高考二次函數(shù)解答壓軸題（解析版）

而考材料

專題13二次函數(shù)解答壓軸題(62題)

一、解答題

1.(2023?浙江紹興?統(tǒng)考中考真題)已知二次函數(shù)丁=-/+歷TC.

(1)當(dāng)b=4,c=3時(shí)，

①求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo).

②當(dāng)-14x43時(shí)，求N的取值范圍.

(2)當(dāng)x40時(shí)，少的最大值為2：當(dāng)x>0時(shí)，N的最大值為3,求二次函數(shù)的表達(dá)式.

t答案】(1延(2,7)：②當(dāng)-1WXW3時(shí)，-2WyW7；(2)^=-.r+2.V+2

【分析】(1)①將，)=4,c=3代入解析式，化為頂點(diǎn)式，即可求解：

②己知頂點(diǎn)(2,7),根據(jù)二次函數(shù)的增減性，得出當(dāng)x=2時(shí)，N有最大值7,當(dāng)x=-l時(shí)取得最小值，即可求

解：

(2)根據(jù)題意xVO時(shí)，y的最大值為2；x>0時(shí)，y的最大值為3,得出拋物線的對稱軸x=g在，軸的

右側(cè)，即b>0,由拋物線開口向下，x40時(shí)，y的最大值為2,可知c=2,根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為3,

求出b=2,即可得解.

【詳解】(1)解：①當(dāng)b=4,c=3時(shí)，J=-X2+4X+3=-(X-2)2+7,

???頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,7).

②???頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,7).拋物線開口向下，

當(dāng)一14x42時(shí)，y隨X增大而增大，

當(dāng)2^x43時(shí)，V隨x增大而減小，

??.當(dāng)x=2時(shí)，V有最大值7.

又2-(-1)>3-2

???當(dāng)x=-l時(shí)取得最小值,最小值歹=-2；

???當(dāng)UW3時(shí)，-2WyW7.

(2)???x)0時(shí),歹的最大值為2：x>0時(shí)，一的最大值為3,

???拋物線的對稱軸x=g在V軸的右側(cè)，

：.h>0,

;拋物線開口向下，XWO時(shí)，y的最大值為2,

/.c=2,

4x（-l）xc-Z>:

XV-=3,

\4x；（-1n）

/）=±2?

?/A>0,

:.b=2,

???二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2+2x+2.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，頂點(diǎn)式，二次函數(shù)的最值問題，熟練掌握二次函數(shù)的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?浙江?統(tǒng)考中考真題）已知點(diǎn)（一孫。）和（3肛0）在二次函數(shù)y=,7r+加+35力是常數(shù)，。/0）的圖像

匕

⑴竺/“=-1時(shí)，求。和/）的值；

（2）若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)血〃,3）且點(diǎn)力不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)-2<加<-1時(shí)，求〃的取值范圍：

（3）求證：/+4a=0.

【答案】（1）。=-1,6=-2；（2）-4<〃<一2：（3）見解析

【分析】（1）由“=-1可得圖像過點(diǎn)（1,0）和（-3,0）,然后代入解析式解方程組即可解答：

（2）先確定函數(shù)圖像的對稱軸為直線x=〃L則拋物線過點(diǎn)（小3）,（0,3）,即〃=2加，然后再結(jié)合-2<加<-1

即可解答；

（3）根據(jù)圖像的對稱性得-5=用.即力=-2加，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（〃“加+加?+3）；將點(diǎn)（-〃八0）和（3/〃,0）分

別代入表達(dá)式并進(jìn)行運(yùn)算可得am2=-1;則am2+bm+3=am2-2am2+3=-am1+3=4,進(jìn)而得到

二色=4,然后化簡變形即可證明結(jié)論.

4<?

【詳解】（1）解：當(dāng)加=7時(shí),圖像過點(diǎn)（1,0）和（-3,0）,

0=a+b+3fa=-1

'Q=9a-勸+3'解得b=-2'

而考材料

a=-\,b=-2.

(2)解：二?函數(shù)圖像過點(diǎn)(-皿。)和(3也0),

??.函數(shù)圖像的對稱軸為宜線x=".

???圖像過點(diǎn)(〃,3),(0,3),

???根據(jù)圖像的對稱性得〃=2〃?.

-2<〃】<—1,

：?一4<〃<一2.

(3)解：?.?圖像過點(diǎn)(-"0)和(3肛0),

???根據(jù)圖像的對稱性得

h=-2am,頂點(diǎn)坐標(biāo)為^m,anr+bin+3).

將點(diǎn)(t〃⑼和(3肛0)分別代人表達(dá)式可得叫一3幺

0-9am2+3力〃+3②

①x3+②得12刖/+12=0，

,,ciiu~——1?

am2+bm+3=am2-2am2+3=-anf+3=4.

4a

\2a-h1=\6a-

/.b2+4a=0.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的對稱性、解不等式等知識點(diǎn)，掌

握二次函數(shù)的對稱性是解答本題的關(guān)鍵.

3.(2023?浙江嘉興?統(tǒng)考中考真題)在二次函數(shù)y=/-2/x+3"0)中，

(1)若它的圖象過點(diǎn)(2,1),貝h的值為多少？

(2)”04x43時(shí)，y的最小值為-2,求出/的值：

(3)如果4/〃-2,a)1((b),C(嘰a)都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，且求〃j的取值范圍.

【答案】(l)f=5；(2)/=石；⑶3。?<4或〃>6

【分析】(1)將坐標(biāo)代入解析式，求解待定參數(shù)值；

(2)確定拋物線的對稱軸，對待定參數(shù)分類討論，分0<，<3,當(dāng)》=/時(shí)，函數(shù)值最小，以及,>3,當(dāng)x=3

時(shí)，函數(shù)值最小，求得相應(yīng)的,值即可得：

(3)由4卅-2,a),C(w,a)關(guān)于對稱軸對稱得〃?一1=，，且力在對稱軸左側(cè)，。在對稱軸右側(cè)：確定拋物線

與y軸交點(diǎn)(0.3),此交點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為(2m-2,3),結(jié)合已知確定出機(jī)>3：再分類討論：45都

在對稱軸左邊時(shí)，A,8分別在對稱軸兩側(cè)時(shí)，分別列出不等式進(jìn)行求解即可.

【詳解】⑴將(2,1)代入y=4-加入中,

得l=4-4f+3,

解得,/=|;

(2)拋物線對稱軸為x=/.

若0</K3,當(dāng)》=/時(shí)，函數(shù)值最小，

.?.『-2/+3=-2，

解得七土石.

vt>0,

：.t=j5

若/>3,當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)值最小，

/.-2=9—6/+3,

解得，=：7(不合題意，舍去)

綜上所述/=石.

(3)?.Y(〃L2,c/),C(,〃,a)關(guān)于對稱軸對稱

且/在對稱卻I左側(cè)，C在對稱軸右側(cè)

???拋物線與y軸交點(diǎn)為(0,3),拋物線對稱軸為直線x=t,

.??此交點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為(24-2,3)

<a<3/<3且1>0

/.4<2w-2,解得m>3.

當(dāng)4。都在對稱軸左邊時(shí)，

'：a<h

4<加一2,

解得用>6,

而考材料

/.in>6

當(dāng)a8分別在對稱軸兩側(cè)時(shí)

?:a<b8到對稱軸的距離大于A到對稱軸的距離

.,.4-(m-1)>/??-1-(m-2),

解得〃i<4

3<w<4

綜上所述3v，”c4或用*6.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)、極值問題；存在待定參數(shù)的情況下，對可能情況作出分類討論是

解題的關(guān)鍵.

4.(2023?浙江杭州?統(tǒng)考中考真題)設(shè)二次函數(shù))，=0^+瓜+1,(°/0,力是實(shí)數(shù)).已知函數(shù)值N和自變

量x的部分對應(yīng)取值如下表所示：

X???-10123???

y???m1n1P???

(1)若機(jī)=4,求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)寫出一個(gè)符合條件的x的取值范圍，使得)，隨工的增大而減小.

(3)若在，八”、〃這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，求。的取值范圍.

【答案】(l)y=d-2x+l；(2)當(dāng)。>0時(shí)，則X<1時(shí)，歹隨X的增大而減??；當(dāng)4<0時(shí)，則X>1時(shí)，y隨X的

增大而減?。?3)a<-1

【分析】(1)用待定系數(shù)法求解即可.

(2)利用拋物線的對稱性質(zhì)求得拋物線的對稱軸為直線x=l；再根據(jù)拋物線的增減性求解即可.

(3)先把(2,1)代入y=a/+/>x+1,b=-la,從而得y=ax?-2ax+1,再求出〃?=3a+l,n=-a+\,

-a+1>0

〃=3a+l,從而得m=P,然后加、小p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，得，,求解即可.

3a+1W0

【詳解】C)解:把(T4),(2,1)代入j,=a/+A+l,得

a-b+\=4

，解得:

4a+28+1=1b=-2

**?片/一2￥+1.

（2）解：??,（0,1）,（2,1）在y=o?+&+l圖象上,

???拋物線的對稱軸為直線*=等=1，

.,.當(dāng)”>0時(shí)，則x<l時(shí)，N隨x的增大而減小，

當(dāng)〃<0時(shí)，則x>l時(shí)，夕隨x的增大而減小.

（3）解：把（2,1）代入^=〃/+瓜+1.得

1—4a+2^+1,

b=-2a

y=axz+bx+1=ax2-2ax+1

把（T,"，）代入y=ax2-2or+1得，m=a+2a+i=3a+\,

把（L〃）代入y=?-勿x+1得，n=a-2a+\=-a+\,

把（3,p）代入y=ax2-2ax+\,"=9。一6a+1=3。+1,

:.m=p,

???,〃、〃、p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù),

-67+l>01

%+1工0'解得：

【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法求拋物線解析式，拋物線的圖象性質(zhì)，解不等式組，熟練掌握用待定系數(shù)

法求拋物線解析式和拋物線的圖象性質(zhì)是解析的關(guān)鍵.

5.（2023?湖南常德?統(tǒng)考中考真題）如圖,二次函數(shù)的圖象與x軸交于力（T0）,以5,0）兩點(diǎn)，與y軸交于

點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D。為坐標(biāo)原點(diǎn)，tan/4CO=1.

備用圖

而考材料

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求四邊形力CQ8的面積：

(3)P是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，若/ACO=NPBC,求P點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】⑴y=-(x+l)(x-5)；(2)30；⑶P(d)

【分析】(1)用兩點(diǎn)式設(shè)出二次函數(shù)的解析式，然后求得。點(diǎn)的坐標(biāo)，并將其代入二次函數(shù)的解析式，求

得a的值，再將a代入解析式中即可.

(2)先將二次函數(shù)變形為頂點(diǎn)式，求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用矩形、三角形的面積公式即可求得答案.

(3)根據(jù)各點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系及同角三角函數(shù)相等的結(jié)論可以求得相關(guān)聯(lián)的函數(shù)解析式，最后聯(lián)立?次函數(shù)

與二次函數(shù)的解析式，求得點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【詳解】(1)???二次函數(shù)的圖象與x軸交于8(5,0)兩點(diǎn).

.??設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y="x+iKv-5)

AO=l,tanZ.ACO-g,

AOC=5,即C的坐標(biāo)為(0,5)

則5=〃(0+1)(0-5),得a=-l

???二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-(x+l)(x-5)；

(2)^=-(X+1)(X-5)=-(^-2)2+9

???頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,9)

過。作。N_L/4于N,作DM_LOC于

四邊形ACDBll'J面積=Saoc+S矩形。，”“丫一^ACD.W+

=1xlx5+2x9--x2x(9-5>U^-2>9=30；

(3)如圖，尸是拋物線上的?點(diǎn)，且在第一象限，當(dāng)N/C0=NP8C時(shí),

連接尸8,過C作CEJ.8C交8P于￡.過￡作防1。。于產(chǎn)，

VOC=OB=5,貝卜。。8為等腰直角三角形，NOC8=45。.

由勾股定理得：C8=5上,

N.4C0=ZPBC，

tanZ.ACO=tanZ.PBC，

CECE

即9而二邁,

C￡=V2

由CH_LBC,得NBCE=90°,

...ZECF=180°-4BCE-NOCB=180°-90°-45°=45\

...AEEC是等腰直角三角形

...FC=FE=\

E的坐標(biāo)為0,6)

而考材料

所以過8、￡的直線的解析式為_)，=-3y+，15

315

y=—x+一

令＜*22

j=-(x+l)(.r-5)

1

x=—

"I或2

解得

y=027

所以族直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為3(5,0),叫吊

27

即所求P的坐標(biāo)為p;

2U

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及與坐標(biāo)系幾何圖形的綜合證明計(jì)算問題，解題的美鍵

是將所學(xué)的知識靈活運(yùn)用.

6.(2023?山東煙臺?統(tǒng)考中考真題)如圖，拋物線)，=，標(biāo)+以+5與x軸交于48兩點(diǎn)，與J軸交于點(diǎn)

C,4B=4.拋物線的對稱軸x=3與經(jīng)過點(diǎn)A的直線P=H-1交于點(diǎn)。，與X軸交于點(diǎn)E.

備用圖

(1)求直線AD及拋物線的表達(dá)式；

(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得是以力。為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)〃的坐標(biāo):

若不存在，請說明理由:

(3)以點(diǎn)8為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)尸為08上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請求出尸。+；產(chǎn)力的最小值.

【答案】(1)直線力。的解析式為P=x-1；拋物線解析式為曠=/-6.丫+5：(2)存在，點(diǎn)必的坐標(biāo)為(4,-3)或

(0,5)或(5,0)：(3)741

【分析】(1)根據(jù)對稱軸x=3,48=4,得到點(diǎn)4及8的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解析式即可;

(2)先求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，再分兩種情況：①當(dāng)ND4M=90。時(shí)，求出直線的解析式為y=r+1,解方

y=-.r+1

程組y7Y+5,即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)：②當(dāng)4加=9。。時(shí)，求出直線的解析式為'…+5,

y=-x+5

解方程組|二2_6x+5'即可得到點(diǎn)“的坐標(biāo)；

RFPR

（3）在上取點(diǎn)尸，使3尸=1,連接CE,證得一=——，又ZPBF=/ABP,得至尸/△力〃/>,推

PBAB

出爐=；以，進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)C、P、F:?點(diǎn)共線時(shí)，尸C+；E4的值最小，即為線段CF的長，利用勾股定理

求出CF即可.

【詳解】（I）解：???拋物線的對稱軸工=3,/8=4,

??.M：l,0）,8（5,0）,

將力Q,0）代入直線y=履-1,得"1=0,

解得k=l,

???直線/。的解析式為"x-l；

將彳0,0）,8（5,0）代入丁="2+歷.+5,得

a+b+5=0八\a=\

CU-uCA,解不N

25。+58+5=0b=-6

???拋物線的解析式為y=/—6%+5：

（2）存在點(diǎn)“，

???直線AD的解析式為y=x-1,拋物線對稱軸x=3與x軸交于點(diǎn)E.

.,.當(dāng)x=3時(shí)，y=x-\=2,

。(3,2),

①當(dāng)/Q4W=90。時(shí),

設(shè)直線4W的解析式為y=r+c,將點(diǎn)/坐標(biāo)代入,

得-1+c=0,

解得c=l,

，直線4W的解析式為y=-x+i,

y=-x+l

解方程組

y=/-6x+5'

>=1或,x=4

得

L=0]y=—3'

而考材料

，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,-3)：

②當(dāng)N/DW=90。時(shí)，

設(shè)宜線DW的解析式為P=f+4,蔡0(3,2)代入,

得-3+d=2,

解得d=5,

??.直線DM的解析式為y=r+5,

y=-x+5

解方程組2,「

y=x-6A+5

八,x=0fx=5

解得〈或八，

y=5[y=0

...點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,5)或(5,0)

綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,-3)或(0,5)或(5,0)：

(3)如圖，在44上取點(diǎn)尸，使B尸=1,連接Cr,

,:P3=2,

.BF_\

**7?-2*

..竺二,

?————，、

彳842

.BFPB

??---=---，

PBAB

又：NPBF=NABP,

&PBFs“BP,

ppBF1即叫I軸，

PAPB22

PC+-PA=PC^PF>CF,

2

???當(dāng)點(diǎn)C、P、尸三點(diǎn)共線時(shí)，PC+:"的值最小，即為線段6的長,

2

,:OC=S,OF=OB-\=5-\=A,

:,CF=xl0C、0產(chǎn)=府+42=歷.

.?.PC+；4的最小值為國.

【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)，二次函數(shù)及圓的綜合題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直角三角形的性質(zhì)，

勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，求兩圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，正確掌握各知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

7.（2023江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)y=/—6x+8的圖像與x軸分別交于點(diǎn)48（點(diǎn)/在點(diǎn)

8的左側(cè)），直線，是對稱軸.點(diǎn)尸在函數(shù)圖像上，其橫坐標(biāo)大于4,連接P4P8,過點(diǎn)尸作PM_L/,垂足

為以點(diǎn)〃為圓心，作半徑為「的圓，P7與。M相切，切點(diǎn)為T.

⑴求點(diǎn)48的坐標(biāo)；

（2）若以O(shè)M的切線長尸丁為邊長的正方形的面積與△PR?的面積相等，且OM不經(jīng)過點(diǎn)（3,2）,求長的

取值范圍.

【答案】⑴彳（2,0）,8（4,0）：⑵1＜尸“＜血或及＜p,w＜2或PM＞2

【分析】（1）令＞，=。求得點(diǎn)4〃的橫坐標(biāo)即可解答：

⑵由題意可得拋物線的對稱軸為x=3,設(shè)P（刑，■-6加+8）,則M（3,〃/—6〃?+8）：如圖連接MT,則

MTLPT,進(jìn)而可得切線長P7為邊長的正方形的面積為（〃一3『--；過點(diǎn)尸作尸”lx軸，垂足為"可

得?尸，=〃/-66+8；由題意可得（初一3）2-r=/-6〃?+8,解得/＞=1；然后再分當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)

N的上方和卜方兩種情況解答即可.

而考材料

【詳解】(1)解:令)，=0,則有:-_6X+8=0,解得:x=2或x=4,

J(2,0),5(4.0).

(2)解：?.,拋物線過>(2,0),5(4,0)

???拋物線的對稱軸為x=3,

設(shè)P'tn,m2-6m+8),

VW17,

I.-6，〃+8),

如圖:連接A/T,則MT_L尸T,

??.PT2=PM2-MT-=(〃-3)2—產(chǎn)，

?,.切線PT為邊長的正方形的面積為(加-3『-r2,

過點(diǎn)尸作軸，垂足為〃，則：S.PAB=；ABPH="J-6/?+8,

假設(shè)。M過點(diǎn)N(3,2),則有以卜兩種情況：

①如圖1：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，即M(3,3)

mz-6/w+8=3?解得：川=5或/〃=1,

Vm>4

w=5：

②如圖2：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，即M(3,l)

?'?nr-6/n+8=1>解得:m=3±^2?

9：m>4

川=3±上；

綜上，PM=m-3=2或收.

??.當(dāng)。M不經(jīng)過點(diǎn)(3,2)時(shí)，i<PM或正<PM<2或尸M>2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，掌握分類討論思想是解答本

題的關(guān)鍵.

8.(2023?山東東營?統(tǒng)考中考真題)如圖，拋物線過點(diǎn)。(0,0),￡(10,0),矩形力以笫的邊力8在線段OC上

而考材料

(點(diǎn)4在點(diǎn)力的左側(cè))，點(diǎn)C,。在拋物線上，設(shè)8(八0),當(dāng)/=2時(shí)，8c=4.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)/為何值時(shí)，矩形/6CO的周長有最大值？最大值是多少？

(3)保持』=2時(shí)的矩形/8CQ不動(dòng)，向右平移拋物線，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G,H,且

直線GH平分矩形力8co的面積時(shí)，求拋物線平移的距離.

1s41

【答案】(1)1y=,--不口(2)當(dāng)1=1付，矩形/18CQ的周長有最大值，最大值為5：(3)4

【分析】(1)設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為^=G('-10)(。工0),求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，將點(diǎn)。的坐標(biāo)代入即可求

出該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)由拋物線的對稱性得/E=08=f,則48=10-%，再得出8。=-!嚴(yán)+：,根據(jù)矩形的周長公式，

42

列出矩形周長的表達(dá)式，并將其化為頂點(diǎn)式，即可求解：

(3)連接4C，8D相交于點(diǎn)P,連接OC,取OC的中點(diǎn)Q,連接20,根據(jù)矩形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)推

出四邊形OCIIG是平行四邊形，則/?=C",尸0=.求出/=2時(shí)，點(diǎn)力的坐標(biāo)為(8,0),則CH=；OA=4,

即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為卜二6(、-10)(。=0).

?當(dāng)1=2時(shí)，BC=4,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,-4).

將點(diǎn)。坐標(biāo)代入表達(dá)式，得2〃(2-10)=-4,

解得a=g.

4

???拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-.

42

(2)解：由拋物線的對稱性得：AE=OB=t,

：.AB=10-2t.

當(dāng)尤=，時(shí)，BC=--t2+-t.

42

???矩形48CQ的周長為

2(A3+BC)=2(10-21)+02+方

=--z2+r+20

2

=-j(/-l)2+y.

41

???當(dāng)，=1時(shí)，矩形/8CQ的周長有最大值，最大值為了.

(3)解：連接/C,8。相交于點(diǎn)P,連接OC,取OC的中點(diǎn)Q,連接PQ.

???直線GH平分矩形ABCD的面積，

直線G〃過點(diǎn)R.

由平移的性質(zhì)可知，四邊形OC〃G是平行四邊形,

APO=CH.

?.?四邊形/13C。是矩形，

.,.P是/C的中點(diǎn).

PO=^OA.

當(dāng)/=2時(shí)，點(diǎn)力的坐標(biāo)為(8,0),

:.CH=-OA=4.

2

???拋物線平移的距離是4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達(dá)式的方法和步驟，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，矩形的性

而考材料

質(zhì)，以及平移的性質(zhì).

Q

9.（2023?內(nèi)蒙古通遼?統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物淺j，=ad+§x+c（aw0）與x軸交于

點(diǎn)力Q,。）和點(diǎn)8,與），軸交于點(diǎn)。（0,-4）.

（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式:

（2*是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（小與點(diǎn)兒B,C重合），作POlx軸，垂足為。，連接PC.

①如圖，若點(diǎn)。在第三象限，且〔an/CPQ=2,求點(diǎn)。的坐標(biāo):

②直線產(chǎn)。交直線3c于點(diǎn)區(qū)當(dāng)點(diǎn)E關(guān)于直線尸。的對稱點(diǎn)￡落在y軸上時(shí)，請直接寫出四邊形尸ECE'的

周長.

…i、48,1377）^35385

【C英】（l）y=彳.廠2+彳.丫-4；（2）0>^2J丁或

33\o10744

【分析】（1）將兒。兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式，從而求得a,c,進(jìn)而求得結(jié)果;

⑵①設(shè)小,#+24；

,過點(diǎn)。作點(diǎn)1尸。于點(diǎn)￡,求出尸瓦以，根據(jù)tan/C'PD===2列出方程

求出x的值即可：②可推出四邊形PEC?是菱形，從而得出PE=CE,分別表示出PE和CE,從而列出方

程，進(jìn)一步求得結(jié)果.

【詳解】（I）???拋物線y="x2+gx+c（〃+0）與x軸交于點(diǎn)力。,0）,與）?軸交于點(diǎn)。（0,-4）,

把彳（1,0）,C（0,-4）代入y=a/+gx+c（a工0）得，

c=-4

4

解得，”3，

42

??.拋物線的函數(shù)解析式為歹=§/+］工一4；

(2)①設(shè),過點(diǎn)C作CE，/5。于點(diǎn)￡,如圖,

???C(O,-4),

??.OC=4,

,.,PD_Lx軸，

:."00=90。、

又NDOC=90°,

二四邊形。OCE是矩形，

:.DE=0C=4,D0=CE=-x,

??.PE^PD-DE=-\-X2+-X-4|-4=-%2_0

U3J33

CE

'：tanZCTO=—=2,

PE

$=-：,電=0(不合題意，舍去)

o

.4,8/77

..—x~+-x-4=-----,

3316

.P|_2_21L

一I-16〉

②設(shè)+g機(jī)—4),

4242

對于y=：/+2x-4,當(dāng))，=0時(shí)，-X2+-X-4=0,

3333

而考材料

解得，玉=1，七=一3,

???5(-3,0),

?：OC=4,

由勾股定理得，BC=y]OB2+OC2=5;

當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，如圖，過點(diǎn)E作￡尸，），軸于點(diǎn)尸，

/.EF=DO=-m,

???點(diǎn)E與點(diǎn)￡關(guān)于尸。對稱，

:.NECP=ZE'CP,CE=CE；

???PE〃y軸，

/.乙EPC=4CE;

...ZEPC=ZECP,

:,PE=CE,

：,PE=CE\

??.四邊形PECE'是平行四邊形,

??.四邊形尸EC￡是菱形，

'：EF//OA,

:.&CEF

.CEEF

..—=----,

BCBO

.CE-m

??----=-----,

53

.八r*5

..Ct=--7W,

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

-3"6=0

把風(fēng)-3,0）,C（0,-4）代入得,-

b=-4

解得，卜T,

b=-4

4

???直線BC的解析式為y=~x-4,

/4八

..Em,——nt—4

.DC（4284J4212

..PL=-1+-m-41+1--m-4|=--—

乂CE=-汕且PE=CE,

.4125

??—nr2---?w=—m.

333

解得，町=一］,九=0（舍去）

4

四邊形PECE'的周長C=4CE=4x子=芋:

164

當(dāng)點(diǎn)，在第二象限時(shí)，如圖,

417S

同埋口J得：=

解得，叫=一：,〃?2=0（舍去）

而考材料

二?四邊形PECE'的周長。=4C￡=4x—=—；

.64

ISRS

綜上，四邊形PECE的周長為f或

44

【點(diǎn)睛】本題考查了求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性

質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，作輔助線，表示出線段的數(shù)盤.

4

10.(2023?四川自貢?統(tǒng)考中考真題)如圖，拋物線_＞，=-：/+尿+4與X軸交于/(-3,0),3兩點(diǎn),與V軸

交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線解析式及8,C兩點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)。坐標(biāo)：

(3)該拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)E,使得N4CE=45。，若存在，求出點(diǎn)"的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴拋物線解析式為尸+4(1,0),C(0,4)；⑵0(-2,-4)或。(-4,4)或。(4,4)：

k田

【分析】(1)將點(diǎn)4-3,0)代入拋物線解析式，待定系數(shù)法求解析式，進(jìn)而分別令x/=0,即可求得反C兩

點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)分三種情況討論，當(dāng)AB,4cBe為對角線時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；

(3)根據(jù)題意，作出圖形，作4G_LCE交于點(diǎn)G,廠為/C的中點(diǎn)，連接GO,GF,則4O，CG在O"上,

根據(jù)等弧所對的圓周角相等，得出G在y=-x上，進(jìn)而勾股定理，根據(jù)八7=g建立方程，求得點(diǎn)G的坐標(biāo),

進(jìn)而得出CG的解析式，即可求解.

4

【詳解】(1)解：???拋物線)，=-：/+岳'+4與x軸交于力(-3,0),

??.3X(-3『-36+4=0

Q

解得：6=4，

4?

.??拋物線解析式為二丁2_24,

當(dāng)x=0時(shí)，y=4,

??.C(0,4),

4ft

當(dāng)y=o時(shí)，0=--X2--X+4

解得：玉=-3,毛=1,

8：1,0)

(2);/(TO),8(1,0),C(O,4),

設(shè)Dim.n),

,以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

m+0_一3+14十〃_0+0

當(dāng)4B為對角線時(shí),2=2'~2~=~2~

解得：m--2.??=-4.

:.。(一2,-4)；

..._1-3+01+m4+00+?z

當(dāng)力C為對角z線時(shí)，)一=F一，=一=工一

2222

解得：w?=-4,??=4

.??以-4,4)

-3+〃？_0+10+4_0+〃

當(dāng)為對角線時(shí),

8c~2~~~2~f2~2

解得：w=4./?=4

???仇4,4)

綜上所述，以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，。(-2,-4)或。(-4,4)或。(4,4)

(3)解：如圖所示，作4G_LCE交于點(diǎn)G,產(chǎn)為/C的中點(diǎn)，連接GO,G/\

而考材料

,/Z.1C￡-45°

...“GC是等腰直角三角形,

??.40,C,G在。尸上，

??,H-3,0),C(O,4),

?**F[-P2yAC=>JAO2+CO2=5?==|

V/.4OG=//CG=45。，

??.6在)'=一工上，

設(shè)G(E,T),貝I]GF2=,+|J+

7

解得：=二1二。（舍去）

設(shè)直線CG的解析式為），=kx+4

-=—4+4

22

解得：

???直線CG的解析式y(tǒng)=；x+4

???彳（-3,0）,8（1,0）,

???拋物線對稱軸為直線x=萼=-1.

127

當(dāng)產(chǎn)一1時(shí)，yX（-l）+4=—,

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的性質(zhì)，圓周角角定理，勾

股定理，求一次函數(shù)解析式，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

11.（2023?四川達(dá)州?統(tǒng)考中考真題）如圖,拋物線y=o?+加+c過點(diǎn)4（-L0）,5（3,0）,C（0,3）.

⑴求拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)P是直線8c上方拋物線上一點(diǎn)，求出APBC的最大面積及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)M是拋物線對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以8C為邊，點(diǎn)8、C、M、N為頂

點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】（1方—一一十2—3；（2）d，C的最大面積為充，PR：｝（3）存在，［，河）或［，而）或

（-2,714+3）,（-2-^+3）,見解析

【分析】（1）利用待定系數(shù)法代入求解即可：

（2）利用待定系數(shù)法先確定直線8c的解析式為y=-x+3,設(shè)點(diǎn)尸（工-/+2*+3,0＜、＜3）,過點(diǎn)尸作

產(chǎn)。Lx軸于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)、E,得已尸/?=-』+3》，然后得出三角形面積的函數(shù)即可得出結(jié)果；

（3）分兩種情況進(jìn)行分析：若8C為菱形的邊長，利用菱形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）解：將點(diǎn)/（T0），8（3,Q）,C（0,3）代入解析式得：

a-b+c=0

9。+36+c=0,

。=3

a=-\

解得：?b=2,

c=3

???拋物線的解析式為y=-F+2*+3；

（2）設(shè)直線8c的解析式為卜=去+3將點(diǎn)8、。代入得:

而考材料

3k+b=0

t=3

k=-\

解得：

6=3

?,?直線BC的解析式為y=-x+3,

V5(3,0),

：?OB=3,

設(shè)點(diǎn)。卜,一/+2工+3)(0＜》＜3),過點(diǎn)。作尸O_Lx軸于點(diǎn)。，交3C于點(diǎn)E,如圖所示:

PE=-x2+2x+3-(-x+3)=-x2+3x,

SQPBC=5xPExOB=—x(-+3x)x3=-5工~+］刀=一5(丫-5)+?

327

???當(dāng)x=彳時(shí)，APBC的最大面積為---?

2o

44

“2國

(3)存在，義(2,2)或(4,歷)或卜,一后)或42,至+3),(-2,-714+3),證明如下:

813,0),C(0,3),

V拋物線的解析式為y=-/+2x+3,

，對稱軸為：x=\,

設(shè)點(diǎn)N(x,y),

若8c為菱形的邊長，菱形BCMN,

則BC2=CM2,即18=『+（”3）2,

解得：6=如+3,/,=-717+3,

??3+1=0+.v

?[0+/=3+y，

/.,v=4,y=/-3,

A/V（4,Vi7）,A<2（4,-717）；

若8c為菱形的邊長，菱形BCNM,

則8c2=8歷2,即|8=（3-1）2+/，

解得：/|=V14,t2=-V14,

??3+x=0+1

*[o+y=3+1'

x=-2,y=3+t,

??.乂（-2,舊+3）,7V4（-2-V14+3）；

綜上可得：

卜，屈）或（4,一折）或卜2,而+3）,卜2,-指+3）.

【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，三角形面積問題及特殊四

邊形問題，全等三角形的判定和性質(zhì)等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

12.（2023,四川瀘州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO_F中，已知拋物線y=ar2+2x+c與坐標(biāo)軸

分別相交于點(diǎn)兒B,C（O.6）三點(diǎn)，其對稱軸為x=2.

⑴求該拋物線的解析式:

而考材料

(2)點(diǎn)尸是該拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線/尸分別與歹軸，直線8c交于點(diǎn)。，E.

①當(dāng)CO=CE時(shí)，求CQ的長：

②若A。。，ACDF,△C。'的面積分別為S-S3,且滿足S1+5=2S2,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】⑴歹=一3犬+2》+6；(2)①8-2也：②尸(4,6)

71

【分析】(1)根據(jù)拋物線對稱軸為x=2,可得-彳=2,求得。二-十，再將C(0,6)代入拋物線，根據(jù)待定系

數(shù)法求得。，即可解答：

(2)①求出點(diǎn)〃，點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可得到直線8c的解析式為y=-x+6,設(shè)CQ=。，則。(0,6-°),求得

力。的解析式，列方程求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，最后根據(jù)CO=C￡列方程，即可求出C0的長：

②過及尸分別作力4的垂線段，交AB于點(diǎn)GJ/,過點(diǎn)。作EG的垂線段，交EG于點(diǎn)/,根據(jù)B+S3=2S?,

可得力D+EF=2DE,即空=5，證明△OE/sZX/q,設(shè)人,一)尸+2%+6],得到直線/尸的解析式，

AF3k2)

求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，將點(diǎn)￡的坐標(biāo)代入P=T+6解方程，即可解答.

【詳解】(1)解：根據(jù)拋物線的對稱軸為1=2,

得；=2,

2a

解得°=-；，

將C(O,6)代入拋物線可得6=c,

拋物線的解析式為歹=一Jx?+2x+6；

(2)解：當(dāng)y=o時(shí)，得0=-；/+2K+6,

解得演=6,々=一2,

.?.4(一2,0),5(6,0),

設(shè)C8的解析式為y=h+3將。(0,6),/6,0)代入〉，=6+力，

?』6=6

'“0=6攵+力’

??.C6的解析式為y=-x+6,

設(shè)CD=a,則。（0,6-。）,

設(shè)4D的解析式為3=小+”,將。(0,6—〃)，4―2,0)代入)，=不+4.

6-a=l\

得

0=-2k}+b、

.6-o

k.=------

解得2

b]=6-a

/.力8的解析式為y=^y^x+6-a,

y=-x+6

聯(lián)立方程6-a,

y=-----x+6-。

2

2a

x=-----

解得《8-。

48-8a

y=--------

8-a

48—8。/

根據(jù)。。=。￡,得“=-----------O

8-a

解得q=8-2四，生=8+2后,

經(jīng)檢驗(yàn)，q=8-2拒，/=8+2&是方程的解,

???點(diǎn)F是該拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

在y軸正半軸,

二a<6,

即CD的長為8-2人；

②解：如圖，過￡尸分別作48的垂線段，交AB于點(diǎn)G,H,過點(diǎn)。作EG的垂線段，交EG于點(diǎn)/,

而考材料

,/S1+S3=2S2,

AD+EF=2DE,

DE1

/.——=-,

AF3

設(shè)上,(人,一］，廠+2〃+6),則/1，=力+2,

EG1AB、FH上AB,

/.EG//FH,

：.Z.DEI=Z.AFB,

???DllEG,

/DIE=90°,

:.△DEIs^AFB，

AO/=；/?+：,即點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為:〃+：,

EI=-FH=--h2+-h+2,

363

設(shè)”的解析式為y=?2X+&，將彳(-2,0),rK-^h2+2h+(A,

0=-2k1+b2

代入得

2

~h+2h+6=k^+b2'

1,c

:,=—力+3

解得2,

b、=一力+6

AF的解析式為y=卜/+3卜i+6,

D\O,—h+6),U|JDO=—//+6,

/DOG=90°,

.??四邊形。OG/是矩形，

IG—DO=—力+6,

EG=EI+IG=--h2-i//+8,dpE\-h+-,--h2--h+S

63(3363

<1711\

將E—h+―,—h~—//+8代入y=~x+6,

(3363J

得」好，?+8=_。一％,

6333

解得％=4,A2=-4<0(舍去),

???尸(4,6).

【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)和?次函數(shù)，二次函數(shù)與一元二次方程，

兩點(diǎn)之間的距離，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

13.(2023?全國?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線j=-f+2x+C經(jīng)過點(diǎn)力(01).點(diǎn)尸,

。在此拋物線上，其橫坐標(biāo)分別為肛2Mm>0),連接4。，AQ.

(1)求此拋物線的解析式.

(2)”點(diǎn)。與此拋物線的頂點(diǎn)重合時(shí)，求〃I的值.

(3)出N/MQ的功與x軸平行時(shí),求點(diǎn)P與點(diǎn)。的縱坐標(biāo)的差.

(4)設(shè)此拋物線在點(diǎn)A與點(diǎn)P之間部分(包括點(diǎn)A和點(diǎn)尸)的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為九,在點(diǎn)A與

點(diǎn)。之間部分(包括點(diǎn)A和點(diǎn)。)的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為生.當(dāng)力2-九=加時(shí)，直接寫出加的值.

【答案】⑴尸-x2+2x+l；(2)〃?=g；(3)點(diǎn)尸與點(diǎn)。的縱坐標(biāo)的差為1或8：(4)〃?=；或〃?=：

【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解：

(2)化為頂點(diǎn)式，求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為2加，即可求解；

(3)分力O〃x軸時(shí)，力，〃工軸時(shí)分別根據(jù)拋物線的對稱性求得。的橫坐標(biāo)與尸的橫坐標(biāo)，進(jìn)而代入拋物

線解析式，求得縱坐標(biāo)，即可求解；

(4)分四種情況討論，①如圖所示，當(dāng)P,。都在對稱軸x=l的左側(cè)時(shí)，當(dāng)尸,。在對稱軸兩側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在

x=l的右側(cè)時(shí)，當(dāng)。的縱坐標(biāo)小于1時(shí)，分別求得",生，根據(jù)灰-4=〃?建立方程，解方程即可求解.

【詳解】(1)解：???拋物線y=-f+2x+。經(jīng)過點(diǎn)40J).

...拋物線解析式為y=+2x+l：

2：

⑵解：?.?y=-.r+2x+l=-(x-l)+2,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),

而考材料

???點(diǎn)。與此拋物線的頂點(diǎn)重合，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為2,”

2?=1?

解得：w:=—；

(3)①40〃x軸時(shí)，點(diǎn)4。關(guān)于對稱軸x=l對稱，

xQ=2m=2,

??.次=1，則-V+2xl+l=2，-22+2x2+1=1，

??.尸(1,2),0(2,1)

/.點(diǎn)。與點(diǎn)。的縱坐標(biāo)的差為2-1=1：

②當(dāng)4P