2025年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)講與練第04講數(shù)列求和綜合(分組求和、裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減(萬能公式)、奇偶并項(xiàng)、周期綜合)(學(xué)生版+解析)

第04講數(shù)列求和綜合（分組求和、裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減（萬能公式）、奇偶并項(xiàng)、周期綜合）（6類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新Ⅱ卷，第12題,5分求等差數(shù)列前n項(xiàng)和等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算2024年全國(guó)甲卷，第18題,12分錯(cuò)位相減法求和利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)2023年新Ⅱ卷，第18題,12分分組(并項(xiàng))-奇偶項(xiàng)求和利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求等差數(shù)列前n項(xiàng)和2023年全國(guó)甲卷（理科），第17題,10分錯(cuò)位相減法求和利用與關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)2022年新I卷，第17題,10分裂項(xiàng)相消法求和利用與關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)累乘法求數(shù)列通項(xiàng)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)2022年新Ⅱ卷，第22題,12分裂項(xiàng)相消法求和利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2021年新I卷，第16題,5分錯(cuò)位相減法求和數(shù)與式中的歸納推理2021年新I卷，第17題,10分分組(并項(xiàng))-奇偶項(xiàng)求和由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式求等差數(shù)列前n項(xiàng)和2021年全國(guó)乙卷（文科），第19題,12分錯(cuò)位相減法求和等差中項(xiàng)的應(yīng)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，小題分值為5-6分，大題13-17分【備考策略】1.熟練掌握裂項(xiàng)相消求和2.熟練掌握錯(cuò)位相減求和3.熟練掌握拆項(xiàng)分組求和法、并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和法、倒序相加求和法，能綜合解決數(shù)列的求和問題4.熟練掌握數(shù)列中不等式的綜合問題【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，?？疾榱秧?xiàng)相消求和、錯(cuò)位相減求和、奇偶并項(xiàng)求和，需重點(diǎn)綜合復(fù)習(xí)知識(shí)講解1．公式法(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式①當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；②當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).2．分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)能求和的數(shù)列，再求解．3．裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)．常見的裂項(xiàng)技巧：；；指數(shù)型；對(duì)數(shù)型.等4．倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣．5．錯(cuò)位相減法主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣．萬能公式：形如的數(shù)列求和為，其中，，6．并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．考點(diǎn)一、公式法直接求和1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．2．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．3．（2020·海南·高考真題）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求.4．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)等比數(shù)列{an}滿足，．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列{log3an}的前n項(xiàng)和．若，求m．1．（2024·四川遂寧·三模）等比數(shù)列中，，．(1)求的通項(xiàng)公式：(2)記為的前n項(xiàng)和，若，求m．2．（2024·浙江·三模）已知等差數(shù)列的公差不為零，成等比數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求.3．（2024·江蘇南通·二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，.(1)求，，并證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求.4．（2024·遼寧·二模）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，且.若等差數(shù)列，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求n的最大值.5．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和.考點(diǎn)二、分組轉(zhuǎn)化求和1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.2．（2024·浙江臺(tái)州·一模）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為，若，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．1．（22-23高三上·山東濰坊·階段練習(xí)）已知公差不為零的等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為10，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2．（2024·山東·二模）已知數(shù)列，中，，，是公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.35．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．考點(diǎn)三、裂項(xiàng)相消求和1．（全國(guó)·高考真題）設(shè)數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2022·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．3．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，已知與的等差中項(xiàng)等于與的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求的前項(xiàng)和.4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）在等差數(shù)列（）中，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明.1．（23-24高二下·浙江麗水·期中）設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，證明：．2．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.3．（2024·浙江麗水·二模）設(shè)等差數(shù)列的公差為，記是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.考點(diǎn)四、錯(cuò)位相減求和1．（2024·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．3．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．4．（2024·江蘇無錫·二模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和.若對(duì)任意的恒成立，求k的取值范圍.1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2024·貴州遵義·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且點(diǎn)在直線上．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．3．（2024·浙江·三模）已知等比數(shù)列和等差數(shù)列，滿足，，，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為．證明：．考點(diǎn)五、奇偶并項(xiàng)求和1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．2．（2024·河北保定·二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.3．（2024·山東濰坊·三模）已知正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若求數(shù)列的前項(xiàng)和.4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足當(dāng)時(shí)，(1)求和，并證明當(dāng)為偶數(shù)時(shí)是等比數(shù)列；(2)求5．（2020·天津·高考真題）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．1．（2024·黑龍江·三模）已知等差數(shù)列的公差，與的等差中項(xiàng)為5，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)求數(shù)列的前20項(xiàng)和.2．（2024·福建廈門·三模）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且為等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前項(xiàng)和.3．（2024·山東·二模）已知是公差不為0的等差數(shù)列，其前4項(xiàng)和為16，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.4．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，求n的最小值.考點(diǎn)六、數(shù)列求和之不等式綜合1．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：．2．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）記各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知是與的等差中項(xiàng).(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)積．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，證明：．4．（2024·福建三明·三模）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；(3)記，求證：．1．（2024·山東煙臺(tái)·三模）在數(shù)列中，已知，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：.2．（2024·浙江杭州·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足，令，求證：．3．（2024·安徽合肥·三模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，是公差為2的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：．4．（2024·陜西銅川·三模）已知數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求正整數(shù)的最大值.5．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，，求證：．1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，數(shù)列也為等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．3．（2024·山西呂梁·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.4．（2024·四川成都·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，是等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：.1．（2023·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，為的前項(xiàng)和，為等差數(shù)列．(1)求與的關(guān)系；(2)若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得成立的的最大值．3．（23-24高二上·江蘇淮安·期末）已知數(shù)列的各項(xiàng)均大于1，其前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，，，數(shù)列滿足，且，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求的前項(xiàng)和.4．（2023·湖南永州·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和．5．（23-24高三上·江蘇南通·期末）設(shè)的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知，且的前項(xiàng)和為，求證：.6．（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知．(1)證明：為等比數(shù)列，求出的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前項(xiàng)和．7．（2024·河南·三模）已知數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，且其前項(xiàng)和.(1)證明：是等差數(shù)列，并求；(2)如果，求數(shù)列的前項(xiàng)和.8．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，為的前n項(xiàng)和，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.9．（23-24高三下·河南濮陽·開學(xué)考試）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為整數(shù)，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，比較與的大小關(guān)系，并說明理由.10．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且數(shù)列為等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)定義：表示不超過x的最大整數(shù)．設(shè)，求數(shù)列的前114項(xiàng)和．1．（全國(guó)·高考真題）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，為整數(shù)，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.2．（全國(guó)·高考真題）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（廣東·高考真題）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)一切的正整數(shù)都有4．（山東·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，是等差數(shù)列，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.5．（廣東·高考真題）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足且構(gòu)成等比數(shù)列．(1)證明：；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)，有．6．（山東·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.7．（浙江·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足：對(duì)每成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記證明：8．（全國(guó)·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且.（1）求、的通項(xiàng)公式：（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．9．（湖北·高考真題）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，為等比數(shù)列，且(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列前項(xiàng)和.10．（重慶·高考真題）設(shè)數(shù)列滿足：，，．(1)令，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．第04講數(shù)列求和綜合（分組求和、裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減（萬能公式）、奇偶并項(xiàng)、周期綜合）（6類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新Ⅱ卷，第12題,5分求等差數(shù)列前n項(xiàng)和等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算2024年全國(guó)甲卷，第18題,12分錯(cuò)位相減法求和利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)2023年新Ⅱ卷，第18題,12分分組(并項(xiàng))-奇偶項(xiàng)求和利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求等差數(shù)列前n項(xiàng)和2023年全國(guó)甲卷（理科），第17題,10分錯(cuò)位相減法求和利用與關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)2022年新I卷，第17題,10分裂項(xiàng)相消法求和利用與關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)累乘法求數(shù)列通項(xiàng)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)2022年新Ⅱ卷，第22題,12分裂項(xiàng)相消法求和利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2021年新I卷，第16題,5分錯(cuò)位相減法求和數(shù)與式中的歸納推理2021年新I卷，第17題,10分分組(并項(xiàng))-奇偶項(xiàng)求和由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式求等差數(shù)列前n項(xiàng)和2021年全國(guó)乙卷（文科），第19題,12分錯(cuò)位相減法求和等差中項(xiàng)的應(yīng)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，小題分值為5-6分，大題13-17分【備考策略】1.熟練掌握裂項(xiàng)相消求和2.熟練掌握錯(cuò)位相減求和3.熟練掌握拆項(xiàng)分組求和法、并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和法、倒序相加求和法，能綜合解決數(shù)列的求和問題4.熟練掌握數(shù)列中不等式的綜合問題【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，?？疾榱秧?xiàng)相消求和、錯(cuò)位相減求和、奇偶并項(xiàng)求和，需重點(diǎn)綜合復(fù)習(xí)知識(shí)講解1．公式法(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式①當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；②當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).2．分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)能求和的數(shù)列，再求解．3．裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)．常見的裂項(xiàng)技巧：；；指數(shù)型；對(duì)數(shù)型.等4．倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣．5．錯(cuò)位相減法主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣．萬能公式：形如的數(shù)列求和為，其中，，6．并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．考點(diǎn)一、公式法直接求和1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；（2）法一：由（1）及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可得到的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．【詳解】（1）因?yàn)椋储伲?dāng)時(shí)，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時(shí)，．[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號(hào)法由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，即有.則當(dāng)或時(shí)，．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，適用于可以求出的表達(dá)式；法二：根據(jù)鄰項(xiàng)變號(hào)法求最值，計(jì)算量小，是該題的最優(yōu)解．2．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】(1)；(2)7.【分析】(1)由題意首先求得的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)首先求得前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，，從而：，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.【點(diǎn)睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用.3．（2020·海南·高考真題）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求.【答案】（1）；（2）【分析】(1)由題意得到關(guān)于首項(xiàng)、公比的方程組，求解方程組得到首項(xiàng)、公比的值即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)首先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解其前n項(xiàng)和即可.【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>1)，則，整理可得：，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.(2)由于：，故：.【點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式是數(shù)列求和的基礎(chǔ).4．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)等比數(shù)列{an}滿足，．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列{log3an}的前n項(xiàng)和．若，求m．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，列出方程組，求得首項(xiàng)和公比，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；（2）由（1）求出的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列求和公式求得，根據(jù)已知列出關(guān)于的等量關(guān)系式，求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，有，解得，所以；（2）令，所以，根據(jù)，可得，整理得，因?yàn)椋?，【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算，以及等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題目.1．（2024·四川遂寧·三模）等比數(shù)列中，，．(1)求的通項(xiàng)公式：(2)記為的前n項(xiàng)和，若，求m．【答案】(1)或．(2)．【分析】（1）由條件求出公比，即可求解通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，代入等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求解.【詳解】（1）等比數(shù)列中，，．，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的通項(xiàng)公式為，或．（2）記為的前n項(xiàng)和．當(dāng)，時(shí)，，由，得，，無解；當(dāng)，時(shí)，，由，得，，解得．2．（2024·浙江·三模）已知等差數(shù)列的公差不為零，成等比數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解，（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】（1）由題意(1)由(1)(2)可得所以（2），，，故為等差數(shù)列，.3．（2024·江蘇南通·二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，.(1)求，，并證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求.【答案】(1)，，證明見解析；(2)420.【分析】（1）直接代入可得，再代入，結(jié)合的值求出；再由仿寫出，作差后得到，即可證明結(jié)果.（2）由（1）知數(shù)列為等差數(shù)列，然后代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由條件得，所以.當(dāng)時(shí)，由條件得，所以.因?yàn)?，所以（），兩式相減得：，即，所以，從而數(shù)列為等差數(shù)列.（2）由（1）知，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，所以，所以.4．（2024·遼寧·二模）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，且.若等差數(shù)列，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求n的最大值.【答案】(1)(2)3【分析】（1）根據(jù)題意，由可得，然后由列出方程，即可得到，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.（2）根據(jù)題意，由（1）中的結(jié)論可得，代入計(jì)算即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，則，，，由為等差數(shù)列，所以，即，化簡(jiǎn)可得，因?yàn)?，所以且，所以，則，所以，則.（2）因?yàn)?，則，由（1）可知，則，由可得，解得，且，所以n的最大值為.5．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）兩邊同時(shí)取到數(shù)，構(gòu)造等比數(shù)列求解即可；（2）放縮法證明不等式即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，故，所以，整理得?/p>

又，，，所以為定值，

故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，得.（2）因?yàn)椋?/p>

所以．考點(diǎn)二、分組轉(zhuǎn)化求和1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項(xiàng)后可求通項(xiàng)；（2）利用分組求和法即可求.【詳解】（1）因?yàn)?故，所以即故等比數(shù)列的公比為，故，故，故.（2）由等比數(shù)列求和公式得，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.2．（2024·浙江臺(tái)州·一模）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為，若，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義和求和公式求，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）由（1）可得：，利用分組求和結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式運(yùn)算求解.【詳解】（1）設(shè)的公比為，因?yàn)?，即，且，可得，解得或（舍去）．又因?yàn)?，解得，所?（2）由（1）可得：，所以，所以.1．（22-23高三上·山東濰坊·階段練習(xí)）已知公差不為零的等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為10，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】(1)由題意知，求出變量的值，進(jìn)而得到通項(xiàng)；（2）由題意得到，分組求和即可得到結(jié)果.【詳解】（1）解：由題意知，解得，，或，（舍去），所以.（2）解：，將這個(gè)數(shù)列分為兩部分，一部分是等差數(shù)列，一部分是等比數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式得到：.2．（2024·山東·二模）已知數(shù)列，中，，，是公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)題意及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)運(yùn)用分組求和法，以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式即可計(jì)算出前項(xiàng)和．【詳解】（1）由題意，可得，故，，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，，，．（2）由題意及（1），可得，則．35．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）將等式變形為（為非零常數(shù)）的形式，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；（2）首先結(jié)合（1）的結(jié)論求出an的通項(xiàng)公式，再利用分組求和的方式，結(jié)合等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】（1），，，．又，，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，，．考點(diǎn)三、裂項(xiàng)相消求和1．（全國(guó)·高考真題）設(shè)數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【解析】（1）利用遞推公式,作差后即可求得的通項(xiàng)公式.（2）將的通項(xiàng)公式代入,可得數(shù)列的表達(dá)式.利用裂項(xiàng)法即可求得前項(xiàng)和.【詳解】（1）數(shù)列滿足時(shí),∴∴當(dāng)時(shí),,上式也成立∴（2）∴數(shù)列的前n項(xiàng)和【點(diǎn)睛】本題考查了利用遞推公式求通項(xiàng)公式,裂項(xiàng)法求和的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2．（2022·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，得到，利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，,進(jìn)而得：，利用累乘法求得，檢驗(yàn)對(duì)于也成立，得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到，進(jìn)而證得.【詳解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對(duì)于也成立，∴的通項(xiàng)公式；（2）∴3．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，已知與的等差中項(xiàng)等于與的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）與的等差中項(xiàng)等于與的等比中項(xiàng)，推出并由此得出，進(jìn)而得的遞推關(guān)系，從而推得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用（1）得到，并利用裂項(xiàng)相消法求和，進(jìn)而得解.【詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)有，，所以，解得：，，整理得，由此得，所以，整理得，由題意知，所以，即數(shù)列為等差數(shù)列，其中，公差，所以.（2）令，則，故，，所以.4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）在等差數(shù)列（）中，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差，即可得解；（2）利用裂項(xiàng)相消法求出，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，即，解得，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）∵，∴，（方法一），∴化簡(jiǎn)得：，∴.（方法二），∴.1．（23-24高二下·浙江麗水·期中）設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)求和公式求出公差和首項(xiàng)，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）由（1）可得，根據(jù)裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得，即可證明.【詳解】（1），由，所以，所以．（2）所以2．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由和關(guān)系作差得，再求出首項(xiàng)結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可得到答案；（2）求出，代入化簡(jiǎn)得，最后利用裂項(xiàng)相消求和法即可.【詳解】（1）由，得①，當(dāng)時(shí)，，解得（負(fù)值舍去）.當(dāng)時(shí)，②，①②，得，化為，因?yàn)椋?，解得，所以?shù)列是首項(xiàng)為3、公差為2的等差數(shù)列，所以，即.（2）由（1）知，所以，從而，則，，…，，以上n個(gè)式子相加，得.3．（2024·浙江麗水·二模）設(shè)等差數(shù)列的公差為，記是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)或(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列求和公式及下標(biāo)和性質(zhì)得到和，從而得到或，再分別求出通項(xiàng)公式；（2）依題意可得，求出，則，利用分組求和法及裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得.【詳解】（1）由，，得，解得，由，，所以，所以或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)；綜上可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為或；（2）因?yàn)?，所以，則，則，所以.4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用與關(guān)系：求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)寫出，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)椋?，因此，所以?dāng)時(shí)，，即，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，所以.（2）由（1）可得，，所以，所以.考點(diǎn)四、錯(cuò)位相減求和1．（2024·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用退位法可求的通項(xiàng)公式．（2）利用錯(cuò)位相減法可求.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，所以即，而，故，故，∴數(shù)列是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）,所以故所以，.2．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)即可求出；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可解出．【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，所以，化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)都滿足上式，所以．（2）因?yàn)?，所以，，兩式相減得，，，即，．3．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．【答案】（1），；（2）證明見解析.【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；（2）利用公式法、錯(cuò)位相減法分別求出，再作差比較即可.【詳解】（1）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用錯(cuò)位相減法求和，，．設(shè)，

⑧則．

⑨由⑧-⑨得．所以．因此．故．[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯(cuò)位相減求和法證明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.[方法三]：構(gòu)造裂項(xiàng)法由（Ⅰ）知，令，且，即，通過等式左右兩邊系數(shù)比對(duì)易得，所以．則，下同方法二．[方法四]：導(dǎo)函數(shù)法設(shè)，由于，則．又，所以，下同方法二．【整體點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時(shí)采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項(xiàng)化簡(jiǎn)的更為簡(jiǎn)潔.（2）的方法一直接作差后利用錯(cuò)位相減法求其部分和，進(jìn)而證得結(jié)論；方法二根據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn)，分別利用公式法和錯(cuò)位相減法求得,然后證得結(jié)論,為最優(yōu)解；方法三采用構(gòu)造數(shù)列裂項(xiàng)求和的方法，關(guān)鍵是構(gòu)造，使，求得的表達(dá)式，這是錯(cuò)位相減法的一種替代方法，方法四利用導(dǎo)數(shù)方法求和，也是代替錯(cuò)位相減求和法的一種方法.4．（2024·江蘇無錫·二模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和.若對(duì)任意的恒成立，求k的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）運(yùn)用公式，已知求即可；（2）求出，后運(yùn)用錯(cuò)位相減求出，后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可解．【詳解】（1）①，且，當(dāng)時(shí)，代入①得；當(dāng)時(shí)，.②①-②得，整理得，因?yàn)?，所以，所以?shù)列為等差數(shù)列，公差為1，所以.（2），，③，④③-④得，所以，所以，且，化簡(jiǎn)得，令，所以，所以的最大值為，所以.所以的取值范圍為.1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用題給條件求得數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，再求得其首項(xiàng)的值，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】（1），．，，，數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列．，，．（2）由（1）知，，，①，②①②得，．2．（2024·貴州遵義·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且點(diǎn)在直線上．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由的關(guān)系消去易得，（），檢驗(yàn)時(shí)滿足，得等比數(shù)列，即可求得其通項(xiàng)；（2）將（1）結(jié)論代入得，寫出，利用錯(cuò)位相減法，即可求得.【詳解】（1）由題意，，當(dāng)時(shí)，，因①，當(dāng)時(shí)，②，由①-②可得，，即，又因時(shí)，，故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則.（2）由（1）可得，則，于是，，③，④由③-④：，，，，則得.3．（2024·浙江·三模）已知等比數(shù)列和等差數(shù)列，滿足，，，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為．證明：．【答案】(1)，．(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)的公比為，等差數(shù)列的公差為，依題意得到方程組，解得、，即可得解；（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法求出，即可得到，再由分組求和及裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得.【詳解】（1）等比數(shù)列滿足，，所以單調(diào)遞增，設(shè)的公比為，等差數(shù)列的公差為，依題意可得，解得或（舍去），所以，．（2）由（1）可得，所以所以，故，又，，即，所以．考點(diǎn)五、奇偶并項(xiàng)求和1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，并與作差比較作答.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.方法2：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.2．（2024·河北保定·二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系由：求解即可；（2）根據(jù)通項(xiàng)分奇偶分別計(jì)算求和，結(jié)合裂項(xiàng)相消和等比數(shù)列求和公式即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也符合.綜上，.（2）由則，故的前項(xiàng)和.3．（2024·山東濰坊·三模）已知正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)成等比數(shù)列求得，即可求得的通項(xiàng)公式.（2）根據(jù)的通項(xiàng)公式求得，分奇偶項(xiàng)分別求出再求和，即可求得的前項(xiàng)和.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，解得或，又因?yàn)?，所以，所?（2），所以，所以，，所以前項(xiàng)和.4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足當(dāng)時(shí)，(1)求和，并證明當(dāng)為偶數(shù)時(shí)是等比數(shù)列；(2)求【答案】(1)3，7，證明見解析(2)【分析】（1）利用遞推公式易求，，利用遞推關(guān)系可證結(jié)論；（2）由（1）可得為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，可求得，計(jì)算可求結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，.，，又，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）知，，設(shè)，則

為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；設(shè)，為奇數(shù)時(shí)，，.5．（2020·天津·高考真題）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【分析】(Ⅰ)由題意分別求得數(shù)列的公差、公比，然后利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到結(jié)果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結(jié)論首先求得數(shù)列前n項(xiàng)和，然后利用作差法證明即可；(Ⅲ)分類討論n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后分別利用指數(shù)型裂項(xiàng)求和和錯(cuò)位相減求和計(jì)算和的值，據(jù)此進(jìn)一步計(jì)算數(shù)列的前2n項(xiàng)和即可.【詳解】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.由，，可得d=1.從而的通項(xiàng)公式為.由，又q≠0，可得，解得q=2，從而的通項(xiàng)公式為.(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，故，，從而，所以.(Ⅲ)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，對(duì)任意的正整數(shù)n，有，和①由①得②由①②得，由于，從而得：.因此，.所以，數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，分組求和法，指數(shù)型裂項(xiàng)求和，錯(cuò)位相減求和等，屬于中等題.1．（2024·黑龍江·三模）已知等差數(shù)列的公差，與的等差中項(xiàng)為5，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【答案】(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式為；(2)數(shù)列的前20項(xiàng)和為.【分析】（1）根據(jù)等差中項(xiàng)求出，再根據(jù)求出公差，最后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出的通項(xiàng)公式；（2）先寫出，對(duì)為偶數(shù)的情況進(jìn)行裂項(xiàng)，再用分組求和法求出.【詳解】（1）因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，且與的等差中項(xiàng)為5，所以，解得，因?yàn)?，所以，解得，因?yàn)椋?，所以，故?shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由題知，即所以，故數(shù)列的前20項(xiàng)和為.2．（2024·福建廈門·三模）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且為等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義可得，利用與之間關(guān)系可證得數(shù)列通的項(xiàng)公式；（2）采用分組求和法，分別對(duì)奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)求和，結(jié)合等差數(shù)列求和公式和裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，即，所以，即，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以.（2）由（1）知?jiǎng)t所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.3．（2024·山東·二模）已知是公差不為0的等差數(shù)列，其前4項(xiàng)和為16，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)出公差，借助等差數(shù)列性質(zhì)與等比數(shù)列性質(zhì)計(jì)算即可得；（2）分奇數(shù)項(xiàng)及偶數(shù)項(xiàng)分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)與裂項(xiàng)相消法計(jì)算即可得.【詳解】（1）設(shè)的公差為，由題意知，即，即有，因?yàn)椋傻?，，所以；?）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)中的奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則，，所以．4．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，求n的最小值.【答案】(1)(2)4【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解，（2）根據(jù)等差求和公式以及等比求和公式，結(jié)合分組求解可求解，即可根據(jù)不等式求解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，依題意，，即，解得，所以的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）知，所以，，恒成立，令，由，由于，所以.所以所以的最小值為4.考點(diǎn)六、數(shù)列求和之不等式綜合1．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由已知可得，進(jìn)而可得，可求的通項(xiàng)公式；（2）可求得，進(jìn)而可得結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)棰?，所以②，③，由③得：，所以，?①得：，整理得：，又因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以，所以是公差的等差數(shù)列，．（2）由（1），，所以，所以．2．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）記各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知是與的等差中項(xiàng).(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由是與的等差中項(xiàng),可得，化簡(jiǎn)得，可得，作差可得，則可得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，，分組求，可得，可得，即可得證.【詳解】（1）由題意，得，即，即①，所以②，①-②，得，即.又，所以.由是與的等差中項(xiàng)，得當(dāng)時(shí)，，解得，所以是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故.（2）由（1）得，則，所以，所以，所以.3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)積．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，注意驗(yàn)證的情況；（2）解法一：由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得，即可求和；解法二：由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得，即可求和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)不滿足上式，所以．（2）解法一：當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，故．解法二：當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．故．4．（2024·福建三明·三模）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；(3)記，求證：．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)求出，時(shí)，用，即可求解；（2）由得出，由得，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性及的值，即可求出得范圍；（3）由（1）得，則，根據(jù)放縮法得即可證明．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)成立，所以．（2）由得，，顯然時(shí)，單調(diào)遞增，，由得，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，，且，，，所以?dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，所以．（3）證明：由（1）得，，因?yàn)樗裕?．（2024·山東煙臺(tái)·三模）在數(shù)列中，已知，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）構(gòu)造等比數(shù)列數(shù)列即可求得通項(xiàng)公式；（2）代入（1）中的通項(xiàng)公式可得，再根據(jù)，結(jié)合累加求和證明即可.【詳解】（1）由可得，則，即，故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.故，則，.（2）.易得，故.又，故.綜上有，即得證.2．（2024·浙江杭州·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足，令，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由題意可得，解方程求出，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，由累乘法可求出的通項(xiàng)公式，再由裂項(xiàng)相消法求解即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為．由，得，解得：，所以．（2）由（1）知，，即，，，……，，利用累乘法可得：，也符合上式，所以．3．（2024·安徽合肥·三模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，是公差為2的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由是公差為2的等差數(shù)列，求得，結(jié)合和的關(guān)系，即可求解；（2）由（1）知，求得，結(jié)合關(guān)于單調(diào)遞增，以及，即可求解．【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，又因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，所以，即，當(dāng)時(shí)，，又由，適合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）證明：由（1）知，所以，又由，所以關(guān)于單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)?，所以，所以?．（2024·陜西銅川·三模）已知數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求正整數(shù)的最大值.【答案】(1)(2)15【分析】（1）利用通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系先求，然后可得；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和，然后解不等式即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，兩式相減，得，，顯然也符合上式，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，，解得.正整數(shù)的最大值為15.5．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）構(gòu)造新數(shù)列，是等差數(shù)列，通過的通項(xiàng)公式得到的通項(xiàng)公式.（2）由，得到，進(jìn)而，裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）由知，若，則，若，則．又，所以．由，可得即（常數(shù)），故是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以．故．（2）由得，①由得，②①②可得．當(dāng)時(shí)，，則．所以，所以，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，所以．由上可知，，所以，即．1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算可得，，即可求解公比得解，（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可求解.【詳解】（1）由以及可得，又，故，因此公比，故（2），則，，兩式相減可得，，，.2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，數(shù)列也為等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，可先列出等比數(shù)列前三項(xiàng)，結(jié)合等比中項(xiàng)建立方程求解公比即可；（2）由等比數(shù)列求和公式求得，然后結(jié)合裂項(xiàng)相消計(jì)算求解.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，結(jié)合，得數(shù)列的前三項(xiàng)分別為，由題意，得，所以，解得或，因?yàn)閿?shù)列是單調(diào)遞增的，所以，所以．（2）由（1）知，，所以，故

，故數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（2024·山西呂梁·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1).(2)證明見解析【分析】（1）由已知列方程求出公差，可得數(shù)列通項(xiàng)；（2）裂項(xiàng)相消法求和得出，由結(jié)果證明不等式.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為.由題可得，，解得，所以.（2）證明：由（1）可得為正整數(shù)，所以.4．（2024·四川成都·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）由已知易得，進(jìn)而易求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，進(jìn)而可得，可求.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，（），兩式相減得，即，所以數(shù)列是以4為公比的等比數(shù)列，又，所以.（2）因?yàn)?，，所?5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，是等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，求解即可；（2）由（1）可得，，可得結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，是等差數(shù)列，則，得，兩邊平方得，整理得，兩邊再次平方得，整理得，解得，所以.（2）由，得，則，所以.1．（2023·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由可得，由等比數(shù)列定義可得是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，即可得的通項(xiàng)公式，即可得；（2）由錯(cuò)位相減法求和即可得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又，所以是首?xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．所以，即；（2）由（1）知．設(shè)前項(xiàng)和為，則，，兩式相減可得，所以.2．（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，為的前項(xiàng)和，為等差數(shù)列．(1)求與的關(guān)系；(2)若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得成立的的最大值．【答案】(1)或(2)見解析.【分析】（1）由為等差數(shù)列可得，即可得到與的關(guān)系；（2）由裂項(xiàng)相消法得到，再解不等式即可求得的最大值.【詳解】（1）因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，即從而得到，化簡(jiǎn)得所以或（2）當(dāng)，時(shí)，，，所以，又因?yàn)?，所以不存在；?dāng)，時(shí)，，，所以，解得，又因?yàn)?，所以的最大?.3．（23-24高二上·江蘇淮安·期末）已知數(shù)列的各項(xiàng)均大于1，其前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，，，數(shù)列滿足，且，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用計(jì)算整理可得數(shù)列是等差數(shù)列；（2）先由（1）求出，然后通過并項(xiàng)求和以及錯(cuò)位相減求和法可得.【詳解】（1）①，②，①-②得，整理得，或，又，得或（舍去），若，則，得，舍去，，即，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）可得，即，，，令，則，兩式相減得，，.4．（2023·湖南永州·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求得答案；（2）由（1）的結(jié)果可得的表達(dá)式，利用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，則數(shù)列為為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，故；（2）因?yàn)?，故?shù)列的前項(xiàng)的和為：.5．（23-24高三上·江蘇南通·期末）設(shè)的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知，且的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系即可作差證明是等差數(shù)列或者利用迭代法也可求解，（2）根據(jù)基本不等式可得，即可求證，利用裂項(xiàng)求和法，即可求證.【詳解】（1）解：，令得；又當(dāng)時(shí)，，可得，即①；（解法1）退位作差證明等差數(shù)列：②，由①－②得，即∴數(shù)列是等差數(shù)列.由及可得公差，可得.（解法2）變形構(gòu)造：由，，可知，∴.當(dāng)時(shí)，；，∴，當(dāng)時(shí)也成立，所以.（2）證明：，因?yàn)椋?，?又因?yàn)椋?，因?yàn)?，所?綜上，.6．（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知．(1)證明：為等比數(shù)列，求出的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）根據(jù)可推出，即得，即可證明為等比數(shù)列，由此可求得的表達(dá)式，繼而求得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)果可得的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，即可得答案.【詳解】（1）∵

∴，∴，∴為等比數(shù)列；∵，故的首項(xiàng)為，公比為2，∴，則，當(dāng)時(shí)，，則，也滿足此式，∴；（2）由（1）可得，則，故，兩式相減得：，故.7．（2024·河南·三模）已知數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，且其前項(xiàng)和.(1)證明：是等差數(shù)列，并求；(2)如果，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析，(2).【分析】（1）借助與的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列定義計(jì)算即可得解；（2）借助錯(cuò)位相減法計(jì)算即可得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，或，因?yàn)?，所以，，兩式相減得，因?yàn)?，所以，故是首?xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，；（2）由（1）知，，，則，，所以.8．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，為的前n項(xiàng)和，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解首項(xiàng)和公比，進(jìn)而可求解通項(xiàng)，（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式以及裂項(xiàng)求和，結(jié)合分組求和即可求解.【詳解】（1）設(shè)的公比為，由且可得：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去），故，故（2），由于，則數(shù)列的前項(xiàng)和9．（23-24高三下·河南濮陽·開學(xué)考試）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為整數(shù)，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，比較與的大小關(guān)系，并說明理由.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合條件求出公比，即可得解；（2）由（1）得出，設(shè)出，前項(xiàng)和為，利用錯(cuò)位相減法求出，令，可知，進(jìn)而即可判斷得出.【詳解】（1）由已知可得，因?yàn)?，所以，即，則，解得或（舍去），所以，.（2）由（1）得，令，設(shè)前項(xiàng)和為，則，所以，兩式相減得，所以，令，則，設(shè)前項(xiàng)和為，則，所以.10．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且數(shù)列為等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)定義：表示不超過x的最大整數(shù)．設(shè)，求數(shù)列的前114項(xiàng)和．【答案】(1)(2)671【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件可推得與的關(guān)系式，再利用推得，從而得出等差數(shù)列，求出其通項(xiàng)；（2）根據(jù)的規(guī)定，將數(shù)列的項(xiàng)根據(jù)取到的相同的值進(jìn)行分類再依次求和即得.【詳解】（1）由數(shù)列為等差數(shù)列，且，，可得：數(shù)列的首項(xiàng)為：，公差為：，故其通項(xiàng)為：，即：①，當(dāng)時(shí)，②，由①-②可得：，整理得：③，當(dāng)時(shí)，④，由③-④可得：，即：，故數(shù)列為等差數(shù)列，因，其公差為，則.（2）由（1）得：，而，易得，由可得：，因，故得：；由可得：，因，故得：；由可得：，因，故得：；由可得：，因，故得：；由可得：，因，故得：；由可得：，因，故得：，故得：.1．（全國(guó)·高考真題）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，為整數(shù)，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）．【詳解】試題分析：（1）由已知可得等差數(shù)列的公差為整數(shù)．由可得列出不等式組解得的范圍，從而可確定整數(shù)的值，最后由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由已知先寫出，列出的表達(dá)式，由于可分裂為，故采用裂項(xiàng)相消法求．（1）由，為整數(shù)知，等差數(shù)列的公差為整數(shù)．又，故于是，解得，因此，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2），于是．考點(diǎn)：1．等差數(shù)列通項(xiàng)公式；2．裂項(xiàng)法求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（全國(guó)·高考真題）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組，求出首項(xiàng)與公比，即可求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；（2）由an＝化簡(jiǎn)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，可得到bn的通項(xiàng)公式，求出的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由＝9a2a6得＝9,所以q2＝.由條件可知q＞0,故q＝