2024年四川省雅安市中考數(shù)學試卷（附答案）

第1頁（共1頁）2024年四川省雅安市中考數(shù)學試卷（附答案）一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分）每小題的四個選項中，有且僅有一個是正確的.1．（3分）（2024?鹽城）2024的相反數(shù)是（）A．2024 B．﹣2024 C．12024 D．2．（3分）（2024?雅安）計算（1﹣3）0的結(jié)果是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．43．（3分）（2024?雅安）下列幾何體中，主視圖是三角形的是（）A． B． C． D．4．（3分）（2024?雅安）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)+3b＝4ab B．（a2）3＝a5 C．a(chǎn)3?a2＝a6 D．a(chǎn)5÷a＝a45．（3分）（2024?雅安）如圖，直線AB，CD交于點O，OE⊥AB于O，若∠1＝35°，則∠2的度數(shù)是（）A．55° B．45° C．35° D．30°6．（3分）（2024?雅安）不等式組3x?2≥42x＜x+6A． B． C． D．7．（3分）（2024?雅安）在平面直角坐標系中，將點P（1，﹣1）向右平移2個單位后，得到的點P1關(guān)于x軸的對稱點坐標是（）A．（1，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（1，﹣1）8．（3分）（2024?雅安）如圖，⊙O的周長為8π，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O．則△OAB的面積為（）A．4 B．43 C．6 D．9．（3分）（2024?雅安）某校開展了紅色經(jīng)典故事演講比賽，其中8名同學的成績（單位：分）分別為：85，81，82，86，82，83，92，89．關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法中正確的是（）A．眾數(shù)是92 B．中位數(shù)是84.5 C．平均數(shù)是84 D．方差是1310．（3分）（2024?雅安）已知2a+1b=1（aA．12 B．1 C．2 11．（3分）（2024?雅安）在數(shù)學課外實踐活動中，某小組測量一棟樓房CD的高度（如圖），他們在A處仰望樓頂，測得仰角為30°，再往樓的方向前進50米至B處，測得仰角為60°，那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計）（）A．253米 B．25米 C．252米 D．50米12．（3分）（2024?雅安）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩實根x1＝﹣1，x2＝3，且abc＞0，則下列結(jié)論中正確的有（）①2a+b＝0；②拋物線y＝ax2+bx+c的頂點坐標為（1，4c3③a＜0；④若m（am+b）＜4a+2b，則0＜m＜1．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）將答案直接填寫在答題卡相應的橫線上。13．（3分）（2024?雅安）使式子x?1有意義的x的取值范圍是．14．（3分）（2024?雅安）將﹣2，87，π，0，2，3.14這6個數(shù)分別寫在6張同樣的卡片上，從中隨機抽取1張，卡片上的數(shù)為有理數(shù)的概率是15．（3分）（2024?雅安）如圖是1個紙杯和若干個疊放在一起的紙杯的示意圖，在探究紙杯疊放在一起后的總高度H與杯子數(shù)量n的變化規(guī)律的活動中，我們可以獲得以下數(shù)據(jù)（字母），請選用適當?shù)淖帜副硎綡＝．①杯子底部到杯沿底邊的高h；②杯口直徑D；③杯底直徑d；④杯沿高a．16．（3分）（2024?雅安）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝40°，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，當AD∥BC時，∠BAE的度數(shù)是．17．（3分）（2024?雅安）如圖，把矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在點E處，BE與AD交于點F，若AB＝6，BC＝8，則cos∠ABF的值是．三、解答題（本大題共7個小題、共69分）解答要求寫出必要的文字說明、演算步驟或推理過程.18．（12分）（2024?雅安）（1）計算：9?（12）﹣1+（﹣5）×|（2）先化簡，再求值：（1?1a2）÷19．（8分）（2024?雅安）某中學對八年級學生進行了教育質(zhì)量監(jiān)測，隨機抽取了參加15米折返跑的部分學生成績（成績劃分為優(yōu)秀、良好、合格與不合格四個等級），并繪制了不完整的統(tǒng)計圖（如圖所示）．根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題：（1）請把條形統(tǒng)計圖補充完整；（2）若該校八年級學生有300人，試估計該校八年級學生15米折返跑成績不合格的人數(shù)；（3）從所抽取的優(yōu)秀等級的學生A、B、C、D、E中，隨機選取兩人去參加即將舉辦的學校運動會，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到A、B兩位同學的概率．20．（8分）（2024?雅安）如圖，點O是?ABCD對角線的交點，過點O的直線分別交AD，BC于點E，F(xiàn)．（1）求證：△ODE≌△OBF；（2）當EF⊥BD時，DE＝15cm，分別連接BE，DF．求此時四邊形BEDF的周長．21．（9分）（2024?雅安）某市為治理污水，保護環(huán)境，需鋪設(shè)一段全長為3000米的污水排放管道，為了減少施工對城市交通所造成的影響，實際施工時每天的工效比原計劃增加25%，結(jié)果提前15天完成鋪設(shè)任務．（1）求原計劃與實際每天鋪設(shè)管道各多少米？（2）負責該工程的施工單位，按原計劃對工人的工資進行了初步的預算，工人每天人均工資為300元，所有工人的工資總金額不超過18萬元．該公司原計劃最多應安排多少名工人施工？22．（10分）（2024?雅安）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象l與反比例函數(shù)y=kx的圖象交于M（12，4），N（1）求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達式；（2）求△OMN的面積；（3）若點P是y軸上一動點，連接PM，PN．當PM+PN的值最小時，求點P的坐標．23．（10分）（2024?雅安）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的一點，點P是BA延長線上的一點，連接AC，∠PCA＝∠B．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）若sin∠B=12，求證：AC＝（3）若CD⊥AB于D，PA＝4，BD＝6，求AD的長．24．（12分）（2024?雅安）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象與x軸交于A（1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）如圖①，若點P是線段BC上的一個動點（不與點B，C重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，當線段PQ的長度最大時，求點Q的坐標；（3）如圖②，在（2）的條件下，過點Q的直線與拋物線交于點D，且∠CQD＝2∠OCQ．在y軸上是否存在點E，使得△BDE為等腰三角形？若存在，直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

2024年四川省雅安市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分）每小題的四個選項中，有且僅有一個是正確的.1．（3分）（2024?鹽城）2024的相反數(shù)是（）A．2024 B．﹣2024 C．12024 D．【考點】相反數(shù)．【專題】實數(shù)；推理能力．【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)進行解答即可得．【解答】解：2024的相反數(shù)是﹣2024，故選：B．2．（3分）（2024?雅安）計算（1﹣3）0的結(jié)果是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．4【考點】零指數(shù)冪．【專題】整式；運算能力．【分析】根據(jù)零指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行計算即可．【解答】解：原式＝（﹣2）0＝1．故選：C．3．（3分）（2024?雅安）下列幾何體中，主視圖是三角形的是（）A． B． C． D．【考點】簡單幾何體的三視圖．【專題】投影與視圖；空間觀念．【分析】根據(jù)主視圖的特點解答即可．【解答】解：A、圓錐的主視圖是三角形，故此選項符合題意；B、圓柱的主視圖是矩形，故此選項不符合題意；C、三棱柱的主視圖是長方形，中間還有一條虛線，故此選項不符合題意；D、正方體的主視圖為正方形，故此選項不符合題意；故選：A．4．（3分）（2024?雅安）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)+3b＝4ab B．（a2）3＝a5 C．a(chǎn)3?a2＝a6 D．a(chǎn)5÷a＝a4【考點】同底數(shù)冪的除法；合并同類項；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．【專題】整式；運算能力．【分析】根據(jù)同類項的定義，冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪乘除法的計算方法逐項進行判斷即可．【解答】解：A．a(chǎn)與3b不是同類項，不能合并運算，因此選項A不符合題意；B．（a2）3＝a6，因此選項B不符合題意；C．a(chǎn)3?a2＝a5，因此選項C不符合題意；D．a(chǎn)5÷a＝a4，因此選項D符合題意；故選：D．5．（3分）（2024?雅安）如圖，直線AB，CD交于點O，OE⊥AB于O，若∠1＝35°，則∠2的度數(shù)是（）A．55° B．45° C．35° D．30°【考點】垂線．【專題】計算題；運算能力．【分析】已知OE⊥AB，∠1＝35°，可得∠AOC的度數(shù)，因為對頂角∠2＝∠AOC，即得∠2的度數(shù)．【解答】解：∵OE⊥AB，∠1＝35°，∴∠AOC＝55°，∴∠2＝∠AOC＝55°，故選：A．6．（3分）（2024?雅安）不等式組3x?2≥42x＜x+6A． B． C． D．【考點】解一元一次不等式組；在數(shù)軸上表示不等式的解集．【專題】一元一次不等式（組）及應用；幾何直觀；運算能力．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．【解答】解：解不等式3x﹣2≥4，得：x≥2，解不等式2x＜x+6，得：x＜6，則不等式組的解集為2≤x＜6，將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下：故選：C．7．（3分）（2024?雅安）在平面直角坐標系中，將點P（1，﹣1）向右平移2個單位后，得到的點P1關(guān)于x軸的對稱點坐標是（）A．（1，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（1，﹣1）【考點】關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標；坐標與圖形變化﹣平移．【專題】平面直角坐標系；符號意識．【分析】直接利用平移的性質(zhì)得出對應點坐標，再利用關(guān)于x軸對稱點的性質(zhì)得出答案．【解答】解：∵將點P（1，﹣1）向右平移2個單位后，∴平移后的坐標為（3，﹣1），∴得到的點P1關(guān)于x軸的對稱點坐標是（3，1）．故選：B．8．（3分）（2024?雅安）如圖，⊙O的周長為8π，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O．則△OAB的面積為（）A．4 B．43 C．6 D．【考點】正多邊形和圓．【專題】正多邊形與圓；運算能力；推理能力．【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系進行計算即可．【解答】解：設(shè)半徑為r，由題意得，2πr＝8π，解得r＝4，∵六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，∴∠AOB=360°∵OA＝OB，∴△AOB是正三角形，∴弦AB所對應的弦心距為32OA＝23∴S△AOB=12×4×23故選：B．9．（3分）（2024?雅安）某校開展了紅色經(jīng)典故事演講比賽，其中8名同學的成績（單位：分）分別為：85，81，82，86，82，83，92，89．關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法中正確的是（）A．眾數(shù)是92 B．中位數(shù)是84.5 C．平均數(shù)是84 D．方差是13【考點】方差；算術(shù)平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)．【專題】數(shù)據(jù)的收集與整理；運算能力．【分析】找出這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的即為眾數(shù)，這組數(shù)據(jù)排列后找出最中間的兩個數(shù)求出平均數(shù)即為中位數(shù)，求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，利用方差公式求出方差，判斷即可．【解答】解：排列得：81，82，82，83，85，86，89，92，出現(xiàn)次數(shù)最多是82，即眾數(shù)為82；最中間的兩個數(shù)為83和85，平均數(shù)為84，即中位數(shù)為84；（81+82+82+83+85+86+89+92）÷8＝85，即平均數(shù)為85；18×[（81﹣85）2+2（82﹣85）2+（83﹣85）2+（85﹣85）2+（86﹣85）2+（89﹣85）2+（92﹣85）=1＝13，即方差為13．故選：D．10．（3分）（2024?雅安）已知2a+1b=1（aA．12 B．1 C．2 【考點】分式的加減法；分式的值．【專題】分式；運算能力．【分析】由已知條件可得a+2b＝ab，將其代入a+aba+b【解答】解：∵2a+1b=∴2b+aab∴a+2b＝ab，∴a+ab=a+a+2b=2(a+b)＝2，故選：C．11．（3分）（2024?雅安）在數(shù)學課外實踐活動中，某小組測量一棟樓房CD的高度（如圖），他們在A處仰望樓頂，測得仰角為30°，再往樓的方向前進50米至B處，測得仰角為60°，那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計）（）A．253米 B．25米 C．252米 D．50米【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【分析】設(shè)DC＝x米，在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出AC，在Rt△BCD中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出BC，再由AC﹣BC＝AB＝50列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值即可．【解答】解：設(shè)DC＝x米，在Rt△ACD中，∠A＝30°，tanA=DCAC，即tan30°整理得：AC=3x在Rt△BCD中，∠DBC＝60°，tan∠DBC=DCBC，即tan60°整理得：BC=33∵AB＝50米，∴AC﹣BC＝50，即3x?33解得：x＝253，則這棟樓的高度為253米．故選：A．12．（3分）（2024?雅安）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩實根x1＝﹣1，x2＝3，且abc＞0，則下列結(jié)論中正確的有（）①2a+b＝0；②拋物線y＝ax2+bx+c的頂點坐標為（1，4c3③a＜0；④若m（am+b）＜4a+2b，則0＜m＜1．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；拋物線與x軸的交點；根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力．【分析】依據(jù)題意，由ax2+bx+c＝0有兩實根x1＝﹣1，x2＝3，可得a?b+c=0①9a+3b+c=0②，從而可得8a+4b＝0，即2a+b＝0，故可判斷①；又拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x=?b2a=??2a2a=1，進而拋物線y＝ax2+bx+c的頂點為（1，a+b+c），再結(jié)合a=?c3，b＝﹣2a=23c，可得a+b+c=43c，故可判斷②；依據(jù)題意可得c＝﹣3a，又b＝﹣2a，abc＞0，進而可得abc＝a?（﹣2a）?（﹣3a）＝6a3＞0，從而可以判斷③；由m（am+b）＜4a+2b，故am2+bm+c＜4a+2b+c，即對于函數(shù)y＝ax2+bx+c【解答】解：由題意，∵ax2+bx+c＝0有兩實根x1＝﹣1，x2＝3，∴a?b+c=0①9a+3b+c=0②∴②﹣①得，8a+4b＝0．∴2a+b＝0，故①正確．∴b＝﹣2a．∴拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x=?b∴拋物線y＝ax2+bx+c的頂點為（1，a+b+c）．又b＝﹣2a，a﹣b+c＝0，∴3a+c＝0，即a=?c∴b＝﹣2a=23∴a+b+c=43∴頂點坐標為（1，43c），故②∵3a+c＝0，∴c＝﹣3a．又b＝﹣2a，abc＞0，∴abc＝a?（﹣2a）?（﹣3a）＝6a3＞0．∴a＞0，故③錯誤．∵m（am+b）＜4a+2b，∴am2+bm+c＜4a+2b+c．∴對于函數(shù)y＝ax2+bx+c，當x＝m時的函數(shù)值小于當x＝2時的函數(shù)值．∵a＞0，拋物線的對稱軸是直線x＝1，又此時拋物線上的點離對稱軸越近函數(shù)值越小，∴|m﹣1|＜2﹣1．∴﹣1＜m﹣1＜1．∴0＜m＜2，故④錯誤．綜上，正確的有①②共2個．故選：B．二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）將答案直接填寫在答題卡相應的橫線上。13．（3分）（2024?雅安）使式子x?1有意義的x的取值范圍是x≥1．【考點】二次根式有意義的條件．【專題】二次根式；運算能力．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可．【解答】解：∵式子x?1有意義，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故答案為：x≥1．14．（3分）（2024?雅安）將﹣2，87，π，0，2，3.14這6個數(shù)分別寫在6張同樣的卡片上，從中隨機抽取1張，卡片上的數(shù)為有理數(shù)的概率是23【考點】概率公式；實數(shù)．【專題】概率及其應用；運算能力．【分析】找出6張卡片中有理數(shù)的個數(shù)，除以6即可確定出所求事件的概率．【解答】解：在﹣2，87，π，0，2有理數(shù)為：﹣2，87則P（卡片上的數(shù)為有理數(shù)）=4故答案為：2315．（3分）（2024?雅安）如圖是1個紙杯和若干個疊放在一起的紙杯的示意圖，在探究紙杯疊放在一起后的總高度H與杯子數(shù)量n的變化規(guī)律的活動中，我們可以獲得以下數(shù)據(jù)（字母），請選用適當?shù)淖帜副硎綡＝h+an．①杯子底部到杯沿底邊的高h；②杯口直徑D；③杯底直徑d；④杯沿高a．【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類．【專題】規(guī)律型；推理能力．【分析】如圖可知，紙杯疊放在一起后的總高度H＝杯子底部到杯沿底邊的高h+杯子數(shù)量n×杯沿高a，列式即可．【解答】解：如圖可知，紙杯疊放在一起后的總高度H＝杯子底部到杯沿底邊的高h+杯子數(shù)量n×杯沿高a，∴H＝h+an，故答案為：h+an．16．（3分）（2024?雅安）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝40°，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，當AD∥BC時，∠BAE的度數(shù)是30°或150°．【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．【分析】當點D在點A的左側(cè)時，由等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABC＝65°，由平行線的性質(zhì)可求出∠BAD＝70°，則可求出答案；當點D在點A的右側(cè)時，根據(jù)∠BAE＝∠BAC+∠DAC+∠DAE可求出答案．【解答】解：當點D在點A的左側(cè)時，如圖1所示．∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC=12（180°﹣∠∵AD∥BC，∴∠BAD＝∠ABC＝70°，∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝70°﹣40°＝30°．當點D在點A的右側(cè)時，如圖2所示．∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ACB=12（180°﹣∠∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝70°，∴∠BAE＝∠BAC+∠DAC+∠DAE＝40°+70°+40°＝150°．∴當AD∥BC時，∠BAE的度數(shù)為30°或150°．故答案為：30°或150°．17．（3分）（2024?雅安）如圖，把矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在點E處，BE與AD交于點F，若AB＝6，BC＝8，則cos∠ABF的值是2425【考點】翻折變換（折疊問題）；解直角三角形；矩形的性質(zhì)．【專題】方程思想；幾何直觀．【分析】折疊問題優(yōu)先考慮利用勾股定理列方程，易證BF＝DF，再利用Rt△ABF求出邊長，從而求解即可．【解答】解：∵折疊，∴∠DBC＝∠DBF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠DBF＝∠ADB，∴BF＝DF，∴AF＝AD﹣DF＝8﹣BF，在Rt△ABF中，AB2+AF2＝BF2，∴62+（8﹣BF）2＝BF2，解得BF=25∴cos∠ABF=AB故答案為：2425三、解答題（本大題共7個小題、共69分）解答要求寫出必要的文字說明、演算步驟或推理過程.18．（12分）（2024?雅安）（1）計算：9?（12）﹣1+（﹣5）×|（2）先化簡，再求值：（1?1a2）÷【考點】分式的化簡求值；負整數(shù)指數(shù)冪；實數(shù)的運算．【專題】計算題；分式；運算能力．【分析】（1）先化簡二次根式、負整數(shù)指數(shù)冪和絕對值，然后根據(jù)有理數(shù)的加減法計算即可；（2）先計算分式的減法，再計算分式的除法進行化簡，最后代入求出答案即可．【解答】解：（1）原式＝3﹣2+（﹣5）×＝3﹣2﹣1＝0；（2）原式=a2=(a+1)(a?1)a2=a+1當a＝2時，原式=2+119．（8分）（2024?雅安）某中學對八年級學生進行了教育質(zhì)量監(jiān)測，隨機抽取了參加15米折返跑的部分學生成績（成績劃分為優(yōu)秀、良好、合格與不合格四個等級），并繪制了不完整的統(tǒng)計圖（如圖所示）．根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題：（1）請把條形統(tǒng)計圖補充完整；（2）若該校八年級學生有300人，試估計該校八年級學生15米折返跑成績不合格的人數(shù)；（3）從所抽取的優(yōu)秀等級的學生A、B、C、D、E中，隨機選取兩人去參加即將舉辦的學校運動會，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到A、B兩位同學的概率．【考點】列表法與樹狀圖法；用樣本估計總體；條形統(tǒng)計圖．【專題】概率及其應用；運算能力．【分析】（1）根據(jù)成績?yōu)榱己玫娜藬?shù)除以占的百分比求出調(diào)查的總?cè)藬?shù)，進而求出不合格的人數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖即可；（2）由樣本中成績不合格的百分比估計總體中成績不合格的百分比，乘以300即可得到結(jié)果；（3）列出得出所有等可能的情況數(shù)，找出恰好抽到A、B兩位同學的情況數(shù)，即可求出恰好抽到A、B兩位同學的概率．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：12÷40%＝30（人），∴不合格的為：30﹣（5+12+10）＝3（人），補全條形統(tǒng)計圖，如圖所示：（2）根據(jù)題意得：300×3則該校八年級學生15米折返跑成績不合格的人數(shù)約為30人；（3）列表如下：ABCDEA﹣﹣﹣（A，B）（A，C）（A，D）（A，E）B（B，A）﹣﹣﹣（B，C）（B，D）（B，E）C（C，A）（C，B）﹣﹣﹣（C，D）（C，E）D（D，A）（D，B）（D，C）﹣﹣﹣（D，E）E（E，A）（E，B）（E，C）（E，D）﹣﹣﹣所有等可能的情況有20種，其中恰好抽到A、B兩位同學的情況數(shù)為2種，則P（恰好抽到A、B兩位同學）=220．（8分）（2024?雅安）如圖，點O是?ABCD對角線的交點，過點O的直線分別交AD，BC于點E，F(xiàn)．（1）求證：△ODE≌△OBF；（2）當EF⊥BD時，DE＝15cm，分別連接BE，DF．求此時四邊形BEDF的周長．【考點】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；多邊形與平行四邊形；運算能力；推理能力．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得AD∥CB，則∠OED＝∠OFB，而∠DOE＝∠BOF，OD＝OB，即可根據(jù)“AAS”證明△ODE≌△OBF；（2）由△ODE≌△OBF，得DE＝BF，而DE∥BF，所以四邊形BEDF是平行四邊形，因為EF⊥BD，所以四邊形BEDF是菱形，則DF+BF+BE+DE＝4DE＝60cm，于是得到問題的答案．【解答】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∵AD∥CB，∴∠OED＝∠OFB，∵點O是?ABCD對角線的交點，∴OD＝OB，在△ODE和△OBF中，∠OED=∠OFB∠DOE=∠BOF∴△ODE≌△OBF（AAS）．（2）解：連接BE，DF，由（1）得△ODE≌△OBF，∴DE＝BF，∵DE∥BF，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∵EF⊥BD，∴四邊形BEDF是菱形，∴DF＝BF＝BE＝DE＝15cm，∴DF+BF+BE+DE＝4DE＝4×15＝60（cm），∴四邊形BEDF的周長為60cm．21．（9分）（2024?雅安）某市為治理污水，保護環(huán)境，需鋪設(shè)一段全長為3000米的污水排放管道，為了減少施工對城市交通所造成的影響，實際施工時每天的工效比原計劃增加25%，結(jié)果提前15天完成鋪設(shè)任務．（1）求原計劃與實際每天鋪設(shè)管道各多少米？（2）負責該工程的施工單位，按原計劃對工人的工資進行了初步的預算，工人每天人均工資為300元，所有工人的工資總金額不超過18萬元．該公司原計劃最多應安排多少名工人施工？【考點】分式方程的應用；一元一次不等式的應用．【專題】應用題；分式方程及應用；運算能力．【分析】（1）設(shè)原計劃每天鋪設(shè)管道x米，則實際施工每天鋪設(shè)管道（1+25%）x，根據(jù)原計劃的時間＝實際的時間+15列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果；（2）設(shè)該公司原計劃應安排y名工人施工，根據(jù)工作時間＝工作總量÷工作效率計算出原計劃的工作天數(shù)，進而表示出所有工人的工作總額，由所有工人的工資總金額不超過18萬元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整數(shù)解即可．【解答】解：（1）設(shè)原計劃每天鋪設(shè)管道x米，則實際施工每天鋪設(shè)管道（1+25%）x＝1.25x米，根據(jù)題意得：30001.25x+15解得：x＝40，經(jīng)檢驗x＝40是分式方程的解，且符合題意，∴1.25x＝50，則原計劃與實際每天鋪設(shè)管道各為40米，50米；（2）設(shè)該公司原計劃應安排y名工人施工，3000÷40＝75（天），根據(jù)題意得：300×75y≤180000，解得：y≤8，∴不等式的最大整數(shù)解為8，則該公司原計劃最多應安排8名工人施工．22．（10分）（2024?雅安）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象l與反比例函數(shù)y=kx的圖象交于M（12，4），N（1）求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達式；（2）求△OMN的面積；（3）若點P是y軸上一動點，連接PM，PN．當PM+PN的值最小時，求點P的坐標．【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．【專題】一次函數(shù)及其應用；反比例函數(shù)及其應用；運算能力．【分析】（1）依據(jù)題意，由M（12，4）在反比例函數(shù)y=kx上，可得k的值，進而求出反比例函數(shù)，再將N（2）依據(jù)題意，設(shè)直線l交x軸于點A，交y軸于點B，由直線l為y＝﹣2x+5，可得A（52，0），B（0，5），故OA=52，OB＝5，再由S△OMN＝S△AOB﹣S△AON﹣S△BOM=12×AO×BO?12×AO（3）依據(jù)題意，作點M關(guān)于y軸的對稱點M'，連接M'N交y軸于點P，則PM+PN的最小值等于M'N的長，結(jié)合M（12，4）與M'關(guān)于y軸對稱，故M'為（?12，4），又N（2，1），可得直線M′N為y=?65x+17【解答】解：（1）由題意，∵M（12，4）在反比例函數(shù)y=∴k=1∴反比例函數(shù)表達式為y=2又N（n，1）在反比例函數(shù)y=2∴n＝2．∴N（2，1）．設(shè)一次函數(shù)表達式為y＝ax+b，∴12∴a＝﹣2，b＝5．∴一次函數(shù)的表達式為y＝﹣2x+5．（2）由題意，如圖，設(shè)直線l交x軸于點A，交y軸于點B，又直線l為y＝﹣2x+5，∴A（52，0），B∴OA=52，∴S△OMN＝S△AOB﹣S△AON﹣S△BOM=12×AO×BO?12×AO?y=12×52×5=15（3）由題意，如圖，作點M關(guān)于y軸的對稱點M'，連接M'N交y軸于點P，則PM+PN的最小值等于M'N的長．∵M（12，4）與M'關(guān)于y∴M'為（?1又N（2，1），∴直線M′N為y=?65x令x＝0，則y=17∴P（0，17523．（10分）（2024?雅安）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的一點，點P是BA延長線上的一點，連接AC，∠PCA＝∠B．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）若sin∠B=12，求證：AC＝（3）若CD⊥AB于D，PA＝4，BD＝6，求AD的長．【考點】切線的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形；勾股定理；圓周角定理．【專題】幾何綜合題；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【分析】（1）如圖，連接OC，根據(jù)AB是⊙O的直徑，可知∠ACB＝90°，根據(jù)OB＝OC，可得∠B＝∠BCO，再根據(jù)∠PCA＝∠B，可知OC⊥PC，故PC是⊙O的切線；（2）根據(jù)sin∠B=12，可知∠B＝30°，則∠PCA＝30°，根據(jù)∠ACB＝90°，則∠CAB＝60°，可得∠P＝30°，故∠PCA＝∠P，可證AC＝（3）設(shè)AD＝x，在Rt△ACB中，CD⊥AB，可得CD2＝AD×BD＝6x，易證△PAC∽△PCB，故PC2＝PA?PB＝4（6+4+x）＝4（10+x），在Rt△PCD中，由勾股定理得PD2+CD2＝PC2，即（4+x）2+6x＝4（10+x），求解即可．【解答】（1）證明：如圖，連接OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠BCO+∠OCA＝90°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO，∵∠PCA＝∠B，∴∠PCA＝∠BCO，∴∠PCA+∠OCA＝90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切線；（2）證明：∵sin∠B=1∴∠B＝30°，∴∠PCA＝∠B＝30°，由（1）知∠ACB＝90°，∴∠CAB＝60°，∴∠P＝∠CAB﹣∠PCA＝30°，∴∠PCA＝∠P，∴AC＝AP；（3）設(shè)AD＝x，在Rt△ACB中，CD⊥AB，∴CD2＝AD×BD＝6x，∵∠P＝∠P，∠PCA＝∠B，∴△PAC∽