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2.5極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限習(xí)題2.5用單調(diào)有界數(shù)列必有極限的定理證明下列數(shù)列的極限存在：（1）證明：顯然單調(diào)上升。又因?yàn)樗杂袠O限。（2）證明：顯然單調(diào)上升。又因?yàn)樗杂袠O限。（3）證明：顯然單調(diào)下降。又因?yàn)?，所以有極限。（4）證明：。所以單調(diào)下降。又因?yàn)?，所以有極限。求下列數(shù)列的極限：（1）解：顯然。假設(shè)則。所以由歸納法，所有的都小于。進(jìn)而，單調(diào)上升，所以極限存在。設(shè)，則由得，或。根據(jù)單調(diào)上升，應(yīng)有，所以（2）解：由此看出，若則，而，所以單調(diào)上升，有上界，所以極限存在。設(shè)，則由得，。根據(jù)的每項(xiàng)都為正數(shù)，應(yīng)有，所以（3）解：情形1：顯然。情形2：。此時(shí)，所以單調(diào)下降，有下界，所以極限存在。設(shè)，則由得，。所以情形3：。此時(shí)滿足情形2，所以所以（4）解：，而，所以計(jì)算下列極限：（1）解：原式（2）解：原式（3）解：原式（4）解：原式（5）解：原式（6）解：原式（7）解：原式。（8）解：原式。（9)解：原式（10）解：原式（11）解：原式（12）解：是時(shí)的無(wú)窮小量，有界，所以（13）解：原式(14)解：原式(15)解：原式4。計(jì)算下列極限：（1）。解：原式（2）。解：原式（3）。解：原式（4）。解：原式（5）若，求。解：原式所以（6）。解：原式（7）。解：原式（8）。解：原式（9）。解：原式5.利用極限存在準(zhǔn)則證明：（1）證明：而，所以（2）證明：而，所以（3）數(shù)列的極限存在。證明：顯然數(shù)列單調(diào)上升。，若，則又，所以對(duì)于所有的都有，所以數(shù)列的極限存在。（4）證明：，而，所以（5）證明：，所以，而，所

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