高考理科數(shù)學(xué)人教版大一輪復(fù)習(xí)規(guī)范答題提分課(四)

規(guī)范答題提分課（四）

立體幾何類解答題

典型例題題目拆解

<12分)(2019?全國(guó)卷I)如圖.H四棱柱\/；(大本題可拆解成以下幾個(gè)小問(wèn)題：

A.H.C,D,的底面是差形.AA=i,A/i=2,^HAD本虺可拆解成以下幾個(gè)小問(wèn)題:

60°.E.M.V分別是BC.BBiM/)的中點(diǎn).(I)連接ME.BC?①利用：角形中位線和AD

⑴證明:MN〃平面QDE?證明ME4、D：②四邊形MNDE為平

(2)求二血用AM/A.-N的正弦ffi.行四邊形?進(jìn)而證得MN〃DE.根據(jù)線面平行

判定定理可證得M、〃平面(；DE.

(2)①建立空間紅角坐標(biāo)系?寫出平面AMA,M

一個(gè)法向址;②用待定系數(shù)法求出平面M4.、

的法向盤?燃后轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)法向量的夾角的

余弦值.進(jìn)而求出二面向A-MAt-V的正弦值.

標(biāo)準(zhǔn)答案閱卷現(xiàn)場(chǎng)

【解析】(I)連接\猊.《r.因?yàn)镸.E分別為物人收'中點(diǎn).所

1第⑴問(wèn)第⑵問(wèn)

以ME為△?,A,的中位線.所以ME〃/3('且ME=g/31c

①④

得②③⑤⑥⑦⑧

.............................................................................①

分11212122

義.、為兒。中點(diǎn).JLAD/BC.所以、D〃BC且

點(diǎn)

分分

XI)=5所以MEVD.所以四邊形MNDE為平18

行四邊形........................................第(I)問(wèn)踩點(diǎn)得分說(shuō)明

所以M、〃DE.又MNb平面CJ)￡?DEU平面(*DE.①根據(jù)：角形中位線的性質(zhì)得出MEj方

所以MN〃平面GDE.................................................

得1分：

(2)設(shè)AC'DBD=O.A,Gn/^D,=(),.由直四枝柱牲

②根據(jù)平行四邊形的定義證出MNDK為平行

質(zhì)可知：(X*J_平面AHCI).因?yàn)樗倪呅蜛HC'D為菱.4

四邊形得分,

形.所以ACJ_HD.則以為原點(diǎn)?可建立如圖所示的1

空間克角坐標(biāo)系.④；③根據(jù)線面步行的判斷定理求得結(jié)論得2分.

第(2)問(wèn)踩點(diǎn)得分說(shuō)明

則A(>/3.O.O).M(OJ.2).Al(y3.O.4).D(C.-1.0).

I建立空間直角坐標(biāo)系得1分：

除一十??取的中點(diǎn)連接

N2)A3EDF.:⑤準(zhǔn)確地。出各點(diǎn)的坐標(biāo)得2分：

則F惇十.。),⑥求出平面AMA的法向址得1分：

⑦求出平面MA、的法向■得2分；

因?yàn)樗倪呅伟薆CD為菱形且/B八Q=60°?所以△BAD為等邊三角彩.:⑧求出最終結(jié)果得2分.

所以DF1AH又AA_1_平面A/TD.DRZ平面八技工).所以DFLAA,.

又因?yàn)锳BC!AA=/\.所以DF平面八5gA.即￡>尸_1_平面AMA.

所以加為平面八M九的一個(gè)法向量,且加=(堂亭。).

設(shè)平面MAN的法向量”一(.r,_y.：:>.5LM/“=1.2).

n?MA—%/3.r—v4-2i~0.

MN=—^■?0)?所以‘

ifMN-1-3'=0.

令1y=1.￡=-1.所以〃=(悟?1.一1).................⑦

所以cos<DF.n)=__?F_-—=———=J.所以sin<I)F,n)=?

|DF|?|n|/】5b

所以二面角A-W\,-.V的正弦值為⑧

V

Q高考狀元?滿分心得

1.空間中的平行與垂直問(wèn)題的關(guān)鍵

熟練把握空間中平行與垂直的判定定理是解題的關(guān)鍵.

2.利用向量法求線面角和二面角的關(guān)注點(diǎn)

建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法求出相應(yīng)平面的法向量

是解題的關(guān)鍵，特別是有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)的正確書寫一定要謹(jǐn)慎.

3.定理的條件要齊全

在運(yùn)用定理證明問(wèn)題時(shí),注意條件的齊全性,例如本題的第（1）問(wèn)，一定

要指明線在面內(nèi)、線在面外這些條件，否則要適當(dāng)扣分.

4.求點(diǎn)的坐標(biāo)的注意點(diǎn)

一定要注意坐標(biāo)的正、負(fù)值,這是極其容易出錯(cuò)的地方.

跟蹤演練?感悟體驗(yàn)^

1.（2019?北京高考）如圖，在四棱錐P-ABCD中,PA,平面ABCD,AD±

PF1

CD,AD〃BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且右

⑴求證:CD,平面PAD.

⑵求二面角F-AE-P的余弦值.

PG2

⑶設(shè)點(diǎn)G在PB上,且而"判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說(shuō)明理由.

【解析】（1）因?yàn)镻A_L平面ABCD,CDu平面ABCD,

所以PA±CD,

又因?yàn)镃D_LAD,ADAPA=A,AD,PAc平面PAD,

所以CDJ■平面PAD.

PM1

⑵在PD上取點(diǎn)M,使而二連接FM,

PF1

在APCD中，又近二§,

II\2

所以FM士§CD,FM二至

由（1）知，CD_L平面PAD,所以FM_L平面PAD,又AEc平面PAD,

所以FM±AE,

在ZkPAD中，E是PD中點(diǎn)，PA=AD=2,

所以AEJLPD,PD=2\,2

又因?yàn)镕M,PDu平面EFM,FMAPD=M,

所以AE_L平面EFM,又EFu平面EFM,

所以AE_LEF,

所以NFEM為二面角F-AE-P的平面角.

在4PCD中，PD=2\，ZPE二、2,

12&&

PM^PD二等，EM二!，

在RtAEFM中，EF=\「EM24-FM，理

EM平

cosZFEM=—=—,

J3

所以二面角F-AE-P的余弦值為?

⑶取CF中點(diǎn)N,連接DN,GN,

在4PDN中，E,F分別為PD,PN的中點(diǎn)，所以EF//DN,

PGPN2

在△PBC中，麗二宿?

又BC=3,所以GN〃BC,GN=2,

又因?yàn)锳D〃BC,AD=2,

所以GN^AD,四邊形ADNG是平行四邊形,

所以AG〃DN,又因?yàn)镋F〃DN,

所以AG〃EF,

又因?yàn)锳G與平面AEF有公共點(diǎn),

所以AGu平面AEF.

2.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為、/2的正方形,PA1BD.

(1)求證：PB二PD.

⑵若E,F分別為PC,AB的中點(diǎn),EFJ_平面PCD,求直線PB與平面PCD

所成角的大小.

【解析】(1)連接AC與BD交于點(diǎn)0,連接P0,

因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，

所以AC_LBD且0為BD的中點(diǎn).

又PA_LBD,PAPAC=A,

所以BDJ■平面PAC,

由于POu平面PAC,

故BD±PO.

又BO二DO,

故PB=PD.

(2)設(shè)PD的中點(diǎn)為Q,連接AQ,EQ,因?yàn)镋,F分別為PC,AB的中點(diǎn),