西北大學(xué)量子力學(xué) 3.7 學(xué)習(xí)課件

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守恒與對(duì)稱1.力學(xué)量隨時(shí)間的變化在波動(dòng)力學(xué)中，體系狀態(tài)隨時(shí)間的變化由薛定諤方程描述。在本章中，我們又看到在量子力學(xué)中力學(xué)量用算符表示。力學(xué)量隨時(shí)間的變化可以歸結(jié)為算符隨時(shí)間的變化。首先我們討論平均值隨時(shí)間的變化，并由此給出算符隨時(shí)間的變化規(guī)律。當(dāng)體系所處的狀態(tài)隨時(shí)間變化時(shí)，將隨時(shí)間變化。將（3.7.1）式對(duì)時(shí)間微商得:在任一態(tài)中的平均值為（3.7.1）

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守恒與對(duì)稱（3.7.2）（3.7.3）由于（3.7.4）故有

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守恒與對(duì)稱（3.7.5）即若不顯含時(shí)間，（3.7.6）（3.7.7）（3.7.5）又可寫為

3.7守恒與對(duì)稱2.運(yùn)動(dòng)積分和守恒量則稱算符所表示的力學(xué)量為運(yùn)動(dòng)積分。由（3.7.5）式可得：運(yùn)動(dòng)積分在任何狀態(tài)中的平均值都不隨時(shí)間而變化，是守恒量。由（3.7.6）式，若不顯含時(shí)間，，且與哈密頓量對(duì)易，則必為守恒量，或稱運(yùn)動(dòng)積分。若算符對(duì)時(shí)間的全微商為零（3.7.8）體系的守恒量由下述性質(zhì)：守恒量在任何狀態(tài)下的平均值不隨時(shí)間變化。在任何狀態(tài)下測(cè)量守恒量，其幾率分布均不隨時(shí)間改變而改變。

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守恒與對(duì)稱若體系有兩個(gè)或兩個(gè)以上的守恒量，而且這些守恒量彼此不對(duì)易，則一般來(lái)說(shuō)，體系的能級(jí)簡(jiǎn)并。3.對(duì)稱性與守恒律所謂對(duì)稱性，是指的體系的拉格朗日量或哈密頓量在某種變換下的不變性。這些變換，一般可分為連續(xù)變換、分立變換和對(duì)內(nèi)稟參量的變換。每一種變換下的不變性，都對(duì)應(yīng)一種守恒律。設(shè)體系的哈密頓量或薛定諤方程在變換下具有不變性。在變換下，波函數(shù)變?yōu)椋?.7.9）

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守恒與對(duì)稱（3.7.12）（3.7.11）于是有（3.7.14）比較上面的式子得即（3.7.13）這說(shuō)明，算符與對(duì)易。（3.7.10）由于體系對(duì)于變換不變，因此和滿足同樣的薛定諤方程：

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守恒與對(duì)稱（3.7.15）另外，由幾率守恒可證明，變換滿足（3.7.16）對(duì)于無(wú)窮小變換，準(zhǔn)確到一階小量，有（3.7.17）（3.7.18）從而有因此力學(xué)量是守恒量。是個(gè)厄米算符?？梢园阉x為與變換相聯(lián)系的力學(xué)量，而且由（3.7.14）得（3.7.19）

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守恒與對(duì)稱不可觀測(cè)量對(duì)稱變換守恒定律絕對(duì)空間位置空間平移動(dòng)量守恒絕對(duì)時(shí)間時(shí)間平移能量守恒空間絕對(duì)方向從的轉(zhuǎn)動(dòng)角