電路理論基礎（第三版） 課件 第3章 線性電阻電路的一般分析法

第三章線性電阻電路的一般分析法本章介紹線性電阻電路的一般分析法。一般分析法是指對線性電阻電路普遍適用的,有較強系統(tǒng)性和規(guī)律性的方法。這類方法通常是選定電路中的一組變量,根據(jù)基爾霍夫定律及元件特性列出該組變量的獨立方程,然后求解方程。根據(jù)所選變量的不同,常用的方法有支路分析法、節(jié)點分析法、網(wǎng)孔及回路分析法。學習本章內(nèi)容時,在理解各分析法原理的基礎上,應重點掌握列寫各種方程的規(guī)律和步驟。3.1KCL、KVL方程的獨立性3.2支路分析法3.3節(jié)點分析法3.4網(wǎng)孔分析法和回路分析法3.1KCL、KVL方程的獨立性求解k個變量,需要一個方程數(shù)為k的獨立方程組。所謂獨立方程組,是指該組方程中的任一個方程都不可由其他方程的線性組合來表示。即任一方程都不可由其余方程的加、減、乘常數(shù)運算及其混合運算推得。若一組方程中的任一個方程都含有其余方程中所沒有的變量,則該組方程一定是獨立的。若在列寫一組線性方程時,每寫一個新方程,都讓該方程含有以前方程沒有的新變量,則這樣寫出來的方程組也一定是獨立的。求解電路依據(jù)的約束條件有兩類：一類是元件伏安特性方程,每個元件方程反映一個元件的特性,顯然,各元件的特性方程是相互獨立的;另一類是基爾霍夫定律,這類條件是拓撲約束,它只與元件的互連方式有關,而與元件的性質(zhì)無關。對每個節(jié)點可列出一個KCL方程,對每個回路也可列出一個KVL方程。由于基爾霍夫定律與元件性質(zhì)無關,因此可用電路的圖來探討KCL、KVL方程的獨立性。3.1KCL、KVL方程的獨立性3.1.1電路的圖電路的圖由點和線段構成,每一個點對應著電路中的一個節(jié)點,每條線段對應著電路中的一條支路。通常將圖中的點和線段直接稱為節(jié)點和支路。電路的圖僅反映電路的拓撲結構,不能反映各支路的元件特性。例如,圖3-1(a)所示電路對應的圖如圖3-1(b)所示。該電路的圖共有5條支路、3個節(jié)點,其中支路1是us1與R1的串聯(lián)支路。圖3-1電路的圖示例從圖中的某一個節(jié)點出發(fā),沿著一系列支路連續(xù)移動,到達另一節(jié)點,這一系列支路稱為這兩個節(jié)點間的一條路徑。單條支路也是一條路徑。若一條路徑的起始節(jié)點和終止節(jié)點為同一個節(jié)點,則稱為閉合路徑,又稱為回路。若圖中任兩節(jié)點之間都有路徑相連通,則稱為連通圖,否則稱為非連通圖。若圖中所有支路都標有方向(用箭頭表示),則稱為有向圖。圖中支路的方向通常代表著對應電路中該支路電流和電壓的參考方向。樹是拓撲圖中的一個重要概念。連通圖G的一個樹T定義為圖G中滿足如下三個條件的一個子圖：

(1)T包含G的全部節(jié)點;(2)T不含任一回路;

(3)T是連通的。3.1KCL、KVL方程的獨立性一個連通圖通常有許多不同的樹,如圖3-2(a)所示是一個連通圖,圖(b)、(c)均是該連通圖的樹。對連通圖G,當確定其一個樹T后,圖G中的支路就可分為兩類：一類是屬于T的支路,稱為樹支;另一類是不屬于T的支路,稱為連支。對圖3-2(a)所示的連通圖,若選定其樹如圖3-2(b)所示,則1、2、3、6為樹支,4、5、7、8為連支。但是,若選定圖3-2(c)為樹,則5、6、7、8為樹支,1、2、3、4為連支。圖3-2連通圖及其樹3.1KCL、KVL方程的獨立性同一個連通圖G對應不同的樹,其連支和樹支會有所不同,但連支的數(shù)目及樹支的數(shù)目是不變的。若連通圖G有n個節(jié)點、b條支路,則可證明其樹支數(shù)為n-1,連支數(shù)為l=b-n+1。假設將連通圖G的全部支路移去,剩下它的n個節(jié)點。為了將n個節(jié)點連成一個樹,首先用一條支路將兩個節(jié)點連起來;隨后每連入一個新的節(jié)點,就需增加一條支路;將全部n個節(jié)點連完,正好需要n-1條支路。此時每兩個節(jié)點間都有路徑連通,若再在某兩節(jié)點間增加一條支路,則該兩節(jié)點間有兩條不同的路徑,這兩條路徑會構成一個回路,不符合樹的定義。因此,具有n個節(jié)點的連通圖G的任一個樹都必須,且只能由n-1條支路構成。因為一個連通圖的樹支和連支構成它的全部支路,所以連支數(shù)為l=b-(n-1)3.1KCL、KVL方程的獨立性若一個電路可畫在一個平面上,且在非節(jié)點處不相交,則稱之為平面電路,否則稱為非平面電路。圖3-2(a)所示是一個平面電路的圖,圖3-3所示則是一個非平面電路的圖。平面電路中含有網(wǎng)孔。所謂網(wǎng)孔,是指內(nèi)部不含其他支路的回路。圖3-2(a)中,由支路1、5、7構成的回路是網(wǎng)孔,而由支路1、5、8、4構成的回路則不是網(wǎng)孔。圖3-3非平面電路的圖3.1KCL、KVL方程的獨立性3.1.2KCL方程的獨立性圖3-4所示是一個電路的有向圖,其中各支路的箭頭表示各支路電流的參考方向。列出該電路4個節(jié)點的KCL方程為⑴i1-i4-i6=0⑵-i1-i2+i3=0⑶i2+i5+i6=0⑷-i3+i4-i5=0圖3-4列寫KCL、KVL方程示意圖3.1KCL、KVL方程的獨立性觀察可知,這4個方程中的任意3個方程是相互獨立的。例如,方程⑴、⑵、⑶就是一組獨立方程,該組的任一方程中都有一電流變量未被另兩式涉及,因此任一方程都不可能由其余兩式導出。再如⑵、⑶、⑷方程組等亦是如此。但是以上全部4個方程卻不是一組獨立方程,易見4個方程相加得零,即任一方程可由其余3個方程相加導出。由此可見,對具有4個節(jié)點的電路,依據(jù)KCL可得到的獨立方程數(shù)為4-1=3,即獨立的KCL方程數(shù)與樹支數(shù)相等。這一結果可推廣到一般情況,有以下結論。

結論：對于有n個節(jié)點的連通網(wǎng)絡,可得到n-1個獨立的節(jié)點KCL方程。與這些獨立方程對應的節(jié)點稱為獨立節(jié)點,電路中任意選定的n-1個節(jié)點都是獨立節(jié)點。*證：由于任一支路都接在兩個節(jié)點之間,其電流從一個節(jié)點流出,流入另一節(jié)點,因此對所有n個節(jié)點列出KCL方程,每個支路電流會在兩個方程中出現(xiàn),且符號相反。將n個節(jié)點KCL方程相加,各支路電流正負相消,所得為零。即任一節(jié)點KCL方程都可由其余n-1個方程相加再乘-1得到。因此,n個節(jié)點KCL方程中的獨立方程數(shù)不會超過n-1個。下面證明其獨立方程數(shù)正好為n-1。3.1KCL、KVL方程的獨立性設電路n個節(jié)點的編號為n0,n1,n2,…,nn-1。設想將全部支路移去,然后從節(jié)點n0開始,依次連入n1,n2,…,nn-1各節(jié)點,構成一個樹。每連入一個新的節(jié)點,需增加一條樹支。設聯(lián)入節(jié)點nk時所用的樹支為支路dk(k=1,2,…,n-1)。顯然,dk必接在節(jié)點nk及編號在nk之前的某個節(jié)點間,dk不會與nk之后的節(jié)點相連,因為這些節(jié)點此時尚未接入。因此,我們對原電路各節(jié)點列寫KCL方程時,只需從節(jié)點nn-1開始,編號逐次遞減,即對nn-1,nn-2,…,n2、n1這n-1個節(jié)點列方程,這樣每寫一個方程,都會有一個新的支路電流出現(xiàn)。例如,對節(jié)點nk列方程時,方程中會出現(xiàn)支路dk的電流,該電流在nn-1,nn-2,…,nk+1節(jié)點的方程中是從未出現(xiàn)的。這樣列寫的n-1個節(jié)點KCL方程必定是獨立的。由于電路中任一節(jié)點都可選作n0,因此任意選定的n-1個節(jié)點都是獨立節(jié)點。3.1KCL、KVL方程的獨立性3.1.3基爾霍夫電壓定律方程的獨立性本節(jié)仍以圖3-4為例討論。設圖中各支路的箭頭表示各支路電壓的參考方向。該電路共有7個回路,各回路的KVL方程為⑴支路134回路：u1+u3+u4=0;⑵支路532回路：-u2-u3+u5=0;⑶支路1254回路：u1-u2+u5+u4=0;⑷支路645回路：-u4-u5+u6=0;⑸支路1356回路：u1+u3-u5+u6=0;⑹支路6432回路：-u3-u2+u6-u4=0;⑺支路126回路：u1-u2+u6=0。3.1KCL、KVL方程的獨立性觀察可知,在以上7個方程中,最多可選出3個獨立方程。例如,(1)、(2)、(4)這3個方程是一組獨立方程,該組的任一方程中都有一電壓變量未被另兩式涉及,因此任一方程都不可能由其余兩式導出。而方程(3)、(5)、(6)、(7)卻都可由方程(1)、(2)、(4)導出。例如,(1)加(2)得(3);(1)加(4)得(5)等。事實上,回路(3)包圍著回路(1)、(2),將回路(1)、(2)的方程相加,它們公共支路的電壓u3正負抵消,所得方程正好就是回路(3)的方程。在該電路中,回路(1)、(2)、(4)是其3個網(wǎng)孔?？梢娺x擇平面電路的網(wǎng)孔可列出獨立的KVL方程。獨立方程組的選擇不是唯一的,在該電路的所有7個回路方程中,可選出多組獨立方程。例如,方程(1)、(3)、(7);方程(1)、(5)、(7)等都構成獨立方程組,但各組中方程的個數(shù)都為3。由以上分析可見,對具有4個節(jié)點、6條支路的電路,依據(jù)KVL可得到的獨立方程數(shù)為l=6-(4-1)個,即獨立的回路KVL方程數(shù)與連支數(shù)相等。這一結果可推廣到一般情況，有以下結論。3.1KCL、KVL方程的獨立性結論:對于有n個節(jié)點、b條支路的電路,可得到l=b-(n-1)個獨立的回路KVL方程。與這些獨立方程對應的回路稱為獨立回路。平面電路中有l(wèi)個網(wǎng)孔,它們是一組獨立回路。*證:這里僅以平面電路網(wǎng)孔為例,證明獨立的回路KVL方程數(shù)與連支數(shù)相等。平面電路含有一系列網(wǎng)孔。若某條支路屬于且僅屬于一個網(wǎng)孔,則它就是靠邊的支路,稱之為邊支路。任何一個含有回路的平面連通圖都存在至少一條邊支路。移去一條邊支路,也就去掉了原電路的一個網(wǎng)孔(該邊支路所屬的網(wǎng)孔),但不會對其他網(wǎng)孔造成影響,剩余部分仍是包含全部節(jié)點的連通平面網(wǎng)絡。除了去掉的那個網(wǎng)孔之外,其余網(wǎng)孔沒有改變。3.1KCL、KVL方程的獨立性設一平面電路有n個節(jié)點、b條支路,移去其一條邊支路b1,相應去掉的網(wǎng)孔為m1。在剩余圖中再找到其一條邊支路b2(它不一定是原電路的邊支路),將之移去,相應去掉的網(wǎng)孔為m2。依此方法,依次移去支路b3,b4,…,依次去掉的網(wǎng)孔為m3,m4,…,直至剩余圖中不再有回路。此時,剩余圖是包含全部節(jié)點且不含回路的連通圖,即剩余圖正好是一個樹,其支路數(shù)為n-1,因此移去的支路數(shù)必為l=b-(n-1)。由于每條移去的支路對應著原圖的一個網(wǎng)孔,因此證得原電路的網(wǎng)孔數(shù)為l=b-(n-1)。這一過程可以用圖3-5為例說明。

現(xiàn)在證明l個網(wǎng)孔是獨立回路。由于在以上過程中,移去的支路不會再出現(xiàn)在剩余的網(wǎng)孔中。即支路bk屬于網(wǎng)孔mk,也有可能屬于編號小于mk的某個網(wǎng)孔,但不會屬于編號大于mk的網(wǎng)孔。因此,我們在寫網(wǎng)孔的KVL方程時,只需從ml開始,編號依次遞減列出各網(wǎng)孔方程,這樣每寫一個方程,都有一個新的支路電壓出現(xiàn)。例如,對網(wǎng)孔mk列方程時,方程中會出現(xiàn)支路bk的電壓,該電壓在ml,ml-1,…,mk+1網(wǎng)孔的方程中是從未出現(xiàn)的。這樣列寫的l個網(wǎng)孔KVL方程必定是獨立的,即l個網(wǎng)孔是獨立回路。3.1KCL、KVL方程的獨立性平面電路中除網(wǎng)孔之外的其他任一回路必包圍著兩個或兩個以上的網(wǎng)孔(稱為該回路的內(nèi)網(wǎng)孔),回路內(nèi)部包圍的各支路(稱為內(nèi)支路)是兩個內(nèi)網(wǎng)孔的公共支路。若各網(wǎng)孔列寫KVL方程時采用相同的繞行方向(同為順時針或同為逆時針),則每條內(nèi)支路的電壓必定在某兩個內(nèi)網(wǎng)孔KVL方程中出現(xiàn),且符號相反。將某回路所有內(nèi)網(wǎng)孔的KVL方程相加,內(nèi)支路電壓會正負相抵消,所得就是該回路自身的KVL方程。由此可見,任一回路KVL方程都可由若干個網(wǎng)孔KVL方程導出,電路的獨立回路數(shù)不會大于網(wǎng)孔數(shù)。前已證得l個網(wǎng)孔是一組獨立回路,故證得電路的獨立回路數(shù)為l=b-(n-1)。圖3-5網(wǎng)孔數(shù)的證明示例(a)原網(wǎng)絡;(b)移去支路1,去掉網(wǎng)孔m1;(c)移去支路2,去掉網(wǎng)孔m2;(d)移去支路3,去掉網(wǎng)孔m3;(e)移去支路4,去掉網(wǎng)孔m43.1KCL、KVL方程的獨立性獨立回路的選擇有多種方法。對平面電路而言,網(wǎng)孔是一種直觀而方便的選擇。另一種常用的方法是每選一個回路,都包含一條新支路,選滿l個為止。在第14章還將介紹選擇獨立回路的一種系統(tǒng)方法:單連支回路法。3.1KCL、KVL方程的獨立性以各支路電流和(或)支路電壓為變量列方程求解電路的方法稱為支路分析法。支路分析法是最基本、最直接的電路分析法。支路分析法又分為2b法、支路電流法和支路電壓法。1.2b法由于電路的獨立節(jié)點數(shù)等于樹支數(shù),獨立回路數(shù)等于連支數(shù),因此根據(jù)基爾霍夫定律可得到的獨立方程總數(shù)等于支路數(shù)b。再加上每條支路有一個伏安特性方程,因此由兩類約束條件可獲得的獨立方程總數(shù)為2b。這2b個方程以支路電流和支路電壓為變量,聯(lián)立求解可求得各支路的電流和電壓。這種分析法稱為2b法。用2b法分析電路,應先標出各支路電流和電壓的參考方向。然后選定獨立節(jié)點,列出各獨立節(jié)點的KCL方程;選定獨立回路,列出各獨立回路的KVL方程;列出各支路的伏安特性方程。最后將以上2b個方程聯(lián)立求解,求出支路電流和電壓。如有必要,可進一步計算功率等其他物理量。3.2支路分析法例如,圖3-6(a)所示電路中,若將電壓源和電阻的串聯(lián)結構作為一條支路,則該電路有6條支路、3個獨立節(jié)點和3個獨立回路。該電路的圖如圖3-6(b)所示。圖中,各支路方向為支路電流和電壓的參考方向。選定節(jié)點①、②、③為獨立節(jié)點,其KCL方程為（3-1）圖3-62b法示例3.2支路分析法選定3個網(wǎng)孔為獨立回路,取順時針方向為回路繞行方向,其KVL方程為（3-2）

支路伏安特性方程為（3-3）

將(3-1)、(3-2)、(3-3)方程組共12個方程聯(lián)立求解,可得出各支路的電流和電壓。3.2支路分析法2.支路電流法若僅以各支路電流為變量列方程求解電路,則稱為支路電流法。在前述2b個方程中,將支路伏安特性方程代入獨立回路的KVL方程,消去支路電壓,則可得到以支路電流為變量的b個獨立方程。通常在寫KVL方程時,直接將支路電壓表示為支路電流的函數(shù),省去中間的代入過程。仍以圖3-6(a)所示電路為例,選定各支路電流的參考方向如圖所示。選定網(wǎng)孔為獨立回路,選定節(jié)點①、②、③為獨立節(jié)點,列出獨立節(jié)點的KCL方程為(3-1)式,各網(wǎng)孔的KVL方程為：（3-4）(3-1)式和(3-4)式共6個方程就是支路電流方程組。將它們聯(lián)立求解,可計算出6條支路的電流。3.2支路分析法由(3-4)式可見,寫KVL方程時要注意各項的正負號。順著回路方向,方程左邊以電壓降為正,方程右邊以電位升為正。通常將電阻電壓寫在等號左邊。若某電流參考方向與回路方向一致,則該電流產(chǎn)生的電阻電壓前應取正號;反之取負號。若電路中存在電流源,則由于電流源的電壓不能表示為其電流的函數(shù),因此在KVL方程中不能被消去。即電流源的電壓作為未知變量仍出現(xiàn)在KVL方程中。盡管方程中多了未知電壓變量,但由于電流源所在支路的電流是已知的,因此變量數(shù)仍與方程數(shù)相同。3.2支路分析法例3-1電路如圖3-7所示,已知us1=30V,us2=20V,R1=18Ω,R2=4Ω,is3=3A,求i1、i2

和u3。

解選節(jié)點①為獨立節(jié)點,網(wǎng)孔為獨立回路,網(wǎng)孔繞行方向如圖所示,則有如下一些方程。節(jié)點①的KCL方程：

i1+i2=i

s3網(wǎng)孔1的KVL方程：R1i1+u3=us1網(wǎng)孔2的KVL方程：-R2i2-u3=-us2

代入已知數(shù)據(jù),則有

圖3-7例3-1題圖解得i1=1A,i2=2A,u3=12V3.2支路分析法3.支路電壓法若僅以各支路電壓為變量列方程求解電路,則稱為支路電壓法。在2b個方程中,若將支路伏安特性方程代入獨立節(jié)點的KCL方程,消去支路電流,則可得到以支路電壓為變量的b個獨立方程,可求出b個支路電壓。通常在寫KCL方程時,直接將支路電流表示為支路電壓的函數(shù),省去中間代入過程。3.2支路分析法3.3節(jié)點分析法

支路分析法直接以支路電流和(或)電壓為未知變量列方程求解電路,所需方程多。若能將支路電壓或電流用另一組數(shù)量較少的電路變量代替,則可減少聯(lián)立方程數(shù)。節(jié)點分析法是用節(jié)點電壓代替支路電壓建立方程的電路分析法。3.3節(jié)點分析法

3.3.1節(jié)點電壓和節(jié)點方程若電路中有n個節(jié)點,任選其中n-1個節(jié)點為獨立節(jié)點,剩下的一個非獨立節(jié)點作為參考節(jié)點。各獨立節(jié)點相對于參考節(jié)點的電壓稱為該節(jié)點的節(jié)點電壓。節(jié)點電壓的參考方向由獨立節(jié)點指向參考節(jié)點。若將參考節(jié)點看做零電位點,則節(jié)點電壓就是各獨立節(jié)點的電位。一般將選定的參考節(jié)點用符號“⊥”表示。由基爾霍夫電壓定律可知,任兩個獨立節(jié)點間的電壓等于該兩點電位(即節(jié)點電壓)之差。圖3-8所示電路中,若以節(jié)點④作為參考節(jié)點,則圖中un1、un2、un3為3個節(jié)點電壓,而獨立節(jié)點間的電壓分別為u12=un1-un2,u13=un1-un3,u23=un2-un3。由于任一支路或者是接在兩個獨立節(jié)點之間,或者是接在獨立節(jié)點與參考節(jié)點之間,因此任一支路電壓可由兩個或一個節(jié)點電壓求得。圖3-8節(jié)點分析法示例3.3節(jié)點分析法支路電壓可用節(jié)點電壓表示,故可用節(jié)點電壓代替支路電壓作為未知變量建立方程,求解電路。由于一般電路中,獨立節(jié)點數(shù)遠少于支路數(shù),因此以節(jié)點電壓為未知量所需的方程將遠少于支路法所需的方程。求出各節(jié)點電壓后,可方便地進一步算出支路電壓、支路電流及功率等物理量。

為了求出n-1個節(jié)點電壓,必須列出n-1個以節(jié)點電壓為變量的獨立方程。由于用節(jié)點電壓表示支路電壓是以KVL為依據(jù)的,因此節(jié)點電壓自動滿足基爾霍夫電壓定律。將支路電壓用節(jié)點電壓表示之后,各回路的KVL方程將成為恒等式。因此,在建立節(jié)點電壓方程時,所依據(jù)的約束條件只能是KCL和支路伏安特性。3.3節(jié)點分析法若電路中只有電阻和電流源兩種元件,則節(jié)點電壓方程的建立比較簡單。對n-1個獨立節(jié)點分別列寫KCL方程,將方程中電阻的電流表示為節(jié)點電壓的函數(shù)即可。以圖3-8所示電路為例,該電路中只包含電阻和電流源支路,寫某節(jié)點的KCL方程時,將與該節(jié)點相連的電阻支路電流及電流源的電流分列方程兩邊,左邊以流出該節(jié)點的電流參考方向取正號,右邊則以流入該節(jié)點的電流參考方向取正號。選擇節(jié)點①、②、③為獨立節(jié)點,在圖示各支路電流參考方向下,各獨立節(jié)點的KCL方程為：（3-5）3.3節(jié)點分析法各電阻支路電流可表示為：（3-6）將(3-6)式代入(3-5)式,移項整理后得到：（3-7）3.3節(jié)點分析法上式左邊仍是各節(jié)點所連接的電阻支路電流代數(shù)和,只是已將各電阻電流表示為節(jié)點電壓的函數(shù)。

(3-7)式便是依據(jù)節(jié)點KCL方程和元件特性建立的以節(jié)點電壓為變量的獨立方程組,將其簡稱為節(jié)點方程。觀察(3-7)式,可發(fā)現(xiàn)節(jié)點方程中各項系數(shù)是有規(guī)律的,為便于敘述,將其寫成一般形式：（3-8）上式左邊主對角線上各項的系數(shù)G11、G22、G33分別稱為節(jié)點①、節(jié)點②和節(jié)點③的自電導,其值分別是與各節(jié)點連接的電阻(電導)支路的電導之和,即：3.3節(jié)點分析法

(3-8)式左邊非主對角線上各項的系數(shù)具有對稱性,稱為兩個節(jié)點的互電導(如G13=G31,稱為節(jié)點①和節(jié)點③的互電導),其值為連接對應兩節(jié)點的公共電阻(電導)支路的電導之和的負值。(3-8)式中各互電導為：之所以有G23=G32=0,是因為該電路中節(jié)點②和節(jié)點③之間沒有公共的電阻支路。(3-7)式的右端項在(3-8)式中表示為iskk(k=1,2,3),iskk等于與第k個節(jié)點相連接的各電流源電流的代數(shù)和,流入該節(jié)點的取正號,反之取負號。

(3-8)式表明:若電路中只包含電阻和電流源支路,則對節(jié)點k,從電阻支路流出該節(jié)點的電流之代數(shù)和等于從電流源支路流入該節(jié)點的電流之代數(shù)和。電阻支路流出節(jié)點k的電流與本節(jié)點的電壓unk以及各相鄰節(jié)點的電壓有關,且這兩者的作用相反。本節(jié)點電壓unk越高,相鄰節(jié)點電壓越低,從電阻支路流出節(jié)點k的電流就越大。反映在節(jié)點方程中是:自電導為正,互電導為負。上述規(guī)律同樣適用于具有n個節(jié)點的電路。利用這一規(guī)律可直接由電路列寫節(jié)點方程的最終形式,省去一系列的中間過程。3.3節(jié)點分析法例3-2電路如圖3-9所示,已知R1=R3=10Ω,R2=R5=5Ω,R4=R6=2Ω,is1=1A,is2=2A,is3=-0.5A,求i4及i5。圖3-9例3-2題圖解選定節(jié)點①、②為獨立節(jié)點,節(jié)點③為參考節(jié)點,直接列出節(jié)點方程為：代入已知數(shù)據(jù),有：解得,un1=2.65V,un2=3.15V,進一步求得：3.3節(jié)點分析法3.3.2含電壓源電路的節(jié)點方程當電路中包含有伴電壓源支路時,可將該支路等效轉換為有伴電流源支路,再列節(jié)點方程。當電路中含無伴電壓源支路時,該支路不能轉換為電流源,分兩種情況處理:(1)無伴電壓源支路一端接在參考節(jié)點上。在這種情況下,與無伴電壓源另一端相連的獨立節(jié)點的電壓由該電壓源直接確定,該節(jié)點的方程可省略。列出其余獨立節(jié)點的方程,求解即可。(2)無伴電壓源支路兩端均接在非參考節(jié)點上。在這種情況下,列該電壓源所在節(jié)點的方程時,該電壓源的支路電流作為未知量保留在方程中。這樣,獨立方程數(shù)少于未知變量數(shù)。考慮到無伴電壓源兩端節(jié)點電壓之差等于該電壓源的給定電壓,將此已知條件作為輔助方程列出,與節(jié)點方程聯(lián)立求解即可。3.3節(jié)點分析法例3-3電路如圖3-10所示,求i1、i2、i3、i4及i5。解選擇節(jié)點④為參考節(jié)點。由于兩個無伴電壓源都有一端接在參考節(jié)點上,節(jié)點①、③的節(jié)點電壓已確定,即un1=20V,un3=10V,因此只需列節(jié)點②的方程:將un1和un3代入,可得：un2=15.91V根據(jù)歐姆定律得：由基爾霍夫電流定律可得電壓源的電流為圖3-10例3-3題圖i1=-i2-i3=-2.87Ai5=-i1-i4=2.07A3.3節(jié)點分析法3.3.3含受控源電路的節(jié)點方程若電路中包含有受控電流源(電壓源),則在列節(jié)點方程時將其作為獨立電流源(電壓源)一樣處理。由于受控源的控制變量的引入,可能會使節(jié)點方程中未知量增多,此時,可增加輔助方程,將受控源的控制量表示為節(jié)點電壓的函數(shù)。

3.3節(jié)點分析法例3-5電路如圖3-12所示,已知R1=R2=R3=10Ω,is=3.5A,μ=4,α=2。以節(jié)點③為參考節(jié)點,求節(jié)點電壓un1和un2。解由于節(jié)點②與參考節(jié)點間有單獨的受控電壓源支路,因此有：un2=μu2（3-9）現(xiàn)在只需列出節(jié)點①的方程：（3-10）可見,(3-9)和(3-10)兩個方程中含有受控源的控制量。列出以下輔助方程將控制量表示為節(jié)點電壓的函數(shù)：（3-11）圖3-12例3-5題圖3.3節(jié)點分析法將(3-11)式代入(3-9)和(3-10)兩個方程中,消去i3和u2,整理后可得：代入已知數(shù)據(jù),得：解得節(jié)點電壓為：un1=12.5Vun2=10V3.3節(jié)點分析法3.3.4用節(jié)點法分析含理想運放的電路對較復雜的含理想運放的電路,可采用節(jié)點分析法求解。列節(jié)點方程時應注意以下幾點:(1)理想運放的兩個輸入端電流為零(虛斷路);(2)理想運放的輸出端相當于一個受控電壓源,輸出端所在節(jié)點的方程不要列出,以免引入未知的電流變量;(3)方程數(shù)目不夠時,可利用理想運放的虛短路特點補充一個輔助方程。3.3節(jié)點分析法例3-6電路如圖3-13所示,求輸出電壓uo與輸入電壓u1及u2的關系式。圖3-13例3-6題圖

解設輸入電壓u1及u2為已知。電路中有3個未知的節(jié)點電壓變量un1、un2及uo,省掉輸出端的節(jié)點方程,只對節(jié)點①和節(jié)點②列出方程：補充一個輔助方程：un1=un2

用節(jié)點②方程減去節(jié)點①方程,并將輔助方程代入,求得：可見,這是一個減法器電路。3.3節(jié)點分析法3.4網(wǎng)孔分析法和回路分析法

前面介紹的節(jié)點分析法用節(jié)點電壓代替支路電壓建立方程,從而可減少聯(lián)立方程的個數(shù)。本節(jié)要介紹的網(wǎng)孔分析法和回路分析法則是用網(wǎng)孔電流和回路電流代替支路電流建立方程,目的也是減少聯(lián)立方程的個數(shù)。3.4網(wǎng)孔分析法和回路分析法3.4.1網(wǎng)孔電流和網(wǎng)孔方程一個含有b條支路和n個節(jié)點的平面電路有l(wèi)=b-(n-1)個網(wǎng)孔。假設每個網(wǎng)孔分別有一個環(huán)行電流流動,將這種沿網(wǎng)孔流動的假想電流稱為網(wǎng)孔電流。各支路電流等于流經(jīng)該支路的網(wǎng)孔電流的代數(shù)和。網(wǎng)孔電流與支路電流參考方向一致的取正號,否則取負號。例如圖3-14電路中,若3個網(wǎng)孔電流分別用im1、im2和im3表示,則根據(jù)圖中標出的各網(wǎng)孔電流和各支路電流的參考方向,有：i1=im1，i2=im1-im2，i3=im2，i4=im2+im3，i5=im3圖3-14網(wǎng)孔電流示例3.4網(wǎng)孔分析法和回路分析法

支路電流可用網(wǎng)孔電流表示,故可將網(wǎng)孔電流代替支路電流作為未知變量建立方程,求解電路。由于一般電路中,網(wǎng)孔數(shù)遠少于支路數(shù),因此以網(wǎng)孔電流為未知量所需的方程將遠少于支路法所需的方程。求出各網(wǎng)孔電流后,可方便地進一步算出支路電流、支路電壓及功率等。為了求出l個網(wǎng)孔電流,必須列出l個以網(wǎng)孔電流為變量的獨立方程。由于網(wǎng)孔電流是滿足電流連續(xù)性的一組電流變量,當某網(wǎng)孔電流流經(jīng)某節(jié)點時,它流入又流出該節(jié)點,因此網(wǎng)孔電流變量自動滿足基爾霍夫電流定律。將支路電流用網(wǎng)孔電流表示之后,各節(jié)點的KCL方程將成為恒等式。因此,在建立網(wǎng)孔電流方程時,所依據(jù)的約束條件只能是KVL和支路伏安特性。

3.4網(wǎng)孔分析法和回路分析法若電路中只有電阻和電壓源兩種元件,則網(wǎng)孔電流方程的建立比較簡單。對l個網(wǎng)孔分別列KVL方程,將方程中電阻的電壓表示為網(wǎng)孔電流的函數(shù)即可。以圖3–14電路為例。首先,選定網(wǎng)孔電流的參考方向如圖中虛線所示,并以網(wǎng)孔電流的參考方向作為回路的繞行方向。列網(wǎng)孔的KVL方程時,將電阻的電壓與電壓源的電壓分列方程兩邊。在左邊,元件電壓降與回路繞行方向一致時取正號;在右邊,元件電位升與回路繞行方向一致時取正號。列出電路中各網(wǎng)孔的KVL方程為：（3-12）整理后得（3-13）3.4網(wǎng)孔分析法和回路分析法(3-13)式便是依據(jù)網(wǎng)孔KVL方程和元件特性建立的以網(wǎng)孔電流為變量的獨立方程組,將其簡稱為網(wǎng)孔方程。觀察(3-13)式,可發(fā)現(xiàn)網(wǎng)孔方程中各項系數(shù)是有規(guī)律的,為便于敘述,將其寫成一般形式：（3-14）(3-14)式左邊主對角線上各項的系數(shù)R11、R22、R33分別稱為網(wǎng)孔1、網(wǎng)孔2和網(wǎng)孔3的自電阻,其值分別是各網(wǎng)孔所有電阻之和,即：R11=R1+R2，

R22=R2+R3+R4+R6,，R33=R4+R5+R63.4網(wǎng)孔分析法和回路分析法(3-14)式左邊非主對角線上各項的系數(shù)具有對稱性,稱為兩個網(wǎng)孔的互電阻(例如,R12=R21稱為網(wǎng)孔1和網(wǎng)孔2的互電阻)?；ル娮璧慕^對值為兩個網(wǎng)孔間公共電阻之和。若兩個網(wǎng)孔電流通過公共電阻時參考方向一致,則互電阻取正號;否則,互電阻取負號。(3-14)式中,各互電阻為：R12=R21=-R2，R23=R32=R4+R6，

R13=R31=0之所以有R13=R31=0,是因為該電路中第1和第3兩個網(wǎng)孔沒有公共的電阻支路。(3-13)式的右端項在(3-14)式中表示為uskk(k=1,2,3),uskk等于第k個網(wǎng)孔中各電壓源電位升的代數(shù)和。3.4網(wǎng)孔分析法和回路分析法(3-14)式表明:若電路中只包含電阻和電壓源支路,對網(wǎng)孔k的方程而言,沿網(wǎng)孔繞行方向,網(wǎng)孔中所有電阻的電壓降之代數(shù)和等于該網(wǎng)孔中所有電壓源的電位升之代數(shù)和。電阻的電壓降由該網(wǎng)孔本身的電流imk及所有相鄰網(wǎng)孔電流共同作用所產(chǎn)生。本網(wǎng)孔電流imk在網(wǎng)孔k所有電阻支路上產(chǎn)生與網(wǎng)孔繞行方向一致的電壓降,因此該方程中,imk的系數(shù)(網(wǎng)孔k的自電阻Rkk)等于網(wǎng)孔k所有電阻之和,且取正號。某一相鄰網(wǎng)孔j的電流imj在k、j網(wǎng)孔所有公共電阻上產(chǎn)生電壓降,因此k、j網(wǎng)孔互電阻Rkj的絕對值等于該兩網(wǎng)孔所有公共電阻之和。若imj和imk通過公共電阻時參考方向一致,則說明兩個電流在公共電阻上產(chǎn)生電壓降的參考方向一致,互電阻Rkj應取正號,否則取負號。如上例中,R23取正號,而R12取負號。上述規(guī)律同樣適用于具有任意多個網(wǎng)孔的電路,利用它可由電路直接列寫網(wǎng)孔方程。3.4網(wǎng)孔分析法和回路分析法3.4.2含電流源電路的網(wǎng)孔方程若電路中包含有伴電流源,可將其等效變換為有伴電壓源,再列網(wǎng)孔方程。若電路中包含無伴電流源支路,則該支路不能轉換為電壓源,可分兩種情況處理：(1)若無伴電流源支路僅屬一個網(wǎng)孔,則該網(wǎng)孔電流可由該電流源直接確定,該網(wǎng)孔方程可省略。列出其余網(wǎng)孔方程,求解即可。(2)若無伴電流源支路屬兩個網(wǎng)孔,則列寫該電流源所在兩個網(wǎng)孔的KVL方程時,應把電流源的電壓作為未知量保留在方程中。這樣,獨立方程數(shù)少于未知變量數(shù)?？紤]到該電流源支路的電流是已知的,將這一已知條件作為輔助方程列出,與網(wǎng)孔方程聯(lián)立求解即可。3.4網(wǎng)孔分析法和回路分析法例3-8電路如圖3-16所示,求i1。圖3-16例3-8題圖解選定3個網(wǎng)孔的電流參考方向如圖中虛線所示,由于電流源is1僅屬于第3個網(wǎng)孔,且其電流參考方向與im3的參考方向相反,故有im3=-is1=-2A。此時僅需列出網(wǎng)孔1、2的方程:代入已知的網(wǎng)孔電流im3,解得：im1=0.4167A，

im2=-0.6389A所求支路電流為：i1=im2

-im3=1.3611A3.4網(wǎng)孔分析法和回路分析法3.4.3含受控源電路的網(wǎng)孔方程若電路中包含有受控電壓源(電流源),則在列網(wǎng)孔方程時將其作為獨立電壓源(電流源)一樣處理。由于受控源控制變量的引入,會使網(wǎng)孔方程中未知量增多,因此要增加輔助方程,一般將受控源的控制量表示為網(wǎng)孔電流的函數(shù)。

例3-10電路如圖3-18所示,已知R1=R2=R3=10Ω,us=20V,r=5Ω,g=0.2S,求電壓u。圖3-18例3-10題圖3.4網(wǎng)孔分析法和回路分析法解兩個網(wǎng)孔電流參考方向如圖3-18中所示,由于受控電流源僅屬于網(wǎng)孔1,故有：im1

=-gu2

（3-15）現(xiàn)僅需列出網(wǎng)孔2的方程：-R2im1+(R2+R3)im2

=-ri2+us

（3-16）將受控源的控制量表示為網(wǎng)孔電流的函數(shù),列出輔助方程：（3-17）將(3-17)式代入(3-15)和(3-16)兩個方程中,消去i2和u2,整理后可得：

代入數(shù)據(jù),得解得im1=1.1429A，

im2=1.7143A所求支路電壓為：u=us+(im1-im2)R2=14.286V3.4網(wǎng)孔分析法和回路分析法3.4.4回路分析法

對于有b條支路n個節(jié)點的電路,可在電路中選擇l=b-n+1個獨立回路。假定每個獨立回路有一個回路電流,可以證明,任一支路電流等于流經(jīng)該支路的所有獨立回路電流的代數(shù)和。用回路電流代替支路電流建立方程求解電路的方法稱為回路分析法。平面電路中,網(wǎng)孔是一組獨立回路,因此網(wǎng)孔分析法是回路分析法的特例?；芈贩治龇瓤捎糜谄矫骐娐?也可用于非平面電路。建立回路方程的原理、方法及解題步驟與網(wǎng)孔分析法相同。但有幾點值得注意:(1)選定的l個回路應是一組獨立回路;(2)由于任意選定的獨立回路不如網(wǎng)孔直觀,因此回路