專題10 三角形中的重要模型-垂美四邊形與378、578模型（解析版）

專題10.三角形中的重要模型-垂美四邊形與378、578模型模型1、垂美四邊形模型規(guī)定：對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形圖1圖2圖3條件：如圖1，已知四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O，且AC⊥BD；結論：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四邊形的面積等于對角線乘積的一半?！咀冃?】條件：如圖2，在矩形ABCD中，P為CD邊上有一點，連接AP、BP；結論：DP2+BP2=AP2+PC2【變形2】條件：如圖3，在矩形ABCD中，P為矩形內部任意一點，連接AP、BP，CP，DP；結論：AP2+PC2=DP2+BP2用處：①對角線垂直的四邊形對邊的平方和相等；②已知三邊求一邊的四邊形，可以聯(lián)想到垂美四邊形。例1．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預測）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O．若AD=3，BC=5，則____________．【答案】34【分析】在Rt△COB和Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，進一步得BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，再根據(jù)AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，最后求得AB2+CD2=34．【詳解】解：∵BD⊥AC，∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，在Rt△COB和Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得，BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，∴BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，∵AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，∴AB2+CD2=34；故答案為：34．【點睛】本題考查勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理在實際問題中的應用，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型是解題關鍵．例2．（2023秋·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，四邊形的對角線，互相垂直，若，，則的長為（

）A．2.5 B．3 C．4 D．【答案】D【分析】在中，，在中，，再根據(jù)即可得出答案．【詳解】解：在中，，在中，，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查勾股定理，正確利用勾股定理是解題的關鍵．例3．（2023·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）如圖，四邊形的兩條對角線互相垂直，AC、BD是方程的兩個解，則四邊形的面積是（

）A．60 B．30 C．16 D．32【答案】B【分析】對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半，二次方程的兩根乘積可以利用韋達定理快速求解即可．【詳解】由題意可知：四邊形的面積∵AC、BD是方程的兩個解，∴，四邊形的面積，故答案為：B．【點睛】本題主要考查對角線互相垂直的四邊形的面積計算及二次方程根與系數(shù)的關系，知道利用對角線的成績計算面積是解題關鍵．例4．（2023·湖北·九年級專題練習）學習新知：如圖1、圖2，P是矩形ABCD所在平面內任意一點，則有以下重要結論：AP2+CP2＝BP2+DP2．該結論的證明不難，同學們通過勾股定理即可證明．應用新知：如圖3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC內一點，且CD＝2，∠ADB＝90°，則AB的最小值為_____．【答案】4﹣2【分析】以AD、BD為邊作矩形ADBE，連接CE、DE，根據(jù)題意可得，即可求出CE的長度，當C、D、E三點共線時，AB的值最小，且為CE與CD長度之差，故AB最小值可求．【詳解】解：以AD、BD為邊作矩形ADBE，連接CE、DE，如圖所示：則AB＝DE，由題意得：，即，解得：CE＝，當C、D、E三點共線時，DE最小，∴AB的最小值＝DE的最小值＝CE-CD＝-2，故答案為：-2．【點睛】本題主要考查了以幾何為背景的推理與論證、兩點之間線段最短，解題的關鍵在于通過題目中已給的新知推斷CD、CE、CA、CB之間的長度關系，并應用兩點之間線段最短的定理，求出對應的最值．例5．（2022·山東濟寧·統(tǒng)考一模）我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．(1)寫出你所學過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱________，________．(2)如圖（1），已知格點（小正方形的頂點），，，請你直接寫出一個以格點為頂點，，為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形的頂點M的坐標為________；(3)如圖（2），將繞頂點B按順時針方向旋轉60°，得到，連接，，．求證：，即四邊形是勾股四邊形；(4)若將圖（2）中繞頂點B按順時針方向旋轉a度，得到，連接，，則________°，四邊形是勾股四邊形．【答案】(1)矩形；正方形(2)（3，4）或（4，3）(3)見解析(4)【分析】（1）根據(jù)勾股四邊形的定義，可知矩形和正方形都是勾股四邊形；（2）如圖（1）中，以OA、OB為勾股邊且有對角線相等的勾股四邊形OAMB的頂點M的坐標為（3，4）或（4，3）；（3）如圖（2），連接CE，只要證明△DCE是直角三角形即可解決問題；（4）如圖（3），當°，四邊形ABCD是勾股四邊形．連接CE，只要證明△DCE是直角三角形即可解決問題．【詳解】（1）解：∵矩形和正方形的四個角都是直角，∴相鄰兩邊的平方和等于對角線的平方，∴矩形、正方形都是勾股四邊形；故答案為矩形、正方形；（2）解：如圖（1）所示，∴M的坐標為：（3，4）或（4，3）；故答案為（3，4）或（4，3）；（3）證明：如圖（2），連接CE，由旋轉得：≌，∴，，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是勾股四邊形；（4）解：如圖（3），°，四邊形是勾股四邊形．理由如下：連接CE，由旋轉得：≌，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是勾股四邊形；故答案為．【點睛】本題屬于四邊形的綜合題，主要考查了勾股定理、等邊三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．例6．（2022秋·江西撫州·九年級?？茧A段練習）(1)【知識感知】如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形，在我們學過的：①平行四邊形②矩形③菱形④正方形中，能稱為垂美四邊形是______；（只填序號）

(2)【概念理解】如圖2，在四邊形中，，，問四邊形是垂美四邊形嗎？請說明理由．(3)【性質探究】如圖1，垂美四邊形的兩對角線交于點，試探究，，，之間有怎樣的數(shù)量關系？寫出你的猜想，并給出證明；(4)【性質應用】如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，，已知，，求．【答案】(1)③④(2)四邊形ABCD是垂美四邊形；理由見解析(3)；理由見解析(4)【分析】（1）根據(jù)菱形和正方形的對角線互相垂直、垂美四邊形的概念判斷即可；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質、垂美四邊形的概念判斷即可；（3）根據(jù)垂美四邊形的概念、勾股定理計算，得到答案；（4）證明△GAB≌△CAE，進而得出CE⊥BG，根據(jù)（3）的結論計算即可．（1）解：∵在①平行四邊形，②矩形，③菱形，④正方形中，兩條對角線互相垂直的四邊形是③菱形，④正方形，∴③菱形，④正方形一定是垂美四邊形，故答案為：③④；（2）解：四邊形ABCD是垂美四邊形，理由如下：如圖2，∵AB＝AD，∴點A在線段BD的垂直平分線上，∵CB＝CD，∴點C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；（3）解：，證明如下：如圖①，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，，，∴；（4）解：如圖3，連接BE、CG，設AB與CE交于點M，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠BMC＝90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，∴，∵AB＝10，AC＝8，∴，，，∴，則GE＝．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查的是正方形的性質、全等三角形的判定和性質、垂直的定義、勾股定理的應用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運用勾股定理是解題的關鍵．模型2、378和578模型當我們遇到兩個三角形的三邊長分別為3，7，8和5，7，8的時候，通常不會對它們進行處理，實際是因為我們對于這兩組數(shù)字不敏感，但如果將這兩個三角形拼在一起，你將驚喜地發(fā)現(xiàn)這是一個邊長為8的等邊三角形。條件：當兩個三角形的邊長分別為3，7，8和5，7，8時；結論：①這兩個三角形的面積分別為63、103；②3、8與5、8夾角都是60°。例1．（2023·浙江溫州·九年級校考期末）邊長為5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（

）．A．90° B．150° C．135° D．120°【答案】D【分析】法1：拼成一個邊長為8的等邊三角形，即可求解。法2：設△ABC的三邊AB=5，AC=7，BC=8，過點A作AD⊥BC于點D，設BD=x，分別在Rt△ADB和Rt△ADC中，利用勾股定理求得AD，從而可建立方程，求得x的值，可求得∠B，因此可得最大角和最小角的和．【詳解】法1：∵△ABC的邊長為5，7，8，∴其可以和邊長為3，7，8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，又由三角形中大邊對大角，可知邊長為7的邊所對的角為60°，所以最大角和最小角的和是120°.故選D.法2：設△ABC的三邊AB=5，AC=7，BC=8，過點A作AD⊥BC于點D，如圖設BD=x，則CD=8-x在Rt△ADB中，由勾股定理得：；在Rt△ADC中，由勾股定理得：則得方程：解得：即∵，AD⊥BC∴∠BAD=30゜∴∠ABD=90゜-∠BAD=60゜∴∠BAC+∠C=180゜-∠ABD=120゜∵BC>AC>AB∴∠BAC>∠ABD>∠C故最大角與最小角的和為120゜故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理，解一元一次方程，大角對大邊等知識，關鍵是作最大邊上的高，從而為勾股定理的使用創(chuàng)造了條件．例2．（2022·江蘇·八年級專題練習）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，則∠B＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°【答案】C【分析】法1：拼成一個邊長為8的等邊三角形，即可求解。法2：過點A作交BC延長線于點D，設CD=x，則BC=3+x，在和中，利用勾股定理求出，可求出CD的長，從而得到BD的長，然后利用直角三角形的性質即可求解．【詳解】法1：∵△ABC的邊長為3，7，8，∴其可以和邊長為5，7，8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，如圖，觀察圖形可知∠B為等邊三角形的一個內角，所以∠B=60°.故選C.法2：如圖，過點A作交BC延長線于點D，∵在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，可設CD=x，則BC=3+x，在中，，在中，，∴，解得：，∴BC=3+x=4，∴在中，，∴，∴．故選C．【定睛】本題主要考查了勾股定理及直角三角形的性質，熟練掌握直角三角形中若一條直角邊等于斜邊的一半，則這條直角邊所對的銳角等于是解題的關鍵．例3．（2023·廣東·八年級專題練習）如圖，△ABC的邊AB＝8，BC＝5，AC＝7，試過A作AD垂直BC于點D并求出CD的長度．解：如圖所示，作AD⊥BC于點D，設CD＝x，則BD＝BC﹣CD＝5﹣x，則在直角三角形ABD和直角三角形ADC中，由勾股定理有：AB2﹣BD2＝AC2+CD2，即64﹣（5﹣x）2＝49﹣x2，解得：x＝1．故CD長度為1．另解：可以和三邊長為3，7，8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，從而求解。例4．（2023·成都市·八年級專題練習）在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，則△ABC的面積為（

）A．24 B．56 C．48 D．112【答案】A【分析】如圖，過作于，設，則，根據(jù)中，利用勾股定理建立方程，求得，繼而用勾股定理求得，從而求得面積．【詳解】法1：∵該三角形的三邊長的比為3∶7∶8，∴其可以和三邊長的比為5∶7∶8的三角形（邊長為10，14，16）拼成一個邊長為16的等邊三角形，∴拼成的等邊三角形的高為83，∴△ABC的面積為12×6×83=243法2：如圖，過作于，設，則，在中解得故選A【點睛】本題考查了勾股定理的應用，添加輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．例5．（2023·廣西柳州·校考一模）已知△ABC的三邊長分別為5，7，8，△DEF的三邊分別為5，2x，3x﹣5，若兩個三角形全等，則x=__．【答案】4【詳解】∵兩個三角形全等，∴或，解得：無解或x=4.故答案為4.另解：可以和三邊長為3，7，8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，從而求解。例6．（2023·重慶·八年級專題練習）△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，則△ABC的面積為．解：如圖所示：作AD⊥BC交BC于點D，則∠ADC＝90°．∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°．設BD為x，則CD為（8﹣x），AB為2x．∵∠BAD＝30°∴＝，AC＝7，∴AD＝x．∴（x）2+（8﹣x）2＝72．解得x1＝，x2＝．∴當x1＝時，△ABC的面積為S＝BC?AD＝×8××＝6；當x2＝時，△ABC的面積為S＝BC?AD＝×8××＝10．故答案為6或10．課后專項訓練1．（2023春·成都市八年級課時練習）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，點E為對角線BD上任意一點，連接AE、CE．若AB=5，BC=3，則AE2-CE2等于(

)A．7 B．9 C．16 D．25【答案】C【分析】連接AC，與BD交于點O，根據(jù)題意可得，在與中，利用勾股定理可得，在與中，繼續(xù)利用勾股定理可得，求解即可得．【詳解】解：如圖所示：連接AC，與BD交于點O，∵對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，∴，在中，，在中，，∴，在中，，在中，，∴，∴，故選：C．【點睛】題目主要考查勾股定理的應用，理解題意，熟練運用勾股定理是解題關鍵．2．（2023·浙江杭州·模擬預測）如圖，點E是矩形內任意一點，連接，則下列結論正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】過點E作EF⊥BC，延長FE交AD于點M，由題意可證四邊形ABFM，四邊形DCFM是矩形，可得AM=BF，MD=CF，MF⊥AD，根據(jù)勾股定理可得：．【詳解】如圖：過點E作EF⊥BC，延長FE交AD于點M．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°又∵EF⊥BC∴四邊形ABFM，四邊形DCFM是矩形∴AM=BF，MD=CF，MF⊥AD∵，，，∴故：選C．【點睛】本題考查了矩形的性質和判定，勾股定理，添加恰當輔助線構造矩形是本題的關鍵．3．（2023·河南信陽·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，四邊形的兩條對角線互相垂直，，則四邊形的面積最大值是（

）A．16 B．32 C．36 D．64【答案】B【分析】利用對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半求解即可．【詳解】解：設，四邊形面積為S，則，則：當時，S最大為：32﹔故選：B．【點睛】本題主要考查配方求最大值，能夠正確利用面積計算公式結合方程思想是解題關鍵．3．（2023·山東八年級課時練習）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，則∠C＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°【答案】C【分析】法1：拼成一個邊長為8的等邊三角形，即可求解。法2：過點A作AD⊥BC于D，設CD＝x，則BD＝BC?CD＝5?x，由勾股定理得72?（5?x）2＝82?x2，得出CD＝4，則CD＝AC，再證∠CAD＝30°．【詳解】法1：∵△ABC的邊長為5，7，8，∴其可以和邊長為3，7，8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，如圖，觀察圖形可知∠C為等邊三角形的一個內角，所以∠C=60°.故選C.法2：過點A作AD⊥BC于D，如圖所示：設CD＝x，則BD＝BC?CD＝5?x，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2?BD2，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2?CD2，∴AB2?BD2＝AC2?CD2，即：72?（5?x）2＝82?x2，解得：x＝4，∴CD＝4，∴CD＝AC，∴∠CAD＝30°，∴∠C＝90°?30°＝60°，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的判定、三角形內角和定理等知識；熟練掌握勾股定理，證出∠CAD＝30°是解題的關鍵．4．（2023·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）已知△ABC的邊長分別為5，7，8，則△ABC的面積是（）A．20 B．10 C．10 D．28【答案】C【分析】過A作AD⊥BC于D，根據(jù)勾股定理列方程得到BD，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論．【詳解】如圖，∵AB=5，AC=7，BC=8，過A作AD⊥BC于D，∴AB2-BD2=AC2-CD2=AD2，∴52-BD2=72-（8-BD）2，解得：BD=，∴AD=，∴△ABC的面積=10，故選C．另解：可以和三邊長為3，7，8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，從而求解?！军c睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積的計算，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．6．（2023·江蘇南通·九年級?？计谥校┒x：對角線互相垂直的四邊形為垂美四邊形．已知垂美四邊形ABCD的對角線AC、BD滿足AC＋BD＝12，則當AC＝時，四邊形ABCD的面積最大．【答案】6【分析】根據(jù)垂美四邊形的性質列出函數(shù)解析式，進行求解即可．【詳解】解：設，則∵四邊形ABCD的對角線互相垂直，∴，則：．∴AC=6時，面積有最大值；故答案是6．【點睛】本題主要考查了配方求最大值，準確分析計算是解題的關鍵．7．（2022秋·上?！ぞ拍昙壭？计谥校┤鐖D，已知四邊形的對角線、互相垂直于點，，，，那么．【答案】/【分析】過點作于，由等腰三角形“三線合一”的性質可知，在中，由勾股定理可得，然后借助的面積求出，再在中，由勾股定理可得；證明，由相似三角形的性質計算的長即可．【詳解】解：如下圖，過點作于，∵，，∴，∴在中，，又∵，∴，∴，∴，∴在中，，∵，又∵，∴，∴，即，解得．故答案為：．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質、勾股定理、相似三角形的判定與性質、三角形面積等知識，熟練運用勾股定理和相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．8．（2023·山東·?？既＃┤绻?，在中，，，斜邊的兩個端點分別在相互垂真的射線，上滑動，下列結論：①若C，O兩點關于對稱，則②C，O兩點距離的最大值為4：③四邊形的面積為；④斜邊的中點D運動路徑的長度是．其中正確結論的序號是_______________【答案】①②##②①【分析】①先根據(jù)含角的直角三角形性質分別求出和，由軸對稱的性質可知：是的垂直平分線，所以；②根據(jù)，當經過的中點E時，最大，推出C、O兩點距離的最大值為4；③如圖2，根據(jù)四邊形的面積等于面積與面積的和，其中的面積為，的面積為，且、的取值都是大于等于0小于等于4，由勾股定理得到，推出，推出，得到，得到；④如圖3，半徑為2，圓心角為的扇形的圓弧是點D的運動路徑，根據(jù)弧長公式計算得到π．【詳解】解：在，，，∴，，若C、O兩點關于對稱，如圖1，則是的垂直平分線，∴，

∴①正確；②如圖1，取的中點E，連接、，∵，∴，∵，∴當經過點E時，最大，C、O兩點間的距離最大值為4；∴②正確；③如圖2，，其中，，且，，∵，∴，∴，∴，∴，∴；∴③不正確；④如圖3，斜邊的中點D運動路徑是：以點O為圓心，以2為半徑的圓周的，其弧長為：．∴④不正確．綜上所述，本題正確的有：①②．故答案為：①②．【點睛】本題主要考查含角的直角三角形，軸對稱，三角形面積，二次函數(shù)，圓弧等，解決問題的關鍵是熟練掌握含角的直角三角形的邊角性質，軸對稱性質，三角形面積公式，二次函數(shù)性質，圓弧長公式．9．（2023春·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）定義：對角線垂直的四邊形叫做“對垂四邊形”．如圖，在“對垂四邊形”中，對角線與交于點O，．若點E、F、G、H分別是邊、、、的中點，且四邊形是“對垂四邊形”，則四邊形的面積是．【答案】2【分析】連接，，交于點M，根據(jù)三角形中位線定理得到，，，可得四邊形是平行四邊形，再根據(jù)“對垂四邊形”的性質得到垂直線段，從而逐步證明四邊形是正方形，最后計算面積即可．【詳解】解：連接，，交于點M，∵在四邊形中，點E、F、G、H分別是邊、、、的中點，∴，，，∴，同理：，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形是“對垂四邊形”，∴，∴，∴四邊形是矩形，∵四邊形是“對垂四邊形”，∴，∴四邊形是正方形，∴四邊形的面積為．【點睛】本題考查了中點四邊形，三角形中位線定理，特殊四邊形的判定，解題的關鍵是利用“對垂四邊形”，解題的關鍵是掌握特殊四邊形的判定方法．10、當兩個三角形的邊長分別為3，7，8和5，7，8時，則這兩個三角形的面積之和是．解：∵邊長為3，7，8的三角形，可以和邊長為5，7，8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，如圖，∴拼成的等邊三角形的高為43，∴這兩個三角形的面積之和為12×8×43=16311．（2023·江蘇·八年級專題練習）如圖，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E點在BC上，若CE＝2，則AE的長等于．解：過A作AD⊥BC，交BC于D，△ABD中，∠B＝60°，AB＝8，∴BD＝4，AD＝4，則CD＝1，ED＝1．∴AE＝＝＝7．故答案為：7．12．（2023春·四川綿陽·八年級統(tǒng)考期末）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對角線、交于點．若，，則．【答案】169【分析】根據(jù)“垂美”四邊形，得到AC⊥BD，由勾股定理得，由此求出答案．【詳解】解：∵四邊形是“垂美”四邊形，∴AC⊥BD，∴，∴∵，∴169，故答案為：169．【點睛】此題考查勾股定理的應用，正確理解“垂美”四邊形的定義構建勾股定理的等式是解題的關鍵．13．（2022春·河北石家莊·八年級石家莊外國語學校?？茧A段練習）已知對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點O．（1）若，，，則；（2）若，，則；（3）若，，，，則m，n，c，d之間的數(shù)量關系是．【答案】【分析】（1）根據(jù)題意和勾股定理即可求出．（2）利用勾股定理，進行等量代換，可以得到的值．（3）由（2）得求解過程可以得到，進行替換即可．【詳解】（1），，，．故答案為．（2）由（1）得：，，，，，，，．故答案為．（3）由（2）得：，．故答案為．【點睛】本題考查勾股定理的應用問題，熟練利用勾股定理和等量代換是解題的關鍵．14．（2023·山西太原·八年級校考階段練習）認識新知：對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．(1)概念理解：如圖1，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，已知OB＝OD，AB＝AD，判斷：四邊形ABCD____垂美四邊形（填“是”或“否”）；(2)性質探究：如圖2，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，AC⊥BD．①若OA＝1，OB＝5，OC＝7，OD＝2，則AB2+CD2＝____；AD2+BC2＝____．②猜想AB、BC、CD、AD這四條邊的數(shù)量關系，并給出證明．(3)解決問題：如圖3，△ACB中，∠ACB＝90°，AC⊥AG且AC＝AG＝4，AB⊥AE且AE＝AB＝5，連結CE、BG、GE，則GE＝____．【答案】(1)是(2)①79，79；②，理由見解析(3)【分析】（1）連接AC、BD，根據(jù)垂直平分線的判定定理證明即可；（2）根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；（3）證△GAB≌△CAE（SAS），得∠ABG＝∠AEC，再證四邊形CGEB是垂直四邊形，然后由垂直四邊形的性質，勾股定理，結合（2）的結論計算即可．（1）解：結論：四邊形ABCD是垂美四邊形．理由：如圖，連接AC和BD，∵AD＝AB，∴A在BD的垂直平分線上，∵CD＝CB，∴C在BD的垂直平分線上，∴AC垂直平分BD，∴四邊形ABCD為垂美四邊形；故答案為：是；（2）①解：∵AC⊥BD，∴＝1+25+49+4＝79，＝1+25+49+4＝79，故答案為：79，79；②結論：．理由：∵，∴，，∴；（3）如圖，設AC與BG的交點為N，AB與CE的交點為M，∵，，∴，即，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，∵，∴，由（2）得，，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質、垂直的定義、勾股定理的應用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運用勾股定理是解題的關鍵．15．（2022春·廣東韶關·八年級統(tǒng)考期末）新定義：對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．(1)尺規(guī)作圖：以已知線段為對角線作一個垂美四邊形，使其對角線交于點O；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)已知四邊形是垂美四邊形，且，則它的面積為________；(3)如圖，四邊形是垂美四邊形，，探究a、b、c、d的數(shù)量關系；(4)如圖，已知D、E分別是中邊的中點，，請運用上題的結論，求的長．【答案】(1)見解析(2)(3)(4)【分析】（1）分別以點E、點G為圓心畫弧，交于EG上方于點F，交EG下方于點G，連接EF、EH、GF、GH，四邊形EFGH即為所求；（2）將四邊形ABCD分為上下兩個三角形，分別求出兩個三角形的面積再相加即可；（3）將四邊形ABCD分為四個小的直角三角形，再根據(jù)勾股定理分別用OA、OB、OC、OD表示出、、、即可知道a、b、c、d之間的數(shù)量關系；（4）連接DE，根據(jù)題意可得四邊形AEDB是垂美四邊形，結合（3）的結論即可求出AB長度．【詳解】（1）解：如圖1：（2）解：如圖2，Rt△ACD中，，Rt△ABC中，，．（3）∵，∴中，；中，，中，，中，，∴，；∴；（4）解：連接，如圖3，∵D、E分別是中邊的中點，∴；∵，∴四邊形是垂美四邊形；∴；即，得．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，熟練地掌握勾股定理，讀懂題目的新定義，巧妙地運用等量代換得出結論是解題的關鍵．16．（2023春·浙江·八年級專題練習）新定義：對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．(1)如圖1，已知四邊形是垂美四邊形．①若，則它的面積為_____________；②若，探究的數(shù)量關系．(2)如圖2，已知分別是中邊的中點，，，請運用②中的結論，直接寫出的長為___________________．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①由面積和差關系可求解；②由勾股定理列出方程組，可求解；（2）由三角形的中位線定理可得，，，由②的結論，列出方程可求解．【詳解】（1）解：①如圖1，四邊形是垂美四邊形，，，；②如圖1，四邊形是垂美四邊形，，在中，，在中，，在中，，在中，，，，，即：；（2）解：如圖，連接，、分別是中邊、的中點，，，，，，四邊形是垂美四邊形，，，．故答案為【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了勾股定理，三角形中位線定理，勾股定理等知識，理解垂美四邊形17．（2022·江西萍鄉(xiāng)·?？寄M預測）若四邊形對角線互相垂直，那么我們定義這種四邊形為“對垂”四邊形．特征辨析(1)下列4個圖中，四邊形不是“對垂”四邊形的是（）歸納探究(2)如圖1，于O，動點P，Q都從O點出發(fā)，點P沿運動到B，點Q沿運動到C．①當，，，時，則___________，___________，據(jù)此結合（1）中相關圖形試猜想“對垂”四邊形兩組對邊與之間的數(shù)量關系：___________（用等式表示）；②在“對垂”四邊形中，當①中的條件都不存在時，①中所猜想的數(shù)量關系還成立嗎？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由．拓展應用(3)如圖2，四邊形和四邊形均為正方形，點B恰好在的延長線上，且已知，，求的長．【答案】(1)D(2)①，，；②成立，證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)菱形的性質和線段垂直平分線的判定結合“對垂”四邊形的定義逐一判斷即可；（2）①先解，求出的長，再利用勾股定理求出的長即可得到答案；②利用勾股定理進行證明即可；（3）如圖2，連接，先證明，得到，進而證明，推出四邊形是“對垂”四邊形．由（2）得，，求出，，，即可求出．【詳解】（1）解：A、∵，∴四邊形是菱形，∴四邊形的對角線互相垂直，∴四邊形是“對垂”四邊形，故此選項不符合題意；B、∵，∴線段在線段的垂直平分線上，∴四邊形的對角線互相垂直，∴四邊形是“對垂”四邊形，故此選項不符合題意；C、如圖同A選項可證明四邊形是菱形，∴，∴四邊形的對角線互相垂直，∴四邊形是“對垂”四邊形，故此選項不符合題意；D、根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明四邊形的對角線互相垂直，故此選項符合題意；故選D；（2）解：①∵，∴，在中，，，∴，，∴，，在中，由勾股定理得，∴；在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，∴；∴；由（1）可知A、B、C三個選項的四邊形是“對垂”四邊形，都滿足，∴可以猜想；②猜想仍然成立，證明如下：∵于O，∴，由勾股定理得，，，∴．（3）解：如圖2，連接，∵四邊形和四邊形均為正方形，∴，∴，即，在和中，∴，∴，又∵，∴，即，∴四邊形是“對垂”四邊形．由（2）得，，∵，，∴，，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了菱形的性質，線段垂直平分線的判定，勾股定理，正方形的性質，全等三角形的性質與判定，解直角三角形等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．18．（2022秋·天津·九年級校考期末）如圖，四邊形兩條對角線互相垂直，且．設，(1)用含的式子表示：_____________；(2)當四邊形的面積為時，求的長；【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)進行求解即可；（2）根據(jù)（1）所求，代入進行求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，設交于點O，∵，，∴，∵四邊形兩條對角線互相垂直，∴，故答案為；；（2）解：由題意得，∴，解得或（舍去）∴．【點睛】本題主要考查了三角形面積，一元二次方程的應用，正確列出四邊形的面積關系式是解題的關鍵．19．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）如圖，我把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．（1）性質探究：如圖1．已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，求證：AB2+CD2＝AD2+BC2．（2）解決問題：已知AB＝5，BC＝4，分別以△ABC的邊BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．①如圖2，當∠ACB＝90°，連接PQ，求PQ；②如圖3，當∠ACB≠90°，點M、N分別是AC、AP中點連接MN．若MN＝，則S△ABC＝．【答案】（1）詳見解析；（2）①，②【分析】（1）利用勾股定理即可得出結論；（2）①根據(jù)SAS可證明△PBC≌△ABQ，得∠BPC＝∠BAQ，得∠PDA＝90°，可求出PQ的長；②連接PC、AQ交于點D，同①可證△PBC≌△ABQ，則AQ＝PC且AQ⊥PC，由MN＝2，可知AQ＝PC＝4．延長QB作AE⊥QE，求出BE的長，則答案可求出．【詳解】解：（1）證明：如圖中，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）①如圖，連接PC、AQ交于點D，∵△ABP和△CBQ都是等腰直角三角形，∴PB＝AB，CB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ＝90°，∴∠PBC＝∠ABQ，∴△PBC≌△ABQ（SAS），∴∠BPC＝∠BAQ，又∵∠BP