【名師一號(hào)】2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教B版必修2階段檢測卷：第一章 立體幾何初步（含答案解析）

階段檢測試題一一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求)1．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，與面ABCD的對(duì)角線ACA．4條B．6條C．8條D．10條解析與AC相交的直線有AB、AD、AA1、CB、CD、CC1，其他6條均與AC異面．答案B2．兩個(gè)球的體積之和為12π，且這兩個(gè)球的大圓周長之和為6π，那么這兩個(gè)球的半徑之差為()A.eq\f(1,2)B．1C．2D．3解析設(shè)兩個(gè)球的半徑分別為R與r(R>r)則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πR3＋\f(4,3)πr3＝12π，,2πR＋2πr＝6π，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R3＋r3＝9，,R＋r＝3，))∴R－r＝1.答案B3.如圖，將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個(gè)小角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體是()A．棱柱B．棱臺(tái)C．棱柱與棱錐的組合體D．不能確定答案A4．已知a、b、c、d是空間四條直線，如果a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么()A．a(chǎn)∥b，c∥dB．a(chǎn)、b、c、d中至少有一對(duì)直線互相平行C．a(chǎn)、b、c、d中至多有一對(duì)直線互相平行D．a(chǎn)、b、c、d中任何兩條直線都不平行解析當(dāng)a與b相交或a與b異面時(shí)，c∥d；當(dāng)a∥b時(shí)，c∥d或c與d異面．答案B5．一個(gè)平行于圓錐底面的平面將圓錐的高分成相等的兩段，那么圓錐被分成的兩部分的側(cè)面積的比為()A．11B．12C．13D．14解析設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，由于截面過圓錐高的中點(diǎn)，截得小圓錐的母線長為eq\f(l,2)，底面半徑為eq\f(r,2)，∴圓錐被分成的兩部分的側(cè)面積之比為eq\f(π×\f(r,2)×\f(l,2),π×r×l－π×\f(r,2)×\f(l,2))＝eq\f(1,3).答案C6．若一個(gè)圓臺(tái)的主視圖如圖所示，則其側(cè)面積等于()A．6B．6πC．3eq\r(5)πD．6eq\r(5)π解析圓臺(tái)的側(cè)面積S＝π(r1＋r2)l，其中r1、r2是上、下底面半徑，l是母線長，∴該圓臺(tái)的側(cè)面積為3eq\r(5)π.答案C7．如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積等于()A．4B．6C．8D．12解析由三視圖得幾何體為四棱錐，如圖記作S－ABCD，其中SA⊥面ABCD，SA＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝4，且ABCD為直角梯形．∠DAB＝90°，∴V＝eq\f(1,3)SA×eq\f(1,2)(AB＋CD)×AD＝eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝4，故選A.答案A8．如圖，ABCD－A1B1C1D1A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．異面直線AD與CB1所成的角為60°解析由于BD∥B1D1，易知BD∥平面CB1D1；連接AC，易證BD⊥面ACC1，所以AC1⊥BD；同理可證AC1⊥B1C，因BD∥B1D1，所以AC1⊥B1D1，所以AC1⊥平面CB1D1；對(duì)于選項(xiàng)D，∵BC∥AD，∴∠B1CB即為AD與CB1所成的角，此角為45°，故D錯(cuò)．答案D9.如圖所示，梯形A1B1C1D1是平面圖形ABCD的直觀圖(斜二測)，若A1D1∥y′軸，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝1，則四邊形ABCD的面積是()A．10B．5C．5eq\r(2)D．10eq\r(2)解析平面圖形還原如圖所示．CD＝C1D1＝3，AD＝2A1D1＝2，AB＝A1B1＝2，∠ADC＝90°.∴SABCD＝eq\f(1,2)×(2＋3)×2＝5.答案B10.用若干個(gè)體積為1的正方體搭成一個(gè)幾何體，其主視圖、左視圖都是如圖所示的圖形，則這個(gè)幾何體的最大體積與最小體積的差是()A．3 B．4C．5 D．6解析如圖①所示，這個(gè)幾何體體積最大時(shí)共有11個(gè)小正方體構(gòu)成，如圖②所示，這個(gè)幾何體最小時(shí)有5個(gè)小正方體構(gòu)成，因此，這個(gè)幾何體的最大體積與最小體積的差是6.答案D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分)11．設(shè)m，n是不同的直線，α、β、γ是不同的平面，有以下四個(gè)命題①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∥γ))?β∥γ；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,m∥α))?m⊥β；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,m∥β))?α⊥β；④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥n,n?α))?m∥α其中，真命題是________．解析平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，①是真命題；若一個(gè)平面平行于另一個(gè)平面的垂線，則兩個(gè)平面垂直，③是真命題．答案①③12．在一個(gè)半徑為13cm的球內(nèi)有一個(gè)截面，此截面面積是25πcm2，則球心到這個(gè)截面的距離為________．答案12cm13.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝eq\r(2)，BB1＝2，∠ABC＝90°，E、F分別為AA1、C1B1的中點(diǎn)，沿棱柱的表面從E到F兩點(diǎn)的最短路徑的長度是________．解析將三棱柱側(cè)面、底面展開有三種情形，如下圖．在(1)中，EF＝eq\r(A1E2＋A1F2)＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\r(2)))2)＝eq\f(\r(22),2)；在(2)中，EF＝eq\r(EG2＋FG2)＝eq\r(\r(2)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(14＋4\r(2)),2)；在(3)中，EF＝eq\r(EG2＋FG2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)＝eq\f(3,2)eq\r(2).比較知(3)最?。鸢竐q\f(3,2)eq\r(2)14.將一副斜邊長相等的直角三角板拼接成如圖所示的空間圖形，其中AD＝BD＝eq\r(2)，∠BAC＝30°，若它們的斜邊AB重合，讓三角板ABD以AB為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則下列說法正確的是________．①當(dāng)平面ABD⊥平面ABC時(shí)，C、D兩點(diǎn)間的距離為eq\r(2)；②在三角板ABD轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，總有AB⊥CD；③在三角板ABD轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，三棱錐D－ABC的體積最大可達(dá)到eq\f(\r(3),6).解析取AB中點(diǎn)O，當(dāng)三角板ABD轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，AB不垂直平面COD，故AB不垂直CD，故②錯(cuò)，①③正確．答案①③三、解答題(本大題共4小題，共50分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)15．(12分)如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、F、G分別為MB、PC、PB的中點(diǎn)，且AD＝PD＝2MA.(1)求證：平面EFG∥平面ADPM；(2)求三棱錐P－MAB與四棱錐P－ABCD的體積之比．解析(1)證明：∵F、G為PC、PB中點(diǎn)，∴FG∥BC，又BC∥AD，∴FG∥AD，∵E、G為BM、PB中點(diǎn)，∴EG∥PM，又EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面ADPM.(2)不妨設(shè)AB＝2a，VP－MAB＝eq\f(2,3)a3，VP－ABCD＝eq\f(8,3)a3，所以eq\f(VP－MAB,VP－ABCD)＝eq\f(1,4).16．(12分)如圖，已知平面α⊥平面β，α∩β＝PQ，A∈PQ，B∈α，C∈β，CA＝CB，∠BAP＝45°.證明：BC⊥PQ.證明如圖，過C做CO⊥PQ交PQ于O，連接OB.∵α⊥β，∴CO⊥α.∵BO?α，∴CO⊥BO；在Rt△COA與Rt△COB中，CA＝CB，CO＝CO，∴Rt△COA≌Rt△COB.∴OA＝OB.又∵∠BAP＝45°，∴∠BOA＝90°，即OB⊥PQ.∵PQ⊥OC，PQ⊥OB，OC∩OB＝O，∴PQ⊥面OBC.∵BC?面OBC，∴PQ⊥BC.17．(12分)某甜品店制作一種蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形、下半部分呈圓錐形(如圖)．現(xiàn)把半徑為10cm的圓形蛋皮等分成5個(gè)扇形，用一個(gè)扇形蛋皮圍成圓錐的側(cè)面(蛋皮厚度忽略不計(jì))，求該蛋筒冰淇淋的表面積和體積(精確到0.01)．解設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，∵2πr＝eq\f(2,5)π·10，∴r＝2，h＝eq\r(102－22)＝4eq\r(6)，∴該蛋筒冰淇淋的表面積S＝eq\f(π×102,5)＋2π·22＝28π≈87.96cm2.體積V＝eq\f(1,3)×π·22×4eq\r(6)＋eq\f(2,3)π×23＝eq\f(16,3)(eq\r(6)＋1)π≈57.80cm3.故該蛋筒冰淇淋的表面積約為87.96cm2，體積約為57．80cm3.18．(14分)如圖，在四棱錐S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，且BC＝2AD，AB＝4，SA＝3.(1)求證：平面SBC⊥平面SAB；(2)若E、F分別為線段BC、SB上的一點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，滿足eq\f(SF,FB)＝eq\f(CE,EB)＝λ.①求證：不論λ為何值，都有SC∥平面AEF；②是否存在λ，使得△AEF為直角三角形，若存在，求出所有符合條件的λ值；若不存在，說明理由．解(1)證明：∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥AD.∵∠BAD＝90°，∴AD⊥AB.∵SA∩AB＝A，SA、AB?平面SAB，∴AD⊥平面SAB，∵AD∥BC，∴BC⊥平面SAB.∵BC?平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAB.(2)①證明：∵在△SBC中，eq\f(SF,FB)＝eq\f(CE,EB)，∴EF∥SC.∵EF?平面AEF，SC