備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第3節(jié)-函數(shù)的奇偶性與周期性

第3節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性1.結(jié)合具體函數(shù),了解奇偶性的概念和幾何意義.2.結(jié)合函數(shù)的周期性、最小正周期的含義,會判斷應(yīng)用函數(shù)的周期性.1.函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I,如果?x∈I,都有-x∈I且,那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)

且,那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)

圖象特征關(guān)于對稱

關(guān)于對稱

函數(shù)存在奇偶性的前提條件是定義域關(guān)于原點對稱.2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù):一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,如果存在一個非零常數(shù)T,使得對每一個x∈D,都有x+T∈D,且,那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.

(2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個的正數(shù),那么這個就叫做f(x)的最小正周期.

(1)若T是函數(shù)f(x)的一個周期,則nT(n∈Z,n≠0)也是函數(shù)f(x)的周期.(2)不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期,如常函數(shù)f(x)=c(c是常數(shù))是周期函數(shù),但沒有最小正周期.1.奇偶性的四個重要結(jié)論(1)如果一個奇函數(shù)f(x)在原點處有定義,即f(0)有意義,那么一定有f(0)=0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(-x)=f(|x|).(3)若函數(shù)滿足f(x)=0或解析式可化簡為f(x)=0(x∈D),其中定義域D是關(guān)于原點對稱的非空數(shù)集,則函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(4)在公共定義域內(nèi)有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.2.周期性的常用結(jié)論設(shè)函數(shù)y=f(x),x∈R,a>0.(1)若f(x+a)=f(x-a),則函數(shù)的一個周期為2a.(2)若f(x+a)=-f(x),則函數(shù)的一個周期為2a.(3)若f(x+a)=1f(4)若f(x+a)=-1f3.對稱性的三個常用結(jié)論(1)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),即f(a-x)=f(a+x),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.(2)若對于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.(3)若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù),即f(-x+b)+f(x+b)=0,則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(b,0)中心對稱.1.(必修第一冊P84例6改編)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()A.y=x3 B.y=x2C.y=|lnx| D.y=2-x2.(必修第一冊P203練習(xí)T4改編)設(shè)f(x)是定義在R上周期為3的函數(shù),當(dāng)0≤x≤1時,f(x)=x2-x,則f(72A.154 B.-1C.14 D.3.若函數(shù)f(x)=x2+(a+5)x+b是偶函數(shù),定義域為[a,2b],則a+2b=.

4.(2020·江蘇卷)已知y=f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=x23,則f(-8)的值是5.(2021·山東日照高三模擬)寫出一個滿足f(x)=f(2-x)的奇函數(shù):f(x)=.

函數(shù)奇偶性的判斷及應(yīng)用1.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足當(dāng)x<0時,f(x)=2x2-2,則f(f(-1))+f(2)=()A.-8 B.-6 C.4 D.62.(2021·陜西渭南模擬)已知函數(shù)f(x)=3-x+a·3x是奇函數(shù),則f(2)=()A.829 B.-829 C.8093.已知f(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且f(x)-g(x)=x3+x2+2,則f(x)=,g(x)=.

4.判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1)f(x)=x2(2)f(x)=ln1-(3)f(x)=-(4)f(x)=4-1.判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱,若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱,則判斷f(-x)與f(x)之間的關(guān)系.(2)判斷分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段分別證明f(-x)與f(x)的關(guān)系,只有各段上的x都滿足相同的關(guān)系時,才能判斷其奇偶性.2.利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值的方法:將待求函數(shù)值或不等式利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解.3.根據(jù)函數(shù)的奇偶性求解析式中參數(shù)的方法:根據(jù)f(x)±f(-x)=0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式,由系數(shù)的對等性得參數(shù)的方程(組),進而得出參數(shù)的值.4.涉及兩個奇偶函數(shù)的和或差的解析式求奇偶函數(shù)的解析式需要用-x代替x后利用奇偶函數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造方程組求解.注意:根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)奇偶性時,若函數(shù)解析式不是最簡形式,需要先化簡函數(shù)解析式,化簡時要注意等價變形.函數(shù)的周期性及其應(yīng)用設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對任意實數(shù)x,恒有f(x+2)=-f(x).當(dāng)x∈[0,2]時,f(x)=2x-x2,則x∈[2,4]時函數(shù)f(x)的解析式為.

[典例遷移1]設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對任意實數(shù)x,恒有f(x+2)=-f(x)且f(1)=2,則f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2022)+f(2023)=.

[典例遷移2]設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),且恒有f(x+2)=-1f1.根據(jù)函數(shù)在給定區(qū)間上的解析式,結(jié)合函數(shù)周期性與奇偶性的求值問題,應(yīng)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)將待求的自變量的值轉(zhuǎn)化到已知的函數(shù)解析式上后,結(jié)合函數(shù)解析式求值.2.若函數(shù)具有奇偶性以及關(guān)于直線(或點)對稱時,函數(shù)也具有周期性,求解時首先利用周期性的定義確定出函數(shù)的周期.3.若函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)且T為其一個周期,則f(T2[針對訓(xùn)練]1.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f(x)=f(1-x),則f(2020)+f(2021)+f(2022)=()A.-1 B.0 C.1 D.22.(2021·安徽皖江名校高三模擬)偶函數(shù)f(x)滿足f(12-x)=f(x+12),且在x∈[72,4]時,f(x)=log2A.log27-2 B.1C.log23-2 D.log27-13.若函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且x∈[-1,1]時,f(x)=x2,則x∈[7,9]時的函數(shù)解析式是.

函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用角度一函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的應(yīng)用(1)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,且為奇函數(shù),若f(1)=-1,則滿足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范圍是()A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3](2)已知函數(shù)f(x)=x2+log2|x|,則不等式f(x+1)-f(2)<0的解集為()A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(-∞,-3)∪(1,+∞)C.(-3,-1)∪(-1,1) D.(-1,1)∪(1,3)1.求解與奇偶函數(shù)有關(guān)的不等式問題要考慮奇偶函數(shù)關(guān)于原點對稱的定義域兩側(cè)的單調(diào)性;利用奇、偶函數(shù)的圖象特征或根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性一致,偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反,轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上求解.2.求解與偶函數(shù)有關(guān)的不等式問題,為避免出現(xiàn)錯誤以及分類討論,可利用偶函數(shù)的性質(zhì)f(x)=f(-x)=f(|x|)將問題轉(zhuǎn)化為偶函數(shù)在[0,+∞)上的單調(diào)性求解.角度二函數(shù)的奇偶性(對稱性)與周期性(2021·黑龍江佳木斯一中高三三模)已知y=f(x)為奇函數(shù),若f(x+1)是偶函數(shù),且當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=log2(x+a),則f(2021)=()A.-1 B.0 C.1 D.21.若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a對稱,若y=f(x+a)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(a,0)對稱.2.函數(shù)圖象的對稱與周期關(guān)系常見結(jié)論(1)若函數(shù)y=f(x)的兩條對稱軸方程分別為x=a,x=b,則函數(shù)的一個周期為T=2|a-b|;(2)若函數(shù)y=f(x)的兩個對稱中心分別為(a,0),(b,0),則函數(shù)的一個周期為T=2|a-b|;(3)若函數(shù)y=f(x)的一條對稱軸方程為x=a,一個對稱中心為點(b,0),則函數(shù)的一個周期為T=4|a-b|.角度三單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合問題(多選題)已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),?x∈R,f(x-1)=f(x+1)成立,當(dāng)x∈(0,1)且x1≠x2時,有f(xA.f(1)=0B.f(x)在[-2,2]上有5個零點C.直線x=2022是函數(shù)y=f(x)圖象的一條對稱軸D.點(2022,0)是函數(shù)y=f(x)圖象的一個對稱中心函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合.注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義,以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性.(2)周期性與奇偶性的綜合.此類問題多考查求值問題,常利用奇偶性及周期性進行變換,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.(3)單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合.解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間,然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.[針對訓(xùn)練]1.(2021·全國甲卷)設(shè)f(x)是定義域為R的奇函數(shù),且f(1+x)=f(-x).若f(-13)=13,則f(A.-53 B.-13 C.132.(2021·江西贛州高三期末)設(shè)定義域為R的奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),且f(-4)=0,則不等式f(-A.(-4,0)∪(4,+∞)