高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)答題模板：專題28 空間向量與立體幾何

專題二十八空間向量與立體幾何

------知識尋源---------

【空間位置關(guān)系的向量證明】

用向量證明線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系：

設(shè)直線1,m的方向向量為a,b,平面a,B的法向量為〃匕則

(1)線線平行0aHb=a=kb：

(2)線面平行1〃a=a_L”a?w=0；

(3)線面垂直1_LaQa//uQa=ku；

(4)面面平行a〃0=>〃〃〃=u=kv.

(5)面面垂直。_100u_Lv=u*r=0o

【證明平行的其他方法】

①根據(jù)線面平行的判定定理：(平面外)與平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行”，要

證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量；

②根據(jù)共面向量定理可知，如果一個向量和兩個不共線的向量是共面向量，那么這個向量與這兩個不共線

向量稀定的平面必定平行，因此要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平

面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可.

【空間角的向量求法】

cos6=|cos伉珈=史L=,內(nèi)碼十多一引

異面直線所成角：⑷網(wǎng)(其中

8((T<SW90：)為異面直線a,b所成角，Z工分別表示異面直線a,b的方向向量)。

￡=wcsm?絲(“為平面。的法向量)

直線AB與平面所成角：1I回"用1I

二面角儀一'一⑶的平面角：

—*———

6=arccos21或不一arccos21(最，￡為平面B的法向量)

⑻⑻同

【運用數(shù)量積判斷空間向量的垂直】

利用數(shù)量積判斷空間向量的垂直：alb<^a-b=Q

利用數(shù)量積判斷空間向量的垂直用坐標(biāo)表示：

若4=（%,??,%）,坂二（4也也），則4"1-=貼+矽2+印3=0

利用數(shù)最積判斷空間向量的垂直問題一般有兩類：

一類是已知條件中給出垂直，讓求參數(shù)或其它向量的關(guān)系，這時我們就利用向量垂直的充要條件數(shù)量積等

于零，得到關(guān)系式；

一類是讓判斷或求證垂直的問題，那么我們就想方設(shè)法去求數(shù)量積，求得數(shù)量積為零。

---------示范例題-----------

【2017年高考全國m卷，理19】

如圖，四面體4%力中，△力比是正三角形，是直角三角形，N川盼/渤AB=BD.

D

（1）證明：平面平面48G

（2）過力。的平面交加于點E、若平面力用把四面體力靦分成體積相等的兩部分，求二面角D-AE-C

的余弦值.

【答案】（1）證明略；（2）—

7

【解析】

試題分析：（1）利用題意證得二面角的平面角為90°,則可得到面面垂直；

（2）利用題意求得兩個半平面的法向量，然后利用二面角的夾角公式可求得二面角AB-用余弦值為

a

7?

試題解析：（1）由題設(shè)可得，△AB庠△CBD,從而AO=OC.

又△ACO是直角三角形，所以NA0090。.

取4?中點0,連接必能則〃0_L/C吩力0

又由于△A8C是正三角形，故8O_LAC.

所以NDOB為二面角D-AC-B的平面角.

在RtAAOB中，BO2+AO2=AB2.

又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2，

故NDO6=90~

所以平面力加平面力5C

V

（2）由題設(shè)及（1〉知，。4。區(qū)。。兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點，8的方向為X軸正方向，|石忸

單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一個N.貝k4（L0：0）,B（0：g：0）,C（TQ0）a（0：0」）.

由題設(shè)知，四面體.方的體積為四面本小，的體積的會從而上到平面極的距離為,到平面女的

跖離的即F為期的中點，得耳0巧看.

故AD=(-ls0sl)SAC=(-20s0)

故AO=(-1,(M),AC=(-2,0,0),AE=

一x+z=0、

/、小AO=0,'

設(shè)〃=(x,y,z)是平面為￡的法向量，則＜即＜]

n-AE=0,-x+—y+-z=0.

2-2

可取〃=1,—,1

3

m?AC=0,/

設(shè)由是平面4r的法向量，則《同理可取機二（0,-1,

m?AE=0,

所以二面角）力股。的余弦值為色.

7

【考點】二面角的平面角；二面角的向量求法

【點撥】（1）求解本題要注意兩點：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方

程思想進行向量運算時，要認真細心，準(zhǔn)確計算.

<2）設(shè)出〃分別為平面%￡的法向量，則二面角。與〈加,〃）互補或相等，故有

Icos0\=|cos（m,n）|=:消.求解時一定要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.

I叫阿

答題思路

【命題意圖】高考對本部分內(nèi)容的考查以能力為主，重點考查空間想象能力，線面關(guān)系、面面關(guān)系、數(shù)

形結(jié)合的思想等.

【命題規(guī)律】高考試題對該部分內(nèi)容考查的主要角度有兩種：一種是利用立體幾何的知識證明線面關(guān)系、

而而關(guān)系：一種是考查學(xué)牛利用空間向量解決立體兒何的能力.重點對該部分內(nèi)容的考杳仍將以能力考查

為主，要求學(xué)生有良好的空間想象能力和立體幾何素養(yǎng).

【答題模板】解答本類題目，以2017年試題為例，一般考慮如下兩步：

第一步：利用題意證得二面角為90°即可解決本問題有兩種思路，一種是證明二面角的平面角為90°,

第二種方法是由線面垂直證明面面垂直，然后利用判斷定理來證明結(jié)論，本題中中的結(jié)論適合用第一種方

法來證明結(jié)論.

第二步：建立空間直角坐標(biāo)系求解二面角的余弦值解決第二問的關(guān)鍵是建立合適的空間直角坐標(biāo)系,

以點3為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合點的坐標(biāo)求得平面的法向量機=僅,-1,、石），

〃=（1,3,11,然后利用公式cos（外陵）二4昌=立求得余弦值即可，注意余弦值的正負需要進行取

I3J7

舍.

【方法總結(jié)】

（一）刻畫直線與平面方向的向量

1、直線：用直線的方向向量刻畫直線的方向問題，而方向向量可由直線上的兩個點來確定

2、平面：用平面的法向量來刻畫平面的傾斜程度，何為法向量？與平面。垂直的直線稱為平面。的法線,

法線的方向向量就是平面。的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？

（1）所需條件：平面上的兩條不平行的直線

（2）求法：（先設(shè)再求）設(shè)平面。的法向量為〃=（x,y,z）,若平面上所選兩條直線的方向向量分別為

二（斗，%,4）,力=（%2，%，22），則可列出方程組，s利用數(shù)量積為零解出乂乂z的比值即可

（二）空間向量可解決的立體幾何問題（用。方表示直線a,b的方向向量，用優(yōu)/表示平面華尸的法向量）

1、判定類

（1）線面平行：a//b<^>a//h

（2）線面垂直：alb^alb

（3）面面平行：a//p<=>m//n

（4）面面垂直：aJ_/m_L〃

2、計算類：

（1）兩直線所成角:

am

(2)線面角：sin0=cos(a,

(3)二面角：cos0=cos[J；或cos夕=-cos-用（視平面角與法向量夾角關(guān)系

rln

而定）

（4）點到平面距離：設(shè)4為平面。外一點，P為平面a上任意一點，則A到平面a的距離為

APn

即AP在法向量〃上投影的絕對值。

H

（二）點的存在性問題：在立體幾何解答題中，最后一同往往涉及點的存在性問題，即是否在某條線上存

在一點，使之滿足某個條件，本講主要介紹使用空間向量解決該問題時的方法與技巧

1、理念：先設(shè)再求一一先設(shè)出所求點的坐標(biāo)（x,y,z）,再想辦法利用條件求出坐標(biāo)

2、解題關(guān)鍵：減少變量數(shù)量-一（x,y,z）可表示空間中的任一點，但題目中所求點往往是確定在某條線

或者某個平面上的，所以使用三個變量比較“浪費”（變量多，條件少，無法求解），要考慮減少變量的個

數(shù)，最終所使用變量的個數(shù)可根據(jù)如下條件判斷：

（1）直線（一維）上的點：用一個變量就可以表示出所求點的坐標(biāo)

（2）平面（二維）上的點：用兩個變量可以表示所求點坐標(biāo)

規(guī)律：維度二所用變量個數(shù)

真題練習(xí)

【2017年裔考全國I卷，理18］如圖，在四棱錐尸-ABCD中，A6〃C。中，KZfiAP=ZCDP=90".

(1)證明：平面平面以力：

(2)若R4=PD=AB=DC,ZAPD=90°,求二面角A—P8—C的余弦值.

【解析】(1)證明：???/BAPuNCO尸=90°

APA1AB,PDLCD

又???AB〃CD,APD1AB

又?.?P￡>n%=尸，PD、PAu平面PAD

JA3_L平面PAO,又A8u平面PAB

工平面PAB_L平面PAO

(2)取4。中點O,BC中點E,連接PO,OE

VAB^CD

，四邊形ABC。為平行四邊形

/.OE2LAB

由（1）知，A8_L平面PAO

????！辏篲1平面/<4。，又PO、AOu平面PAD

AOELPO,OELAD

又?：PA=PD,：,POLAD

:.PO、OE、4。兩兩垂直

???以。為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-回z

設(shè)PA=2,???￡>(-75,0,0)、B(五,2,0)、P(0,0詞、C(—&,2,0),

???麗=(-75,0,-行)、麗=(&,2,-及)、BC=(-2>/2,0,0)

設(shè)G=(x,y,z)為平面尸8。的法向量

nPB=O

由，____，得

“BC=O

令y-i,貝iJz=VI，大=0，可得平面me的一個法向量3=(。J,3)

?:NAPD=90°,：.PD1PA

又知AB±平面PAD,PDu平面PAD

：.PD1AB,又=A

APDJ.平面PA6

即而是平面PA3的一個法向量，PD=(-x/2,0,-72)

/亦-\所〃-2V5

?3(陽‘加網(wǎng)/減=F

由圖知二面角A-依-。為鈍角，所以它的余弦值為-正

3

2.[2017年高考仝國II卷，理19]如圖，四棱錐~/1必9中，側(cè)面為〃為等邊三角形且垂直于底面

ABCD,AB=BC=-AD,ZBAD=ZABC=90°,6是玄的中點.

2

(1)證明：直線CE〃平面目8；

(2)點評在棱PC上,且直線身/與底面力閱9所成角為45°,求二面角M-的余弦值.

【解析】(1)取R4的中點F,連結(jié)EF4F.

因為E是尸。的中點，所以EFII.4D:EF=^AD.^ABAD=ZABC=90。得BCII.4D:

又BC=：AD:所以步衛(wèi)比：四邊形BCEF是平行四邊形,CEIIBF.

又3Ru平面PAB:CEu平面E4以故CEII平面PAB.

(2)由已知得34_LAO,以力為坐標(biāo)原點，AB的方向為x軸正方向，,⑷為單位長,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系4-孫z,

y

則4(0,0,0),80,0,0),C(l,l,0),P(0,l詢,PC=(1,0,-73),AB=(1,0,0),

設(shè)M(x,y,z)(0<x<l),則BM=(x-l,y,z),PM=(x,y-l,z->/3),

因為仍與底面40所成的角為45°,而〃=(0,0,1)是底面ABCD的法向量，

所以|cos(3M,〃)=sin450,1目=^~、B|J(x-l)2+y2-22=0.①

又“在棱用上，設(shè)PM=2PC,則x=4y=l,z=6—&.②

1+也加

22

由①②解得，y=l(舍去)，,y=1

瓜2_V6

z=-------

2.”一2

設(shè)昨(孫WZ。)是平面皿的法向量廁”八蘭叫/Q-物與+2打+后。=0,

9tt-AB-0.1毛=°i

所以可取m=(0.—>/6,2).于是COS.M)=:~rj—i=：

網(wǎng)M5

因此二面角“一，四一。的余弦值為平.

【考點】判定線面平行、面面角的向量求法

【點撥】(1)求解本題要注意兩點：①兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，②利用方程思想進

行向量運算,要認真細心、準(zhǔn)確計算.

(2)設(shè)典〃分別為平面心￡的法向量，則二面角。與〈以或互補或相等，故有|cos。|=

Icos<X玲|=二片.求解時一定要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.

網(wǎng)問

3.【2017年高考北京卷，理16】

如圖，在四棱錐尸■力閱9中，底面仍C2為正方形，平面孔僅L平面仍切，點必在線段加上，儂個F面例C,

PA=PD=瓜,AB=4.

(I)求證：V為陽的中點；

(II)求二面角力依?力的大小；

(III)求直線.吃與平面蚊所成角的正弦值.

【答案】（I）詳見解析：（II）乙；（III）—

39

【解析】

試題分析：（I）設(shè)交點為石，連接ME,因為線面平行，尸?！ㄈ鍹4c根據(jù)性質(zhì)定理，可知

線線平行，即POGME,E為3。的中點，所以M為尸5的中點；（II）因為平面R5，平面，四C。，

PA=PD,所以取3的中點。為原點建立如圖空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法先求兩平面的法向量，為和

萬，再根據(jù)公式8S＜河萬〉，求二面角的大小，（HI）根據(jù)（II）的結(jié)論，亙接求si“斗。5＜流歷＞.

試題解析：解：（I）設(shè)AC,BD交點、為E,連接ME.

因為P￡）〃平面MAC,平面MAC平面PBD=ME,所以PO〃ME.

因為ABCO是正方形，所以E為8力的中點，所以M為尸8的中點.

（II）取AO的中點0,連接。尸，0E.

因為PA=PD,所以0P_L4Q.

又因為平面PAQJ"平面A3CO,且OPu平面尸4。，所以。P_L平面A8CD.

因為。Eu平面A8CD,所以0P10E.

因為ABCD是正方形，所以。E1AD.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系O—jvyz,則尸（0,0,加），0（2,0,0）,8（—2,4,0）,

BD=(4,-4,0),PD=(2,0,-V2).

n?BD-04x-4y=0

設(shè)平面BOP的法向量為〃=（x,y,z）,則,,即《

2x-y/2z=0

n?PD=0

令x=l,則y=l,z=72.n=(1,1,V2).

平面PAD的法向量為p=(0,1,0),所以cos<w,p>--J--

\n\\p\2

由題知二面角B-PO-A為銳角，所以它的大小為2.

3

(III)由題意知〃(一1,2,二)，。(2,4,0),MC=(3,2,-

設(shè)直線MC與平面BDP所成角為a,則sina=|cos<w,MO|==亞

\n\\MC\9

所以直線MC與平面BDP所成角的正弦值為二一.

9

【考點】1.線線，線面的位置關(guān)系；2.向量法.

【點撥】本題涉及到了立體幾何中的線面平行與垂直的判定與性質(zhì)，全面考查立體幾何中的證明與求解，

意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；利用空間向量解決立體幾何問題是一種成熟的方法，要注

意建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系以及運算的準(zhǔn)確性.

4.【2017年高考天津卷，理17】

如圖，在三棱錐Z2■力弦中，陽_L底面力比，NBAC=90。.點、￡,/V分別為桂陽，PC,a'的中點，必是

線段初的中點，PA=AC=4tAB=2.

(I)求證：就V〃平面BDE；

(II)求二面角川的正弦值：中/華-資*源/庫

(Ill)已知點〃在棱川上，且直線A8與直線旗所成角的余弦值為業(yè)，求線段的長.

21

【答案】(1)證明見解析(2)Y至(3)-或4

2152

【解析】試題分析：本小題主要考查直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角等基礎(chǔ)知識.考查用空間

向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.首先要建立空間直角坐標(biāo)

系，寫出相關(guān)點的坐標(biāo),證明線面平行只需求出平面的法向量，計算直線對應(yīng)的向量與法向量的數(shù)量積為0,

求二面角只需求出兩個半平面對應(yīng)的法向量，借助法向量的夾角求二面角，利用向量的夾角公式，求出異

面直線所成角的余弦值，利用已知條件，求出，破的值.

試題解析：如圖，以力為原點，分別以48,AC,AP方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)

系.依題意可得

A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),“(0,0,1),N

(1,2,0).

則〃°E=°,即=°.不妨設(shè)z=l,可得〃=(1,0,1).又(1,2,-1),可得MN〃=().

nDB=O[2x-2z=0

因為MNu平面BDE,所以，蝸//平面BDK

叫a=0

（II）易知叫=（L0,0）為平面的一個法向量.設(shè)%N（XJ,Z）為平面EMV的法向量，則

兒?而=0

因為或HOTF,而=QZ?所以｛3二:。.不妨設(shè)Jj可得

rrn11,^_./,格4日5y10)

因此有8S<%：2>=,\:=--=,于xESin<〃],幾>=三二.

I%ll2lV2121

所以，二面角C—EJN的正弦值為縹

（10）依題意，設(shè)腑方（0JW4）,則"（0,0,/?）,進而可得Mf=（-1,-2?/0,8七二（一2,2,2）.由已知,

得|8S<NH,8E>|JN/BEI=|2力-2|也,整理得10/H-21〃+8=0,解得"=或〃=■!".

|M7||BE|“2+5x2百2152

所以，線段力〃的長為§或1.

52

【考點】直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角

【點撥】空間向量是解決空間幾何問題的銳利武器，不論是求空間角、空間距離還是證明線面關(guān)系利用空

間向量都很方便，利用向量夾角公式求異面直線所成的角又快又準(zhǔn)，特別是者助平面的法向量求線面角，

二面角或點到平面的距離都很容易.

5.【2017年高考山東卷，理17］如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其內(nèi)部）以A3邊

所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120。得到的，G是。尸的中點.

（I）設(shè)P是CE上的一點，且APJ.8E,求NC8P的大小;

(H)當(dāng)A3=3,AD=2,求二面角￡—AG—C的大小.

【答案】（I）ZCBP=30°.（II）60c.

【解圻】試題分析：（I）利用,鏟一班…四一荏，

證得平面,四產(chǎn)，

利用BPu平面，超P,得到3E_3P,結(jié)合/以。=120?？傻?。尸

（II）兩種思路，一是幾何法，二是空間向量方法，其中思路一：

取比的中點H,連接EH,GH,CH.

得四邊形3印。為菱形，

得到AE=GE—AC-GC=+2,=-^3.

取NG中點連接五M,CM,EC.

得到￡V_L*G,CM±AGf

從而4EMC為所求二面角的平面角.

據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)即得所求的角.

思路二：

以8為坐標(biāo)原點，分別以BE,BP,84所在的直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，求平面AEG的一個法向量6=（占,乂，4）平面ACG的一個法向量，=*2，52，Z2）

ni?nI

計算cos<tn,n>=-------=—即得.

\m\\n\2

試題解析：（I）因為XP-3E…加工BE,

且s,XPU平面,四尸，J5rM尸=，，

所以3H_L平面尸，

又艮Pu平面ABP,

所以BE_L3產(chǎn)，又NE5C=120。，

@此NCB尸=30。

（II）解法一：

取EC的中點H,連接EH,GH,CH.

因為/EBC=120。，

所以四邊形BE〃C為菱形，

所以AE=GE=4C=GC=j3?+22=V13.

取AG中點M,連接EM,CM,EC.

則EMJ.4G,CM1AG,

所以/EMC為所求二面角的平面角.

又AM=1,所以EM=CM=J13-1=26

在ABES,由于NE3C=120。，

由余弦定理得EC?=2?+22—2x2x2xcosl200=12,

所以EC=2布,因此AEMC為等邊三角形，

故所求的角為60°.

解法二:

以B為坐標(biāo)原點，分別以BE,BP,3月所在的直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由題意得乂(0,0,3)E(2,0,0),41,抬,3),C(-l，7l0),故石=(20,—3),芯=Q0：O),

CG=(2s0s3),

設(shè)冽=(再,為,NJ是平面」4EG的一個法向量.

m-AE=02xi-3z=0

由彳一可得《1s

m-AG=0%+底1=0,

取z1=2,可得平面dEG的一個法向量加(3,7金2).

設(shè)〃=(x2,y2,z2)是平面ACG的一個法向量.

由卜"G=?？傻貌?+百%=0,

n-CG=0[2X2+3Z2=0,

取z2=-2,可得平面ACG的一個法向量〃=(3,-6,一2).

所LL以hlcos<m,n>=------------

\tn\\n\2

因此所求的角為60。.

【考點】1.垂直關(guān)系.2.空間角的計算.

【點撥】此類題目是立體幾何中的常見問題.解答本題，關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面

與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成.立體幾何中角的計算問題，往往可以利用幾何法、

空間向量方法求解，應(yīng)根據(jù)題目條件，靈活選擇方法.本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理

能力'轉(zhuǎn)化與化歸思想及基本運算能力等.

7.【2017年高考江蘇卷22］如圖，在平行六面體仍7M由G〃中，44JL平面力a力，且力廬力/2,44=6,

ZM￡>=120°.

（D求異面直線43與1G所成角的余弦值；

（2）求二面角B-A\D-A的正弦值

【答案】（1）-（2）—

74

【解析】解：在平面力筋內(nèi)，過點力作力￡1/〃，交比?于點￡

因為441一平面45CD,

所以AA\-AD.

如圖，以｛方:赤?石1｝為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系N-序.

因為"=4D=2,AA\=43,-D=120。

則4（O,O,O）：BGA「LO）,D（CMO）,E（VIO：O）：4（O：O：^）：G（WJ6）.

⑴不=出「1「亞冠=（&而,

1

則cos（&氏<G）=

I麗羔一

因此異面直線力歸與陽所成角的余弦值為;.

z

⑵平面的一個法向量為荏=(JI0,0).

設(shè)〃2=(冗,y,z)為平面胡/的一個法向量,

又“=(右,一1,-V3),BD=(-73,3,0),

,mA,B=0,[>/3x-y-73z=0,

則_即I廠

mBD=0,[-yl3x+3y=0.

不妨取產(chǎn)3,則y=G,z=2,

所以m=(3;52)為平面BAyD的一個法向量，

從而m.加=三紋=西呼生&2=2,

'7\AEmV3x44

設(shè)二面角B-AiD-A的大小為6,則cos6=：

因為6w[0,n],所以sine=Jl-coJe=(.

因此二面角B-A^A的正弦值為五.

4

【考點】空間向量、異面直線所成角及二面角

【點撥】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐

標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；

第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.

8.[2017安徽阜陽二?！咳鐖D，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCO中，E為尸C的中點，

ADBC,NABC=9O^PA1平面ABCD,PA=2yAD=2,AB=2百,BC=4.

(1)求證：DE平面PAB；

(2)求直線AE與平面PC。所成角的正弦值.

【答案】(I)見解析；(II)—.

14

【解圻】試題分析：(I)先取中點產(chǎn)，利用三角形中位線性質(zhì)得產(chǎn)EZ’PS,再根據(jù)梯形性質(zhì)得

DFuAB,即得面面平行，最后根據(jù)面面平行定義可得線面平行，(II)求線面角，一般利用空間向量數(shù)

量積進行求解，先根據(jù)條件建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，利用方程組解平面法向量，利用

向蚩數(shù)蚩積求直線方向向蚩與平面法向量的夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾的關(guān)系確定所求角.

試題解析：(I)取8C中點尸，連接

四邊形4BC。是直角梯形，，DF//AB

又FE//PB,.??平面￡?//平面尸AB

OEu平面OE尸.?.?！?/平面248

(II)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則4(0,0,0),尸(0,0,2),0(0,2,0),C(2、5,4,0),E(、n,2,1)

設(shè)〃=(x,y,z)是平面PCD的一個法向量.

?n,PD=0/r-i-\

則｛z=>n=(l,-V3,-V3|

n-DC=017

二二屈

/.sin。=cos〈〃,4E)1

一向畫一14

9.12017廣東佛山二模】如圖，矩形48CD中，AB=4,AD=2,E在OC邊上，且OE=1,

將AOE沿4E折到AO'E的位置，使得平面ADE_L平面ABCE.

(I)求證：AEIBD^

(II)求二面角ZT—AB-E的余弦值.

【答案】(I)見解析；(II)生亙.

21

【解析】試題分析：(D連接8。交HE于點。，根據(jù)對應(yīng)邊成比例可證得兩個直角三角形，四2。，4七相

似,由此證得月E_&>,而O。'一月E,故,4￡_平面。所以，在：_L3ZT.(II)由⑴知。D'_L

平面,15CE,以。為原點聯(lián)立空間直角坐標(biāo)系,利用平面和平面ABE的方向量，計算兩個半平面所

成角的余弦值.

試題解析：

ARAD

(I)連接80交4E于點0,依題意得"?="=2,所以RtABD-RtDAE,

DADE

所以NZME=N43。，所以400=90。，所以AE_LBO,

即08J.AE,OO'_L4E,又03coz)'=0,03,D'u平面。8。'.

所以AEJ_平面030'.

又8。u平面08。'，所以4E_L3。'.

(II)因為平面AO'E_L平面48CE,

由(I)知，OQ'J_平面48CE,

以。為原點，建立空間直角坐標(biāo)系0-冷2如圖所示.

241

在RtAO'E中，易得OA=-j=,0E=>,

V5V5V5

4808叫/

則A8二

設(shè)平面A8D'的法向量％二(x,y,z),則｛a,二，即｛

n.BD^O/泉。Y

令y=1,得〃]=（2,1,4）,

顯然平面48E的一個法向量為%=(0,0,1).

生旦，所以二面角D'-AB-E的余弦值為生包.

2121

10.【2017重慶二診】如圖，矩形A8C。中，AB=26,AD=6,亞為OC的中點，將ADAM

沿AM折到\D'AM的位置，AD'lBM.

(1)求證：平面D/M_L平面A8CM；

(2)若E為。'8的中點，求二面角￡—的余弦值.

【答案】(I)由見解析；(II)正.

5

【解析】【試題分析】（1）先用線面垂直的判定定理證明線面垂直，再運用面面垂直的判定定理推證；（2）

依提題設(shè)建立空間直角坐標(biāo)系，求兩個平面的法向量，再運用空間向量的物量積公式求解：

（I）由題知，在矩形，四CD中，乙外〃）=NBMC=45"，乙必0=90,又DM，氏W,

/.BM±面,..面ABCM一面D，AM；

（II）由（I）知，在平面￡>'AM內(nèi)過M作直線NM_LM4,則NM_L平面A8CM,

故以歷為原點，分別為sy,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則M（0,0,0）,A（2,0,0）,B（0,2,0）,Dz（l,0,l）,

于是嗚局,

MA=（2,0,0）,ME

2x=0

設(shè)平面EAM的法向量為〃?=（x,y,z）,則｛i1

—x+yH—z=0

22

令y=l,得平面E4A/的一個法向量加=（0,1,-2）,顯然平面。'AM的一個法向量為九=（0,1,0）,

故cos（m,〃）=A

,即二面角E—4M-。的余弦值為

5

11.12017湖南婁底二模】如圖，四棱錐P-A8CD的底面A6C。是平行四邊形，側(cè)面94。是邊長為2

的正三角形，AB=BD=幣,PB=3.

（I）求證：平面PA拉J_平面A8CO：

(H)設(shè)。是棱PC上的點，當(dāng)PA平面8OQ時，求二面角A—BD—Q的余弦值.

【答案】(I)見解析；(II).

3

【解析】試題分析：(I)要證平面尸AD_L平面ABC。，只需證OPJ_平面ABC。即可.

(H)分別以O(shè)A、OB、0P所在直線為x軸、)，軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，求平面8。。的一

個法向量和平面A3。的一個法向量求解即可.

試題解析：

(I)取苴)的中點。，連接。尸，0B,

因為仞是邊長為2的正三角形，所以。尸=g,OP_AD，①

又AB=BD=J7>所以。5—AD,且OB=—OK=,

于是從而。尸一OB,②

由①②得0P，平面,4BCD,而OPu平面PAD,所以平面PAD。平面ABCD.

(II〕連結(jié)AC,設(shè)4CcBQ=E,則E為AC的中點，連結(jié)EQ,當(dāng)尸4平面8DQ時，PAEQ,

所以。是PC的中點.

由(I)知，OA、OB、0P兩兩垂直，分別以O(shè)A、0B、。尸所在直線為JV軸、)，軸、z軸建立空

間直角坐標(biāo)系如圖,則可0,跖0)、C|-2,V6,0).￡>(-1,0,0)、尸(0,0、間,

由P、。坐標(biāo)得。一1匹也,從而03=(1,#,0),Dg=fo,—,

(22J(22,

x+y/6y=0

/、nDB=0

設(shè)〃=(x,y,z)是平面3OQ的一個法向量，則由｛得｛遙,6n

n-DQ=0TJ+TZ=O

取),=1,得〃=卜"』,一0),易知平面A8D的一個法向量是々=(0,0,1),

所以cos<n,〃］〉=,

同43

也

由圖可知，二面角4-8。-。的平面角為鈍角，故所求余弦值為一T

【點撥】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐

標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量;

第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.

12.[2017安徽淮北二?！咳鐖D，三棱柱ABC-A^C.中，四邊形AA.BB,是菱形，

ZBB.A.=一，GR1^AA.BB,冗

3，二面角C—A4—8為CB=\.

（I）求證：平面AC片_L平面CB4,;

（II）求二面角A-AC-3的余弦值.

【答案】（1）見解析（2）cosN4EO=—

4

[解析】試題分析：（1）先由三棱柱性質(zhì)將線面垂直。避】一面區(qū)454轉(zhuǎn)化為。一面冊一再由

C3一面也4%得線線垂直CB一珥，又由.竭是菱形得.叫一43,最后根據(jù)線面垂直判定定理得

線面垂直,四I一面43C,根據(jù)面面垂直判定定理得平面XCB1一平面（2）求二面角的大小，一般

借肽空間向量數(shù)量積求解，先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，利用方程組解出各面法向量,

利用向量數(shù)量積求兩法向蚩夾角，最后根據(jù)二面角與法向量夾角關(guān)系求二面角.

試題解析：（1）證明：在三棱柱ABC—aqG中，由CM，面44出用

得。^，面人4已用，則CB_LA用,

又例5耳是菱形，得_LAB,而CBcAB=B,

則A4面A6C,

故平面ACq_L平面C8V

由題意得MB/為正三角形,

取44得中點為D,連CD,BD,

則30J_4與，又CB_LAM

易得CO_L44，則NCDB為二面角C一4四—8的平面角,

因3C=1,NCO6=X，所以30=6，

6

所以44=84=AB=2

過A￡，AB交點。作OE_LAC，垂足為￡，連AE

則ZAEO為二面角A-A.C-B的平面角，

又0E=旦,AO=6得AE=迪

55

所以COS/AEO=L

4

另：建系用向量法相應(yīng)給分。

13.[2017江西4月質(zhì)檢】如圖，四棱錐P—ABC￡）中.側(cè)面PA￡）_L底面ABC。，ADHBC,

ADLDC,AD=DC=3,BC=2,PD=OPA=&，點、F在梭PG上,且FC=2FP,點、E

在棱AO上，且PA//平面

A

（1）求證：P￡J_平面A3CO；

（2）求二面角尸一E8-尸的余弦值.

【答案】（1）詳見解析（2）亞

3

【解析】試題分析：連接ZC交磔于點G,根據(jù)三角形相識，可得互4=1,ED=2,由勾股定理可得

工4PD是直角三角形，進而得PEL4D,再由面面垂直判定定理可得結(jié)論；（2）以E4,EB,EP所

在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面EFB的法向量與平面PEB的法向量，利

用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

試題解析：（1）如圖連接4c交EB于點G,因為尸4//平面￡：尸8,所以PA///G,由尸C=2尸尸，所

以CG=2GA,又AGBC~AGEA,所乂BC=2EA,

所以砌=1,ED=2,

又因為242+/7)2=4。2,所以A4PO是直角三角形,

又普二(爵):所以的，

又因為側(cè)面PAOJ■底面ABCQ,所以產(chǎn)?平面ABC。.

(2)因為Z)E=5C,DEJ/BC,所以B￡"CO,有E4,4,如圖，以E4,EB，EP所在直線

分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則HLQO),5(030),C(-2,3.0),

PE=4P#-AE=萬,所以尸(0。、萬)，

7

所以1￡7=七尸+3尸。=(0,0,0)+|-1」,一^^j=j-ysls

設(shè)平面EFB的法向量為n=(x,v,z),

__22A歷

則k_L￡F=-±x+n+W±z=0,

3"3

n±EB=>y=0,令z=l,貝=所以方=

又因