2024-2025學(xué)年河北省邯鄲市大名縣高一上冊第一次月考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年河北省邯鄲市大名縣高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交．5．本卷主要考查內(nèi)容：選擇性必修第一冊第一章～第二章．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知圓C的圓心坐標(biāo)為，且過坐標(biāo)原點(diǎn)，則圓C的方程為（）A. B.C. D.2.已知平面的一個(gè)法向量為，直線的一個(gè)方向向量為，若，則（）A. B. C.1 D.23.已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（）A. B. C. D.4.如圖，在正三棱錐中，點(diǎn)為的重心，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，記，則（）A. B.C. D.5.已知從點(diǎn)發(fā)出的一束光線，經(jīng)過直線反射，反射光線恰好過點(diǎn)，則反射光線所在的直線方程為（）A. B.C. D.6.如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.7.已知實(shí)數(shù)滿足，且，則的取值范圍為（）A. B.C. D.8.在正三棱錐中，，點(diǎn)滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知空間向量且，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.10.直線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值可能是（）A. B. C.4 D.511.如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是底面內(nèi)的一點(diǎn)（包括邊界），且，則下列說法正確的是（）A.點(diǎn)軌跡長度為B.點(diǎn)到平面的距離是定值C.直線與平面所成角正切值的最大值為D.最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若一條過原點(diǎn)的直線被圓所截得的弦長為2，則該直線的傾斜角為___________.13.已知向量若共面，則____________14.如圖，在正三棱柱中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），為的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為__________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）若點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，求直線的方程；（2）求邊上的高所在的直線方程.16.如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與直線的夾角的余弦值.17.如圖，在直四棱柱中，四邊形是矩形，，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，且.（1）求證：四邊形為正方形；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18.已知某圓的圓心在直線上，且該圓過點(diǎn)，半徑為，直線l的方程為．（1）求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l過定點(diǎn)A，點(diǎn)B，C在此圓上，且，求的取值范圍．19.如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，，平面平面，且，點(diǎn)分別是棱中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為.①求的長；②求平面與平面的夾角的余弦值.2024-2025學(xué)年河北省邯鄲市大名縣高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交．5．本卷主要考查內(nèi)容：選擇性必修第一冊第一章～第二章．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知圓C的圓心坐標(biāo)為，且過坐標(biāo)原點(diǎn)，則圓C的方程為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】由圓C過原點(diǎn)可得半徑，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即得解.【詳解】由題意，圓心，半徑，故圓C方程為.故選：B2.已知平面的一個(gè)法向量為，直線的一個(gè)方向向量為，若，則（）A. B. C.1 D.2【正確答案】B【分析】根據(jù)空間向量的垂直關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，解得．故選:B3.已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用兩條直線平行的條件、平行直線的距離公式運(yùn)算即可得解.【詳解】解：∵直線與直線平行，∴，解得，∴直線，又∵直線可化為，∴兩平行線之間的距離．故選：C．4.如圖，在正三棱錐中，點(diǎn)為的重心，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，記，則（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)可得，利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)闉榈闹匦?，所以，又點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，所以．故選：A．5.已知從點(diǎn)發(fā)出的一束光線，經(jīng)過直線反射，反射光線恰好過點(diǎn)，則反射光線所在的直線方程為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】運(yùn)用點(diǎn)關(guān)于線的對稱找出對稱點(diǎn)，結(jié)合光線反射性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn)設(shè)為，則，反射光線經(jīng)過點(diǎn)，則反射光線所在的直線方程為，即.故選:C.6.如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】取中點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸，與中點(diǎn)連線所在直線為軸，建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】解：取的中點(diǎn)，則，以所在直線為軸，所在直線為軸，與中點(diǎn)連線所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，所以，所以在上的投影的長度為，故點(diǎn)到直線的距離為.故選：C.7.已知實(shí)數(shù)滿足，且，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，得到點(diǎn)在線段上移動(dòng)，且，，設(shè)，利用斜率公式，求得的值，進(jìn)而求得的取值范圍，得到答案.【詳解】由題意知，點(diǎn)滿足關(guān)系式，且，可得點(diǎn)在線段上移動(dòng)，且，，如圖所示，設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以的取值范圍是.故選：D.8.在正三棱錐中，，點(diǎn)滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)題意，延長至點(diǎn)，使得，得到，結(jié)合空間向量的共面定理，得到四點(diǎn)共面，把到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離的一半，結(jié)合正四棱錐的性質(zhì)，即可求解.【詳解】如圖所示，延長至點(diǎn)，使得，所以，又由，所以四點(diǎn)共面，所以的最小值，即為點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的一半，又因?yàn)?，所以三棱錐為正三棱錐，取等邊的中心為，連接，可得平面，所以即為點(diǎn)到平面的距離，在等邊，因?yàn)?，可得，在直角中，可得，即點(diǎn)到平面的距離為，所以的最小值為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知空間向量且，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】ABD【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，即可由模長公式求解A，根據(jù)共線定理即可求解B，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解C，利用夾角公式即可求解D.【詳解】，故A正確；由于，設(shè)，則，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D正確．故選：ABD．10.直線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值可能是（）A. B. C.4 D.5【正確答案】BC【分析】由曲線表示圓在軸的上半部分，利用直線與圓相切求出的值，結(jié)合圖形即可得答案.【詳解】解：曲線表示圓在軸的上半部分，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，，解得，當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，，所以由圖可知實(shí)數(shù)m的取值范圍為，故選：BC.11.如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是底面內(nèi)的一點(diǎn)（包括邊界），且，則下列說法正確的是（）A.點(diǎn)的軌跡長度為B.點(diǎn)到平面的距離是定值C.直線與平面所成角的正切值的最大值為D.的最小值為【正確答案】BCD【分析】選項(xiàng)A：利用空間中到定點(diǎn)的距離為定長的點(diǎn)的集合為一個(gè)球，在正方體表面上的交線為圓求得的軌跡長度；選項(xiàng)B：可以證得平面，結(jié)合平面，所以點(diǎn)到平面的距離是定值；選項(xiàng)C：要求直線與平面所成角的正切值的最大值，則求得在平面的投影為，當(dāng)取得最小值時(shí)，直線與平面所成角的正切值最大；選項(xiàng)D：要求的最小值，則利用到直線的距離為，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，求得的最小值.【詳解】對于A，因?yàn)?，即，所以，即點(diǎn)在底面內(nèi)是以為圓心?半徑為1的圓上，所以點(diǎn)的軌跡長度為，故A錯(cuò)誤；對于B，在正方體中，，又平面，所以平面，所以點(diǎn)的軌跡為線段，又平面，所以點(diǎn)到平面的距離是定值，故B正確；對于C，因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成角，因?yàn)辄c(diǎn)到的距離為定值2，記點(diǎn)在平面的投影為，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，直線與平面所成角的正切值最大，又，所以直線與平面所成角的正切值的最大值為，故C正確；對于D，到直線的距離為，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若一條過原點(diǎn)的直線被圓所截得的弦長為2，則該直線的傾斜角為___________.【正確答案】60°或120°【分析】由題意，直線斜率存在，設(shè)直線方程為，然后根據(jù)直線被圓所截弦長公式即可求解.【詳解】解：圓的圓心，半徑為2，由題意，直線斜率存在，設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€被圓所截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離為，解得，所以該直線的傾斜角為60°或120°，故60°或120°.13.已知向量若共面，則____________【正確答案】【分析】由條件，根據(jù)空間向量基本定理即可列方程組求解?！驹斀狻恳蚬裁?，所以存在實(shí)數(shù)，使得，即，即，解得．故14.如圖，在正三棱柱中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），為的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為__________．【正確答案】【分析】取中點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)，設(shè)，且，得出，得出平面的一個(gè)法向量為，通過換元法，進(jìn)行求解．【詳解】取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故，于是，平面的一個(gè)法向量為，，設(shè)，則，，故，即直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.故答案：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）若點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，求直線的方程；（2）求邊上的高所在的直線方程.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到，再由兩點(diǎn)求出斜率，最后有點(diǎn)斜式方程求出即可；（2）由兩直線垂直求出邊上的高所在的直線的斜率為，再由點(diǎn)斜式得到直線方程即可；【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，則，所以，所以直線的方程為，即；【小問2詳解】因?yàn)?，所以邊上的高所在的直線的斜率為，所以邊上的高所在的直線方程為，即.16.如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與直線的夾角的余弦值.【正確答案】（1）答案見解析（2）【分析】（1）先證，再由線線平行正線面平行即可；（2）由題意建系，求出相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式計(jì)算即得.【小問1詳解】因是直三棱柱，則，又因點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，所以，則四邊形是平行四邊形，所以，又因平面平面，故平面；【小問2詳解】如圖，因直三棱柱中，故可以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，于是，設(shè)直線與直線的夾角為，則，故直線與直線的夾角的余弦值為.17.如圖，在直四棱柱中，四邊形是矩形，，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，且.（1）求證：四邊形為正方形；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）先證，再由條件推導(dǎo)平面，得到即可證得；（2）依題建系，寫出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求得相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式計(jì)算即得.【小問1詳解】如圖，連接，在直四棱柱中，平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又四邊形是矩形，所以四邊形為正方形；【小問2詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z，所以，故可取，設(shè)直線與平面所成角的大小為，所以即直線與平面所成角的正弦值為.18.已知某圓的圓心在直線上，且該圓過點(diǎn)，半徑為，直線l的方程為．（1）求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l過定點(diǎn)A，點(diǎn)B，C在此圓上，且，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）結(jié)合題意，設(shè)圓心坐標(biāo)，列圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入，即可求出的值，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）求得直線恒過定點(diǎn)，取BC中點(diǎn)為，則，可得點(diǎn)D的軌跡方程，可求得的取值范圍，進(jìn)而可得的取值范圍.【小問1詳解】由題意可設(shè)此圓方程為，把點(diǎn)坐標(biāo)代入得，則，所以圓