第一章第04講 線段的垂直平分線和角平分線（2個知識點+8類熱點題型講練+習題鞏固）-北師大版八年級數(shù)學下冊

PAGE1第04講線段的垂直平分線和角平分線課程標準學習目標①線段的垂直平分線②角平分線③尺規(guī)作圖1.理解線段垂直平分線，角平分線的概念；并掌握線段垂直平分線的性質定理及逆定理；2.能運用線段的垂直平分線、角平分線的性質與判定有關知識進行證明或計算；3.能夠利用尺規(guī)作出三角形的垂直平分線和角平分線；知識點01線段的垂直平分線【即學即練1】如圖，在中，，分別垂直平分和，交于，兩點，與相交于點．

(1)若的周長為，求的長；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】此題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，等邊對等角的性質，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關鍵是熟練掌握以上知識的應用及整體思想的應用．（）根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得，，然后求出的周長；（）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出，再求出，根據(jù)等邊對等角可得，，然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解；【詳解】（1）解：∵、分別垂直平分和，∴，，∴的周長，∵的周長為，∴；（2）解：∵，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，，∴．【即學即練2】如圖，為等邊三角形，，，相交于點E．(1)求證：垂直平分；(2)求的長；(3)若點F為的中點，點P在上，則的最小值為______．（直接寫出結果）．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴；∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴垂直平分；（2）解：∵，∴平分，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（3）解：連接交于點，連接，∵是的垂直平分線，∴、關于對稱，的最小值為是的中點，故答案為：6．知識點02角的平分線【即學即練1】如圖，，點E是的中點．平分．

(1)求證：是的平分線；(2)已知，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)12【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，角平分線的性質定理；（1）根據(jù)角平分線的性質得出，根據(jù)中點定義得出，從而得出，證明，得出，即可證明結論；（2）證明，得出，，根據(jù)，得出，，求出，根據(jù)，得出即可．【詳解】（1）證明：過點E作于點F，如圖所示：

∵，∴，∵是的平分線，∴，∵點E是的中點，∴，∴，∵，∴，∴，∴是的平分線；（2）解：∵，，∴，∴，，∵，∴，，∴，即，∵，∴．【即學即練2】如圖，的角平分線與的垂直平分線相交于點D，，，，垂足分別為E、F．(1)求證：；(2)若，則的周長______．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，角平分線的性質，全等三角形的判定和性質，熟知角平分線上的點到角兩邊的距離相等，線段垂直平分線上的點到相等兩端的距離相等是解題的關鍵．（1）連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質和角平分線性質得出，，證明，即可得出結論；（2）證明，可得，然后求出的周長為，計算即可．【詳解】（1）證明：連接，

∵D在的中垂線上，∴，∵，，平分，∴，，∴，∴；（2）解：∵平分，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，由（1）可知，∴的周長為：，故答案為：．題型01利用線段垂直平分線的性質求解例題：（23-24七年級下·山東青島·期末）如圖，在中，邊的垂直平分線，分別交，于點D，E兩點，連接，，，則的度數(shù)是．【答案】85【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)線段垂直平分線的性質得出，再根據(jù)角的和差關系即可得出，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出的度數(shù)．【詳解】解：∵是的垂直平分線，∴，∴，∴，∴，故答案為：85．【變式訓練】1．（2024·江蘇徐州·模擬預測）如圖，在中，是的垂直平分線，若，，則的周長是．【答案】13【分析】本題考查垂直平分線的性質，根據(jù)垂直平分線的性質可得，進而可得，即可求解．【詳解】解：∵是的垂直平分線，∴，∴，故答案為：13．2．（23-24八年級下·陜西西安·階段練習）如圖，在等腰中，，的垂直平分線交于點，交于點，若的周長為50，則底邊的長為．【答案】【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，根據(jù)線段垂直平分線性質知，．的周長，解方程得解．【詳解】解：∵垂直平分，∴．又的周長，即，∴．故答案為：．3．（24-25八年級上·全國·單元測試）如圖，在中，的垂直平分線交于點，邊的垂直平分線交于點．已知的周長為，則的長為；【答案】【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質．利用線段垂直平分線的性質“線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等”可得，然后利用的周長為和等量代換可得，即可解答．【詳解】解：∵的垂直平分線交于點，邊的垂直平分線交于點．∴，∵的周長為，，，，∴的長為；故選：．題型02線段垂直平分線的判定定理例題：（23-24七年級下·湖南長沙·期末）如圖，在中，，的垂直平分線分別交，于點E，F(xiàn)，的垂直平分線分別交，于點M，N，直線，交于點P．(1)求證：點P在線段的垂直平分線上；(2)已知，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】此題考查了線段垂直平分線的判定和性質，三角形內(nèi)角和定理和四邊形內(nèi)角和，熟練掌握各個知識點是解題的關鍵．（1）連接、，根據(jù)線段垂直平分線的性質和判定即可；（2）由線段垂直平分線的性質、三角形內(nèi)角和定理和四邊形內(nèi)角和定理進行求解．【詳解】（1）證明：連接、，垂直平分，垂直平分，，，點P在線段的垂直平分線上；（2）解：垂直平分，垂直平分，，，，，，在中，，，，即，，在四邊形中，，【變式訓練】1．（23-24八年級上·江蘇連云港·階段練習）如圖，四邊形的對角線與相交于點，，．求證：(1)；(2)垂直平分．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定，垂直平分線的判定，掌握相關圖形的判定方法是解決問題的關鍵；（1）根據(jù)直接證明；（2）根據(jù)，，即可得證垂直平分．【詳解】（1）證明：在與中，∴；（2）∵，，∴點、點在的垂直平分線上，∴垂直平分．2．（2024八年級上·江蘇·專題練習）如圖，已知中，，點，分別為，上的點，．(1)與全等嗎？為什么？(2)連接，求證：垂直平分．【答案】(1)，見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)，可得，利用，進而證明；（2）由則在的中垂線上，再證明可得，故在的中垂線上，則垂直平分．本題考查三角形全等的判定和性質定理、中垂線的判定定理，理解題意是解決問題的關鍵．【詳解】（1）解：與全等；理由：，，即，在與中，，；（2）解：如圖：連接，，由（1），在的中垂線上，，，在與中，，，，在的中垂線上，垂直平分．3．（23-24八年級上·江蘇宿遷·期中）如圖，是的角平分線，分別是和的高．(1)試說明垂直平分；(2)若，求的長．【答案】(1)詳見解析(2)4【分析】此題考查了角平分線的性質、全等三角形的判定和性質、垂直平分線的判定等知識，證明是解題的關鍵．（1）利用角平分線的性質證明，證明，則，即可證明結論；（2）根據(jù)列式計算即可．【詳解】（1）證明：∵是的角平分線，分別是和的高．∴，在與中，，∴，∴，∵，∴垂直平分；（2）解：∵，∴，∵，∴．題型03作垂線（尺規(guī)作圖）例題：（23-24八年級下·湖南永州·階段練習）如圖所示，七年級和八年級有兩個班的學生在M、N處參加植樹活動，要在道路的交叉區(qū)域內(nèi)設一個茶水供應點P，使P到兩條道路的距離相等，而且要使，請你用尺規(guī)作圖的方法找出P點．（不寫作法，但保留作圖痕跡）【答案】見解析【分析】本題考查尺規(guī)作圖—作角平分線，作垂線：因為使P到兩條道路的距離相等，所以點P應在的平分線上；而且要使，所以點P還應在的中垂線上，即的平分線和的中垂線的交點，即為點P．【詳解】解：如圖所示，點P即為所求．【變式訓練】1．（23-24八年級上·廣西桂林·期中）要求用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法．已知：如圖，和A，B兩點．(1)作的平分線；(2)求作一點Q，使Q點在上，且．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了作圖復雜作圖，解決本題的關鍵是掌握基本作圖方法．（1）根據(jù)角平分線的作法作的平分線即可；（2）作的垂直平分線交于點，即可得．【詳解】（1）解：如圖，點即為所求；（2）解：如圖，點即為所求．．2．（23-24八年級上·廣東廣州·期中）如圖，在中，(1)作的垂直平分線，交于E，交于點D，連接AD（保留作圖痕跡，不用寫作法）；(2)若，的周長為15，求的周長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了尺規(guī)作圖—作垂直平分線，垂直平分線的性質．（1）根據(jù)尺規(guī)作圖—垂直平分線的作法和步驟，即可作出；（2）根據(jù)垂直平分線的性質得出，則的周長．【詳解】（1）解：如圖為所求；（2）解：連接．點D在的垂直平分線上，，，周長=．3．（23-24八年級上·福建泉州·階段練習）如圖，是的角平分線．(1)尺規(guī)作圖：作線段的垂直平分線，分別交、于點E、F；（標明字母，保留作圖痕跡，不寫作法．）(2)連接、，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了尺規(guī)作線段垂直平分線，全等三角形的判定和性質，線段垂直平分線的性質；（1）根據(jù)尺規(guī)作線段垂直平分線的方法作圖即可；（2）連接，與交于點O，證明，可得，根據(jù)線段垂直平分線的性質可得，等量代換可得結論．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）證明：如圖，連接，與交于點O，∵平分，∴，∵垂直平分線段AD，∴∴在和中，∴，∴，∵垂直平分線段，∴，∴．題型04角平分線性質定理例題：（23-24八年級上·內(nèi)蒙古興安盟·期末）如圖，在中，，，按如圖所示的方式作射線交于點，若，則．【答案】9【知識點】等腰三角形的性質和判定、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、作角平分線(尺規(guī)作圖)、角平分線的性質定理【分析】本題考查角平分線的尺規(guī)作圖和角平分線定理，先根據(jù)畫圖得到為的角平分線，再證明，再證明是等腰三角形，從而得到，即可求得答案．【詳解】解：如下圖所示，過點M作，垂足為D，由題意得，為的角平分線，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴是等腰三角形，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：9．【變式訓練】1.（23-24七年級下·陜西榆林·期末）如圖，在中，平分，于點，連接，若，，則的面積是．【答案】【知識點】角平分線的性質定理【分析】本題主要考查了角平分線的性質，過點作于點，根據(jù)平分，，得到，根據(jù)面積公式求出三角形的面積，熟練掌握角平分線上的點到角的兩邊距離相等是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，過點作于點，∵平分，，∴，∴的面積，故答案為：．2.（23-24七年級下·山東威海·期末）如圖，在四邊形中，平分，且．(1)求證：；(2)如圖2，其余條件不變，若______．(3)如圖3，其余條件不變，若，判斷的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)60(3)，見解析【知識點】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性質和判定、角平分線的性質定理、全等三角形綜合問題【分析】（1）過點C作于點E，交延長線于點F，角平分線的性質，得到，證明，即可得證；（2）延長交于點E，證明，得到，證明，進而求出，即可得出結果；（3）過點C作交延長線于點E，于點F，先證明，得到，再證明，得到，根據(jù)線段的和差關系，以及含30度角的直角三角形的性質，即可得出結論．【詳解】（1）證明：如圖，過點C作于點E，交延長線于點F，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：如圖，延長交于點E，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：60；（3）解：，理由如下：如圖，過點C作交延長線于點E，于點F，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查角平分線的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，含30度角的直角三角形等知識點，熟練掌握相關知識點，添加輔助線構造特殊圖形和全等三角形，是解題的關鍵．題型05角平分線的判定定理例題：（23-24八年級上·貴州遵義·期末）已知：如圖，在中，，D是上一點，于E，且．(1)求證：平分；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)詳見解析(2)【知識點】角平分線的有關計算、三角形內(nèi)角和定理的應用、角平分線的判定定理【分析】本題考查了角平分線的判定與定義、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握角平分線的判定定理是解答的關鍵．（1）根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上可證得結論；（2）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得，再根據(jù)角平分線的性質可求解．【詳解】（1）證明：，，，點在的平分線上，平分；（2）解：，，，平分，．【變式訓練】1．（23-24七年級下·山東濟寧·期末）如圖，于E，于F，若．

(1)求證：平分；(2)已知，求的長．【答案】(1)見解析(2)6【知識點】全等的性質和HL綜合（HL）、角平分線的判定定理【分析】本題考查了全等三角形的性質和判定的應用，角平分線的判定：（1）求出，根據(jù)全等三角形的判定定理得出，推出，根據(jù)角平分線的判定定理，即可求證；（2）根據(jù)得出，再由線段的和差關系求出答案，即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，在和中，∵，∴，∴，∵，∴平分；（2）解：在和中，∵，∴，∴，∴，∵∴．2．（23-24七年級上·陜西咸陽·期末）如圖，平分，于點，于點，連接．(1)試說明；(2)與相等嗎？請說明理由；(3)是否垂直平分，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)，理由見解析(3)垂直平分，理由見解析【知識點】全等三角形綜合問題、線段垂直平分線的判定【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，角平分線的定義，線段垂直平分線的判定：（1）利用證明，即可證明結論；（2）設交于H，證明得到，再利用平角的定義即可證明結論；（3）根據(jù)全等三角形的性質得到，再由線段垂直平分線的判定定理即可得到結論．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴；（2）解：，理由如下：設交于H，∵，，，∴，∴，∵，∴；（3）解：垂直平分，理由如下：、∵，∴，∴點O和點E都在線段的垂直平分線上，∴垂直平分．題型06角平分線性質的實際應用例題：（24-25八年級上·湖北宜昌·期中）在三條公路圍成的一塊平地上修建一個物流服務中心（如圖），若要使物流服務中心到三條公路的距離相等，則這個物流服務中心應修建在（

）A．三條高線的交點處 B．三條角平分線的交點處C．三條中線的交點處 D．三邊垂直平分線的交點處【答案】B【知識點】角平分線性質的實際應用、角平分線的性質定理【分析】本題考查了角平分線的性質，掌握角平分線的性質定理是解題的關鍵．根據(jù)角平分線的性質定理“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)角平分線的性質定理可得，要使物流服務中心到三條公路的距離相等的點為角平分線的交點，故選：B．【變式訓練】1．（24-25八年級上·廣西防城港·階段練習）如圖是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在（

）A．三條中線的交點 B．內(nèi)任意一點C．三條高所在直線的交點 D．三條角平分線的交點【答案】D【知識點】角平分線性質的實際應用【分析】本題主要考查的是角的平分線的性質在實際生活中的應用；由于涼亭到草坪三條邊的距離相等，所以根據(jù)角平分線上的點到邊的距離相等，可知是三條角平分線的交點．由此即可確定涼亭位置．【詳解】∵涼亭到草坪三條邊的距離相等，∴涼亭選擇三條角平分線的交點，故選：D．2．（23-24八年級上·安徽安慶·期末）如圖，三條公路、、兩兩相交，計劃建一座加油站，滿足到三條公路的距離相等，則可供選址的地方有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】D【知識點】角平分線性質的實際應用【分析】本題考查了角平分線的性質，加油站要到三條公路的距離都相等，可知加油站必須是三條相交直線所組成的三角形的兩內(nèi)角或兩外角的角平分線的交點，而相鄰兩外角平分線有個交點，內(nèi)角平分線的交點有個，據(jù)此即可求解，掌握叫佛系的性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵加油站要到三條公路的距離都相等，∴加油站必須是三條相交直線所組成的三角形的兩內(nèi)角或兩外角的角平分線的交點，而相鄰兩外角平分線有個交點，內(nèi)角平分線的交點有個，∴加油站可供選址的地方有個，故選：．題型07作角平分線（尺規(guī)作圖）例題：（24-25八年級上·山東臨沂·期中）如圖，在中，，．

(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)若（1）中所作的角平分線與邊交于點，過點作于點．若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)．【知識點】全等的性質和HL綜合（HL）、角平分線的性質定理、作角平分線(尺規(guī)作圖)【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作一個角的平分線的方法進行作圖即可；（2）根據(jù)角平分線的性質得出，證明，推出，根據(jù)三角形面積求出，根據(jù)，即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，為所求作的的平分線；

；（2）解：∵，∴，∵平分，，∴，∵，∴，∴；

∵，，又∵，∴，解得：，∵，∴．【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作一個角是平分線，角平分線的性質，三角形全等的判定和性質，三角形面積的計算，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，尺規(guī)作一個角的平分線．【變式訓練】1．（24-25八年級上·河南南陽·階段練習）如圖，在中，．(1)作的平分線，交于點．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）(2)在（1）的條件下，是邊上的一點，且，，連接．若，求的度數(shù)．【答案】(1)圖見解析(2)【知識點】全等的性質和SAS綜合（SAS）、作角平分線(尺規(guī)作圖)、三角形的外角的定義及性質、等邊對等角【分析】本題考查了基本作圖——角平分線的作圖，等邊對等角，三角形外角的性質，三角形的全等的判定與性質等知識，題目難度不大，關鍵在于找到正確的解題思路．（1）按照角平分線的作圖方法作圖即可；（2）利用已知條件可以證明，所以，，得到，再利用三角形外角的性質，即可求得的度數(shù)．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：平分，．在和中，，，，；，，；，．2．（24-25八年級上·江蘇宿遷·期中）如圖，，．(1)尺規(guī)作圖：作的平分線交于點（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)試判斷與的關系，并證明．【答案】(1)作圖見詳解(2)，理由見詳解【知識點】作角平分線(尺規(guī)作圖)、等邊對等角、根據(jù)平行線的性質探究角的關系【分析】本題主要考查尺規(guī)作角平分線，等邊對等角，平行線的性質，掌握尺規(guī)作角平分線的方法，平行線的性質是解題的關鍵．（1）以點為圓心，以任意長為半徑畫弧，角于點，分別以點為圓心，以大于為半徑畫弧交于點，連接，并延長交于于點，即可求解；（2）根據(jù)題意可得，，根據(jù)角平分線的定義可得，，由兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，由此即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，BD即為所求角平分線，（2）解：，理由如下，證明：∵，∴，由（1）可得，BD平分，∴，∵，∴，∴，即．題型08線段的垂直平分線與角平分線的綜合問題例題：（23-24八年級下·山東威海·期末）如圖，中，的角平分線和邊的中垂線交于點D，的延長線于點M，于點N．若，，，則的長為？【答案】2.5【分析】連接、，由可證，則可得、，由可證，則可得，設，則，，由此得，求出x的值即可得解．【詳解】解：如圖，連接、∵是的角平分線，且、，，，又，，，，∵垂直平分，，，，，，設，則，，，解得，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，線段垂直平分線的性質，角平分線的性質，靈活運用這些性質解決問題是本題的關鍵．【變式訓練】1．（23-24八年級上·湖北武漢·期中）如圖，中，的平分線與邊的垂直平分線交于點D，，垂足為點G，H．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)1【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質，角平分線的性質定理，全等三角形的判定和判定，熟練掌握各定理是解題的關鍵：（1）根據(jù)題意連接，利用線段垂直平分線的性質可得，依據(jù)角平分線的性質得，依據(jù)證明，根據(jù)全等三角形的性質可得出結論；（2）由題意可得，得出，進而得出答案．【詳解】（1）證明：連接，∵D是垂直平分線上的點，∴，∵平分，，∴，，在和中∴∴；（2）在和中∴∴，∴，∴，∴．3．（2024七年級下·全國·專題練習）如圖，的外角的平分線交邊的垂直平分線于P點，于D，于E．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，角平分線的性質，線段垂直平分線的性質：（1）連接、，根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得，然后利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等證明即可；（2）利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得，再根據(jù)、的長度表示出、，然后解方程即可．【詳解】（1）證明：連接、，點在的垂直平分線上，，是的平分線，，在和中，，，；（2）解：在和中，，，，，，，即，解得．一、單選題1．（24-25八年級上·四川涼山·階段練習）點在的角平分線上，點到邊的距離等于，點Q是邊上的任意一點，則的長度不可能是（

）A．6 B．5 C．4 D．【答案】C【知識點】垂線段最短、角平分線的性質定理【分析】本題考查角平分線的性質及點到直線的距離，根據(jù)角平分線上的點到角兩邊距離相等，再根據(jù)垂線段最短逐個判斷即可得到答案．【詳解】解：∵點在的角平分線上，點到邊的距離等于，∴點到邊的距離等于，∴，故選：C．2．（24-25八年級上·湖北黃岡·階段練習）到三角形各頂點距離相等的點是（

）A．三條高交點 B．三個內(nèi)角平分線交C．三條中線交點 D．三條邊垂直平分線交點【答案】D【知識點】線段垂直平分線的判定【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定：到這條線段兩個端點的距離相等的點在線段垂直平分線上．根據(jù)線段垂直平分線的判定即可直接得出答案．【詳解】解：到三角形三個頂點的距離都相等的點是這個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，故選：D．3．（24-25八年級上·浙江溫州·期末）如圖，在中，，分別以、為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點、，作直線分別交AB、于點、，連接CD、．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】三角形內(nèi)角和定理的應用、線段垂直平分線的性質、作垂線(尺規(guī)作圖)、等邊對等角【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖可知直線是線段AB的垂直平分線，所以可知，根據(jù)等邊對等角可知，利用三角形內(nèi)角和定理可以求出的度數(shù)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可以得到，所以可知，再利用三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)．【詳解】解：由作圖可知是線段AB的垂直平分線，，，在中，，，，，，，點是AB的中點，，，．故選：D．【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖、線段垂直平分線的性質、直角三角形的性質、等腰三角形的性質、解決本題的關鍵是根據(jù)尺規(guī)作圖判斷直線是線段AB的垂直平分線，再利用線段的垂直平分線的性質找邊和角之間的關系．4．（24-25八年級上·上海浦東新·階段練習）已知，點P是邊上一點，且到的距離相等，則線段一定是（

）A．的角平分線B．的中線C．的高D．所在直線是的中垂線【答案】A【知識點】角平分線的判定定理【分析】本題主要考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．根據(jù)角平分線的性質作答．【詳解】解：∵點P是邊上一點，且到的距離相等，，∴線段一定是的平分線，即線段一定是的角平分線．故選：A．5．（24-25八年級上·江蘇無錫·階段練習）如圖，已知等腰中，，，于點，點是延長線上一點，點是線段上一點，，下面的結論：①；②是等邊三角形；③；④．其中正確的為（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【知識點】全等的性質和SAS綜合（SAS）、等邊三角形的判定和性質、三角形內(nèi)角和定理的應用、線段垂直平分線的性質【分析】①利用等邊對等角，即可證得，，則，據(jù)此可以求解；②證明，且，即可證得是等邊三角形；③在上截取，首先證明，，則，；④過點C作于H，根據(jù)，利用三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：如圖1，連接，∵，，∴，，∴垂直平分，∴，，∵，∴，∴，，∴；故①正確；∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等邊三角形；故②正確；∴,,如圖2，在上截取，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∵，在和中，，∴，∴，∴；故③正確；如圖3，過點C作于H，∵，，∴，∴，，∴；故④正確．故選：D．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質、三角形內(nèi)角和定理、等邊三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質等知識，通過作輔助線，構造全等三角形是解題的關鍵．二、填空題6．（24-25八年級上·山東臨沂·期中）如圖，平分，，，，若，則．

【答案】2【知識點】角平分線的性質定理、含30度角的直角三角形【分析】本題考查了角平分線的性質定理、含30度角的直角三角形的性質等知識，熟練掌握角平分線的性質定理是解題關鍵．過點作于點，先根據(jù)角平分線的性質定理可得，再根據(jù)平行線的性質可得，然后根據(jù)含30度角的直角三角形的性質求解即可得．【詳解】解：如圖，過點作于點，

∵平分，，，，∴，，∵，∴，則在中，，故答案為：2．7．（24-25八年級上·上海浦東新·階段練習）如圖，中，垂直平分交于點E，，則．【答案】【知識點】線段垂直平分線的性質、等邊對等角、三角形內(nèi)角和定理的應用【分析】本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，等邊對等角的性質，根據(jù)中垂直平分，可求出，再根據(jù)等腰三角形的性質求出，再由，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求的度數(shù)，即可解答．【詳解】解：∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．8．（24-25八年級上·浙江溫州·期末）如圖，是的角平分線．若，，的面積為，則的長為．【答案】【知識點】角平分線的性質定理【分析】本題考查了角平分線的性質定理，熟練掌握角平分線的性質定理是解題的關鍵；作于，根據(jù)角平分線的性質可得，再利用計算求解即可．【詳解】解：作于，平分，，，∴，∴，∴，∴；∴；故答案為：9．（24-25八年級上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）如圖，點P是的角平分線上一點，于點D，垂直平分，若，，則．【答案】4【知識點】角平分線的性質定理、含30度角的直角三角形、三角形的外角的定義及性質【分析】本題主要考查了角平分線的性質，線段垂直平分線的性質，由已知能夠注意到是解決的關鍵．過點P作于點F，由角平分線的性質知：，所以在直角中求得的長度即可．【詳解】解：如圖，過點P作于點F，∵點P是的角平分線上一點，于點D，∴，，∵垂直平分，∴，∴，∴，∴．則．故答案是：4．10．（24-25八年級上·全國·期末）如圖，等腰的底邊，面積為18，直線是腰的垂直平分線，若點D在上運動，點F在邊上運動，則的最小值為．【答案】9【知識點】垂線段最短、線段垂直平分線的性質【分析】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，線段垂直平分線的性質，掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．連接，由線段垂直平分線的性質可得，得到，可知當點A、D、F三點共線且時，的值最小，即等于的長，利用三角形的面積求出的長即可求解．【詳解】解：在等腰中，直線是腰的垂直平分線，如圖1，連接，∴，∴，當點A、D、F三點共線且時，的值最小，即等于的長，如圖2，∵，等腰的面積為18，∴，∴，∴的最小值為9，故答案為：9．三、解答題11．（24-25八年級上·上?！るA段練習）已知：如圖，，點在上．(1)在射線上找一點，使；(2)在的內(nèi)部找一點，使到的兩邊距離相等，且（保留作圖痕跡，不需要寫出作圖步驟）【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點】等邊三角形的判定和性質、作線段(尺規(guī)作圖)、角平分線的性質定理、作角平分線(尺規(guī)作圖)【分析】本題考查了作圖—復雜作圖、角平分線的性質、等邊三角形的性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）以為圓心，為半徑作弧交于點，點即為所求；（2）連接，由題意可得為等邊三角形，作平分交AB于，點即為所求．【詳解】（1）解：如圖，點即為所求；（2）解：如圖：點即為所求，．12．（24-25八年級上·遼寧本溪·期中）某海島海域爭端持續(xù)，我國海監(jiān)船加大該島附近海域的巡航維權力度．如圖，海里，海里，海島位于O點，我國海監(jiān)船在點B處發(fā)現(xiàn)有一不明國籍的漁船，自A點出發(fā)沿著方向勻速駛向海島所在地點O，我國海監(jiān)船立即從B處出發(fā)以相同的速度沿某直線去攔截這艘漁船，結果在點C處截住了漁船．(1)請用直尺和圓規(guī)作出C處的位置；(2)求我國海監(jiān)船行駛的航程的長．【答案】(1)見解析(2)37海里【知識點】線段垂直平分線的性質、解決航海問題(勾股定理的應用)、作垂線(尺規(guī)作圖)【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質，勾股定理的實際應用，解題的關鍵是熟練掌握相關基礎性質．（1）根據(jù)題意，作出線段的垂直平分線，交于點，即可；（2）連接，利用第（1）題中作圖，可得，設為x海里，則也為x海里，則海里，利用勾股定理列方程求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，點即為所求：連接，作線段的垂直平分線，交于點，（2）解：連接，設海里，則海里∵∴在中，即：解得：答：我國海監(jiān)船行駛的航程的長為37海里．13．（24-25八年級上·海南省直轄縣級單位·期中）在中，點D在的平分線所在的直線上．過點D作于E，作交的延長線于F，且．(1)求證：點D在的垂直平分線上：(2)若，．求的長度是多少？【答案】(1)證明見解析(2)1【知識點】全等的性質和HL綜合（HL）、角平分線的性質定理、全等的性質和SAS綜合（SAS）、線段垂直平分線的判定【分析】（1）連接，，先由角平分線的性質就可以得出，再證明就可以得出結論；（2）由條件可以得出就可以得出，進而就可以求出結論．【詳解】（1）證明：連接，，∵點D在的平分線所在的直線上，過點D作于E，作交的延長線于F，，在和中，，，，∴點D在的垂直平分線上；（2）解：在和中，，，，，，，．【點睛】此題考查角平分線的性質的運用，線段垂直平分線的判定，全等三角形的判定與性質的運用，證明三角形全等是關鍵．14．（24-25八年級上·河南南陽·階段練習）如圖，在中，，的垂直平分線分別交，于點，，的垂直平分線分別交，于點，，直線與直線交于點．(1)求證：點在線段的垂直平分線上．(2)已知，求的度數(shù)．【答案】(1)詳見解析(2)【知識點】三角形內(nèi)角和定理的應用、線段垂直平分線的性質、線段垂直平分線的判定、等邊對等角【分析】（）連接，，，根據(jù)線段垂直平分線的性質證明，從而證明結論即可；（）先根據(jù)相等垂直平分線的性質證明，，進而得，由三角形的內(nèi)角和得，再求得，，從而即可得解。本題主要考查了線段的垂直平分線的性質，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的性性質，解題關鍵是熟練掌握線段的垂直平分線的性質【詳解】（1）證明：如圖，連接，，．垂直平分，垂直平分，，，，點在線段的垂直平分線上，（2）解：垂直平分，垂直平分，，，，，，，，，，，，，15．（24-25八年級上·江西宜春·階段練習）如圖，在中，，的垂直平分線交于點，垂足是，是上一點，平分，于點．(1)試判斷與是否相等，并說明理由．(2)求證：．【答案】(1)，理由見解析(2)證明見解析【知識點】全等三角形綜合問題、角平分線的性質定理、線段垂直平分線的性質【分析】本題考查了線段垂直平分線性質，全等三角形的性質和判定，角平分線的性質定理，主要考查學生的推理能力．（1）根據(jù)角平分線性質得出即可．（2）連接，推出，根據(jù)證出即可．【詳解】（1）解：，理由是：∵平分，∴．（2）證明：連接，∵的垂直平分線，∴，在和中，，∴，∴．16．（24-25八年級上·全國·期末）如圖，在中，已知，AB和垂直平分線交AB于點，交于點，連接．(1)若則的度數(shù)是度．(2)若，的周長是．①求的長度．②若點為直線上一點，請你直接寫出周長的最小值．【答案】(1)40(2)①；②【知識點】線段垂直平分線的性質、等邊對等角、三角形的外角的定義及性質【分析】本題考查了軸對稱的性質，垂直平分線的性質，等腰三角形的性質；（1）根據(jù)垂直平分線上的點到線段兩個端點距離相等得，再根據(jù)等腰三角形的性質即可求解；（2）①根據(jù)垂直平分線的性質得，的周長是．，即可求的長度；②依據(jù)，，即可得到當P與M重合時，，此時最小，進而得出的周長最小值．【詳解】（1）解：，，，，∵是的垂直平分線，，，，，．故答案為：40．（2）①，的周長是，即，，，．∴的長度為．②當與重合時，的周長最?。碛桑骸?，，∴當P與M重合時，，此時最小值等于的長，∴的周長最小值．17．（24-25八年級上·湖北孝感·期中）（1）【問題】如圖1，平分，，，根據(jù)教材中一個重要性質直