等邊對等角，外角的性質(zhì)定理．5．【分析】連接AD，（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求AD的長，再根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可求點(diǎn)A與⊙D的位置關(guān)系，從而求解；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求AD的長，再根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可求點(diǎn)A與⊙D的位置關(guān)系，從而求解；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求AD的長，再根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可求點(diǎn)A與⊙D的位置關(guān)系，從而求解．【解答】解：連接AD，（1）∵在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴CD＝4，∴AD＝3，∵4＞3，∴點(diǎn)A在⊙D內(nèi)；（2）∵在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴CD＝3，∴AD＝4，∵4＞3，∴點(diǎn)A在⊙D外；（3）∵在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝5，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴CD＝，∴AD＝，∵＝，∴點(diǎn)A在⊙D上．【設(shè)計意圖】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是得到點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離．6．【分析】（1）首先根據(jù)全等三角形的判定方法證明△AOD≌△BOC，由全等三角形的性質(zhì)即可得到∠A＝∠B；（2）由（1）可知∠A＝∠B再加條件對頂角相等即可證明△ACE≌△BDE，利用全等三角形的性質(zhì)即可證明AE＝BE．【解答】（1）證明：∵C、D是OA、OB的中點(diǎn)，∴OC＝OD＝AC＝BD，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS）∴∠A＝∠B；（2）在△ACE和△BDE中，，∴△ACE≌△BDE（AAS），∴AE＝BE．【設(shè)計意圖】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及圓的基本性質(zhì)，其中全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．7．【分析】解答此題應(yīng)進(jìn)行分類討論，點(diǎn)P可能位于圓的內(nèi)部，也可能位于圓的外部．【解答】解：當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時，則直徑＝6+2＝8cm，因而半徑是4cm；當(dāng)點(diǎn)P在圓外時，直徑＝6﹣2＝4cm，因而半徑是2cm．所以⊙O的半徑為4或2cm．故答案為：4或2．【設(shè)計意圖】考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是首先要進(jìn)行分類討論，其次是理解最長距離和最短距離和或差的意義．8．【分析】點(diǎn)P在圓上有兩種情況，其一在圓心的左側(cè)，其二點(diǎn)在圓心的右側(cè)，據(jù)此可以得到答案．【解答】解：設(shè)x秒后點(diǎn)P在圓O上，∵原點(diǎn)O開始以每秒1個單位的速度向右運(yùn)動，同時，距原點(diǎn)右邊7個單位有一點(diǎn)P以每秒2個單位的速度向左運(yùn)動，∴當(dāng)