2021屆湖南省、河北省新高考聯(lián)考高三上學(xué)期10月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題(教師版含解析)

2020~2021學(xué)年高三新高考10月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)一?選擇題1.設(shè)集合，，則()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡集合A，直接根據(jù)并集運(yùn)算即可.【詳解】，所以.故選：B2.命題“，”的否定是()A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】利用全稱命題的否定變換形式即可求解.【詳解】命題“，”，則命題的否定為：，≤1故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了全稱命題的否定形式，需熟記含有一個(gè)量詞的否定變換形式，屬于基礎(chǔ)題.3.我們知道，人們對(duì)聲音有不同的感覺，這與聲音的強(qiáng)度有關(guān)系.聲音的強(qiáng)度常用(單位：瓦/米2，即)表示，但在實(shí)際測量時(shí)，聲音的強(qiáng)度水平常用(單位：分貝)表示，它們滿足換算公式：(，其中是人們平均能聽到的聲音的最小強(qiáng)度).若使某小區(qū)內(nèi)公共場所聲音的強(qiáng)度水平降低10分貝，則聲音的強(qiáng)度應(yīng)變?yōu)樵瓉淼?)A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)該小區(qū)內(nèi)公共場所聲音的強(qiáng)度水平為，，相應(yīng)聲音的強(qiáng)度為，，代入可得選項(xiàng).【詳解】設(shè)該小區(qū)內(nèi)公共場所聲音的強(qiáng)度水平為，，相應(yīng)聲音的強(qiáng)度為，，由題意，得，即，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，關(guān)鍵在于理解生活中的數(shù)據(jù)在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的表達(dá)，屬于基礎(chǔ)題.4.過點(diǎn)與圓相切的直線方程是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先驗(yàn)證點(diǎn)P與圓的關(guān)系，由圓的切線的性質(zhì)可求得切線的斜率，由直線的點(diǎn)斜式方程可得選項(xiàng).【詳解】將點(diǎn)代入圓的方程得，所以點(diǎn)P在圓上，而，所以過點(diǎn)的切線斜率為，則所求切線方程為，即.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線方程，關(guān)鍵在于由圓的切線的性質(zhì)得出切線的斜率，屬于基礎(chǔ)題.5.已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想可得選項(xiàng)．【詳解】由函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可得的圖象如圖所示，所以當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題之求參數(shù)的范圍，常采用數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．6.張衡(78年~139年)是中國東漢時(shí)期偉大的天文學(xué)家?文學(xué)家?數(shù)學(xué)家.他的數(shù)學(xué)著作有《算罔論》，他曾經(jīng)得出結(jié)論：圓周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，若線段的最小值為，利用張衡的結(jié)論可得該正方體的外接球的表面積為()A.30 B. C. D.36【答案】C【解析】【分析】設(shè)正方體的棱長為，正方體的內(nèi)切球半徑為，正方體的外接球半徑，再已知條件和球的表面積公式可得選項(xiàng).【詳解】設(shè)正方體的棱長為，正方體的內(nèi)切球半徑為，正方體的外接球半徑滿足：，則.由題意知：，則，，該正方體的外接球的表面積為，又因?yàn)閳A周率的平方除以十六等于八分之五，即，所以，所以外接球的表面積為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查正方體的外接球，內(nèi)切球的相關(guān)計(jì)算，以及數(shù)學(xué)文化，屬于中檔題.7.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，過的直線分別交雙曲線的兩條漸近線于點(diǎn)，兩點(diǎn).若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，且，則()A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件判斷出雙曲線漸近線的傾斜角為，由此求得的值.【詳解】因?yàn)槭堑闹形痪€，所以，又由，得，從而是等腰三角形，而，所以，即漸近線的傾斜角為，因此.故選：D8.已知定義在上的函數(shù)，都有，且函數(shù)是奇函數(shù)，若，則的值為()A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)是奇函數(shù)和可得函數(shù)的周期為2，然后可得，然后再結(jié)合條件可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，又，所以，所以，所以函數(shù)的周期為2，所以.因?yàn)?，所以，所?故選：D二?多選題9.已知，，則下列不等式成立的是()A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，可判定A、B正確，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性，可判定C錯(cuò)誤，D正確.【詳解】由，，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得，所以A是正確的；由，，可得，則，可得，所以B正確；取，，則，從而，所以C錯(cuò)誤；由冪函數(shù)，在上是增函數(shù)，則由，即得，則D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，以及冪函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，其中解答中熟記不等式的基本性質(zhì)，以及合理應(yīng)用冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.在單調(diào)遞增 D.的最小值為【答案】ABD【解析】分析】由正弦函數(shù)的周期公式可判斷A；代入得函數(shù)有最小值，可判斷B；由得，可判斷C；根據(jù)三角恒等變換可判斷D.【詳解】∵的周期為，故A正確；∵時(shí)，，此時(shí)有最小值，圖象關(guān)于對(duì)稱，B正確；∵時(shí)，，∴在上不單調(diào)，C錯(cuò)誤；∵，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性、以及最值，屬于基礎(chǔ)題.11.朱世杰是元代著名數(shù)學(xué)家，他所著的《算學(xué)啟蒙》是一部在中國乃至世界最早的科學(xué)普及著作.《算學(xué)啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題，主要利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.現(xiàn)有100根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問題，將它們?nèi)慷逊懦煽v斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2，且從最下面一層開始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應(yīng)堆放的層數(shù)可以是()A.4 B.5 C.7 D.8【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)即第一層的根數(shù)為，公差即每一層比上一層多的根數(shù)為，設(shè)一共放層，利用等差數(shù)列求和公式，分析即可得解.【詳解】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)即第一層的根數(shù)為，公差為，設(shè)一共放層，則總得根數(shù)為：整理得，因?yàn)?，所以?00的因數(shù)，且為偶數(shù)，驗(yàn)證可知滿足題意.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列的求和公式，解題的關(guān)鍵是分析題意，把題目信息轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，考查學(xué)生的邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12.在正方體中，，，分別為，，的中點(diǎn)，則()A.B.平面C.異面直線與所成角的余弦值為D.點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的2倍【答案】BCD【解析】【分析】由，與不垂直，由此可判斷A；取的中點(diǎn)，連接，，由條件可知：，，根據(jù)線面平行的判定和面面平行的判定和性質(zhì)可判斷B；異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，求解三角形可判斷C；連接，與交于(也是與平面的交點(diǎn))，連接，設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離分別為，，由平面幾何的性質(zhì)可判斷D.【詳解】由于，而與不垂直，因此異面直線與不能垂直，則A錯(cuò)誤；取的中點(diǎn)，連接，，由條件可知：，，所以平面，平面，又，，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面，則B正確；異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，設(shè)正方體的棱長為2，則，，由余弦定理知，則C正確；對(duì)于D，連接，與交于(也是與平面的交點(diǎn))，連接，設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離分別為，，則，所以點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的2倍，則D正確.故選：BCD．【點(diǎn)睛】本題考查空間中的線線垂直的判斷，線面平行，面面平行的判定和性質(zhì)，以及異面直線所成的角，點(diǎn)到面的距離，屬于中檔題．三?填空題13.在中，，，則的大小為______.【答案】【解析】【分析】先求得，然后判斷三角形是等邊三角形，由此求得.【詳解】由題意，得.因?yàn)?，所以為正三角形，從?【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量坐標(biāo)、模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.14.已知，，且，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】由已知條件得出，再將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.因此，的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用的應(yīng)用求代數(shù)式的最值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，穩(wěn)坐于永樂橋之上的“天津之眼”作為世界上唯一一座建在橋上的摩天輪，其巧奪天工和奇思妙想確是當(dāng)之無愧的“世界第一”.如圖，永樂橋摩天輪的直徑為，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，距離地面的高度為，能看到方圓以內(nèi)的景致，是名副其實(shí)的“天津之眼”.實(shí)際上，單從高度角度來看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的倫敦之眼而躍居世界第一.永樂橋摩天輪設(shè)置有48個(gè)座艙，開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周大約需要.游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)到后距離地面的高度為，則轉(zhuǎn)到后距離地面的高度為______，在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，關(guān)于的函數(shù)解析式為______.

【答案】(1).(2).，.【解析】分析】借助三角函數(shù)模型，設(shè)，以軸心為原點(diǎn)，與地面平行的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，由直徑求出，初始位置求出，角速度求出，直徑和最高點(diǎn)離地高度求出，即可求解【詳解】如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點(diǎn)，以軸心為原點(diǎn)，與地面平行的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)時(shí)，游客甲位于點(diǎn)，以為終邊的角為；根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要，可知座艙轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度約為，由題意可得，.當(dāng)時(shí)，.故答案：；，【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)模型在實(shí)際生活生的應(yīng)用，屬于中檔題16.已知經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，且，則的面積為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)直線，聯(lián)立，由，利用韋達(dá)定理求得，然后再求得點(diǎn)到的距離及弦長求解.【詳解】設(shè)直線，設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立，得，則，，則，.由題意知，所以，展開并代入化簡得，所以，所以的方程為，點(diǎn)到的距離為，，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系研究三角形面積問題，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.四?解答題17.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并進(jìn)行解答.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，______，求的面積.【答案】條件選擇見解析，面積為【解析】分析】選擇條件①：由正弦定理可得，結(jié)合三角恒等變換可得，再由三角形面積公式即可得解；選擇條件②：由正弦定理得，再由余弦定理可得，結(jié)合三角形面積公式即可得解；選擇條件③：由正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，進(jìn)而可得，再由三角形面積公式即可得解.【詳解】選擇條件①：因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以，，所以；選擇條件②：因?yàn)?，所以，即，所以，，因?yàn)椋?，所以；選擇條件③：因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，所?【點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵是利用正弦定理、余弦定理對(duì)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求得角度后再由三角形面積公式即可得解.18.已知等比數(shù)列的公比大于1，且滿足，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)設(shè)的公比為，依題意得到方程組，解得即可；(2)由(1)知，所以，從而，再利用錯(cuò)位相減法求和即可；【詳解】解：(1)設(shè)的公比為，因?yàn)?，所以，兩式相除，得，整理得，結(jié)合，解得，所以，所以.(2)由(1)知，所以，從而，所以，①兩邊同乘以3，得，②由①-②，得，所以.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題.19.已知函數(shù)在處有極值.(1)求的值，并判斷是的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)？(2)若不等式對(duì)于任意的恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)，是的極大值點(diǎn)；(2).【解析】分析】(1)由可得，然后，可判斷出答案；(2)條件轉(zhuǎn)化為對(duì)于一切恒成立，記，然后利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可.【詳解】(1)由，得，由題意，得，即，解得.當(dāng)時(shí)，，由，得，結(jié)合，解得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴是的極大值點(diǎn).(2)本題等價(jià)于對(duì)于一切恒成立.記，則，.由，得，所以，即，∴.從而在上是減函數(shù)，∴，故【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：(1)若恒成立，則；(2)若恒成立，則.20.如圖，在梯形中，，，平面，四邊形為矩形，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且，.(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】(1)依題意可得、，即可得到平面，即平面，再根面面垂直的判定定理即可得證；(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線，，為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值；【詳解】(1)證明：在梯形中，，，，所以，，又，所以，所以，所以，所以.又平面，平面，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，即平?又平面，則平面平面.(2)解：由(1)知，，兩兩垂直，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線，，為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，，所以，所以，，，所以?設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由，得，解得，取，則.因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，所以.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明，空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，考查空間想象能力及計(jì)算能力，屬于中檔題.21.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，且，設(shè)是上一點(diǎn)，且，.(1)求橢圓的方程；(2)若不與軸垂直的直線過點(diǎn)，交橢圓于，兩點(diǎn)，試判斷在軸的負(fù)半軸上是否存在一點(diǎn)，使得直線與斜率之積為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)；(2)存在，定點(diǎn).【解析】【分析】(1)由，求得，根據(jù)橢圓的定義求得，結(jié)合，求得，，即可得到橢圓的方程；(2)設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，求得，結(jié)合斜率公式化簡，得到當(dāng)時(shí)，為定值.【詳解】(1)設(shè)橢圓的焦距為，則，可得，由橢圓的定義，得，可得，所以，即，又由和，解得，，所以橢圓的方程為.(2)由已知直線過點(diǎn)，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，消去并整理得，設(shè)，，則，所以，.又直線與斜率分別為，，則.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，.所以在負(fù)半軸上存在定點(diǎn)，使得直線與斜率之積為定值.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、及直