2025版高中數(shù)學第二講直線與圓的位置關(guān)系2.5與圓有關(guān)的比例線段練習含解析新人教A版選修4-1

PAGE1-五與圓有關(guān)的比例線段課時過關(guān)·實力提升基礎(chǔ)鞏固1已知圓內(nèi)兩弦相交,其中一條弦長為8cm,且被交點平分,另一條被交點分為1∶4的兩部分,則這條弦長為()A.2cm B.8cm C.10cm D.16cm解析設(shè)所求弦長為5kcm,則由相交弦定理得42=k·4k,則k=2,k=-2(舍去),故所求弦長為5k=5×2=10(cm).答案C2如圖,CD是☉O的直徑,AB⊥CD,垂足為點P,若AP=4,PD=2,則PO等于()A.2 B.3C.5 D.7解析設(shè)☉O的半徑為r,∵AP·PB=CP·PD,AP=PB=4,PD=2,∴42=(2r-2)×2,∴r=5.∴PO=r-2=3.答案B3如圖,PT是外切兩圓的公切線,T為切點,PAB,PCD分別為這兩圓的割線.若PA=3,PB=6,PC=2,則PD等于()A.4 B.8 C.9 D.12解析PT2=PA·PB=PC·PD,則PD=PA·PBPC答案C4已知☉O的弦AB過弦CD的三等分點M,AM和BM是方程3x2+2mx+18=0的兩個根,則CD的長為()A.3 B.23 C.33 D.43解析∵AM和BM是3x2+2mx+18=0的兩根,∴AM·BM=183=6又AB和CD相交于點M,∴CM·MD=AM·BM=6.∴13CD·23∴CD=33.答案C5如圖,A,B,C是☉O上的三點,BE切☉O于點B,D是CE與☉O的交點.若∠BAC=70°,則∠CBE=;若BE=2,CE=4,則CD=.

解析由于BE是☉O的切線,則∠CBE=∠BAC=70°.由切割線定理,知EB2=ED·EC.又BE=2,CE=4,則ED=EB2EC所以CD=CE-ED=3.答案70°36從圓外一點P向圓引兩條割線PAB,PCD,分別與圓相交于點A,B,C,D,假如PA=4,PC=3,CD=5,那么AB=.

解析由割線定理,得PA·PB=PC·PD,故4×(4+AB)=3×(3+5),解得AB=2.答案27如圖,P為☉O外一點,過P點作☉O的兩條切線,切點分別為A,B.過PA的中點Q作割線交☉O于C,D兩點.若QC=1,CD=3,則PB=.

解析由題意知PA=PB.PA切☉O于點A,由切割線定理,得QA2=QC·QD=1×(1+3)=4.∴QA=2,∴PA=2×2=4=PB.答案48如圖,從圓O外一點P引圓O的切線PA和割線PBC,已知PA=22,PC=4,圓心O到BC的距離為3,則圓O的半徑為.

解析如圖,取BC的中點D,連接OD和OB,則OD⊥BC.已知OD=3,則BC=2BD=2OB2-O由于PA是圓O的切線,所以PA2=PB·PC.又PA=22,PC=4,所以PB=PA2PC則BC=PC-PB=2.所以2OB2-3即圓O的半徑為2.答案29如圖,已知P為☉O外一點,OP與☉O交于點A,割線PBC與☉O交于點B,C,且PB=BC.假如OA=7,PA=2,求PC的長.解如圖,延長PO交☉O于點E,則PA·PE=PB·PC.設(shè)PC=x,又PB=BC,∴PB=12又PE=PA+AE=PA+2AO=16,∴2×16=12x·x,解得x=±8又x>0,∴x=8.∴PC=8.10如圖,過圓外一點P作圓的切線PA(A為切點),再作割線PBC與圓交于B,C.若PA=6,AC=8,BC=9,求AB的長.解∵PA是圓的切線,PBC是圓的割線,∴∠PAB=∠PCA.又∠P=∠P,∴△PAB∽△PCA.∴PB∶PA=PA∶PC,即PA2=PB·PC=PB·(PB+BC),即36=PB·(PB+9),解得PB=3.又由AB∶AC=PA∶PC得,AB∶8=6∶12,解得AB=4.實力提升1如圖,已知PA,PB為☉O的切線,切點分別為A,B,PA=7,在劣弧AB上任取一點C,過點C作☉O的切線,分別交PA,PB于點D,E,則△PDE的周長是()A.7 B.10 C.14 D.28解析∵DA,DC為☉O的切線,∴DA=DC.同理EB=EC.∴△PDE的周長=PD+PE+DE=(PD+DC)+(PE+CE)=(PD+DA)+(PE+EB)=PA+PB=7+7=14.答案C2如圖,在半徑為7的☉O中,弦AB,CD相交于點P,若PA=PB=2,PD=1,則圓心O到弦CD的距離為()A.12 B.C.33 D.解析由相交弦定理得PA·PB=PC·PD.又PA=PB=2,PD=1,則PC=4,CD=PC+PD=5.如圖,過圓心O作CD的垂線OE交CD于點E,則E為CD的中點,∴OE=r2答案B★3如圖,△ABC為圓的內(nèi)接三角形,BD為圓的弦,且BD∥AC.過點A作圓的切線與DB的延長線交于點E,AD與BC交于點F.若AB=AC,AE=6,BD=5,則線段CF的長為.

解析已知AE為圓的切線,由切割線定理,得AE2=EB·ED.又AE=6,BD=5,可解得EB=4.∵∠EAB為弦切角,且AB=AC,∴∠EAB=∠ACB=∠ABC.∴EA∥BC.又BD∥AC,∴四邊形EBCA為平行四邊形.∴BC=AE=6,AC=EB=4.由BD∥AC,得△ACF∽△DBF,∴CFBF又CF+BF=BC=6,∴CF=83答案84如圖,△ABC內(nèi)接于圓O,直線l平行AC交線段BC于點D,交線段AB于點E,交圓O于點G,點F,交圓O在點A的切線于點P.若點D是BC的中點,PE=6,ED=4,EF=6,則PA的長為.

解析∵D是BC的中點,DE∥AC,∴AE=BE,且∠BDE=∠C.又PA切圓O于點A,∴∠PAE=∠C,可得∠BDE=∠PAE.∵∠BED=∠PEA,∴△BED∽△PEA,可得DEAE∴BE·AE=AE2=PE·ED=24,解得AE=26.∵AE2=GE·EF,∴GE=4.∴PG=2.∴PA2=PG·PF=24.∴PA=26.答案265☉O為△ABC的內(nèi)切圓,AB=9,BC=8,CA=10,點D,E分別為AB,AC上的點,且DE為☉O的切線,求△ADE的周長.解如圖,設(shè)☉O與△ABC各邊的切點分別為F,G,H,則AF=AH,BF=BG,CG=CH,且AF+BF=9,BG+CG=8,CH+AH=10,∴AF=AH=5.5,BF=BG=3.5,CG=CH=4.5.又DE是☉O的切線,∴DI=DF,EI=EH.∴△ADE的周長=AD+DE+EA=AD+DI+EI+EA=AF+AH=2AF=2×5.5=11.6如圖,已知☉O1與☉O2相交于A,B兩點,過點A作☉O1的切線交☉O2于點C,過點B作兩圓的割線,分別交☉O1,☉O2于點D,E,DE與AC相交于點P.(1)求證:AD∥EC.(2)若AD是☉O2的切線,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的長.分析(1)轉(zhuǎn)化為證明∠D=∠E;(2)先利用PA2=PB·PD求出PB的長,再利用相交弦定理求出PE的長,再由AD2=DB·DE求AD的長.(1)證明連接AB,如圖.∵AC與☉O1相切,∴∠BAC=∠ADB.又∠BAC=∠BEC,∴∠ADB=∠BEC,∴AD∥EC.(2)解∵PA與☉O1相切,∴PA2=PB·PD.又PD=PB+BD=PB+9,∴62=PB·(PB+9),解得PB=3(負值舍去).又BE與AC交于點P,∴BP·PE=AP·PC,∴3PE=6×2,∴PE=4,∴DE=DB+BP+PE=9+3+4=16.又DA與☉O2相切,∴DA2=DB·DE=9×16=144.∴AD=12.★7如圖,直線AB經(jīng)過☉O上的點C,并且OA=OB,CA=CB,☉O交直線OB于E,D兩點,連接EC,CD.(1)求證:直線AB是☉O的切線.(2)若tan∠CED=12,☉O的半徑為3,求OA的長分析(1)轉(zhuǎn)化為證明OC⊥AB即可;(2)先證明△BCD∽△BEC,再借助于對應(yīng)邊成比例,解方程得OA的長.(1)證明如圖,連接OC.∵OA=OB,CA=CB,∴OC⊥AB.∴AB是☉O的切線.(2)解∵ED是直徑,∴∠