2025年高考數(shù)學復習(新高考專用)重難點03指、對、冪數(shù)比較大小問題【八大題型】特訓(學生版+解析)

重難點03指、對、冪數(shù)的大小比較問題【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用函數(shù)的性質比較大小】 2【題型2中間值法比較大小】 2【題型3特殊值法比較大小】 3【題型4作差法、作商法比較大小】 3【題型5構造函數(shù)法比較大小】 3【題型6數(shù)形結合比較大小】 4【題型7含變量問題比較大小】 4【題型8放縮法比較大小】 51、指、對、冪數(shù)的大小比較問題指數(shù)與對數(shù)是高中一個重要的知識點，也是高考必考考點，從近幾年的高考情況來看，指、對、冪數(shù)的大小比較是高考重點考查的內容之一，是高考的熱點問題，主要考查指數(shù)、對數(shù)的互化、運算性質，以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質，一般以選擇題或填空題的形式考查.這類問題的主要解法是利用函數(shù)的性質與圖象來求解，解題時要學會靈活的構造函數(shù).【知識點1指、對、冪數(shù)比較大小的一般方法】1.單調性法：當兩個數(shù)都是指數(shù)冪或對數(shù)式時，可將其看成某個指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)的函數(shù)值，然后利用該函數(shù)的單調性比較，具體情況如下：①底數(shù)相同，指數(shù)不同時，如和，利用指數(shù)函數(shù)的單調性；②指數(shù)相同，底數(shù)不同時，如和，利用冪函數(shù)單調性比較大??；③底數(shù)相同，真數(shù)不同時，如和，利用指數(shù)函數(shù)單調性比較大小.2.中間值法：當?shù)讛?shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同時，要比較多個數(shù)的大小，就需要尋找中間變量0、1或者其它能判斷大小關系的中間量，然后再各部分內再利用函數(shù)的性質比較大小，借助中間量進行大小關系的判定．3.作差法、作商法：(1)一般情況下，作差或者作商，可處理底數(shù)不一樣的對數(shù)比大小；(2)作差或作商的難點在于后續(xù)變形處理，注意此處的常見技巧與方法.4.估算法：(1)估算要比較大小的兩個值所在的大致區(qū)間；(2)可以對區(qū)間使用二分法(或利用指對轉化)尋找合適的中間值，借助中間值比較大小.5.構造函數(shù)法：構造函數(shù)，觀察總結“同構”規(guī)律，很多時候三個數(shù)比較大小，可能某一個數(shù)會被可以的隱藏了“同構”規(guī)律，所以可能優(yōu)先從結構最接近的的兩個數(shù)來尋找規(guī)律，靈活的構造函數(shù)來比較大小.6、放縮法：(1)對數(shù)，利用單調性，放縮底數(shù)，或者放縮真數(shù)；(2)指數(shù)和冪函數(shù)結合來放縮；(3)利用均值不等式的不等關系進行放縮.【題型1利用函數(shù)的性質比較大小】【例1】（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知a=30.3，b=0.33，c=log0.33，則a，b，c的大小關系是（

）A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【變式1-1】（2024·四川自貢·三模）已知a=log213，b=1.20.2，c=0.52.1，則A．a<c<b B．c<a<b C．c<b<a D．a<b<c【變式1-2】（2024·貴州貴陽·三模）已知a=40.3,b=A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b【變式1-3】（2024·山東泰安·模擬預測）已知a=log0.20.3，b=lna，c=2A．c>b>a B．a>b>c C．b>a>c D．c>a>b【題型2中間值法比較大小】【例2】（23-24高三上·天津南開·階段練習）已知a=e0.1，b=1?2lg2，c=2?log310，則aA．b>c>a B．a>b>c C．a>c>b D．b>a>c【變式2-1】（2024·陜西銅川·模擬預測）已知a=1e?A．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．a<c<b【變式2-2】（2024·山東濰坊·二模）已知a=e?1，b=lga，A．b<a<c B．b<c<aC．a<b<c D．c<b<a【變式2-3】（2024·天津北辰·三模）已知a=0.53.1，b=log0.90.3，c=log131A．c<b<a B．c<a<b C．b<a<c D．a<c<b【題型3特殊值法比較大小】【例3】（2024·陜西商洛·模擬預測）設a=log0.50.6，b=0.49?0.3，c=0.6?0.6，則aA．c>b>a B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b【變式3-1】（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知實數(shù)a,b,c滿足2a+a=2，2b+b=5A．c<a<b B．a<b<c C．a<c<b D．b<c<a【變式3-2】（2024·寧夏銀川·二模）若a=log1314，b=(1A．a>b>d>c B．a>b>c>d C．b>d>a>c D．a>d>b>c【變式3-3】（2024·天津和平·一模）設13a=2,b=A．a<b<c B．a<c<bC．b<c<a D．b<a<c【題型4作差法、作商法比較大小】【例4】（2023·四川成都·一模）若a=3?14，b=32?13，c=A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a【變式4-1】（2023·貴州六盤水·模擬預測）若a=ln22，b=ln3A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b【變式4-2】（2024·四川成都·二模）若a=ln26,b=4ln2?A．c<a<b B．a<b<c C．c<b<a D．b<a<c【變式4-3】（2024·全國·模擬預測）若a=20.4,b=30.25A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a 【題型5構造函數(shù)法比較大小】【例5】（2024·全國·模擬預測）已知a=ln72，b=ln7×A．b<c<a B．b<a<c C．a<b<c D．a<c<b【變式5-1】（2024·全國·模擬預測）設a=514，b=54，c=log45，則A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a【變式5-2】（2024·天津和平·一模）已知a=log0.20.3,b=log0.3A．b<c<a B．c<b<aC．a<b<c D．a<c<b【變式5-3】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知實數(shù)a,b,c滿足a2+logA．a<b<c B．c<a<bC．b<c<a D．c<b<a【題型6數(shù)形結合比較大小】【例6】（2024·河南·模擬預測）已知a=lnπ,b=log3π,c=A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a【變式6-1】（2023·江西贛州·二模）若log3x=logA．3x<4y<5z B．4y<3x<5z C．4y<5z<3x D．5z<4y<3x【變式6-2】（2024·全國·模擬預測）已知a=12a,1A．a<b<c B．a<c<bC．c<b<a D．c<a<b【變式6-3】（2024·廣東茂名·統(tǒng)考一模）已知x,y,z均為大于0的實數(shù)，且2x=3y=A．x>y>z B．x>z>yC．z>x>y D．z>y>x【題型7含變量問題比較大小】【例7】（23-24高三上·天津濱海新·階段練習）設a?b?c都是正數(shù)，且A．c<b<a B．ab+bc=ac C．4b?9【變式7-1】（2024·江西·模擬預測）若aea=bA．a<b B．a=b C．a>b D．無法確定【變式7-2】（2023·全國·模擬預測）已知a,b,c均為不等于1的正實數(shù)，且lnc=alnb,lna=bA．c>a>b B．b>c>aC．a>b>c D．a>c>b【變式7-3】（2024·全國·模擬預測）已知正實數(shù)a，b，c滿足ec+e?2a=ea+e?c，b=logA．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a【題型8放縮法比較大小】【例8】（2024·陜西西安·模擬預測）若a=0.311.5,b=A．a>b>c B．b>a>dC．c>a>b D．b>c>a【變式8-1】（2023·河南鄭州·模擬預測）已知a=log35，b=213A．a>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．c>a>b【變式8-2】（2023上·安徽·高二校聯(lián)考階段練習）已知a=19?17A．a<b<c B．b<c<aC．b<a<c D．c<a<b【變式8-3】（2024·全國·模擬預測）已知a=log8.14，b=log3.1A．a<c<b B．a<b<cC．c<a<b D．b<c<a一、單選題1．（2024·全國·模擬預測）設a=log62，b=log12A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．a<c<b2．（2024·安徽宿州·一模）已知3m=4，a=2m?3A．a>0>b B．b>0>a C．a>b>0 D．b>a>03．（2024·貴州畢節(jié)·一模）已知a=3log83，b=?12log1316，c=A．a>b>c B．c>a>bC．b>c>a D．b>a>c4．（2023·內蒙古赤峰·模擬預測）設a=320.7，b=23A．c<b<a B．a<b<c C．c<a<b D．a<c<b5．（2024·云南昆明·模擬預測）已知a=e13，b=ln2，c=A．a>c>b B．a>b>c C．b>c>a D．c>b>a6．（2024·陜西寶雞·一模）已知實數(shù)a,b,c滿足e2a2=A．a>b>c B．a<b<cC．b>a>c D．c>a>b7．（2023·湖南永州·一模）已知a=log3πA．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．a<c<b8．（2023·陜西西安·一模）已知函數(shù)f(x)=?2x，若2a=logA．f(b)<f(c)<f(a) B．f(a)<f(b)<f(c)C．f(a)<f(c)<f(b) D．f(c)<f(b)<f(a)二、多選題9．（2024·河南洛陽·模擬預測）下列正確的是（

）A．2?0.01>2C．log1.85<log10．（2024·重慶·模擬預測）若b>c>1，0<a<1，則下列結論正確的是（

）A．ba<cC．cba<b11．（2024·重慶·一模）已知3a=5A．lga>lgbC．12a>三、填空題12．（2023·北京昌平·二模）3?2,213．（2024·北京通州·三模）已知a=2?1.1，b=log1414．（2023·吉林長春·模擬預測）已知a=log3322，b=22?33，四、解答題15．（23-24高一·全國·隨堂練習）已知x=lnπ，y=log5(1)比較x，y的大??；(2)比較y，z的大?。?6．（23-24高三·全國·對口高考）（1）比較aabb（2）已知a>2，比較log(a?1)a與17．（23-24高一·湖南·課后作業(yè)）比較a，b，c的大小：(1)已知1<x<2，a=log2x2，(2)已知a=log36，b=18．（23-24高一上·廣東江門·階段練習）已知正實數(shù)x，y，z滿足3x（1）求證：1z（2）比較3x,4y,6z的大?。?9．（23-24高一上·廣東廣州·階段練習）已知函數(shù)f(x)=(1)判斷并證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞(2)已知a=f20.5,b=flog25,c=f重難點03指、對、冪數(shù)的大小比較問題【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用函數(shù)的性質比較大小】 2【題型2中間值法比較大小】 3【題型3特殊值法比較大小】 4【題型4作差法、作商法比較大小】 6【題型5構造函數(shù)法比較大小】 7【題型6數(shù)形結合比較大小】 9【題型7含變量問題比較大小】 12【題型8放縮法比較大小】 141、指、對、冪數(shù)的大小比較問題指數(shù)與對數(shù)是高中一個重要的知識點，也是高考必考考點，從近幾年的高考情況來看，指、對、冪數(shù)的大小比較是高考重點考查的內容之一，是高考的熱點問題，主要考查指數(shù)、對數(shù)的互化、運算性質，以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質，一般以選擇題或填空題的形式考查.這類問題的主要解法是利用函數(shù)的性質與圖象來求解，解題時要學會靈活的構造函數(shù).【知識點1指、對、冪數(shù)比較大小的一般方法】1.單調性法：當兩個數(shù)都是指數(shù)冪或對數(shù)式時，可將其看成某個指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)的函數(shù)值，然后利用該函數(shù)的單調性比較，具體情況如下：①底數(shù)相同，指數(shù)不同時，如和，利用指數(shù)函數(shù)的單調性；②指數(shù)相同，底數(shù)不同時，如和，利用冪函數(shù)單調性比較大小；③底數(shù)相同，真數(shù)不同時，如和，利用指數(shù)函數(shù)單調性比較大小.2.中間值法：當?shù)讛?shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同時，要比較多個數(shù)的大小，就需要尋找中間變量0、1或者其它能判斷大小關系的中間量，然后再各部分內再利用函數(shù)的性質比較大小，借助中間量進行大小關系的判定．3.作差法、作商法：(1)一般情況下，作差或者作商，可處理底數(shù)不一樣的對數(shù)比大?。?2)作差或作商的難點在于后續(xù)變形處理，注意此處的常見技巧與方法.4.估算法：(1)估算要比較大小的兩個值所在的大致區(qū)間；(2)可以對區(qū)間使用二分法(或利用指對轉化)尋找合適的中間值，借助中間值比較大小.5.構造函數(shù)法：構造函數(shù)，觀察總結“同構”規(guī)律，很多時候三個數(shù)比較大小，可能某一個數(shù)會被可以的隱藏了“同構”規(guī)律，所以可能優(yōu)先從結構最接近的的兩個數(shù)來尋找規(guī)律，靈活的構造函數(shù)來比較大小.6、放縮法：(1)對數(shù)，利用單調性，放縮底數(shù)，或者放縮真數(shù)；(2)指數(shù)和冪函數(shù)結合來放縮；(3)利用均值不等式的不等關系進行放縮.【題型1利用函數(shù)的性質比較大小】【例1】（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知a=30.3，b=0.33，c=log0.33，則aA．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性可得答案.【解答過程】a=30.3>c=log0.33<故選：A.【變式1-1】（2024·四川自貢·三模）已知a=log213，b=1.20.2，c=0.52.1，則A．a<c<b B．c<a<b C．c<b<a D．a<b<c【解題思路】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調性即可判斷.【解答過程】因為y=log2x所以a=log21因為y=1.2x為增函數(shù)，故b=1.2因為y=0.5x為減函數(shù)，故0<0.5綜上a<c<b.故選：A.【變式1-2】（2024·貴州貴陽·三模）已知a=40.3,b=A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)單調性得到a>1，利用指對運算和指數(shù)函數(shù)單調性得到0<b<1，利用對數(shù)函數(shù)單調性得到c<0，則比較出大小.【解答過程】因為a=40.3>40c=log所以a>b>c，故選：A.【變式1-3】（2024·山東泰安·模擬預測）已知a=log0.20.3，b=lna，c=2A．c>b>a B．a>b>c C．b>a>c D．c>a>b【解題思路】利用對數(shù)函數(shù)的單調性求得a,b的范圍，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性得c的范圍，即可比較大小.【解答過程】因為y=log0.2x在(0,+∞)因為y=lnx在(0,+∞)上單調遞增，所以因為y=2x在R上單調遞增，所以2a綜上，c>a>b.故選：D.【題型2中間值法比較大小】【例2】（23-24高三上·天津南開·階段練習）已知a=e0.1，b=1?2lg2，c=2?log310，則aA．b>c>a B．a>b>c C．a>c>b D．b>a>c【解題思路】根據(jù)指、對數(shù)函數(shù)單調性，結合中間值0，1，分析判斷即可.【解答過程】由題意可得：a=eb=1?2lg2=1?lg4，且因為log310>log故選：B.【變式2-1】（2024·陜西銅川·模擬預測）已知a=1e?A．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．a<c<b【解題思路】取兩個中間值1和32，由a=e>32【解答過程】a=1e?12因此b<c<a．故選：C．【變式2-2】（2024·山東濰坊·二模）已知a=e?1，b=lga，A．b<a<c B．b<c<aC．a<b<c D．c<b<a【解題思路】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調性并結合中間量0和1即可比較大小.【解答過程】a=e?1∈(0,1)，b=所以b<a<c，故選：A.【變式2-3】（2024·天津北辰·三模）已知a=0.53.1，b=log0.90.3，c=log131A．c<b<a B．c<a<b C．b<a<c D．a<c<b【解題思路】根據(jù)指、對數(shù)函數(shù)單調性，結合中間值“12【解答過程】因為y=0.5x在R上單調遞減，則0.53.1又因為y=log0.9x在0,+∞上單調遞減，則可得c=log1312則12=log綜上所述：a<c<b.故選：D.【題型3特殊值法比較大小】【例3】（2024·陜西商洛·模擬預測）設a=log0.50.6，b=0.49?0.3，c=0.6?0.6，則aA．c>b>a B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b【解題思路】利用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性，結合特殊值判定即可.【解答過程】因為y=log0.5x在0,+∞上單調遞減，所以因為y=x0.6在0,+∞上單調遞增，又0.49又53>107>1，所以5故選：A.【變式3-1】（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知實數(shù)a,b,c滿足2a+a=2，2b+b=5A．c<a<b B．a<b<c C．a<c<b D．b<c<a【解題思路】由對數(shù)函數(shù)單調性得c<12，構造函數(shù)f(x)=2【解答過程】由對數(shù)函數(shù)單調性得，c=log構造函數(shù)f(x)=2x+x,x∈R因為y=2x和y=x單調遞增，所以因為2<5，即f(a)<f(b)，所以a<b又f(12)=21所以c<a<b，故選：A．【變式3-2】（2024·寧夏銀川·二模）若a=log1314，b=(1A．a>b>d>c B．a>b>c>d C．b>d>a>c D．a>d>b>c【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性判斷即可.【解答過程】因為a=log13log3所以a>b>d>c.故選：A．【變式3-3】（2024·天津和平·一模）設13a=2,b=A．a<b<c B．a<c<bC．b<c<a D．b<a<c【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質，借助特殊值0，可得a最小，再利用b3>c【解答過程】由13a=2b=log12下面比較b,c，因為32>2所以b=log而c3=323綜上，b>c>a.故選：B.【題型4作差法、作商法比較大小】【例4】（2023·四川成都·一模）若a=3?14，b=32?13，c=A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a【解題思路】先根據(jù)指對函數(shù)的單調性可得0<a<1，0<b<1，c>1，再作商比較a,b的大小，從而可求解.【解答過程】因為0<a=3?1令ab=3?143又因為c=log12故選：D.【變式4-1】（2023·貴州六盤水·模擬預測）若a=ln22，b=ln3A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b【解題思路】利用作差法，再結合對數(shù)函數(shù)y=lnx的單調性分別判斷a,b和a,c的大小關系，即可判斷出【解答過程】因為b?a=ln33又因為c?a=ln55綜上所述：c<a<b.故選：C.【變式4-2】（2024·四川成都·二模）若a=ln26,b=4ln2?A．c<a<b B．a<b<c C．c<b<a D．b<a<c【解題思路】作差法比較a,b的大小，利用對數(shù)的性質比較a,c的大小.【解答過程】a=ln2因為ln2+ln3<lne+a=ln26=則a?b=ln2+ln所以b<a<c.故選：D.【變式4-3】（2024·全國·模擬預測）若a=20.4,b=30.25A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a 【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)的單調性以及對數(shù)函數(shù)單調性可判斷a,c范圍，比較它們的大?。焕米魃谭ū容^a,b的大小，即可得答案.【解答過程】因為函數(shù)y=2x在R上單調遞增，所以又ab=2因為0.52=0.25<0.343，故0.5<0.343所以log0.70.5>log所以實數(shù)a,b,c的大小關系為b<a<c，故選：B．【題型5構造函數(shù)法比較大小】【例5】（2024·全國·模擬預測）已知a=ln72，b=ln7×A．b<c<a B．b<a<c C．a<b<c D．a<c<b【解題思路】根據(jù)0<ln2<1得到c的值最大，然后構造函數(shù)fx=1?ln2【解答過程】因為0<ln2<1，所以a=ln7?ln2<ln下面比較a，b的大?。畼嬙旌瘮?shù)fx顯然fx在0,+因為f8=ln8?ln2?ln故選：C．【變式5-1】（2024·全國·模擬預測）設a=514，b=54，c=log45，則A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a【解題思路】利用常見函數(shù)的單調性比較大小即可.【解答過程】先比較a和b，構造函數(shù)y=x4在上∵5144=5>625又∵4b=5，4c=4log45=∴4c=log45∴a>b>c.故選：A.【變式5-2】（2024·天津和平·一模）已知a=log0.20.3,b=log0.3A．b<c<a B．c<b<aC．a<b<c D．a<c<b【解題思路】利用對數(shù)函數(shù)的單調性結合二次函數(shù)的性質即得．【解答過程】∵0<a=log0.20.3<1，b=又bc因為函數(shù)fx=x2?x=x?1所以flg3<flg2<0，所以∴b<c，即a<b<c．故選：C．【變式5-3】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知實數(shù)a,b,c滿足a2+logA．a<b<c B．c<a<bC．b<c<a D．c<b<a【解題思路】利用構造函數(shù)法，結合函數(shù)的單調性確定正確答案.【解答過程】設f(x)=x2+log2又f12=?設g(x)=12023x?log又g(1)=12023>0,g(2023)=12023因為c=log76綜上可知，c<a<b.故選：B.【題型6數(shù)形結合比較大小】【例6】（2024·河南·模擬預測）已知a=lnπ,b=log3π,c=A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a【解題思路】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的性質求解.【解答過程】∵e<3<π，∴a=log∵a=ln下面比較π2與?2π的大小，構造函數(shù)y=由指數(shù)函數(shù)y=2x與冪函數(shù)

當x∈(0,2)時，x2<2x由x=π∈(0,2)，故π2?<所以b<a<c，故選：A.【變式6-1】（2023·江西贛州·二模）若log3x=logA．3x<4y<5z B．4y<3x<5z C．4y<5z<3x D．5z<4y<3x【解題思路】設log3x=log【解答過程】令log3x=log3x=3m+1,4y=在同一坐標系內畫出y=3故5故選：D.【變式6-2】（2024·全國·模擬預測）已知a=12a,1A．a<b<c B．a<c<bC．c<b<a D．c<a<b【解題思路】由函數(shù)單調性，零點存在性定理及畫出函數(shù)圖象，得到a,b,c∈0,1，得到logab<1=loga【解答過程】令fx又f0由零點存在性定理得a∈0,1則y=logax畫出y1=1

可以得到b∈0,1又y2=ax在R上單調遞減，畫出

可以看出c∈0,1因為12b<12因為a,c∈0,1，故a由ac=log綜上，c<a<b．故選：D．【變式6-3】（2024·廣東茂名·統(tǒng)考一模）已知x,y,z均為大于0的實數(shù)，且2x=3y=A．x>y>z B．x>z>yC．z>x>y D．z>y>x【解題思路】根據(jù)題意，將問題轉化為函數(shù)y=2x,y=【解答過程】解：因為x,y,z均為大于0的實數(shù)，所以2x進而將問題轉化為函數(shù)y=2x,y=故作出函數(shù)圖像，如圖，由圖可知z>x>y故選：C.【題型7含變量問題比較大小】【例7】（23-24高三上·天津濱海新·階段練習）設a?b?c都是正數(shù)，且A．c<b<a B．ab+bc=ac C．4b?9【解題思路】首先根據(jù)指對運算，利用對數(shù)表示a,b,c，再利用換底公式和對數(shù)運算，判斷選項.【解答過程】設4a=6b=9cA.由對數(shù)函數(shù)的單調性可知，0<logk4<B.ba+c=2C.4aD.1a+1故選：B.【變式7-1】（2024·江西·模擬預測）若aea=bA．a<b B．a=b C．a>b D．無法確定【解題思路】令aea=b【解答過程】因為a>0，所以ae因為ae所以blnb>0，可得令aea=b所以ea設f(x)=ex，g(x)=ln作出它們的圖象如圖：由圖可知a<b.故選項A正確.故選：A.【變式7-2】（2023·全國·模擬預測）已知a,b,c均為不等于1的正實數(shù)，且lnc=alnb,lna=bA．c>a>b B．b>c>aC．a>b>c D．a>c>b【解題思路】分析可知，lna、lnb、lnc同號，分a、b、c∈0,1和a、b、c∈1,+∞兩種情況討論，結合對數(shù)函數(shù)的單調性可得出【解答過程】∵lnc=alnb,lna=blnc且則lnc與lnb同號，lnc與lna同號，從而lna①若a、b、c∈0,1，則lna、lnblna=blnc>lnc，可得a>c，ln②若a、b、c∈1,+∞，則lna、lnlna=blnc>lnc，可得a>c，ln綜上所述，a>c>b.故選：D.【變式7-3】（2024·全國·模擬預測）已知正實數(shù)a，b，c滿足ec+e?2a=ea+e?c，b=logA．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a【解題思路】根據(jù)ec+e?2a=ea+e?c可得ec?e?c=ea?e?2a，由此可構造函數(shù)fx=ex?【解答過程】ec故令fx=ex?易知y=?e?x=?1ex和y=e∵e?2a<e?a，故由題可知，ec易知b=log23+作出函數(shù)y=log2x則兩圖象交點橫坐標在1,2內，即1<c<2，∴c<b，∴a<c<b．故選：B．【題型8放縮法比較大小】【例8】（2024·陜西西安·模擬預測）若a=0.311.5,b=A．a>b>c B．b>a>dC．c>a>b D．b>c>a【解題思路】由題意首先得0<a<1,d=3?23<0【解答過程】a=0.311.5<b=log又因為log3所以b<c，即d<a<b<c.故選：B.【變式8-1】（2023·河南鄭州·模擬預測）已知a=log35，b=213A．a>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．c>a>b【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質及基本不等式判斷即可.【解答過程】因為a=log34=812561c=3log所以c>b>a.故選：B.【變式8-2】（2023上·安徽·高二校聯(lián)考階段練習）已知a=19?17A．a<b<c B．b<c<aC．b<a<c D．c<a<b【解題思路】采用放縮法和中間值比較大小，得到a<b<c.【解答過程】因為a=19b=6?3c=log所以a<b<c.故選：A.【變式8-3】（2024·全國·模擬預測）已知a=log8.14，b=log3.1A．a<c<b B．a<b<cC．c<a<b D．b<c<a【解題思路】先證明b>0,c>0，利用比商法結合基本不等式證明c<b，再根據(jù)對數(shù)運算性質，結合對數(shù)函數(shù)性質證明a<c即可得結論.【解答過程】因為b=log3.1e所以cb又e2≈7.389，所以6.51<所以cb<1，故因為a=log又e2≈7.389，所以8.1>e所以a<ln2，又所以a<c，所以a<c<b，故選：A.一、單選題1．（2024·全國·模擬預測）設a=log62，b=log12A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．a<c<b【解題思路】取到數(shù)計算得1b=1+2lg2lg3，1c=1+【解答過程】∵1b=log∴1b∴1b<1c，又b>0，∵1c=1+log∵1a=log∴a<c.∴a<c<b.故選：D.2．（2024·安徽宿州·一模）已知3m=4，a=2m?3A．a>0>b B．b>0>a C．a>b>0 D．b>a>0【解題思路】由作差法，結合對數(shù)換底公式、對數(shù)運算性質、基本不等式比較得log2【解答過程】由3mlog2log3∴l(xiāng)og2∴b=4m?5>∴b>0>a.故選：B.3．（2024·貴州畢節(jié)·一模）已知a=3log83，b=?12log1316，c=A．a>b>c B．c>a>bC．b>c>a D．b>a>c【解題思路】利用對數(shù)的運算性質以及對數(shù)函數(shù)的單調性化簡a,b,c，并判斷范圍，采用作差法結合基本不等式可判斷a>b，即可得答案.【解答過程】由題意可得a=3logb=?12log又log2由于lg2>0,故log2綜合可得a>b>c，故選：A.4．（2023·內蒙古赤峰·模擬預測）設a=320.7，b=23A．c<b<a B．a<b<c C．c<a<b D．a<c<b【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調性，找出中間值0,1，讓其和a,b,c進行比較，從而得出結果.【解答過程】由指數(shù)函數(shù)的單調性和值域，y=32x在R由y=23x的值域，且在R根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調性，y=log3x在(0,+∞)上單調遞增，故log34>log3故選：A.5．（2024·云南昆明·模擬預測）已知a=e13，b=ln2，c=A．a>c>b B．a>b>c C．b>c>a D．c>b>a【解題思路】引入中間變量1，再利用作差法比較b,c的大小，即可得答案；【解答過程】∵a=e13>∴a最大，∵b?c=ln2?log32=∴a>b>c，故選：B.6．（2024·陜西寶雞·一模）已知實數(shù)a,b,c滿足e2a2=A．a>b>c B．a<b<cC．b>a>c D．c>a>b【解題思路】先應用指對數(shù)轉換求出a,b,c,再轉化成整數(shù)冪比較即可.【解答過程】因為e2a2=即得2a=ln4,3b=ln因為y=lnx是0,+∞上的增函數(shù),比較2,2,36,510同時取15次冪,因為冪函數(shù)y=因為215=524288,即2>510>故選：A.7．（2023·湖南永州·一模）已知a=log3πA．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．a<c<b【解題思路】先利用對數(shù)函數(shù)單調性求出a∈1,1.5，從而確定b>2，c∈1,2，作差法判斷出【解答過程】a=log因為332=所以a∈1,1.5log3π?1∈2?log3π令a?c=所以a<c<b.故選：D.8．（2023·陜西西安·一模）已知函數(shù)f(x)=?2x，若2a=logA．f(b)<f(c)<f(a) B．f(a)<f(b)<f(c)C．f(a)<f(c)<f(b) D．f(c)<f(b)<f(a)【解題思路】在同一坐標系中作y=c,y=2x,y=log2【解答過程】f(x)=?2x在R上單調遞減，在同一坐標系中作y=c,y=2所以a<c<b，故f(b)<f(c)<f(a)，故選：A.二、多選題9．（2024·河南洛陽·模擬預測）下列正確的是（

）A．2?0.01>2C．log1.85<log【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)的性質判斷A；由對數(shù)函數(shù)的性質判斷B，C；由對數(shù)函數(shù)的性質可得log33.01>1，由指數(shù)函數(shù)的性質可得【解答過程】解：對于A，因為?0.01<?0.001，所以2?0.01<2對于B，因為log23>對于C，因為log1.85>0,log對于D，因為log33.01>log故選：BCD．10．（2024·重慶·模擬預測）若b>c>1，0<a<1，則下列結論正確的是（

）A．ba<cC．cba<b【解題思路】由已知可得，由冪函數(shù)性質可判斷A;由對數(shù)函數(shù)性質可判斷B;由冪函數(shù)性質可判斷C;

由不等式的性質可判斷D.【解答過程】對于A：∵0<a<1，冪函數(shù)y=xa在且b>c>1，∴ba對于B：∵0<a<1，∴函數(shù)y=logax又∵b>c>1，∴l(xiāng)oga∴0>1logb對于選項C：∵0<a<1，則a?1<0，∵冪函數(shù)y=xa?1在且b>c>1，∴ba?1<c對于選項D：由選項B可知：0>logba>∵b>c>1，∴c(?logba)<b(?故選：BC.11．（2024·重慶·一模）已知3a=5A．lga>lgbC．12a>【解題思路】根據(jù)指對互化與運算以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調性即可判斷ABC，利用基本不等式即可判斷D.【解答過程】由題意得a=log315>0<1a=log153，對A，根據(jù)對數(shù)函數(shù)y=lgx在0,+∞對B，因為1a+1b=對C，因為a>b>0，根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=12x在R對D，因為a>b>0，1aa+b=a+b當且僅當a=b時等號成立，而顯然a≠b，則a+b>4，故D正確；故選：ABD.三、填空題12．（2023·北京