《導數(shù)及其應用》導學案

《導數(shù)及其應用》導學案一、教材版本、冊數(shù)、章節(jié)及類型教材為人教B版選修22，第一章“導數(shù)及其應用”，這是關(guān)于章節(jié)小結(jié)類型的導學案。二、學習目標1、知識與技能目標能夠準確理解導數(shù)的定義，像背自己喜歡的歌詞一樣熟練掌握導數(shù)的公式，例如，對于函數(shù)\(y=x^n\)，其導數(shù)\(y^\prime=nx^{n1}\)，要能快速準確地運用。熟練運用導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題，就像熟練使用手機刷短視頻一樣自然。比如，知道導數(shù)大于零的區(qū)間函數(shù)單調(diào)遞增，導數(shù)小于零的區(qū)間函數(shù)單調(diào)遞減。會用導數(shù)求函數(shù)的極值和最值，把求極值和最值當成尋找寶藏一樣，通過導數(shù)這個“尋寶工具”準確找到。2、過程與方法目標通過對導數(shù)概念的深入學習，培養(yǎng)同學們從特殊到一般的思維能力，就像從認識一個朋友的某個特點，推廣到了解他的整體性格一樣。在解決導數(shù)應用問題的過程中，提高分析問題和解決問題的能力，就像在游戲中不斷升級打怪，每解決一個問題就升一級。3、情感態(tài)度與價值觀目標感受導數(shù)在數(shù)學和實際生活中的廣泛應用，體會數(shù)學的實用性和魅力，就像發(fā)現(xiàn)原來數(shù)學不是枯燥的數(shù)字，而是能像魔法一樣解決很多實際問題的神奇工具。在小組合作學習中，培養(yǎng)團隊合作精神，大家一起探討導數(shù)問題，就像一起搭積木，每個人出一份力，就能搭出一個超級棒的作品。三、學習重難點1、重點導數(shù)的定義、導數(shù)的基本公式和運算法則，這是導數(shù)知識大廈的基石，一定要打牢。利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，這就像抓住了函數(shù)這個“小怪獸”的命門。2、難點對導數(shù)定義的理解，導數(shù)這個概念有點抽象，就像理解一種新的外星語言一樣，需要同學們多花點時間。導數(shù)在實際問題中的應用，把數(shù)學知識和實際生活聯(lián)系起來有時候就像在兩個不同的世界建立橋梁，需要大家仔細思考和練習。四、學習過程（一）知識回顧1、導數(shù)的定義首先，我們來回顧一下導數(shù)的定義。設函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_0\)的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量\(x\)在\(x_0\)處取得增量\(\Deltax\)（點\(x_0+\Deltax\)仍在該鄰域內(nèi)）時，相應地函數(shù)取得增量\(\Deltay=f(x_0+\Deltax)f(x_0)\)；如果\(\Deltay\)與\(\Deltax\)之比當\(\Deltax\to0\)時的極限存在，則稱函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處可導，并稱這個極限為函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處的導數(shù)，記作\(f^\prime(x_0)\)，即\(f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltay}{\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)f(x_0)}{\Deltax}\)。同學們可以想一個簡單的函數(shù)，比如\(y=x^2\)，按照這個定義來求一下在\(x=1\)處的導數(shù)，感受一下這個過程。2、導數(shù)的基本公式我們有一些基本的導數(shù)公式要牢記哦。比如，\((C)^\prime=0\)（\(C\)為常數(shù)），這就像一個靜止的物體，速度為零一樣。\((x^n)^\prime=nx^{n1}\)，這是一個很常用的公式，就像游戲中的常用技能。\((\sinx)^\prime=\cosx\)，\((\cosx)^\prime=\sinx\)，這就像三角函數(shù)的小秘密，要記好。\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)，\((e^x)^\prime=e^x\)，這些公式在解決很多導數(shù)問題時都會用到，一定要像記自己的生日一樣清楚。3、導數(shù)的運算法則如果\(u=u(x)\)，\(v=v(x)\)都可導，那么\((u\pmv)^\prime=u^\prime\pmv^\prime\)，這就像兩個人分別做事情，他們的效率相加或相減一樣。\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)，這個法則有點像合作完成一件事情的效率計算。\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\primevuv^\prime}{v^2}(v\neq0)\)，這是除法形式的導數(shù)運算法則，要注意分母不能為零哦。（二）典型例題1、利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性例1：求函數(shù)\(y=x^33x^29x+5\)的單調(diào)區(qū)間。首先，我們對函數(shù)求導，\(y^\prime=3x^26x9\)。然后令\(y^\prime=0\)，即\(3x^26x9=0\)，我們可以將方程左邊因式分解為\(3(x^22x3)=3(x3)(x+1)=0\)，解得\(x=3\)或者\(x=1\)。接下來，我們把定義域分成三個區(qū)間\((\infty,1)\)，\((1,3)\)，\((3,+\infty)\)。當\(x\in(\infty,1)\)時，\(y^\prime>0\)，函數(shù)\(y\)單調(diào)遞增。當\(x\in(1,3)\)時，\(y^\prime<0\)，函數(shù)\(y\)單調(diào)遞減。當\(x\in(3,+\infty)\)時，\(y^\prime>0\)，函數(shù)\(y\)單調(diào)遞增。同學們可以自己再找一個類似的函數(shù)，比如\(y=x^42x^2\)，按照這個步驟求一下它的單調(diào)區(qū)間。2、利用導數(shù)求函數(shù)極值例2：求函數(shù)\(y=x^33x\)的極值。先求導，\(y^\prime=3x^23\)。令\(y^\prime=0\)，得到\(3x^23=0\)，即\(x^2=1\)，解得\(x=\pm1\)。當\(x<1\)時，\(y^\prime>0\)；當\(1<x<1\)時，\(y^\prime<0\)；當\(x>1\)時，\(y^\prime>0\)。所以\(x=1\)時，函數(shù)\(y\)取得極大值，把\(x=1\)代入原函數(shù)\(y=(1)^33\times(1)=2\)。\(x=1\)時，函數(shù)\(y\)取得極小值，把\(x=1\)代入原函數(shù)\(y=1^33\times1=2\)?，F(xiàn)在大家可以試著求一下函數(shù)\(y=x^44x^3\)的極值。3、利用導數(shù)求函數(shù)最值例3：求函數(shù)\(y=x^33x^2+6\)在區(qū)間\(1,3\)上的最值。先求導\(y^\prime=3x^26x\)。令\(y^\prime=0\)，即\(3x(x2)=0\)，解得\(x=0\)或者\(x=2\)。然后我們把\(x=1\)，\(x=0\)，\(x=2\)，\(x=3\)分別代入原函數(shù)\(y\)。當\(x=1\)時，\(y=(1)^33\times(1)^2+6=2\)。當\(x=0\)時，\(y=6\)。當\(x=2\)時，\(y=2^33\times2^2+6=2\)。當\(x=3\)時，\(y=3^33\times3^2+6=6\)。所以函數(shù)在區(qū)間\(1,3\)上的最大值是\(6\)，最小值是\(2\)。那同學們來求一下函數(shù)\(y=x^22x+3\)在區(qū)間\(0,4\)上的最值吧。（三）小組合作探究1、探究一：導數(shù)在物理中的應用問題：已知一物體做直線運動，其位移\(s\)與時間\(t\)的關(guān)系為\(s=t^32t^2+3t\)，求物體在\(t=2\)時的瞬時速度。首先，我們要知道速度是位移的導數(shù)。對\(s=t^32t^2+3t\)求導，得到\(s^\prime=3t^24t+3\)。把\(t=2\)代入\(s^\prime\)，得到\(s^\prime(2)=3\times2^24\times2+3=128+3=7\)。所以物體在\(t=2\)時的瞬時速度是\(7\)。小組討論：大家還能想到哪些物理量是用導數(shù)來表示的呢？比如加速度，它和位移的導數(shù)有什么關(guān)系呢？2、探究二：導數(shù)在經(jīng)濟中的應用問題：某產(chǎn)品的成本函數(shù)為\(C(x)=x^2+10x+50\)，其中\(zhòng)(x\)為產(chǎn)量，求邊際成本函數(shù)，并求當產(chǎn)量\(x=10\)時的邊際成本。邊際成本就是成本函數(shù)的導數(shù)。對\(C(x)=x^2+10x+50\)求導，得到\(C^\prime(x)=2x+10\)。當\(x=10\)時，\(C^\prime(10)=2\times10+10=30\)。小組討論：邊際成本在企業(yè)生產(chǎn)決策中有什么重要意義呢？如果邊際成本大于產(chǎn)品價格，企業(yè)應該怎么做？（四）課堂小結(jié)1、請同學們回顧一下這節(jié)課的主要內(nèi)容，我們從導數(shù)的定義開始，到導數(shù)的基本公式、運算法則，再到導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性、極值、最值中的應用，以及導數(shù)在物理和經(jīng)濟中的應用。2、大家在學習過程中有哪些收獲呢？是對某個概念有了更深刻的理解，還是在解題技巧上有了提高？3、有沒有遇到什么困難或者疑惑呢？比如在求導過程中容易出錯的地方，或者在實際應用中不知道如何建立導數(shù)模型的問題。（五）課后作業(yè)1、基礎題求函數(shù)\(y=2x^33x^212x+5\)的導數(shù)。求函數(shù)\(y=\sinx\cosx\)的單調(diào)區(qū)間。求函數(shù)\(y=x^36x^2+9x\)的極值。2、提高題已知函數(shù)\(y=ax^3+bx^2+cx+d\)在\(x=2\)處取得極值\(9\)，在\(x=2\)處取得極值\(15\)，求\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\)的值。一工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本函數(shù)為\(C(x)=500+2x+\frac{1}{2}x^2\)，收入函數(shù)為\(R(x)=10x\frac{1}{10}x^2\)，求利潤函數(shù)\(L(x)\)，并求產(chǎn)量為多少時利潤最大。3、拓展題研究函數(shù)\(y=e^xax\)的單調(diào)性與極值情況，其中\(zhòng)(a\)為常數(shù)。設函數(shù)\(f(x)=\lnx\frac{1}{2}ax^2bx\)，若\(x=1\)是函數(shù)\(f(x)\)的極大值點，求\(a\)，\(b\)的取值范圍。答案：1、基礎題答案對于函數(shù)\(y=2x^33x^212x+5\)，根據(jù)求導公式\((x^n)^\prime=nx^{n1}\)和求導運算法則\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)，可得\(y^\prime=6x^26x12\)。對于函數(shù)\(y=\sinx\cosx\)，求導得\(y^\prime=\cosx+\sinx\)。令\(y^\prime>0\)，即\(\cosx+\sinx>0\)，\(\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})>0\)，解得\(2k\pi\frac{\pi}{4}<x<2k\pi+\frac{3\pi}{4}(k\inZ)\)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是\((2k\pi\frac{\pi}{4},2k\pi+\frac{3\pi}{4})(k\inZ)\)；令\(y^\prime<0\)，解得\(2k\pi+\frac{3\pi}{4}<x<2k\pi+\frac{7\pi}{4}(k\inZ)\)，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是\((2k\pi+\frac{3\pi}{4},2k\pi+\frac{7\pi}{4})(k\inZ)\)。對于函數(shù)\(y=x^36x^2+9x\)，求導得\(y^\prime=3x^212x+9=3(x1)(x3)\)。令\(y^\prime=0\)，解得\(x=1\)或者\(x=3\)。當\(x<1\)時，\(y^\prime>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；當\(1<x<3\)時，\(y^\prime<0\)，函數(shù)單調(diào)遞減；當\(x>3\)時，\(y^\prime>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增。所以\(x=1\)時函數(shù)取得極大值\(y=1^36\times1^2+9\times1=4\)；\(x=3\)時函數(shù)取得極小值\(y=3^36\times3^2+9\times3=0\)。2、提高題答案對函數(shù)\(y=ax^3+bx^2+cx+d\)求導得\(y^\prime=3ax^2+2bx