上海市普陀區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷2

第1頁/共1頁普陀區(qū)2024學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷考生注意：1.本試卷共4頁，21道試題，滿分150分.考試時間120分鐘.2.本考試分試卷和答題紙.試卷包括試題與答題要求.作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分.一、填空題（本大題共有12題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對前6題得4分、后6題得5分，否則一律得零分.1.設(shè)全集，若集合，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)補集的定義求解即可.【詳解】因為，集合，所以.故答案為：.2.已知某拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝1，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.【答案】【解析】【分析】設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程后，根據(jù)準(zhǔn)線方程可解得結(jié)果.【詳解】依題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，由，解得，所以該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故答案為：.【點睛】本題考查了根據(jù)準(zhǔn)線方程求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.3.設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則________.【答案】2【解析】【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，，計算出，利用復(fù)數(shù)相等求出，即得.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，，則，所以，因為，所以，則，所以.故答案為：.4.若，則的值為________.【答案】10【解析】【分析】化簡結(jié)合二項式定理求項的系數(shù).【詳解】因為，所以，所以的展開式的第項的表達(dá)式，，所以.故答案為：10.5.設(shè)，，、，等差數(shù)列的首項，公差，若，則的值為________.【答案】56【解析】【分析】由等差數(shù)列通項公式及求和公式列出等式即可求解.【詳解】由，，可得，又，解得：.故答案為：56.6.設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，的面積為，則的值為________.【答案】【解析】【分析】由已知得的大小，再根據(jù)的面積公式得的值，從而由余弦定理可得的值.【詳解】，，又，所以，故，則的面積，所以，由余弦定理得，故.故答案為：.7.設(shè)橢圓的左、右焦點分別為、，左頂點為，若橢圓的離心率為，則的值為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意寫出焦點與左頂點的坐標(biāo)，表示出線段長，利用離心率寫出等量關(guān)系，可得答案.【詳解】由題意可得，則，，由橢圓離心率為，可得，則，所以.故答案為：.8.若圓錐的體積為，它的母線與底面所成的角的余弦值為，則圓錐的表面積為________.【答案】【解析】【分析】由題意作圖，根據(jù)線面角的定義，可得圓錐的母線與底面半徑的等量關(guān)系，利用扇形面積公式以及圓的面積公式，可得答案.【詳解】由題意可作圖如下：在圓錐中，易知，且為母線與底面所成的角，由母線與底面所成的角的余弦值為，則，在中，，可得，則，圓錐的體積，解得，則，圓的周長為，則圓錐側(cè)面展開圖的面積，圓錐底面面積，所以圓錐的表面積.故答案為：.9.設(shè)，在如圖所示的平行六面體中，，，，點是棱的中點，，若，則的值為________.【答案】【解析】【分析】以為基底表示，結(jié)合題意運用數(shù)量積及向量數(shù)乘運算即可求解.【詳解】，，，所以，由，，，可得，，解得.故答案為：.10.設(shè)平面上四點、、、滿足：，，若，則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】首先分析向量關(guān)系，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件得到，消去m得到，借助三角函數(shù)的值域得到的取值范圍，最后最后求的最小值即可.【詳解】已知，則這兩個向量垂直，所以.則Q再以MN為直徑的圓上.以原點O建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，.由，可得，對于，從解出，代入中，經(jīng)過化簡可以得到.將代入，得到，進(jìn)一步變形為.因為，所以.當(dāng)時，解方程，令，則方程變?yōu)?，可?因為，所以（舍去），則；當(dāng)時，，，或者，又因為且存在其他條件限制，所以.因為，當(dāng)取最小值時，.故答案為：.11.設(shè)，直線與曲線和曲線分別交于、兩點，則的最大值是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得曲線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)于直線對稱，直線關(guān)于直線對稱，從而可得關(guān)于直線對稱，利用直線與直線相交、曲線與直線相交得坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可得的最值.【詳解】曲線和曲線對應(yīng)的函數(shù)互為反函數(shù)，則關(guān)于直線對稱，又或，即兩曲線交點坐標(biāo)為，又直線與直線相互垂直，則直線關(guān)于直線對稱，所以關(guān)于直線對稱，設(shè)直線與直線相交于，且于，，則，且，所以，聯(lián)立，解得，因為，所以，則，令，則，則，所以，因為，所以，所以，故的最大值為.故答案為：.12.設(shè)，函數(shù)y=fx的表達(dá)式為，若，且關(guān)于的方程的整數(shù)解有且僅有個，則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合已知條件分析得出，由絕對值三角不等式分析得出，令，分析其奇偶性，可知，當(dāng)時，滿足不等式的整數(shù)解有且只有個，令，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】令，其中，則恒成立，所以函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，且，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由結(jié)合圖可知，，由，可得，對任意的x∈0,+∞，所以，故，即，由絕對值三角不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即，即，令，其中x∈R，則，則不滿足，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以當(dāng)時，由可得，可得，令，其中，則函數(shù)hx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，，，則,由題意可知，當(dāng)時，滿足不等式的整數(shù)解有且只有個，如下圖所示：所以，即，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵在于分析函數(shù)的單調(diào)性以及得出，然后再求解不等式整數(shù)解的個數(shù)時，利用圖象能夠清晰地將不等關(guān)系利用圖形的形式呈現(xiàn)得更為具體、直觀.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第1314題每題4分，第1516題每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，否則一律得零分.13.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)余弦二倍角公式由可得的值，結(jié)合充分必要條件判斷即可.【詳解】因為，則，所以或，則“”是“”的必要非充分條件.故選：B.14.某機(jī)構(gòu)對2014年至2023年的中國新能源汽車的年銷售量進(jìn)行了統(tǒng)計，結(jié)果如圖所示（單位：萬輛），則下列結(jié)論中正確的是（）A.這十年中國新能源汽車年銷售量的中位數(shù)為123B.這十年中國新能源汽車年銷售量的極差為721C.這十年中國新能源汽車年銷售量的第70百分位數(shù)為136.6D.這十年中的前五年的年銷售量的方差小于后五年的年銷售量的方差【答案】D【解析】【分析】由圖表提取數(shù)據(jù)并按照由小到大排列，根據(jù)中位線、極差與百分位數(shù)定義，結(jié)合方差的性質(zhì)，可得答案.【詳解】由圖可得數(shù)據(jù)為：，對于A，這十年中國新能源汽車年銷售量的中位數(shù)為，故A錯誤；對于B，這十年中國新能源汽車年銷售量極差為，故B錯誤；對于C，由，則這十年中國新能源汽車年銷售量的第70百分位數(shù)為，故C錯誤；對于D，由圖表易知前五年的數(shù)據(jù)比后五年的數(shù)據(jù)穩(wěn)定，則前五年的方差小于后五年的方差，故D正確.故選：D.15.設(shè)且，、、都是正整數(shù)，數(shù)列的通項公式為，記數(shù)列中前項的最小值為，由所有的值所組成的集合記為，若集合中僅有四個元素，則下列說法中錯誤的是（）A.當(dāng)時，的取值范圍是 B.不存在和的值，使得C.當(dāng)時，的取值范圍是 D.存在和的值，使得【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不同的取值范圍分析分段函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，反證法，進(jìn)而判斷關(guān)于集合元素個數(shù)等命題的正確性，逐個判斷真假即可.【詳解】對于A選項,當(dāng)時，對于，根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，會得到，由于在這個區(qū)間內(nèi)，這樣的遞推會一直進(jìn)行下去，所以集合有無數(shù)個元素.當(dāng)時，要滿足，通過對分段函數(shù)的計算和分析，正好解得，此時.并且當(dāng)，兩個分段函數(shù)都是增函數(shù)，中最多只存在兩個元素.所以選項正確.對于B選項，當(dāng)時，有且.要想有個元素，根據(jù)函數(shù)的遞推關(guān)系，如果，那么根據(jù)函數(shù)性質(zhì)會繼續(xù)產(chǎn)生更多的元素，所以必有，不然會有無數(shù)個元素.但是當(dāng)時，中元素個數(shù)就不是個了，這就產(chǎn)生了矛盾，所以原命題正確，即選項正確.對于C選項，當(dāng)時，，令，通過對分段函數(shù)的計算解得.由于，此時，這與選項中說的情況不符，所以選項錯誤.對于D選項，從前面的分析經(jīng)驗來看，要想，根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，只能令，.由此得到方程，整理得，解得或，因為（根據(jù)前面的取值范圍等條件），所以，選項正確.故選：C.16.在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)y=fx的圖象繞坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是某個函數(shù)的圖象，則稱函數(shù)y=fx為“R函數(shù)”.對于命題；①設(shè)，若函數(shù)為“R函數(shù)”，則；②設(shè)，若函數(shù)為“R函數(shù)”，則滿足條件的的整數(shù)值至少有4個.則下列結(jié)論中正確的是（）A.①為真②為真 B.①為真②為假 C.①為假②為真 D.①為假②為假【答案】B【解析】【分析】結(jié)合定義將命題①轉(zhuǎn)化為至多有一個解，討論，求的范圍，判斷命題①；結(jié)合定義將命題②轉(zhuǎn)化為函數(shù)是增函數(shù)或減函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系求的范圍，判斷②，由此確定結(jié)論.【詳解】因為為“R函數(shù)”，所以函數(shù)y=gx的圖象與的圖象至多只能有一個交點，所以方程組至多只有一個交點，所以對于任意的至多只有一個解，當(dāng)時，函數(shù)的圖象與的圖象至多只有一個交點，滿足條件，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，作函數(shù)的圖象如下：當(dāng)時，與有兩個交點，不滿足要求，當(dāng)時，因函數(shù)，都在，上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，其圖象如下，所以對于任意的，直線與函數(shù)的圖象都有兩個交點，所以不滿足要求，故，命題①正確.因為函數(shù)為“R函數(shù)”，所以對任意的關(guān)于的方程至多只有一個解，所以方程至多只有一個解，所以函數(shù)的圖象至多只有一個交點，所以函數(shù)是增函數(shù)或減函數(shù)，又，所以或，由，可得，當(dāng)時，，由，可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)且時，，當(dāng)且時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，其圖象大致如下，所以，即，所以滿足條件的整數(shù)的值有，有且只有三個.所以滿足條件的整數(shù)的值有三個，②錯誤；故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵在于結(jié)合定義將函數(shù)y=fx為“R函數(shù)”.轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=fx的圖象與對任意的至多只有一個交點，再結(jié)合函數(shù)方程知識處理.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17.圖1所示的平行四邊形中，，現(xiàn)將沿折起，得到如圖2所示的三棱錐，記棱的中點為，且..（1）求證：；（2）記棱的中點為，在直線上作出點，使得平面，請說明理由，并求出二面角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）答案見解析，理由見解析，，【解析】【分析】（1）通過條件證明面，進(jìn)而證明面，即可求解；（2）以為臨邊，構(gòu)造矩形,通過中位線可說明點即為點，再通過二面角平面角的概念求得為二面角的平面角，即可求解.【小問1詳解】因為，，，所以，所以，即，圖2中，，則,所以，又，又為平面內(nèi)兩條相交直線，所以面，又在面，所以又，為平面內(nèi)兩條相交直線，所以面，又在面內(nèi)，所以.【小問2詳解】以為臨邊，構(gòu)造矩形,連接CF，易知過點，因為分別為的中點，所以，又在平面內(nèi)，在平面外，所以平面,即點就是點，由（1）知面，在面內(nèi)，所以，又，是平面內(nèi)兩條相交直線，所以面，在面內(nèi)，所以，又，所以為二面角的平面角，因為,所以，所以二面角的大小為.18.設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為，其中.（1）設(shè)，，若有且只有一個，使得函數(shù)取得最小值，求的取值范圍；（2）若對任意的，皆有成立，且函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，求函數(shù)的最小正周期.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求的范圍，結(jié)合條件列不等式求的取值范圍；（2）由條件列關(guān)系式，確定的值，再由周期公式求周期.【小問1詳解】當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，因為有且只有一個使得函數(shù)取得最小值，所以，解得，所以的取值范圍是，【小問2詳解】因為對任意，成立，所以的圖像關(guān)于點對稱，則，解得，又因為，所以，由，，可得，因為函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，令可得，函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，所以，所以，所以k=1，，，所以函數(shù)y=fx的最小正周期.19.機(jī)器人競技是繼電子競技之后熱門的科技競技項目.某區(qū)為了參加市機(jī)器人競技總決賽，開展了區(qū)內(nèi)選拔賽，其中、、、四人進(jìn)入?yún)^(qū)內(nèi)個人組決賽，按照規(guī)則每人與其他三人各進(jìn)行一場比賽，且這三場比賽互相獨立.下表統(tǒng)計的是在近期熱身中分別與、、三人比賽的情況.比賽的次數(shù)121015獲勝的次數(shù)4512（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，試估計在區(qū)內(nèi)決賽中至少獲勝一場的概率；（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，請給、、三人設(shè)計一個出場順序，使得在這三場比賽中連勝兩場的概率最大，并說明理由.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得與其他三人比賽獲勝概率，利用概率的乘法公式以及正難則反的解題思路，可得答案；（2）計算各種安排下比賽獲勝的概率，進(jìn)行比較可得答案.【小問1詳解】由表格可估計與的比賽中獲勝的概率，與的比賽中獲勝的概率，與的比賽中獲勝的概率，則估計在區(qū)內(nèi)決賽中三場全輸?shù)母怕剩怨烙嬙趨^(qū)內(nèi)決賽中至少獲勝一場的概率.【小問2詳解】①當(dāng)比賽安排為時，連勝兩場的概率為；②當(dāng)比賽安排為時，連勝兩場的概率為；③當(dāng)比賽安排為時，連勝兩場的概率為；④當(dāng)比賽安排為時，連勝兩場的概率為；⑤當(dāng)比賽安排為時，連勝兩場的概率為；⑥當(dāng)比賽安排為時，連勝兩場的概率為；由，則當(dāng)比賽安排為或時，連勝兩場的概率最大.20.設(shè)，，、分別是雙曲線的左、右焦點，直線經(jīng)過點與的右支交于、兩點，點是坐標(biāo)原點.（1）若點是上的一點，，求的值；（2）設(shè)、，點在直線上，若點、、、滿足：，，求點的坐標(biāo)；（3）設(shè)的延長線與交于點，若向量與滿足：，求的面積的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）的面積的取值范圍為【解析】【分析】（1）由直線過點，可求，判斷點的位置，結(jié)合雙曲線定義求結(jié)論；（2）聯(lián)立方程組，設(shè)Ax1,y1,Bx2,（3）由條件列不等式求范圍，表示的面積，利用換元法求其最值.【小問1詳解】雙曲線的右焦點的坐標(biāo)為，因為過點，所以，所以，因為，所以點在雙曲線的左支上，由雙曲線定義知，又，所以.【小問2詳解】由（1）知，，則雙曲線，聯(lián)立，消去得，則，設(shè)Ax1,y1所以，，又，所以，因為點、、、滿足：，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，故與互相平分，點在直線上，所以，又，所以，所以點的縱坐標(biāo)為，所以點的坐標(biāo)為.【小問3詳解】因為，所以，所以，又，所以，由雙曲線的對稱性可得，，所以，所以，令，，即，所以，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以的面積的取值范圍為.21.設(shè)，，，若正項數(shù)列滿足，則稱數(shù)列具有性質(zhì)“”.（1）設(shè)，，若數(shù)列10，，，，具有性質(zhì)“”，求滿足條件的的值；（2）設(shè)數(shù)列通項公式為，問是否存在使得數(shù)列具有性質(zhì)“”？若存在，求出滿足條件的的取值范圍，若不存在，請說明理由；（3）設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為，數(shù)列的前項和為，且滿足，，證明：數(shù)列具有性質(zhì)“”，并比較與的大小.【答案】（