考場仿真卷01-2021年高考數(shù)學(xué)（理）模擬考場仿真演練卷(新課標(biāo)I卷)（解析版） (一)

絕密★啟用前

2021年高考數(shù)學(xué)（理）模擬考場仿真演練卷

第一模擬

本試卷共23題（含選考題）.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項(xiàng):

I.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈

后,再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題.每小題5分去60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z="工為純虛數(shù)，則（）

1-2/

A.2B.4C.-16D.-4

【答案】B

(8+出)(1+2，)_8-2〃+(16+〃)i、r…上.皿”-8—2〃_16+。

【解析】因?yàn)閦=E=為純虛數(shù)，所以—^―=0,—^―工。，解得

(1-20(1+2/)-5

。=4.故選區(qū)

2.已知集合4={0,1,2,4},8=卜卜=2",〃€4卜則4口8=()

A.{0,1,2}B.{0,1,4}C.{0,2,4}D.{1,2,4}

【答案】D

【解析】因?yàn)槿?{0,1,2,4},8={1,2,416},所以403={1,2,4},故選口.

3.如圖是國家統(tǒng)計局于2020年11月發(fā)布的2019年10月到2020年10月全國居民消費(fèi)價格的漲跌幅情況

折線圖.（注：2020年10月與2019年10月相比較稱同比,2020年10月與2020年9月相比較稱環(huán)比）根據(jù)

該折線圖，下列說法錯誤的是（）

A.各月居民消費(fèi)價格同比有漲有跌，漲幅最大為5.4%

B.2020年9月居民消費(fèi)價格同比上漲1.7%

C.2c20年3月居民消費(fèi)價格環(huán)比下降1.2%

D.居民消費(fèi)價格同比漲幅最大的月份也是環(huán)比漲幅最大的月份

【答案】A

【解析】各月居民消費(fèi)價格同比漲幅都是正數(shù),所以一直在漲，故A錯誤；2020年9月居民消費(fèi)價格同比上

漲1.7%,故B正確；2020年3月居民消費(fèi)價格環(huán)比下降1.2%,故C正確；居民消費(fèi)價格同比漲幅最大的月

份是2020年1月，環(huán)比漲幅最大的月份也是2020年1月，故D正確.故選A.

4.高壓10攵丫輸電線路電壓損失估算口訣：架空鋁線十千伏，電壓損失百分?jǐn)?shù)；輸距電流積六折，再被導(dǎo)線截

面除：輸距千米電流安，截面亳方記清楚.其意義為“對于高壓10&V的架空鋁線,若輸電線路的輸距為xkm、

電流為〉A(chǔ),導(dǎo)線截面為z〃歷廣則電壓損失百分?jǐn)?shù)^為二竺工力^^據(jù)此可知/寸于一條長度為期加^高

z

壓為10kV的輸電線路，若當(dāng)導(dǎo)線截面為50根加2,電流為3。A時的電壓損失百分?jǐn)?shù)為4%,當(dāng)導(dǎo)線截面為

U.

40mm2,電流為35A時的電壓損失百分?jǐn)?shù)為〃％，則才二（）

40「35

A.一B.—

2124

C.生21

D.—

3540

【答案】C

18

—冊rrn/0.6x10x30180.6x10x3521,U.524

【解析】由題知,。?%=———%n/=—%n/,(/.%=-----------%ft/=—％n/,所以一L=W=一

52404&035

4

故選C.

5.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸為拋物線C：/=8）,的焦點(diǎn),p為。上一點(diǎn)，若歸耳=6,則小。產(chǎn)的面積為（）

A.2B.472C.48D.4

【答案】B

【解析】???拋物線C：爐=8),,「.尸(2,0),準(zhǔn)線丁=—2.由|尸目=6,即P到準(zhǔn)線的距離為6.

設(shè)尸(的為)V尸|=%+2=6，解得,%=4，代入拋物線方程f=8y,得/=±4&.

=g10F|聞二;x2x4夜=4拉.故選B.

【解析】由題知/(%)=(%3一36.上！|內(nèi)定義域?yàn)?-00,內(nèi)).因?yàn)?/p>

'7"+1

/(_幻=(—3+3417三=一13一341^=13一341^=/(6所以/(力是偶函數(shù),函數(shù)圖

象關(guān)于y軸對稱，排除選項(xiàng)B；又f(2)=2x^l>0,故排除選項(xiàng)CD.故選A.

e~+l

7.趙爽是我國古代的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年,趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓

方圖”、亦稱“趙爽弦圖”.第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)就是以“趙爽弦圖”為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計的.如圖，四邊形

AqGA是由四個全等的直角三角形與一個小正方形48co拼成的一個大正方形.如果小正方形ABCD

的面積為1,再以正方形AqCQ為“小”正方形向外作“弦圖”，得到正方形A2耳G2……按此做法進(jìn)行下去,

記小4=。，。6(9,9),正方形4紇62的面積為%(〃￡乂*).若tan6=1則%=()

一4J

A.5用B.5〃一1C.25”D.5x10"

【答案】C

【解析】設(shè)二4也想=3/%則A￡)=4切一3小=根=1,A4=5m=5,

所以4=52=25

1

設(shè)4-1紇=4肛,4=3m，則4-i2T=4〃?-36=m,4紇=5〃?,所以見_]=m2Mli=(5加/=25m

所以2=25,所以數(shù)列｛4｝是以25為首項(xiàng),25為公比的等比數(shù)列，所以可=25x251=25",〃eN*,

n~!

故選c.

8.如圖,在平面四邊形ABCD中,AB_LBC,AD±CD,/BAD=120,45=AO,若點(diǎn)E為邊CD上的動點(diǎn),

則通?“的最小值為()

C.”

D.3

1616

【答案】A

【解析】連接NQ,取人。中點(diǎn)為?？芍魉榈妊切?，而ARJLRC.AD1CD,

所以△BCD為等邊三角形,BD=5設(shè)庫：=1灰（OStW1）

AEBE=（^D+DE）（^D+DE）=ADBD^DE（Ab+Bb）+DE2

=-^BDDE+DE=3/-3￡+3（0?，<1）,所以當(dāng)f=』時，上式取最小值21,

222416

故選A.

9.已知等差數(shù)列{q}的前〃項(xiàng)和為S”,巨￡>S8，S8=S9<Sm則下面結(jié)論錯誤的是（）

A.%=0B.S}5>S}4

c.d<0D.與S9均為s〃的最小值

【答案】c

【解析】對于A選項(xiàng)，由Sg=$9可得％=R-a=0,A選項(xiàng)正確：對于C選項(xiàng)，由S?>Sg可得

%=Sg-S?<0d=%-仆>℃選項(xiàng)錯誤；對于D選項(xiàng)，由510>Sg可得Go=S\o-Sq>0,且

%=0,。8<04>0?所以，當(dāng)〃〈8旦〃6底時,勺<。，且6=0，則58與59均為5〃的最小值0選項(xiàng)正確；

對于B選項(xiàng),???博=0，d>0，當(dāng)k。10時，4>%=0，所以,4-幾=%>0,B選項(xiàng)正確.故選C.

10.已知P,Q分別是正方體-的棱881,CG上的動點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合），則下列結(jié)論錯誤

的是（）

A.ABA.PQ

B.平面BPQ〃平面AORA

C.四面體ABP。的體積為定值

D.AP〃平面CDDg

【答案】C

【解析】

如圖所示:

P、。分別是正方體4?。。一44^。的棱5片（6上的動點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合），

對于A,?.?AB_LBC.AB1BB「BCCBBI=B、BC、BB.u平面BCCR,

/.A5JL平面BCCB，???PQu平面BCCA..AB_LP。,故A正確；

對于B「??平而ADDXJ\H平面BCC出\，平面BPQ與平面BCC昌重合，，平面BPQ//平面ADD,>4.，故B正

確：對于C.???A到平面BPQ的距離AB為定值,Q到BP的距離為定值,BP的長不是定值,，四面體ABPQ

的體積不為定值，故C錯誤;對于D「?,平面平面CORG、APu平面A3用4AP〃平面CODC，

故D正確.故選C.

22

11.已知耳，尸2是雙曲線c：￡一￡=1（〃>0,力>0）的左,右焦點(diǎn)，過點(diǎn)6傾斜角為30。的直線與雙曲線的

左，右兩支分別交于點(diǎn)A.8.若|八周=忸身廁雙曲線C的離心率為（）

A.揚(yáng)B.6C.2D.75

【答案】A

【解析】設(shè)|簡|=九則|你|=1+勿=忸聞,從而忸￡|=1+4?,進(jìn)而|網(wǎng)=4°.

過尸2作~LAB=〃，則=勿.如圖：

在Rt△耳寫“中.怩”|=2csin3()o=c,忻M=2ccos6=&=M周；在R3AKH

中,(6c)2-c?=(Zap,即2c2=46,所以《=&.故選A

12.已知函數(shù)f(x)=a(sinx-cosx)+gcos2x+x,若f(x)在一條乃上單調(diào)遞增，則。的范圍是()

A.[1,2]B.[0,+oo)C.[0,2]D,[0,1]

【答案】D

【解析】?//(x)=a(sinx-cos~cos+x,/.f(x)=6z(cosx+sinx)-sin2x+1

471

若/⑶在一于"上單調(diào)遞增則/(x)=〃(cosx+sinx)-sin2x+lNO在一于汽恒成立，

令,ncosx+sinx,則f=V^sinx+f,sin2x=*-1,又一工Wx+2工'故,

<4J444

一旦sing]

?1nH-1,忘］，所以問題轉(zhuǎn)化為不等式■產(chǎn)+m+2“在［-1,&］上恒成立，即不

2I4j

//(-1)<0

等式r—m—2V0在［―1,&］I:恒成立.令〃⑺=?一〃.-2,1￡［一1,&］則有，，解得OW〃W1.

〃(揚(yáng)《0

故選zr

二、填空題：本題共4小題,每小題5分洪20分.

3x+2y+2>0

13.若變量滿足約束條件，則z=x+2y的最大值為.

x-2y+2>0

【答案】6

【解析】畫出可行域如下圖所示，由圖可知：當(dāng)直線x+2y-z=0過點(diǎn)（2,2）時,z取得最大值2+2x2=6.

\6

2

14.(X+1)jy/x—展開式中含X的項(xiàng)的系數(shù)為

\fx.j

【答案】-100

忘《［,展開式中含，的項(xiàng)包含兩部分L部分是

【解析】原式二x"一斗中的常

數(shù)項(xiàng)，一部分是的含x的項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為

7x)

&=&?(?)6r1-?=(-2)Jqy,令3-7=0,解得r=3Z=(-2)3.C：=-160；令3-7=1,

解得/?=2，=(-2)2-C*=60尤，所以。+1)?一子)展開式中含4的項(xiàng)的系數(shù)為

—160+60=—100.

15.若函數(shù)f(x)=lnx+x與g(x)=4手的圖象有一條公共切線,且該公共切線與直線y=2x+l平行，

則實(shí)數(shù)m=.

17

【答案】—

【解析】設(shè)函數(shù)/(x)=lnx+i圖象上切點(diǎn)為(%,%),因?yàn)閞(x)='+i,所以/(%)='+1=2,得%=1,

x/

所以%=/(/)=/⑴=1,所以切線方程為丁―1=2*—1),即y=2x7,設(shè)函數(shù)g(x)=2=的圖象上的

X—1

2(x-l)-(2x-/w)tn-2

切點(diǎn)為（斗,必）（西工1）,因?yàn)間'"）==2

d)2U-1)

2c、2x.-m.

所以gW=------=2^tn=2匚-4%+4,又y=2%-1=g(%)=----二，即m=-2r+5%-1.

(X［T)X［一］

所以2町-4為+4=-2工；+5M-1,即4x：-9±+5=0,解得芯=』或芯=1（舍）,

4

所以m=2x(；)-434，.

48

16.在三棱錐P-ABC中,P4=PB=BC=4,4c=8,48_LBC.平面PAB_L平面ABC,若球Q是三棱

錐P-ABC的外接球，則球。的表面積為.

【答案】80〃

【解析】因?yàn)槠矫鍼ABJL平面A8C,平曲PABn平面ABC=AB,AB±BC,BCu平面ABC,.\BC±

平面PAB,取AB,AC中點(diǎn)Z）,E,連接DE、DP,所以DE〃BC、DE=2".DEJ_平面

PAB;.DELPD,?.?24=依，所以。為AB的中點(diǎn)，又AB±BC,所以三棱錐P-ABC外接球的球心在

面ABC內(nèi)的射影為AC的中點(diǎn)，丁3c=4.AC=8.AB=J8?_42=46，

PD="_（2可=2、PE=歷9=2亞＜4，所以三棱錐P-ABC外接球的球心在面ABC的下

方，如圖，過。作OF_LPDFF,所以四邊形OEDF為矩形.設(shè)球心O到面ABC的距離為人即OE=FD=h.

三棱錐尸一ABC外接球的半徑為凡故冗2=川+42=/+（力+2）2,解得力=2、我2=2?+4?=20,所以

球。的表面積為S=4兀R?=80萬.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,每個試題考生都必

須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.

（-）必考題：共60分.

17.（12分）在AABC中，角A,8,C所對的邊分別為。力，c,滿足辰=b（sinA+6cosA）.

（1）求角8的大小；

（2）若a+c=2,求b的取值范圍.

【解析】（1）由6°=6卜由A+6cosA）

得：73sinC=sinsinA+^3sinBcosAX2分）

V3sin（A+B）=sinBsinA+>/3sinBcosA

V3sinAcosB+>/3cosAsinB=sin8sinA+6sinBcosA

：?GsinAcosB=sinAsinB,

***tanB=V3,（5分）

*/Bw（0,?）,/.B=?.（6分）

（2）,:a+c=2、B=巴,

3

b2=a2+c2-laccosB

=a2+c2-ac=（?4-c）2-3^=4-3?c>4-3f^|^l=1（當(dāng)且僅白二°時取等號）（10分）

又b〈a+c=2、

???/?41,2）.（12分）

18.（12分）如圖，在圓柱卬中，點(diǎn)Oi、02分別為上、下底面的圓心，平面MNFE是軸截面，點(diǎn)〃在上底面圓周上

（異于N、尸），點(diǎn)G為下底面圓弧ME的中點(diǎn)，點(diǎn)”與點(diǎn)G在平面MNFE的同側(cè)，圓柱W的底面半徑為1,高

為2.

(1)若平面F7V""L平面NHG,證明：NGLFHx

（2）若直線N”與平面NFG所成線面角a的正弦值等于空,證明：平面NHG與平面MNFE所成銳二面

5

角的平面角大于

【解析】（1）由題知：面FNHL面NHG、面FNHC面NHG=NH.

因?yàn)镕HA.NH、FNu平面FNH.

所以平面NHG.

所以陽_LNG.（5分）

（2）以。2為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以02G,02Ef02a為％、外z軸建立空間坐標(biāo)系O2一孫z,

所以可（0,—1,2）.6（1,0,,0）,尸（0,1,2）,（6分）

設(shè)”（/心2），則m2+n2=l

麗=（八〃+1,0）（7分）

設(shè)平面NFG的法向量1二（百,%,zJ,

元?雨=0（%,相）（1,1,-2）=0

因?yàn)椤?/p>

].標(biāo)=0.（M，X，Zi）（0,2,0）=0

x+y,-2z.=0一,、

所以L八，即法向量4=（2,0,1）.（8分）

12y=0

NHn.2m2m2m厲

因此sina=

|N"|同|15/5xyjm2+（H+1）2石xyjm2+n2+2n+\「2〃+25

所以2m2=3〃+3,解得〃二一1,小=正，所以點(diǎn)”，一萬,2I.（10分）

222

設(shè)面NHG的法向量%=（電，％，z2）;

（^,y2,z2）（l,l>-2）=0

%NG=0

因?yàn)椤?一八，所以〈Mioh

（々,％匕2）

n2NH=0122J

x2-i-y2-2z2=0

所以4y/31，即法向量“2=1.-V3,

—X）H—y=0

I22272

因?yàn)榘費(fèi)NEE的法向量卮=（1,0,0）、

所以

所以面M7G與面MNFE所成銳二面角的平面角大于（12分）

19.（12分）“72鉆石聯(lián)賽”是世界乒聯(lián)推出一種新型乒乓球賽事，其賽制如下：采用七局四勝制，比賽過程中可能

出現(xiàn)兩種模式："常規(guī)模式''和"FAST5模式”.在前24分鐘內(nèi)進(jìn)行的常規(guī)模式中，每小局比賽均為11分制，率先

拿滿1分的選手贏得該局；如果兩名球員在24分鐘內(nèi)都沒有人贏得4局比賽，那么將進(jìn)入“砌S乃”模

式，“的S乃”模式為5分制的小局比賽，率先拿滿5分的選手贏得該局.24分鐘計時后開始的所有小局均采用

“剛575”模式.某位選手率先在7局比賽中拿下4局，比賽結(jié)束.現(xiàn)有甲、乙兩位迷手進(jìn)行比賽，經(jīng)統(tǒng)計分析甲、

乙之間以往比賽數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn),24分鐘內(nèi)甲、乙可以完整打滿2局或3局，且在11分制比賽中，每局甲獲勝的概率

211

為；，乙獲勝的概率為二；在“項(xiàng)ST5”模式，每局比賽雙方獲勝的概率都為彳，每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

（1）求4局比賽決出勝負(fù)的概率；

（2）設(shè)在24分鐘內(nèi)，甲、乙比賽了3局，比賽結(jié)束時，甲乙總共進(jìn)行的局?jǐn)?shù)記為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【解析】（1）設(shè)前24分鐘比賽甲勝出分別為4（z=1,2,3）.乙勝出分別為耳（/=1,2,3），在“FAST5”模式每局

比賽中獲勝為C,4局比賽決出勝負(fù)記為事件0.（1分）

P（D）=+AAzA。+4

P[\A2CCB2CC+B,B2B3C）

（4分）

（2）X的可能取值為4、5、6、7,（15分）

3

P（X=4）七（2

5）=,（兀2?

4

尸（X=6）=（|）（；）+（o\2網(wǎng)9+

C}1-3

7

24

7

（10分）

24

所以，隨機(jī)變量X的概率分別列為:

X4567

7

P

6424

1177137

X的數(shù)學(xué)期望為EX=4X-+5X-+6X—+7X—=」一.（12分）

64242424

￡+￡=1（。＞力＞0）的左焦點(diǎn)與上頂點(diǎn)關(guān)于直線y=一X對稱，又點(diǎn)

20.（12分）已知橢圓E：

a-b-

E上.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）若動直線/與橢圓E有且只有一個公共點(diǎn)，過點(diǎn)M（l,0）作直線/的垂線,垂足為。，試證點(diǎn)。總在定圓

上.

【解析】（1）左焦點(diǎn)（-c,0）,上頂點(diǎn)（01）關(guān)于直線丁二一工對稱，可知匕=5

31

將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓得—~-+=1,又/=從+c?,聯(lián)立解得：cr=2'=1'

2a24b2

故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：1+丁=1；?分）

（2）①當(dāng)切線/的斜率存在且不為。時,設(shè)/的方程為＞=點(diǎn)+加.

y=kx+m

聯(lián)立直線/和橢圓E的方程，得,

—+y=1

12

消去y并整理，得（2k2+1卜2+4加優(yōu)+2病-2=0,（6分）

因?yàn)橹本€/和橢圓E有且僅有一個交點(diǎn)，即方程有兩個相等的根,...△二16公加一4（222+1）（2相2-2）=0,

化簡并整理，得2r+1.（7分）

因?yàn)橹本€M。與/垂直，所以直線M。的方程為：y=-1（x-l）.

I-km

=解得X-1+產(chǎn),

聯(lián)立〈

k+m

y=kx+m,

2

2_(1一版『+(>+團(tuán))2_攵％l+F+vl+l_(F+1)(療+1)_ZH+1

(l+.2)2-口+&2)2-_(1+/)2--1+/

把m2=2公+1代入上式得，點(diǎn)。坐標(biāo)（％y）總滿足f+y2=t=2,恒為定值；（10分）

k+\

②當(dāng)切線/的斜率為0時，直線/：y=±1,過點(diǎn)"（1,0）作直線/的垂線為：x=L即此時Q（l,l）或Q（L-D,

點(diǎn)。坐標(biāo)（x,y）也滿足%2+J=2；

③當(dāng)切線/的斜率不存在時，直線/：x=±五，過點(diǎn)M（l,0）作直線/的垂線為：y=0,即此時Q（J5,0）或

（一應(yīng),0）,點(diǎn)。坐標(biāo)（和）也滿足/+丁=2.

綜上所述，點(diǎn)。總在定圓V+y2=2上.（12分）

21.（12分）已知函數(shù)/（工）=111%一61%+3,其中々￡1^.

（I）討論函數(shù)”X）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)4之2,0<%<1時,求證：/（x）<（3-x）e\

【解析】⑴由題意知函數(shù)八％）的定義域?yàn)椋?,+e）J'（x）=，--（1分）

X

當(dāng)avo時r（%）>o函數(shù)，（力單調(diào)遞增.（2分）

當(dāng)a>0時，令/'（1）>0,得0<X<’,令『（工）<0,得%>工，

aa

上單調(diào)遞增，在+8）上單調(diào)遞減.（4分）

綜上,心0時,/（力在（0收）上單調(diào)遞增；a〉0時"（x）在（0,）上單調(diào)遞增，在］,+8）上單調(diào)遞

減.（5分）

（2）由題意知/（力一（3-工產(chǎn)=lnx-a￥+3+（x-3）e".

4-/j(?)=(-x)?+lnx+3+(x-3)ev,a>—,

2

易知MG在；，+?>)上單調(diào)遞減，

<h.(6分)

、乙)

，要證〃%)v(3-x)e",

只需證lnx+a_3）e'—；x+3<O,xe（O/）.（7分）

令8（元）=111%+（工一3）/-3工+3?￡（0』）,則只需證且（工）<0.

—+eA+(x-3)er--=—+(x-2)ex--=(x-2)[eA-—

.V2x2I

?:0<x<1,x-2<0.

令e（x）=e、-,易知e（x）在（0,1）上單調(diào)遞增,

乙人

且當(dāng)R.0+吐9（x）v0；當(dāng)Xf1時,0（x）>O.

，存在唯一的不￡（0』）,使°（%）=0.

二當(dāng)0<x</時,/（x）v0,g'（x）>0,當(dāng)天<x<l時，9（/）>0,g'（R）<0,

???g（H在（0,毛）上單調(diào)遞增，在（不』）上單調(diào)遞減，

???g（。皿=g（%）=m/-3）e%-5%+3.

由3（%）=0,得甘>=/-,兩邊同時取對數(shù)，得與=lnJ-=_ln2_ln%,ln；To=_/Tn2,

g（》）a=（-Xo—ln2）+（Xo-3）^--；/+3

33J-3（1'71r

=一予一丁+彳-ln2=_；/+—十丁ln2

2

2/22（x0>2

371

<——x2+一一In2=一一ln2<0.（H分）

222

不等式/（力v（3一力e”對任意的。之;.%￡（0,1）恒成立.（12分）

（-）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.

22.［選修