2023屆高考數(shù)學(xué)特訓(xùn)營(yíng)第4節(jié)-直線、平面的垂直判定與性質(zhì)

第七單元第4節(jié)直線、平面的垂直判定與性質(zhì)2023屆1《高考特訓(xùn)營(yíng)》·數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀命題方向數(shù)學(xué)素養(yǎng)1.以立體幾何中的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題1.線面垂直的判定與性質(zhì)數(shù)學(xué)抽象直觀想象邏輯推理2.平面與平面垂直的判定及性質(zhì)3.垂直關(guān)系綜合應(yīng)用0102知識(shí)特訓(xùn)能力特訓(xùn)01知識(shí)特訓(xùn)知識(shí)必記拓展鏈接對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．直線與平面垂直(1)定義：一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的________一條直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面α互相垂直．任意

相交

l⊥al⊥ba∩b＝O

a，b?α

平行a⊥αb⊥α[探究]

空間中任一直線m，在平面α內(nèi)是否存在無(wú)數(shù)條直線與m垂直？提示：存在．

直二面角垂線l⊥α

l?β[探究]

若平面α⊥β，且α∩β＝l，若直線m⊥l，則m與平面β一定垂直嗎？提示：不一定，當(dāng)m?α?xí)r，m⊥β.交線α⊥βα∩β＝al⊥a

l?β

3．空間角(1)直線和平面所成的角

①定義：平面的一條斜線和它在______________所成的角，叫作這條直線和這個(gè)平面所成的角．平面上的射影(2)二面角

①定義：從一條直線出發(fā)的______________所組成的圖形叫作二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作____________的兩條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角．③二面角的平面角的范圍：____________．兩個(gè)半平面垂直于棱[0，π]4．空間距離(1)點(diǎn)到平面的距離過(guò)一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段叫作這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長(zhǎng)度叫作這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離．(2)直線到平面的距離一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離叫作這條直線到這個(gè)平面的距離．(3)兩個(gè)平面間的距離如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫作這兩個(gè)平行平面間的距離．1．[知識(shí)拓展]與垂直相關(guān)的重要結(jié)論(1)過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條．(2)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線．(3)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．(4)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(5)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這一條直線與另一個(gè)平面也垂直．(6)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．【例】(2022·安徽江南十校聯(lián)考)已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是(

)A．α⊥β且m?αB．m⊥n且n∥βC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且α∥β解析：由結(jié)論3可知C正確．C2.[知識(shí)外延]求二面角的常用方法(1)定義法：以棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線，則形成二面角的平面角，有時(shí)可借助于特殊圖形(等腰三角形、等腰梯形等)作出平面角．(2)定理法：在二面角α—l—β的面α上取一點(diǎn)A，作AB⊥β于B，過(guò)B作BC⊥l于C，連接AC，由三垂線定理可知AC⊥l，則∠ACB為二面角α—l—β的平面角．該種作法的優(yōu)點(diǎn)在于∠ACB所在的三角形為直角三角形，便于求角．(3)垂面法：過(guò)棱上一點(diǎn)作棱的垂面，與兩個(gè)面的交線即構(gòu)成二面角的平面角．(4)面積射影法：在一個(gè)平面α上的圖形的面積為S，它在另一個(gè)平面β上的投影面積為S′.這兩個(gè)平面的夾角為θ，則S′＝Scos

θ.此法對(duì)無(wú)棱二面角的求解效果較好．3．[數(shù)學(xué)模型]鱉臑?zāi)Ｐ?1)“鱉臑”模型的由來(lái)《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵．斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑．陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也．合兩鱉臑三而一，驗(yàn)之以蓁，其形露矣．”劉微注：“此術(shù)臑者，背節(jié)也，或曰半陽(yáng)馬，其形有似鱉肘，故以名云．中破陽(yáng)馬，得兩鱉臑，鱉臑之起數(shù)，數(shù)同而實(shí)據(jù)半，故云六而一即得．”具體來(lái)說(shuō)，取一長(zhǎng)方體，按下圖斜割一分為二，得到兩個(gè)一模一樣的三棱柱，稱之為塹堵．

如圖，再沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開，得到一個(gè)四棱錐和一個(gè)三棱錐，以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐稱為陽(yáng)馬，余下的三棱錐是由四個(gè)直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑．(2)“鱉臑”模型的判定與性質(zhì)判定：在三棱錐A-BCD中，只要滿足下列條件之一，則均為“鱉臑”：(1)AB，BC，CD兩兩垂直；(2)AB⊥平面BCD，且BC⊥CD；(3)AB⊥平面BCD，且AC⊥CD；(4)AB⊥平面BCD，且平面ABC⊥平面ACD.性質(zhì)：在“鱉臑”A-BCD中：(1)異面直線垂直(一組)：AB⊥CD.(2)線面垂直(兩組)：AB⊥平面BCD，CD⊥平面ABC.(3)面面垂直(三組)：平面ABC⊥平面ACD，平面ABC⊥面BCD，平面ABD⊥平面BCD.【例】《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”．在如圖所示的四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD＝CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為PC，PD的中點(diǎn)，則圖中的鱉臑有________個(gè)．答案：4解析：由題意，因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥DC，PD⊥BC，又四邊形ABCD為正方形，所以BC⊥CD，所以BC⊥平面PCD，BC⊥PC，所以四面體PDBC是一個(gè)鱉臑．因?yàn)镈E?平面PCD，所以BC⊥DE，因?yàn)镻D＝CD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以DE⊥PC.因?yàn)镻C∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC，可知四面體EBCD的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體EBCD是一個(gè)鱉臑．同理，四面體PABD和FABD都是鱉臑.1．[易錯(cuò)診斷](2022·海南三亞模擬)設(shè)α和β是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列說(shuō)法不正確的是(

)A．若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥βB．若m⊥α，n?β，α∥β，則m⊥nC．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥βD．若m⊥α，n⊥β，α∥β，則m∥nA解析：m∥α，n∥β，m∥n，并不能推出α∥β，這時(shí)α和β可能相交，故A錯(cuò)誤；若m⊥α，α∥β，則m⊥β，又n?β，則m⊥n，B正確；若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，又n⊥β，則α⊥β，C正確；若m⊥α，α∥β，則m⊥β，又n⊥β，則m∥n，D正確．【易錯(cuò)點(diǎn)撥】混淆空間垂直與平行關(guān)系判定與性質(zhì)的有關(guān)定理致誤．2．[教材改編]如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為________．3．(多選題)[模擬演練](2022·浙江省衢州高三模擬)已知AC為圓O的直徑，∠PCA＝45°，PA垂直于圓O所在的平面，B為圓周上不與點(diǎn)A，C重合的點(diǎn)，AS⊥PC于點(diǎn)S，AN⊥PB于點(diǎn)N，則下列選項(xiàng)正確的是(

)A．平面ANS⊥平面PBCB．平面ANS⊥平面PABC．平面PAB⊥平面PBCD．平面ABC⊥平面PACACD解析：∵PA⊥平面ABC，PA?平面PAC，∴平面ABC⊥平面PAC，故D正確；∵B為圓周上不與A，C重合的點(diǎn)，AC為直徑，∴BC⊥AB，∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA，又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB，又BC?平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC，故C正確；∵AB⊥BC，BC⊥PA，又PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AN，又∵AN⊥PB，PB∩BC＝B，∴AN⊥平面PBC，又AN?平面ANS，∴平面ANS⊥平面PBC，故A正確；因無(wú)法判斷PB⊥AS(或PB⊥NS)，故B不正確．故選ACD.4．[真題體驗(yàn)](2021·全國(guó)乙卷(文))如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M為BC的中點(diǎn)，且PB⊥AM.(1)證明：平面PAM⊥平面PBD.(2)若PD＝DC＝1，求四棱錐P-ABCD的體積．解：(1)因?yàn)镻D⊥底面ABCD，AM?平面ABCD，所以PD⊥AM，又PB⊥AM，PB∩PD＝P，所以AM⊥平面PBD，而AM?平面PAM，所以平面PAM⊥平面PBD.(2)由(1)可知AM⊥平面PBD，所以AM⊥BD，從而△DAB∽△ABM，設(shè)BM＝x，AD＝2x，02能力特訓(xùn)特訓(xùn)點(diǎn)1特訓(xùn)點(diǎn)2特訓(xùn)點(diǎn)3考向1直線與直線垂直典例1已知正方體ABCD-A1B1C1D1.求證：A1C⊥B1D1.證明：連接A1C1(如圖)．∵CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1?平面A1B1C1D1，∴CC1⊥B1D1.∵四邊形A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1.特訓(xùn)點(diǎn)1線面垂直的判定與性質(zhì)【多維考向類】又∵CC1∩A1C1＝C1，∴B1D1⊥平面A1C1C.又∵A1C?平面A1C1C，∴A1C⊥B1D1.判定直線與直線垂直的方法(1)定義法：若兩條直線所成的角為直角，則這兩條直線互相垂直；(2)利用直線與平面垂直的性質(zhì)：l⊥α，a?α?l⊥a；(3)若一條直線垂直于兩平行直線中的一條，則該直線也垂直于另一條直線．考向2直線與平面垂直的判定典例2如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)在BB1上．(1)求證：C1D⊥平面AA1B1B.(2)在下列給出的三個(gè)條件中選取哪兩個(gè)條件可使AB1⊥平面C1DF？并證明你的結(jié)論．[解題指導(dǎo)](1)根據(jù)直棱柱中及特殊平面圖形中的垂直關(guān)系應(yīng)用線面垂直的判定定理證明；(2)先通過(guò)條件驗(yàn)證，確定條件①③，構(gòu)建線面垂直模型，結(jié)合判定定理進(jìn)行證明．解：(1)證明：∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中點(diǎn)，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D?平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1?平面AA1B1B.∴C1D⊥平面AA1B1B.(2)選①③能證明AB1⊥平面C1DF.如圖，連接DF，A1B，易知DF∥A1B，∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1?平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.∵DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.證明線面垂直的問(wèn)題(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②平行、垂直間的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想．考向3直線與平面垂直的性質(zhì)典例3如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.[解題指導(dǎo)]應(yīng)用線面垂直的判定定理證明AE⊥平面PCD及MN⊥平面PCD，從而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證明AE∥MN.證明：∵AB⊥平面PAD，AE?平面PAD，∴AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD.∵M(jìn)N⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又∵M(jìn)N⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.點(diǎn)撥：應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直．考向1平面與平面垂直的判定典例4在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是AB的中點(diǎn)，沿DE將△ADE折起，得到如圖所示的四棱錐P-BCDE.(1)若平面PDE⊥平面BCDE，求四棱錐P-BCDE的體積；(2)若PB＝PC，求證：平面PDE⊥平面BCDE.特訓(xùn)點(diǎn)2平面與平面垂直的判定及性質(zhì)【多維考向類】[解題指導(dǎo)]由面面垂直的性質(zhì)得出線面垂直，從而求得四棱錐的高，然后應(yīng)用體積公式求體積；取DE，BC的中點(diǎn)M，N，先證BC⊥平面PMN，從而證得BC⊥PM，結(jié)合PM⊥DE證得PM⊥平面BCDE，從而證得面面垂直．解析：(1)如圖所示，取DE的中點(diǎn)M，連接PM，由題意知PD＝PE，∴PM⊥DE，又平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE＝DE，PM?平面PDE，∴PM⊥平面BCDE，即PM為四棱錐P-BCDE的高．在等腰直角三角形PDE中，PE＝PD＝AD＝2，(2)證明：取BC的中點(diǎn)N，連接PN，MN，則BC⊥MN，∵PB＝PC，∴BC⊥PN，∵M(jìn)N∩PN＝N，MN，PN?平面PMN，∴BC⊥平面PMN，∵PM?平面PMN，∴BC⊥PM，由(1)知PM⊥DE，又BC，DE?平面BCDE，且BC與DE是相交的，∴PM⊥平面BCDE，∵PM?平面PDE，∴平面PDE⊥平面BCDE.利用判定定理證明面面垂直的一般方法先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的垂線存在，則可通過(guò)線面垂直來(lái)證明面面垂直；若這樣的垂線不存在，則需通過(guò)作輔助線來(lái)證明．考向2平面與平面垂直的性質(zhì)典例5

(2022·廣東高三模擬)如圖，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形，且∠DAB＝60°，側(cè)面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點(diǎn)．求證：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.[解題指導(dǎo)]根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證得PG⊥BG，根據(jù)菱形條件證得BG⊥AD.根據(jù)線面垂直的判定證得線面垂直，由線面垂直得到線線垂直，然后推得AD⊥平面PBG，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)從而證得AD⊥PB.證明：(1)如圖，連接PG，BD，由題意知△PAD為正三角形，G是AD的中點(diǎn)，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PG⊥平面ABCD，又BG?平面ABCD，∴PG⊥BG.又四邊形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.又PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PBG，∵PB?平面PBG，∴AD⊥PB.面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用思路在空間圖形中，如已知條件中有面面垂直，一般需要作輔助線，考慮應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理得到線面垂直，繼而可得線線垂直．在運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，找準(zhǔn)兩平面的交線是關(guān)鍵．典例6

(2022·紅河州模擬)如圖所示，平面ABCD⊥平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BC＝CE，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)．(1)證明：AE∥平面BDF.(2)若M為CD上任意一點(diǎn)，在線段AE上是否存在點(diǎn)P，使得PM⊥BE？若存在，確定點(diǎn)P的位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．特訓(xùn)點(diǎn)3垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用【師生共研類】[解題指導(dǎo)](1)根據(jù)線面平行的判定條件通過(guò)證明面外一線平行于面內(nèi)一線，證得AE∥平面BDF；(2)先假設(shè)存在并確定特殊點(diǎn)位置，然后結(jié)合面面垂直關(guān)系構(gòu)建線面垂直模型，應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)加以證明．解：(1)證明：連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OF，如圖①.∵四邊形ABCD是矩形，∴O為AC的中點(diǎn)．又F為EC的中點(diǎn)，∴OF∥AE.又OF?平面BDF，AE?平面BDF，∴AE∥平面BDF.(2)當(dāng)點(diǎn)P為AE的中點(diǎn)時(shí)，有PM⊥BE，證明如下：取BE的中點(diǎn)H，連接DP，PH，CH，如圖②.∵P為AE的中點(diǎn)，H為BE的中點(diǎn)，∴PH∥AB.又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四點(diǎn)共面．∵平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊥BC，CD?平面ABCD，∴CD⊥平面BCE.