數(shù)學-安徽省合肥市普通高中六校聯(lián)盟2024-2025學年第二學期高三年級階段性檢測試題和答案

高三年級階段性檢測數(shù)學試卷（考試時間：120分鐘滿分：150分）命題學校：合肥十中命題教師：李斌審題教師：何衛(wèi)星注意事項：1.答卷前，務(wù)必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡和試卷上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，務(wù)必擦凈后再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合，則A∩B=()2.已知復數(shù)z滿足(i?2)z=5，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.若cos，則sin2α=()B.C.?D.4.2025年春節(jié)檔賀歲片《哪吒之魔童鬧?！?、《唐探1900》、《封神第二部：戰(zhàn)火西岐》異?；鸨?，甲、乙等5人去觀看這三部電影，每人只觀看其中一部，甲、乙不觀看同一部電影，則選擇觀看的方法有())EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up3(1),2)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up3(→),a)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up11(A),5)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up11(243種),已知向)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up11(6),2))EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up3(1),2)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up3(→),a)6.已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為sn，，a1=2，s4=10s2，設(shè)Tn=λ+an，若Tn為某一等比數(shù)列的前n項和，則實數(shù)λ的值為()A.B.?C.2D.?27.已知某圓臺的上、下底面半徑分別為r1，r2，且r2=2r1，若半徑為2的球與圓臺的上、下底面及側(cè)面均相切，則該圓臺的體積為()A.B.C.D.8.當x∈[?2π,2π]時，曲線y=sinx與y=|ex?1|的交點個數(shù)為()A.1B.2C.3二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9.已知圓C：(x?1)2+(y?2)2=25，直線l：(2m+1)x+(m+1)y?7m?4=0，則()A.直線l過定點(3,1)B.圓C被y軸截得的弦長為221C.圓C被直線l截得的弦長最短時，直線l的方程為x+2y?5=0D.直線l與圓C相交于A、B兩點，∠ACB不可能為90°10.正三棱柱ABC?A1B1C1的各棱長相等，且均為2，N在ΔABC內(nèi)及其邊界上運動，則下列說法正確的是A.存在點N，使得C1N⊥平面A1B1CB.三棱錐C?A1BN的體積的取值范圍為C.E為A1C1中點，若C1N//平面AB1E，則動點N的軌跡長度為3D.P為BB1中點，若C1P⊥AN，則動點N到平面AB1C1的最大距離為11.已知函數(shù)f(x)=?ax3+3x2+1，則下列命題中正確的是()A.0是f(x)的極小值點B.當?1<a<0時，f(a?1)<f(a)C.若a=1，則f(?2022)+f(?2023)+f(2024)+f(2025)=12D.若f(x)存在極大值點x1，且f(x1)=f(x2)，其中x1≠x2，則x1+2x2=0三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。依此估計優(yōu)秀的學生人數(shù)為(結(jié)果四舍五入，填整數(shù))．附：若ξN(μ,σ2)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。依此估計優(yōu)秀的學生人數(shù)為(結(jié)果四舍五入，填整數(shù))．附：若ξN(μ,σ2)，則P(μ?σ<ξ<μ+13.已知雙曲線a>0b>0的右焦點F，過點F作直線l交雙曲線C左右兩支于A，B兩點，,且A=2BF,過點F作直線l的垂線交雙曲線C于點M若點A、M兩點關(guān)于原點對稱，則雙曲線C的離心率為.14.設(shè)a∈(0,1)，若函數(shù)f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)記△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知點D在邊AC上，且BD=AC，BDsinA=BCsinC.(1)證明：△ABC是等腰三角形；(2)若CD=AC，求sinC.16.(本小題15分)如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=2，∠A1AC=120°,AC=AA1=23，P為線段AA1上一點.(1)求證：A1C⊥BC1;(2)是否存在點P，使得平面BPC1與平面ABC的夾角余弦值為？若存在，求出的值;若不存在，請說明理由.17.(本小題15分)已知函數(shù)f(x)=lnx+2-(a+1)x.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)設(shè)x1，x2(0<x1<x2)是函數(shù)g(x)=f(x)+x的兩個極值點，若g(x1)?g(x2)≥mx1x2，求m的最大值.18.(本小題17分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)過點A(2,2)，且C的右焦點為F(2,0).(1)求C的方程;(2)設(shè)過點(4,0)的一條直線與C交于P，Q兩點，且與線段AF交于點S.(ⅰ)證明：直線SF平分∠PFQ;(ⅱ)若△APS的面積等于△FQS的面積，求Q的坐標.19.(本小題17分)對于數(shù)列{an}，如果存在等差數(shù)列{bn}和等比數(shù)列{cn}，使得an=bn+cn(n∈N?)，則稱數(shù)列{an}是“優(yōu)分解”的.(1)證明：如果{an}是等差數(shù)列，則{an}是“優(yōu)分解”的.(2)記Δan=an+1?an,Δ2an=Δan+1?Δan(n∈N?)，證明：如果數(shù)列{an}是“優(yōu)分解”的，則Δ2an=0(n∈N?)或數(shù)列{Δ2an}是等比數(shù)列.(3)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，如果{an}和{Sn}都是“優(yōu)分解”的，并且a1=3,a2=4,a3=6，求{an}的通項公式.高三年級階段性檢測數(shù)學參考答案題號12345678答案AA題號9答案ADBCDACD15.解：(1)證明：由正弦定理可知，ABsinA=BCsinC因為BDsinA=BCsinC，所以BDsinA=ABsinA，...........................3分又sinA≠0，所以AB=BD，又因為BD=AC，所以AB=AC所以△ABC是等腰三角形...........................6分(2)設(shè)AB=AC=b，CD=AC，則AD=嘗，AB=b，BD=b，所以在△ABD中，由余弦定理得，cosA=...........................9分在△ABC中，∵A+B+C=A+2C=π,∴C=...........................10分∴sinC=sin=cos...........................13分16.證明：(1)連接AC1，因為在三棱柱ABC?A1B1C1中，所以四邊形AA1C1C為平行四邊形，因為AC=AA1=23，所以四邊形AA1C1C為菱形，所以AC1⊥A1C，...........................1分又平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC=AC，AB⊥AC，AB?平面ABC，所以AB⊥平面AA1C1C，因為A1C?平面AA1C1C，所以AB⊥A1C，...........................4分因為AB，AC1?平面ABC1，AB?AC1=A，所以A1C⊥平面ABC1，因為BC1?平面ABC1，所以A1C⊥BC1；...........................6分(2)如圖，以AC的中點O為坐標原點，OC，OC1所在直線分別為y，z軸，建立空間直角坐標系，因為AB=2，∠A1AC=120°,AC=AA1=23，則C1(0,0,3)，A(0,?3,0)，C(0,3,0)，B(2,AA1=CC1=(0,?3,3)，AB=2,0,0，...........................8分得n EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up3(→),1)=(3λ,3λ?3,1+λ)，...........................10分易得平面ABC的法向量n →=(0,0,1)，...........................11分 解得：λ=或，經(jīng)驗證，λ=或均符合題意.所以或...........................15分17.解：(1)f(x)的定義域為(0,+∞)，f′(x)=+ax?(a+1)==，...........................1分所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減；所以f(x)在(0,1)，(,+∞)上單調(diào)遞增，在(1,)上單調(diào)遞減；③當a=1時，則f′(x)≥0，所以在(0,+∞)上f(x)單調(diào)遞增；所以f(x)在(0,)，(1,+∞)上單調(diào)遞增，在(,1)上單調(diào)選減；...........................5分綜上所述，當a≤0時，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減；當0<a<1時，f(x)在(0,1)，(,+∞)上單調(diào)遞增，在(1,)上單調(diào)遞減；當a=1時，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當a>1時，f(x)在(0,)，(1,+∞)上單調(diào)遞增，在(,1)上單調(diào)遞減．...........................6分(2)證明：g(x)=f(x)+x=lnx+x2?ax，則g(x)的定義域為(0,+∞)，g′(x)=+ax?a=，若g(x)有兩個極值點x1，x2(0<x1<x2)，則方程ax2?ax+1=0的判別式Δ=a2?4a>0，且x1+x2=1，x1x2=>0，得a>4，...........................8分所以g(x1)?g(x2)=lnx1+xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),1)?ax1?lnx2?xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),2)+ax2=ln+(xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),1)?xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),2))?a(x1?x2)=ln+(xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),1)?xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),2))?a(x1?x2)(x1+x2)=ln?(xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),1)?xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),2))因為g(x1)?g(x2)≥mx1x2，所以≤ln?(?)...........................11分令t=(0<t<1)設(shè)?(t)=lnt?(t?)...........................12分所以?(t)>?(1)=0，所以≤0，即m≤0...........................14分所以m的最大值為0．...........................15分18.解：(1)根據(jù)題意有+且由橢圓的幾何性質(zhì)可知a2=b2+c2=b2+4，所以a2=8，b2=4.所以c的方程為+=1．...........................4分(2)(i)因為橢圓的長軸右端點橫坐標為a=22<4，所以PQ的斜率一定存在(否則與橢圓沒有交點)設(shè)PQ的方程為y=k(x?4)，代入c的方程有：(2k2+1)x2?16k2x+32k2?8=0，其中Δ=(?16k2)設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，則x1+x2=，x1x2=，...........................6分若直線SF平分∠PFQ，且易知AF⊥x軸，故只需滿足直線FP與FQ的斜率之和為0.設(shè)FP，F(xiàn)Q的斜率分別為k1，k2，則：=2k?,...........................8分代入x1+x2=，x1x2=，有k1+k2=0，故命題得證．...........................10分(ii)由(i)知直線AF平分∠PFQ，即∠AFP=∠AFQ.因為△APS的面積等于△FQS的面積，故S△APS+S△SPF=S△FQS+S△SPF，即S△APF=S△FPQ，故PF//AQ．...........................13分故∠AFQ=∠AFP=∠FAQ，|AQ|=|FQ|，Q在線段AF的垂直平分線上．...........................15分易知線段AF的垂直平分線為Y=，與C的方程聯(lián)立有x2=7，故Q的坐標為(7,)或(?7,)............................17分19.解：(1)∵{an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，∴設(shè)an=a1+(n?1)d=[a1?1+(n?1)d]+1，........................1分則{bn}是等差數(shù)列，{cn}是等比數(shù)列，所以數(shù)列{an}是“優(yōu)分解”的．........................3分(2)因為數(shù)列{an}是“優(yōu)分解”的，設(shè)an=bn+cn(n∈N?)，其中bn=b1+(n?1)d,cn=c1qn?1(c1≠0,q≠0)，則Δan=an+1?an=d+c1qn?1(q?1),........................5分Δ2an=Δan+1?Δan=c1qn?1(q